Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu ( ). j= Definicja szeregu liczbowego. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ) oraz niech (s n ) będzie ciągiem sum częściowych ciągu ( ). Szeregiem liczbowym o wyrazach, n =, 2,... lub krótko szeregiem nazywamy parę uporządkowaną (( ), (s n ) ) i oznaczamy lub lub. Ciąg (s n ) nazywamy również ciągiem sum częściowych szeregu. Definicja zbieżności szeregu. Niech że szereg będzie szeregiem liczbowymi. Mówimy, jest zbieżny, gdy zbieżny jest jego ciąg sum częściowych (s n ). Jeśli lim s n = s, s R, to mówimy, że szereg jest zbieżny do s i piszemy = s. Wtedy liczbę s nazywamy sumą tego szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Przykład 5... Szereg, gdzie =, n N, jest zbieżny do, ma on n(n+) bowiem ciąg sum częściowych (s n ) postaci s n = 2 + 2 3 + + n(n + ) = ( 2 ) + ( 2 ( + + 3) n ) = n + n +. Bezpośrednio z definicji zbieżności szeregu, twierdzenia 4.6.8 i własności 4.6.2 dostajemy Własność 5..2. Niech częściowych oraz s R. Wówczas szereg będzie szeregiem liczbowym, (s n ) jego ciągiem sum każdy podciąg ciągu (s n ) jest zbieżny do s. 9 jest zbieżny do s wtedy i tylko wtedy, gdy

92 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Twierdzenie 5..3. (warunek konieczny zbieżności szeregu). Jeśli szereg jest zbieżny, to lim = 0. Dowód. Niech (s n ) będzie ciągiem sum częściowych szeregu i s =. Z własności 5..2, s = lim s n = lim s n+, więc lim = lim + = lim (s n+ s n ) = 0. Twierdzenie odwrotne do powyższego nie jest prawdziwe. Mamy mianowicie następujące Twierdzenie 5..4. Szereg n Dowód. Oznaczając s n = n j= jest rozbieżny., n N dostajemy j s 2n s n = n + + n + 2 + + 2n n 2n = 2, więc, wobec własności 5..2 granica ciągu (s n ) nie może być skończona. Definicja działań na szeregach. Niech Szereg Szereg, ( + b n ) nazywamy sumą szeregów ( b n ) nazywamy różnicą szeregów Jeśli α R, to szereg Własność 5..5. Niech, Wówczas szeregi ( + b n ), ( + b n ) = + b n, b n będą szeregami liczbowymi. i i b n. b n. (α ) nazywamy iloczynem szeregu przez liczbę α. b n będą szeregami liczbowymi zbieżnymi oraz α R. ( b n ), (α ) są zbieżne oraz ( b n ) = b n, (αa k ) = α. Dowód. Jeśli (s n ), (t n ) są ciągami sum częściowych odpowiednio szeregów, b n, to (s n + t n ), (s n t n ) n=, (αs n ) n= są ciągami sum częściowych odpowiednio szeregów z twierdzenia 4.2.9. ( + b n ), ( b n ), (α ). Zatem teza wynikatychmiast Z twierdzenia Cauchy ego 4.7.3 dostajemy natychmiast jego odpowiednik dla szeregów. Twierdzenie 5..6. (Cauchy ego). Niech szereg będzie szeregiem liczbowym. Wówczas jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia on warunek Cauchy ego: m (5.) ε>0 N R m,l N, m l N < ε. n=l

5.2. DALSZE INFORMACJE O SZEREGACH 93 Dowód. Niech (s n ) będzie ciągiem sum częściowych szeregu Cauchy ego 4.7.3 mamy, że szereg spełnia warunek Cauchy ego:. Z twierdzenia jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg (s n ) ε>0 N R m,l N, m l N s m s l < ε, gdzie s 0 = 0. Powyższy warunek jest równoważny (5.), więc mamy tezę. Uwaga 5..7. Pokazaliśmy, że dla szeregów zachodzą pewne odpowiedniki własności ciągów (własność 4.2.4). W przypadku ciągów można zamienić kolejność wyrazów bez straty zbieżności ciągu (własność 4.2.5). Dalej pokażemy, że odpowiednik tego faktu dla szeregów jest fałszywy, mianowicie istnieją szeregi zbieżne które po zamianie kolejności wyrazów stają się rozbieżne. 5.2 Dalsze informacje o szeregach W punkcie 5. wprowadziliśmy pojęcie szeregu liczbowego, gdzie wskaźniki przebiegają zbiór liczb naturalnych. W wielu zagadnieniach wygodnie jest rozważać szeregi w nieco ogólniejszym sensie, gdzie wskaźniki przebiegają pewne zbiory liczb całkowitych. Prowadzi to do uogólnienia pojęcia ciągu. Dokładniej, będziemy rozważać ciągi liczbowe o wskaźnikach większych od pewnej ustalonej liczby całkowitej. Ciągi takie definiujemy analogicznie jak w rozdziale 4. Definicja ciągu nieskończonego o wskaźnikach w zbiorze Z k. Niech X będzie niepustym zbiorem, niech k Z oraz Z k = {n Z : n k}. Funkcję a : Z k X nazywamy ciągiem nieskończonym o wskaźnikach w zbiorze Z k lub krótko ciągiem. Parę uporządkowaną (n, a(n)), gdzie n Z k, nazywamy n tym wyrazem ciągu, n wskaźnikiem tego wyrazu, a(n) wartością tego wyrazu. Piszemy zamiast a(n). Ciąg a : Z k X zapisujemy również (a k, a k+,...) lub ( ) lub ( ) n Zk lub krótko ( ), piszemy również, n = k, k +,... Jeśli wszystkie wartości ciągu ( ) należą do R to ciąg ten nazywamy liczbowym. Uwaga 5.2.. Niech k Z oraz niech dany będzie ciąg ( ). Wtedy b n = +k, n N jest ciągiem określonym na zbiorze liczb naturalnych. Zatem wszystkie pojęcia z rozdziału 4 dotyczące ciągów przenoszą się na powyżej wprowadzone ciągi o wskaźnikach w zbiorze Z k. Dokładniej definicja granicy i wszystkie jej własności, definicja monotoniczności, ograniczoności przenoszą się bez żadnych zmian. Analogicznie określamy podciągi, jako złożenia ciągu ( ) ze ściśle rosnącym ciągiem (n j ) j=k liczb całkowitych o wartościach w Z k. Wtedy wszystkie twierdzenia dotyczące podciągów, granic częściowych przenoszą się bez żadnych zmian. Definicja szeregu liczbowego. Dla ciągu liczbowego ( ) określamy ciąg sum częściowych (s n ) wzorem s n = n a j, n = k, k +,... j=k

94 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Szeregiem liczbowym o wyrazach, n = k, k +,... lub krótko szeregiem nazywamy parę uporządkowaną (( ), (s n ) ) i oznaczamy lub lub. Ciąg (s n ) nazywamy również ciągiem sum częściowych szeregu Mówimy, że szereg jest zbieżny, gdy zbieżny jest jego ciąg sum częściowych (s n ). Jeśli lim s n = s, s R, to mówimy, że szereg jest zbieżny do s i piszemy = s. Wtedy liczbę s nazywamy sumą tego szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym. Uwaga 5.2.2. Dla szeregów określonych powyżej zachodzą wszystkie własności z punktu 5., gdzie sumę i różnicę szeregów, b n oraz iloczyn szeregu przez liczbę określamy analogicznie jak w punkcie 5.. Dalej będziemy rozważać szeregi postaci Przedstawiane twierdzenia przenoszą się jednak na przypadek ogólny. Z twierdzenia Cauchy ego 5..6 dostajemy Wniosek 5.2.3. Niech szereg. lub będzie szeregiem liczbowym oraz l Z, l k. Wówczas jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg. n=l Inaczej, odrzucenie skończonej ilości początkowych wyrazów szeregu lub dołączenie na początku skończonej ilości wyrazów nie wpływa zbieżność szeregu. Dowód. Ponieważ, co łatwo sprawdzamy, warunek (5.) jest równoważny m ε>0 N l m,p Z, m p N < ε. n=p. więc z twierdzenia Cauchy ego 5..6 dostajemy tezę. Wniosek 5.2.4. Niech, R, że dl Z, n > N zachodzi = b n. Wówczas b n będą szeregami liczbowymi takimi, że istnieje N szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg b n. Dowód. Niech l Z, l > N oraz l > k. Z wniosku 5.2.3, zbieżność szeregu jest równoważna zbieżności szeregu oraz zbieżność szeregu b n jest równoważna zbieżności szeregu n=l n=l b n. Ponieważ szeregi, b n są równe, więc mamy tezę. n=l n=l

5.3. SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH 95 Wniosek 5.2.5. Niech, n=j dl Z, n k. Wówczas szereg szereg n=j b n. Ponadto = n=j b n będą szeregami liczbowymi takimi, że = b n k+j b n. jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest Dowód. Niech (s n ), (t n ) n=j będą ciągami sum częściowych odpowiednio szeregów, b n. Wobec założenia = b n k+j dl k dostajemy łatwo, że s n = t n k+j n=j dl k. Zatem z własności 4.2.4(d) mamy, że ciąg (s n ) jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest ciąg (t n ) n=j. Ponadto lim s n = lim t n. To daje tezę. Definicja szeregu geometrycznego. Niech a, q R, k Z. Szereg postaci nazywamy szeregiem geometrycznym, gdzie przyjmujemy tutaj 0 0 = oraz q 0, gdy k < 0. Liczbę q nazywamy ilorazem szeregu geometrycznego. aq n Własność 5.2.6. Niech a, q R, a 0, k Z. (a) Jeśli 0 < q <, to aq n = aqk. q (b) Jeśli q, to szereg aq n jest rozbieżny. Dowód. Ad. (a) Ponieważ q, więc indukcyjnie, łatwo pokazujemy, że n i=k aq i = aq k qn k+. Zatem teza wynika z własności 4.6.0. q Ad. (b) Jeśli q, to z własności 4.6.0 dostajemy, że ciąg (aq n ) nie jest zbieżny do zera. Istotnie, jeśli q =, to lim aq n = a 0. Jeśli q >, to lim aq n jest równa + lub w zależności od tego, czy a > 0, czy a < 0. Jeśli q, to granica lim aq n nie istnieje. Zatem (b) wynika z warunku koniecznego zbieżności szeregu 5..3. 5.3 Szeregi o wyrazach nieujemnych Twierdzenie 5.3.. Szereg o wyrazach nieujemnych jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jego ciąg sum częściowych jest ograniczony. Dowód. Niech (s n ) będzie ciągiem sum częściowych szeregu oraz niech 0 dl N. Jeśli szereg jest zbieżny, to ciąg (s n ) jest ograniczony (patrz własność 4.2.7). Załóżmy, że ciąg (s n ) jest ograniczony. Ponieważ 0 dl N, więc ciąg (s n ) jest rosnący. Zatem jest to ciąg zbieżny (patrz twierdzenie 4.2.8).

96 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Twierdzenie 5.3.2. (kryterium porównawcze zbieżności szeregów). Niech b n będą szeregami liczbowymi oraz niech N N będzie takie, że 0 b n dl N. (a) Jeśli szereg b n jest zbieżny, to szereg jest zbieżny. (b) Jeśli szereg jest rozbieżny, to szereg Dowód. Udowodnimy (a). Ponieważ szereg jest zbieżny. Niech b = n=n Zatem ciąg sum częściowych szeregu 5.3. daje zbieżność szeregu b n jest rozbieżny. b n jest zbieżny, więc szereg b n. Wówczas dla każdego m N mamy n=n n=n m n=n m n=n n=n, b n b n b. jest ograniczony. To wraz z twierdzeniem, a więc i zbieżność szeregu Część (b) wynika z (a), gdyż zbieżność szeregu. b n pociągałaby zbieżność. Wniosek 5.3.3. Niech istnieje N N, że, b n będą szeregami o wyrazach dodatnich takimi, że (5.2) (a) Jeśli szereg (b) Jeśli szereg + b n+ b n dl N. b n jest zbieżny, to zbieżny jest szereg. jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg Dowód. Udowodnimy (a). Z (5.2) mamy, że ciąg ( an b n ) n=n jest malejący, więc (5.3) 0 a N b N b n dl N. Jeśli b n jest zbieżny, to z własności 5..5 i 5.2.3, szereg a N bn b n jest zbieżny, więc z (5.3) i kryterium porównawczego zbieżności szeregów 5.3.2 dostajemy zbieżność szeregu. Część (b) wynikatychmiast z (a). Twierdzenie 5.3.4. (kryterium graniczne). Niech b n będą takimi szeregami, że 0, b n > 0 dl N. Załóżmy, że istnieje granica K = lim b n., b n.

5.3. SZEREGI O WYRAZACH NIEUJEMNYCH 97 bn (a) Jeśli K < + i szereg (b) Jeśli K > 0 i szereg b n jest zbieżny, to szereg b n jest rozbieżny, to szereg jest zbieżny. jest rozbieżny. Dowód. Ad. (a) Z określenia liczby K, istnieje N N takie, że dl N zachodzi < K +, więc 0 < (K + )b n. Jeśli b n jest zbieżny, to z własności 5..5, szereg (K + )b n jest zbieżny, więc z kryterium porównawczego zbieżności szeregów 5.3.2 dostajemy zbieżność szeregu. Ad. (b) Jeśli K = +, to istnieje N N, że dl N zachodzi an b n >, czyli > b n. Zatem z kryterium porównawczego zbieżności szeregów 5.3.2, z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu b dla dostatecznie dużych n, więc lim n an Z twierdzenia 5.3.4 dostajemy natychmiast Wniosek 5.3.5. Niech Jeśli istnieje granica, b n. Jeśli K < +, to z założenia, że K > 0 mamy > 0 = K < + i teza wynika z (a) i wniosku 5.2.3. b n będą szeregami takimi, że 0, b n > 0 dl N. K = lim, przy czym 0 < K < +, b n to oba szeregi są jednocześnie zbieżne lub jednocześnie rozbieżne. Twierdzenie 5.3.6. (o zagęszczaniu). Niech ( ) będzie ciągiem malejącym o wyrazach nieujemnych. Wówczas szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg 2 n a 2 n. Dowód. Oznaczmy przez (s n ), (t n ) ciągi sum częściowych odpowiednio szeregów, 2 n a 2 n. Ponieważ 0, więc ciągi (s n ) i (t n ) są rosnące. W myśl twierdzenia 5.3. wystarczy pokazać, że z ograniczoności ciągu (s n ) wynika ograniczoność ciągu (t n ) i odwrotnie. Załóżmy, że ciąg (s n ) jest ograniczony przez M R, M > 0, to znaczy s n M dl N. Ponieważ ( ) jest ciągiem malejącym, więc dla każdego n N 0 t n = 2 (a 2 + 2a 4 + + 2 n a 2 n) 2 ((a + a 2 ) + (a 3 + a 4 ) + + (a 2 n + + + a 2 n)) = 2s 2 n 2M. To daje ograniczoność ciągu (t n ).

98 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Załóżmy, że ciąg (t n ) jest ograniczony przez K R, K > 0. Ponieważ ( ) jest ciągiem malejącym i 2 n+ n dl N, więc 0 s n s 2 n+ = a + + a 2 n+ = a + (a 2 + a 3 ) + + (a 2 n + + a 2 n+ ) a + 2a 2 + + 2 n a 2 n a + K. To daje ograniczoność ciągu (s n ) i kończy dowód. Definicja szeregu harmonicznego. Szereg Wniosek 5.3.7. Szereg nazywamy harmonicznym rzędu α. n α jest zbieżny, gdy α > i rozbieżny, gdy α ( ). n α Dowód. Oznaczmy =, n N. n α Załóżmy najpierw, że α >. Wówczas ciąg ( ) jest malejący i ma wyrazy dodatnie oraz 2 n a 2 n = 2 n 2 αn = (2 α ) n dl N. W konsekwencji szereg 2 n a 2 n jest geometryczny o ilorazie 2 α (0, ). Zatem z własności 5.2.6(a) szereg 2 n a 2 n jest zbieżny. To wraz z twierdzeniem 5.3.6 daje zbieżność szeregu harmonicznego. Załóżmy, że α. Wówczas z własności potęgi, dl N. Ponieważ szereg n n α jest rozbieżny (twierdzenie 5..4), więc z kryterium porównawczego zbieżności szeregów n 5.3.2(b) dostajemy, że szereg harmoniczny jest rozbieżny. ZADANIA Zadanie 5.3.. * (kryterium Raabego). Niech ( ) będzie ciągiem o wyrazach dodatnich oraz r >. (a) Jeśli n ( + ) r dla prawie wszystkich n N, to szereg jest zbieżny. (a) Jeśli n ( + ) < dla prawie wszystkich n N, to szereg jest rozbieżny. Wsk. Udowodnić, że dla s R zachodzi lim (+ n )s n = s. 5.4 Dalsze kryteria zbieżności szeregów Twierdzenie 5.4.. (kryterium Dirichleta). Niech ( ), (b n ) będą ciągami. Jeśli (i) ciąg sum częściowych ciągu ( ) jest ograniczony, (ii) ciąg (b n ) jest monotoniczny, (iii) lim b n = 0, to szereg b n jest zbieżny. Definicja funkcji ζ Riemanna. Funkcję ζ(x) = n x, x > nazywamy funkcją ζ Riemanna.

5.4. DALSZE KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW 99 Dowód. Niech A n = n j= a j, n N. Załóżmy najpierw, że ciąg (b n ) jest malejący. Wówczas z (ii), (iii) mamy b n 0 dl N. Dla m > l 2 mamy ( 2 ) m n=l b n = m n=l = m n=l (A n A n )b n = m n=l A n b n m n=l A n (b n b n+ ) + A m b m A l b l. A n b n = m n=l A n b n m n=l A n b n+ Weźmy dowolne ε > 0. Wobec (i) istnieje M R, M > 0 takie, że A n M dl N. Z (ii) oraz (iii) wynika, że istnieje N N, N 2 takie, że dl N zachodzi 0 b n < ε. 2M Weźmy dowolne m, l N takie, że m > l N. Wtedy m > l 2. Ponieważ ciąg (b n ) jest malejący, więc b n b n+ = b n b n+ dl N, zatem z powyższego mamy m m b n = A n (b n b n+ ) + A m b m A l b l n=l n=l m A n b n b n+ + A m b m + A l b l n=l m M(b n b n+ ) + Mb m + Mb l n=l( m ) = M (b n b n+ ) + b m + b l = 2Mb l < ε. n=l Powyższierówność zachodzi także dla m = l N. Reasumując z twierdzenia Cauchy ego 5..6 dostajemy zbieżność szeregu b n. Jeśli ciąg (b n ) jest rosnący, to ciąg ( b n ) jest malejący i z pierwszej części dowodu dostajemy zbieżność szeregu ( b n ), a więc i szeregu b n. Z kryterium Dirichleta zbieżności szeregów 5.4. dostajemy następujące dwa kryteria. Wniosek 5.4.2. (kryterium Leibniza). Jeśli ciąg (c n ) lim c n = 0, to szereg ( ) n c n jest zbieżny. jest monotoniczny oraz Dowód. Oznaczając = ( ) n, b n = c n, n N dostajemy, że sum równa 0, gdy n jest liczbą parzystą oraz równa, gdy n jest liczbą nieparzystą. Wobec monotoniczności ciągu (b n ), stosując kryterium Dirichleta 5.4., dostajemy tezę. Wniosek 5.4.3. (kryterium Abela). Jeśli ciąg ( ) jest monotoniczny i ograniczony, szereg b n zaś jest zbieżny, to szereg b n jest zbieżny. Dowód. Ciąg ( ), jako monotoniczny i ograniczony, jest zbieżny. Niech więc a = lim. Wtedy ciąg ( a) jest monotoniczny i zbieżny do zera. Ciąg sum częściowych szeregu zbieżnego b n jest oczywiście ograniczony. W konsekwencji, na 2 przekształcenie to nazywamy przekształceniem Abela. j= a j jest

00 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE mocy kryterium Dirichleta 5.4., mamy zbieżność szeregu ( a)b n. Ponieważ szereg ab n jest zbieżny, więc szereg b n jest zbieżny, jako suma szeregów zbieżnych. 5.5 Zbieżność bezwzględna Definicja zbieżności bezwzględnej szeregu. Mówimy, że szereg bezwzględnie, gdy zbieżny jest szereg. jest zbieżny Własność 5.5.. Jeśli szereg. jest zbieżny bezwzględnie, to jest zbieżny. Ponadto Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ szereg jest zbieżny, więc z twierdzenia Cauchy ego 5..6 istnieje N N takie, że dla m l N mamy m Zatem m m < ε. n=l n=l n=l < ε. To, wraz z twierdzeniem Cauchy ego daje zbieżność szeregu. Ponadto mamy m m, więc przechodząc do granicy m dostajemy. To kończy dowód. Z twierdzenia 5.3.2 dostajemy natychmiast Twierdzenie 5.5.2. (kryterium porównawcze zbieżności bezwzględnej szeregów). Niech, b n będą szeregami liczbowymi oraz N N. Jeśli b n dl N i szereg b n jest zbieżny, to szereg Twierdzenie 5.5.3. (kryterium d Alemberta). Niech jest zbieżny bezwzględnie. będzie szeregiem liczbowym takim, że 0 dl N. (a) Jeśli lim sup + a n <, to szereg jest zbieżny bezwzględnie. (b) Jeśli istnieje N N, że + dl N, to szereg jest rozbieżny. Dowód. Ad. (a) Niech g =lim sup + Zatem, z twierdzenia 4.8.7 istnieje N N, że +. Z założenia, istnieje r R, że g < r <. r dl N. Stąd mamy + r dl N.

5.5. ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA 0 Niech b n = a N r n N, n N. Wówczas a N b N, a N+ b N+ i indukcyjnie dostajemy b n dl N. Ponieważ szereg b n, jako geometryczny o ilorazie r (0, ) n=n jest zbieżny (patrz własność 5.2.6), więc z kryterium porównawczego zbieżności szeregów 5.5.2 dostajemy zbieżność bezwzględną szeregu. Ad. (b) Ponieważ a n+ dl N, więc indukcyjnie dostajemy 0 < an dla n N. Zatem zero nie może być granicą ciągu ( ). To, wraz z warunkiem koniecznym zbieżności szeregu 5..3 daje, rozbieżność szeregu. Z kryterium d Alemberta 5.5.3 i własności 4.8.2 dostajemy natychmiast Wniosek 5.5.4. (kryterium d Alemberta). Niech będzie szeregiem liczbowym takim, że 0 dl N oraz niech istnieje granica g = lim +. (a) Jeśli g <, to szereg jest zbieżny bezwzględnie. (b) Jeśli g >, to szereg jest rozbieżny. Uwaga 5.5.5. W twierdzeniu 5.5.3(b) warunku + nie można zastąpić przez lim sup + a n >. Pokażemy, że z warunku lim sup + a n > nie wynika rozbieżność szeregu. Rozważmy ciąg =, gdy n jest liczbą nieparzystą oraz a 2 n n = 4, gdy n jest liczbą 2 n parzystą. Wówczas 4 dl N, więc z własności 5.2.6 i kryterium porównawczego 2 n zbieżności szeregów 5.5.2 dostajemy zbieżność szeregu. Z drugiej strony lim sup + a n = 2. Istotnie, + = 2, gdy n jest nieparzyste oraz + =, gdy n jest parzyste. Zatem 2 jest granicą częściową ciągu ( ) a 8 n+ oraz dla każdego a > 2 zbiór { } n N : + > a jest skończony, jako zbiór pusty. Stąd i z twierdzenia 4.8.7 mamy lim sup + a n = 2. Twierdzenie 5.5.6. (kryterium Cauchy ego). Niech będzie szeregiem liczbowym oraz niech g =lim sup. n (a) Jeśli g <, to szereg jest zbieżny bezwzględnie. (b) Jeśli g >, to szereg n jest rozbieżny. Ponadto, jeśli dlieskończenie wielu n N, to szereg jest rozbieżny. n Dowód. Ad. (a) Niech g =lim sup. Ponieważ g <, więc istnieje r R, że g < r <. Zatem, z twierdzenia 4.8.7 istnieje N N, że n r dl N. Zatem r n dl N.

02 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Ponieważ r (0, ), więc z własności 5.2.6, szereg n=n r n jest zbieżny. Stąd i z kryterium porównawczego zbieżności szeregów 5.5.2 dostajemy zbieżność szeregu. n Ad. (b) Jeśli dlieskończenie wielu n N, to dlieskoćzenie wielu n N. Zatem szereg nie spełnia warunku koniecznego zbieżności szeregów n 5..3, więc jest to szereg rozbieżny. Jeśli lim sup >, to dlieskończenie wielu n n N zachodzi, więc z poprzedniej części mamy rozbieżność szeregu. Z kryterium Cauchy ego 5.5.6 i własności 4.8.2 dostajemy natychmiast Wniosek 5.5.7. (kryterium Cauchy ego). Niech będzie szeregiem liczbowym n oraz niech istnieje granica g = lim. (a) Jeśli g <, to szereg jest zbieżny bezwzględnie. (b) Jeśli g >, to szereg jest rozbieżny. Uwaga 5.5.8. Rozważmy szereg harmoniczny = lim + = oraz lim sup, gdzie =, α R, n N. n α n n =, więc Wówczas lim sup + a n = lim kryteria d Alemberta i Cauchy ego nie rozstrzygają zbieżności szeregu α > szereg ten jest zbieżny, dla α zaś rozbieżny (patrz wniosek 5.3.7).. Jednak dla Uwaga 5.5.9. Niech ( ) n N będzie ciągiem takim, że 0 dl N. Można udowodnić, że lim sup n lim sup a n+, zatem z warunku (a) kryterium d Alemberta wynika warunek (a) kryterium Cauchy ego. 5.6 Łączność wyrazów szeregu liczbowego W szeregu liczbowym zbieżnym możemy kolejne wyrazy dowolnie łączyć w grupy. Mianowicie mamy Twierdzenie 5.6.. (prawo łączności dla szeregów). Niech będzie szeregiem zbieżnym, (n k ) k= ściśle rosnącym ciągiem liczb całkowitych, gdzie n = 0 oraz niech c k = n k+ a j dla k N. Wówczas szereg c k jest zbieżny i c k =. Ponadto, j=n k + jeśli szereg k= jest zbieżny bezwzględnie, to szereg k= k= c k jest zbieżny bezwzględnie. Dowód. Oznaczając przez (s n ) i (t n ) odpowiednio ciągi sum częściowych szeregów i c k, mamy t k = s nk+ dla k N. Zatem z własności 5..2 dostajemy k=

5.7. ZBIEŻNOŚĆ BEZWARUNKOWA 03 pierwszą część tezy. Druga część tezy wynika z nierówności oraz tego, że ciąg k j= k j= c j n k+ j= a j j= a j c j, k =, 2,... jest rosnący (patrz twierdzenie 4.2.8). Uwaga 5.6.2. Bez założenia zbieżności szeregu, twierdzenie 5.6. nie jest prawdziwe. Mianowicie szereg ( ) n jest rozbieżny. Łącząc po jednym wyrazie dostajemy, więc szereg rozbieżny lecz po złączeniu po dwa wyrazy dostajemy (( ) 2k + ( ) 2k ) = 0 oraz + (( ) 2k + ( ) 2k+ ) =. k= k= 5.7 Zbieżność bezwarunkowa W punkcie 5.6 pokazaliśmy, że w każdym szeregu zbieżnym można dowolnie łączyć kolejne wyrazy i uzyskamy szereg zbieżny. W tym punkcie pokażemy, że zbieżność szeregu na ogół zależy od porządku jego wyrazów. Jest to, więc sytuacja odmienna od zbieżności ciągu, gdzie zmiana porządku wyrazów nie wpływa zbieżność (patrz własność 4.2.5). Definicja zbieżności bezwarunkowej szeregu. Mówimy, że szereg liczbowy jest zbieżny bezwarunkowo, gdy dla każdej bijekcji σ : N N szereg a σ(n) jest zbieżny. Jeśli szereg jest zbieżny lecz nie jest zbieżny bezwarunkowo, to mówimy, że jest on zbieżny warunkowo. Lemat 5.7.. Niech będzie szeregiem zbieżnym. Jeśli 0 dla wszystkich n N lub 0 dla wszystkich n N, to szereg jest zbieżny bezwarunkowo. Ponadto dla każdej bijekcji σ : N N mamy a σ(n) =. Dowód. Rozważymy przypadek 0 dl N. Przypadek 0 dl N rozważa się analogicznie. Niech s =. Weźmy dowolną bijekcję σ : N N. Oznaczmy przez (s n ), (t n ) ciągi sum częściowych odpowiednio szeregów, a σ(n). Ponieważ 0 dl N, więc ciągi (s n ), (t n ) są rosnące. Oznaczając N n = max{σ(k) : k N, k n} dla n N, mamy n N n t n = a σ(j) a j = s Nn s. j= j= W konsekwencji ciąg (t n ), jako rosnący i ograniczony z góry, jest zbieżny oraz a σ(n) s =. Analogicznie dostajemy s = = a σ(σ (n)) a σ(n). Zatem a σ(n) = s.

04 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Twierdzenie 5.7.2. Niech γ n = min{0, } dl N. Szereg gdy szeregi β n, Dowód. Jeśli szeregi γ n są zbieżne. β n i będzie szeregiem liczbowym oraz β n = max{0, }, jest zbieżny bezwarunkowo wtedy i tylko wtedy, γ n są zbieżne, to z lematu 5.7. dostajemy, że są one zbieżne bezwarunkowo. Ponieważ = β n + γ n dl N, więc szereg bezwarunkowo, gdyż dla każdej bijekcji σ : N N szereg zbieżnych β σ(n), Załóżmy, że szereg γ σ(n). jest zbieżny a σ(n) jest sumą szeregów jest zbieżny bezwarunkowo. Wtedy jest on zbieżny i z twierdzenia 5..3 mamy lim = 0, więc lim γ n = 0. Stąd, istnieje liczba M > 0, że (5.4) M < γ n 0 dl N. Przypuśćmy, że co najmniej jeden z szeregów β n, γ n jest rozbieżny. Niech (s n ), (b n ), (g n ) będą ciągami sum częściowych odpowiednio szeregów γ n. Wtedy ciąg (b n ) jest rosnący, ciąg (g n ) jest zaś malejący. Zatem, wobec twierdzenia 5.3. mamy lim b n = + lub lim g n =. Ponieważ s n = b n + g n dla n N i ciąg (s n ) jest zbieżny, więc musi być (5.5) lim b n = + oraz lim g n =. Oznaczmy X = {n N : > 0}, Y = {n N : 0}. Z (5.5) i określenia zbiorów X, Y mamy, że (5.6) X i Y są zbiorami przeliczalnymi oraz X Y =, X Y = N. Ponadto z (5.5) istnieje ściśle rosnący ciąg liczb całkowitych (n k ) k=0, gdzie n 0 = 0, że n k < n n k n X > 2M dla wszystkich k N. Zatem X k = {n X : n k < n n k }, k N jest rodziną zbiorów skończonych i niepustych takich, że (i) X k X j = dla k j, (ii) X = k N X k, (iii) > 2M dla k N. n X k, β n,

5.7. ZBIEŻNOŚĆ BEZWARUNKOWA 05 Oznaczmy przez m k N ilość elementów zbioru X k. Niech Niech N = oraz k N k = k+ m j dla k 2. j= V k = {n N : N k + n N k + m k }, k N. X k i V k są zbiorami m k elementowymi, więc istnieje bijekcja ϕ k : V k X k dla k N. Niech V = k N V k. Oczywiście zbiory V k są parami rozłączne. Z powyższego, (i) oraz (ii) dostajemy, że funkcja ϕ : V X określona wzorem ϕ(n) = ϕ k (n), gdy n V k, jest bijekcją. Niech W = N \ V. Wtedy W = {N k : k N}. Ponieważ W, Y są zbiorami przeliczalnymi, więc istnieje bijekcja ξ : W Y. Niech σ : N N będzie określona wzorem σ(n) = ϕ(n), gdy n V oraz σ(n) = ξ(n), gdy n W. Ponieważ W V =, więc σ jest poprawnie określona. Ponadto z określenia ϕ i ξ mamy σ(v ) = X, σ(w ) = Y, więc z (5.6) mamy, że σ jest bijekcją N na N. Rozważmy szereg a σ(n). Wtedy, wobec (5.4) i (iii), m k +N k a σ(n) = n V... V k a σ(n) + n W n m k + N k a σ(n) = k k a ϕj (n)+ j=n V j j= a ξ(nj ) k2m km = km. Ponieważ lim km = +, więc sumy częściowe szeregu a σ(n) nie mają granicy skończonej. To przeczy zbieżności bezwarunkowej szeregu i kończy dowód. k Twierdzenie 5.7.3. (o zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej szeregu). Szereg liczbowy jest zbieżny bezwarunkowo wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbieżny bezwzględnie. Dowód. Niech β n = max{0, }, γ n = min{0, } dl N. Załóżmy, że szereg jest zbieżny bezwarunkowo. Wówczas z twierdzenia 5.7.2 mamy, że szeregi β n, γ n są zbieżne. W szczególności szereg Ponieważ = β n γ n dl N, więc szereg zbieżnych. Załóżmy teraz, że szereg ( γ n ) jest zbieżny. jest zbieżny, jako suma szeregów jest zbieżny bezwzględnie. Ponieważ 0 β n, 0 γ n dl N, więc z kryterium porównawczego zbieżności szeregów 5.3.2 dostajemy zbieżność szeregów β n, ( γ n ). W szczególności szereg γ n jest zbieżny. Reasumując z twierdzenia 5.7.2 dostajemy zbieżność bezwarunkową szeregu.

06 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Twierdzenie 5.7.4. Jeśli szereg jest zbieżny bezwarunkowo, to dla dowolnej bijekcji σ : N N zachodzi a σ(n) =. Dowód. Niech β n = max{0, }, γ n = min{0, } dl N. Z założenia i twierdzenia 5.7.2 mamy, że szeregi β n, są zbieżne, pierwszy z nich ma wyrazy nieujemne, drugi niedodatnie. Stąd i z lematu 5.7. dostajemy, że szeregi te są zbieżne bezwarunkowo. Ponadto dla dowolnej bijekcji σ : N N mamy β σ(n) = β n oraz γ σ(n) = To daje tezę. γ n. W szczególności γ n a σ(n) = β σ(n) + γ σ(n) = β n + γ n =. Z twierdzenia 5.7.3 dostajemy natychmiast Wniosek 5.7.5. Szereg szereg zbieżny lecz nie jest on zbieżny bezwzględnie. jest warunkowo zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest to Uwaga 5.7.6. Podobnie jak w dowodzie twierdzenia 5.7.2 można pokazać, że jeśli szereg jest zbieżny warunkowo oraz s R, to istnieje bijekcja σ : N N taka, że szereg a σ(n) jest zbieżny do s. ZADANIA Zadanie 5.7.. Niech będzie szeregiem liczbowym. Wówczas szereg ten jest zbieżny bezwarunkowo wtedy i tylko wtedy, gdy spełniastępujący warunek Cauchy ego: dla każdego ε > 0 istnieje zbiór skończony H N, że dla każdego niepustego zbioru skończonego J N \ H zachodzi < ε. n J Zadanie 5.7.2. Niech będzie szeregiem liczbowym. Wówczas szereg ten jest zbieżny bezwarunkowo do s R wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 istnieje zbiór skończony H N, że dla każdego niepustego zbioru skończonego J N takiego, że H J zachodzi s < ε. n J 5.8 Mnożenie szeregów Definicja iloczynu szeregów w sensie Cauchy ego. Niech, b n będą szeregami liczbowymi. Iloczynem w sensie Cauchy ego tych szeregów nazywamy szereg gdzie n c n = a j b n j, n = 0,, 2,...( 3 ). j=0 c n,

5.8. MNOŻENIE SZEREGÓW 07 Uwaga 5.8.. Iloczyn w sensie Cauchy ego szeregów jest przemienny. Twierdzenie 5.8.2. (Mertensa). Jeśli szeregi, b n są zbieżne i jeśli przynajmniej jeden z tych szeregów jest zbieżny bezwzględnie to iloczyn w sensie Cauchy ego tych szeregów jest zbieżny oraz c n = b n. c n Jeśli szeregi zbieżny., b n są bezwzględnie zbieżne, to szereg c n jest bezwzględnie Dowód. Niech A =, B = b n oraz A k dla k Z, k 0. Niech na przykład szereg K =. Oczywiście K 0. Pokażemy, że (5.7) lim k (C k A k B) = 0. Zauważmy najpierw, że = k, B k = k b n, C k = k c n będzie zbieżny bezwzględnie oraz k n k a j b n j = a j j=0 j=0 k b n j dla k 0. n=j Istotnie, dla ustalonego a j, 0 j k, suma b n j jest sumą wszystkich b n j występujących w k n j=0 k n=j a j b n j w iloczynie z a j. To daje zapowiedzianą uwagę. Stąd mamy k k n k C k = c n = a j b n j = a j j=0 j=0 k k b n j = n=j j=0 k b n = a j B k j, j=0 k j a j więc k k k (5.8) C k A k B = a j B k j a j B = a j (B k j B). j=0 j=0 j=0 Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ lim (B s B) = 0, więc istnieje N N, że dla każdego s ε s > N zachodzi B s B < (oczywiście K + > 0). Weźmy dowolne k > N 2(K+). Wówczas dla 0 j k N mamy k j > N, zatem z powyższego, k N k N (5.9) a j (B k j B) k N ε a j B k j B a j 2(K + ) < ε 2. j=0 j=0 j=0

08 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Oczywiście ciąg (B s B) s=0, jako zbieżny jest ograniczony. Niech więc M > 0 będzie taką liczbą, że B s B < M, dla s = 0,,.... Z warunku koniecznego zbieżności szeregów ε mamy lim a j = 0. Zatem istnieje N 2 > 0, że dla każdego j > N 2 zachodzi a j <. j 2M(N +) Weźmy dowolne k > N 2 + N. Wówczas dla j k N mamy j N 2, więc k k k a j (B k j B) a j B k j B j=k N j=k N j=k N Stąd, z (5.8) i (5.9), dla k > N 2 + N dostajemy C k A k B Reasumując mamy (5.7). Ponieważ k N j=0 ε 2M(N + ) M ε 2. a j (B k j B) + k a j (B k j B) < ε j=k N 2 + ε 2 = ε. 0 C k AB = C k A k B + A k B AB C k A k B + A k B AB oraz lim A k B = AB, więc z (5.7) i twierdzenia o trzech ciągach mamy lim C k = AB. k k To daje pierwszą część tezy. Udowodnimy drugą część tezy. Załóżmy, że szeregi i b n są zbieżne. Biorąc d n = n k=0 a k b n k, z pierwszej części twierdzenia dostajemy, że szereg Ponieważ c n n szeregu k=0 d n jest zbieżny. a k b n k = d n, więc z kryterium porównawczego dostajemy, zbieżność c n. To daje drugą część tezy i kończy dowód. Uwaga 5.8.3. W twierdzeniu Mertensa 5.8.2, założenia że przynajmniej jeden z szeregów, b n jest zbieżny bezwzględnie, nie można opuścić. Biorąc mianowicie = b n = ( ) n n+, n = 0,,... mamy, że szeregi Cauchy ego szereg rozbieżny., c n tych szeregów mamy c n = n Uwaga 5.8.4. Mertens pokazał, że jeśli szeregi Cauchy ego c n tych szeregów jest zbieżny, to j=0 b n są zbieżne warunkowo. Dla iloczynu j+ n j+ n, c n = b n. j=0 n+ =, więc jest to b n są zbieżne i iloczyn w sensie

5.9. SZEREGI POTĘGOWE 09 5.9 Szeregi potęgowe Definicja szeregu potęgowego. Niech ( ) będzie ciągiem liczbowym oraz x 0 R. Szereg postaci (x x 0 ) n, gdzie x R, nazywamy szeregiem potęgowym o środku x 0 lub szeregiem Taylora o środku x 0. Przyjmujemy tutaj 0 0 =. Liczby, n = 0,,... nazywamy współczynnikami szeregu potęgowego. Twierdzenie 5.9.. (Cauchy ego-hadamarda). Niech ( ) będzie ciągiem liczbowym, ϱ =lim sup oraz n 0 dla ϱ = +, (5.0) R = /ϱ dla 0 < ϱ < +, + dla ϱ = 0. Wówczas szereg potęgowy (x x 0 ) n o środku x 0 R jest zbieżny bezwzględnie dla x R takich, że x x 0 < R oraz rozbieżny dla x R takich, że x x 0 > R. Dowód. Z wniosku 4.8.5(a) dla x x 0 mamy lim sup n (x x 0 ) n = ϱ x x 0, gdzie przyjmujemy ϱ x x 0 = +, gdy ϱ = +. Zatem z kryterium Cauchy ego zbieżności szeregów 5.5.6 oraz z (5.0) dostajemy tezę. Definicja promienia zbieżności szeregu potęgowego. Niech (x x 0 ) n będzie szeregiem potęgowym. Element R R {+ } taki, że powyższy szereg potęgowy jest zbieżny dla x R takich, że x x 0 < R oraz rozbieżny dla x x 0 > R nazywamy promieniem zbieżności tego szeregu potęgowego. Zbiór {x R : x x 0 < R} nazywamy przedziałem zbieżności szeregu potęgowego. Uwaga 5.9.2. Jeśli R jest promieniem zbieżności szeregu potęgowego (x x 0 ) n, to wobec twierdzenia 5.9., szereg ten jest bezwzględnie zbieżny w przedziale zbieżności. Dla x R takich, że x x 0 = R, czyli x = x 0 + R oraz x = x 0 R, szereg ten może być zbieżny lub rozbieżny. Jeśli R = 0, to przedział zbieżności tego szeregu jest zbiorem pustym, szereg jest jednak zbieżny dla x = x 0. Wniosek 5.9.3. Niech ( ) będzie ciągiem liczbowym takim, że 0 dl Z, a n 0 oraz niech istnieje granica η = lim n+. Wówczas promień zbieżności szeregu potęgowego (x x 0 ) n wyraża się wzorem 0 dla η = +, (5.) R = /η dla 0 < η < +, + dla η = 0.

0 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Dowód. Z kryterium d Alemberta (wniosek 5.5.4) dostajemy, że szereg potęgowy (x x 0 ) n jest zbieżny bezwzględnie dla x R takich, że η x x 0 < oraz rozbieżny dla x R takich, że η x x 0 >, gdzie przyjmujemy η x x 0 = +, gdy η = + oraz x x 0 > 0. Stąd dostajemy (5.). Dla ilustracji, przedstawimy najważniejszą funkcję w analizie x e x w postaci sumy szeregu potęgowego. Zacznijmy od lematu. Lemat 5.9.4. Szereg potęgowy (5.2) (x + y) n n! x n n! jest zbieżny bezwzględnie w R. Ponadto = x n n! y n n! dla x, y R. Dowód. Ponieważ lim (n+)! = 0, więc zbieżność bezwzględna szeregu x n dla n! n! x R wynika z wniosku 5.9.3. Weźmy dowolne x, y R. Niech c n będzie iloczynem w sensie Cauchy ego szeregów x n oraz y n. Wówczas, ze wzoru dwumiennego n! n! Newtona, dl Z, n 0 mamy c n = n j=0 x j y n j j! (n j)! = n! n j=0 ( ) n x j y n j = j (x + y)n. n! To, wraz z twierdzeniem Mertensa 5.8.2 daje (5.2) i kończy dowód. Twierdzenie 5.9.5. Dla każdego x R zachodzi e x = x n n!. Dowód. Dla x = 0 teza jest oczywista. Rozważmy przypadek x > 0. Niech s n = n k=0 x k ( k!, t n = + n) x n, n N. Ponieważ x > 0, więc analogicznie jak w dowodzie twierdzenia 4.5.2 dla każdego n N, t n = ( + x ) n n = n k=0 ( ) n x k k n = + n k k= n(n ) (n k + ) k! x k n k + n k= x k k! = s n. Z wniosku 4.5.4(b) mamy e x = lim t n, więc z powyższego, uwzględniając zbieżność szeregu x n (patrz lemat 5.9.4), dostajemy n! (5.3) e x x n n!.

5.9. SZEREGI POTĘGOWE t n = Weźmy dowolne m N. Wówczas, wobec założenia x > 0, dl N, n m mamy n k=0 ( ) n x k k n = + n k k= n(n ) (n k + ) x k m n k k! + k= n(n ) (n k + ) x k n k k!. Ponieważ dla każdego k N zachodzi lim powyższym do granicy przy n mamy n(n ) (n k+) n k =, więc przechodząc w e x + m k= x k k! = s m. Przechodząc teraz do granicy, przy m, dostajemy e x x n. To, wraz z (5.3) n! daje tezę w przypadku x > 0. Dla x < 0 mamy x > 0, więc z lematu 5.9.4 i powyżej udowodnionego przypadku, = (x x) n n! = ( x) n n! x n n! = e x x n n!. Stąd wynika teza w przypadku x < 0. To kończy dowód. Z twierdzenia 5.9.5 dostajemy natychmiast Wniosek 5.9.6. e =. n! Wniosek 5.9.7. Dla każdego x R zachodzi (5.4) e x + x. Dowód. Z twierdzenia 5.9.5 mamy e x x = szeregów 5.6., (5.5) e x x = ( x 2n (2n)! + n=2 ) x2n+. (2n + )! x n, więc z prawa łączności dla n! Zatem mamy (5.4) dla x 0. Dla < x < 0, (5.4) wynika z (5.5), gdyż wtedy x 2n + x2n+ > 0. Dla x, (5.4) wynika z nierówności (2n)! (2n+)! ex > 0 dla x R. ZADANIA Zadanie 5.9.. Liczba e jest niewymierna. Wsk. Udowodnić, że 0 < e n k=0 k! < n!n dl N.

2 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE 5.0 Funkcje trygonometryczne W tym punkcie wprowadzimy funkcje trygonometryczne. Zacznijmy od własności. Własność 5.0.. Dla każdego x R szeregi (5.6) ( ) n (2n + )! x2n+, ( ) n (2n)! x2n są zbieżne bezwzględnie. Dowód. Dla x = 0 zbieżność szeregów jest oczywista. Dla x 0, stosując kryterium d Alemberta zbieżności szeregów (wniosek 5.5.4), łatwo dostajemy tezę. Uwaga 5.0.2. Szeregi w (5.6) traktujemy również jako szeregi potęgowe, gdzie przyjmujemy współczynniki a 2n+ = i a 2n = 0 dl N w pierwszym szeregu oraz ( )n (2n+)! b 2n+ = 0 i b 2n = ( )n dl N w drugim. Bowiem stosując prawo łączności, można (2n)! łatwo pokazać, że opuszczenie wyrazów zerowych nie wpływa zbieżność szeregu. Definicja funkcji sinus i cosinus. Dla x R kładziemy sin x = ( ) n (2n + )! x2n+ oraz cos x = ( ) n (2n)! x2n i nazywamy odpowiednio sinusem x oraz cosinusem x. Funkcje x sin x oraz x cos x nazywamy odpowiednio funkcją sinus i funkcją cosinus i odpowiednio oznaczamy sin, cos. Twierdzenie 5.0.3. Niech x, y R. Wówczas mamy (a) cos 0 =, sin 0 = 0, (b) cos( x) = cos x, sin( x) = sin x, (c) cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y, cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y, (d) sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, sin(x y) = sin x cos y cos x sin y, (e) sin 2 x + cos 2 x =. Dowód. Części (a) i (b) wynikaję bezpośrednio z definicji. Udowodnimy (c). Rozważmy iloczyny w sensie Cauchy ego c n = ( ) n (2n)! x2n ( ) n (2n)! y2n, d n = ( ) n (2n + )! x2n+ ( ) n (2n + )! y2n+. W myśl własności 5.0. i twierdzenie Mertensa 5.8.2, wszystkie szeregi w powyższym wzorze są zbieżne bezwzględnie. Ponadto dl Z, n 0 mamy c n = n k=0 ( ) k ( ) n k (2k)! x2k (2(n k))! y2(n k) = ( )n (2n)! n k=0 ( ) 2n x 2k y 2n 2k, 2k

5.0. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE 3 więc oraz c n+ = d n = n k=0 ( )n+ (2(n + ))! n+ k=0 ( ) 2(n + ) x 2k y 2(n+) 2k 2k ( ) k (2k + )! x2k+ ( ) n k (2(n k) + )! y2(n k)+ = ( )n+ (2(n + ))! n k=0 Stąd mamy c 0 = oraz ze wzoru dwumiennego Newtona, c n+ + d n = Reasumując ( ) 2(n + ) x 2k+ y 2(n+) (2k+). 2k + ( )n+ (2(n + ))! (x y)2(n+), c n+ d n = ( )n+ (2(n + ))! (x + y)2(n+). oraz cos(x + y) = c 0 + (c n+ d n ) = c n d n = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = c 0 + (c n+ + d n ) = c n + d n = cos x cos y + sin x sin y To daje (c). Podobnie dowodzimy (d). Mianowicie biorąc iloczyny w sensie Cauchy ego f n = ( ) n (2n + )! x2n+ ( ) n (2n)! y2n, h n = ( ) n (2n)! x2n ( ) n (2n + )! y2n+ dostajemy łatwo f n + h n = ( )n (2n + )! (x + y)2n+, f n h n = ( )n (2n + )! (x y)2n+. Stąd otrzymujemy (d). Część (e) wynikatychmiast z drugiej części (c), gdy przyjmiemy y = x. Wniosek 5.0.4. Niech x, y R. Wówczas (a) sin x, cos x, (b) sin 2x = 2 sin x cos x, cos 2x = cos 2 x sin 2 x, (c) (d) cos x + cos y = 2 cos x+y sin x + sin y = 2 sin x+y cos x y 2 2 cos x y 2 2, cos x cos y = 2 sin x y 2 sin x+y 2,, sin x sin y = 2 sin x y 2 cos x+y 2.

4 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Dowód. (a) i (b) wynikają natychmiast z części (e) i (c), (d) twierdzenia 5.0.3. Kładąc u = x+y oraz v = x y mamy u + v = x oraz u v = y. Z części (c) twierdzenia 2 2 5.0.3 mamy cos(u + v) = cos u cos v sin u sin v oraz cos(u v) = cos u cos v + sin u sin v. Dodając stronami te równości dostajemy pierwszą część (c), odejmując zaś drugą równość od pierwszej dostajemy drugą część (c). Analogicznie dowodzimy (d). Twierdzenie 5.0.5. Zachodzą następujące nierówności: (5.7) x x3 6 < sin x < x dla x (0, ], (5.8) x cos x < sin x dla x (0, ]. Dowód. Udowodnimy (5.7). Ponieważ sin x = x x3 6 + n=2 ( ) n (2n + )! x2n+ dla x R, więc łącząc w tym szeregu każdy wyraz o wskaźniku parzystym z następnym wyrazem, w myśl twierdzenia 5.6. mamy (5.9) sin x = x x3 6 + gdyż dla x (0, ] oraz n N mamy Z drugiej strony, ( ) x 4n+ (4n + )! x4n+3 > x x3 (4n + 3)! 6 x 4n+ ( (4n + )! x4n+3 (4n + 3)! = x4n+ (4n + )! x 2 ) (4n + 3)! sin x = x+ dla x (0, ], ( ) x 4n+ (4n + )! > 0. (4n + 3)! ( ) n (2n + )! x2n+, więc łącząc każdy wyraz o wskaźniku nieparzystym z następnym wyrazem, mamy ( ) (5.20) sin x = x+ x4n (4n )! + x4n+ (4n + )! gdyż dla x (0, ] oraz n N mamy < x dla x (0, ], ( x4n (4n )! + x4n+ (4n + )! = x4n (4n )! + x 2 ) (4n + )!

5.0. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE 5 Reasumując (5.9) i (5.20) dają (5.7). ) x ( 4n (4n )! + < 0 (4n + )! Podobnie dowodzimy (5.8). Mianowicie dla x R mamy x cos x = ( ) n (2n)! x2n+ = x+ ( ) x4n (4n 2)! + x4n+. (4n)! Zatem, wobec (5.20), wystarczy pokazać, że dla x (0, ] oraz n N zachodzi: (5.2) x4n (4n 2)! + x4n+ (4n)! < x4n (4n )! + x4n+ (4n + )!. Ponieważ 2 < (4n ) 2, więc 4n + < 6n 2 4n, zatem 4n + < 4n(4n ) i w konsekwencji + <. Stąd (4n )! (4n)! (4n 2)! więc dla x (0, ] dostajemy (4n 2)! + (4n)! < (4n )!, x4n (4n 2)! + x4n+ (4n)! x4n (4n 2)! + x4n (4n)! < x4n (4n )! < x4n (4n )! + x4n+ (4n + )!. To daje (5.2) i w konsekwencji (5.8). To kończy dowód. Wniosek 5.0.6. Jeśli ciąg ( ) n N jest zbieżny do a R, to (a) (b) (c) lim sin = sin a, lim cos = cos a, lim sin =, gdy 0 dl N oraz a = 0. Dowód. Zauważmy najpierw, że jeśli ciąg (b n ) n N jest zbieżny do 0, to (5.22) lim sin b n = 0. Istotnie, ponieważ lim b n = 0, więc istnieje N N, że dl > N mamy b n <. Jeśli b n = 0, to sin b n = 0. Jeśli n > N oraz b n 0, to 0 < b n < i z twierdzenia 5.0.5(5.7) mamy b n bn 3 6 < sin b n < b n. W konsekwencji b n b n 3 6 sin b n b n dl > N. Stąd i z twierdzenia o trzech ciągach dostajemy lim sin b n = 0, a więc lim sin b n = 0. Z twierdzenia 5.0.3(b) mamy sin b n = sin b n, więc z poprzedniego, lim sin b n = 0, co daje (5.22).

6 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Udowodnimy (a). Z wniosku 5.0.4(d) mamy sin sin a = 2 sin a 2 cos + a. 2 Ponadto ciąg ( ) a an a jest zbieżny do zera, więc z (5.22) mamy lim sin = 0. Ponieważ ciąg (cos an a ) 2 n N 2 2 n N jest ograniczony, więc z powyższego i własności 4.2.0 dostajemy lim (sin sin a) = 0. To daje (a). Ponieważ cos 2x = 2 sin 2 x, więc cos = 2 sin 2 2 i z (a) dostajemy (b). Udowodnimy (c). Ponieważ 0 dl N oraz lim = 0, więc istnieje N N, że dl > N zachodzi 0 < <. Z twierdzenia 5.0.5 dla x (0, ] dostajemy cos x < sin x <, więc dl > N mamy x cos < sin Zatem z (b) i twierdzenia o trzech ciągach wynika, że lim =. Ponieważ z twierdzenia 5.0.3(b) mamy = sin an, więc udowodniliśmy (c). sin an Wniosek 5.0.7. Zachodzą następujące nierówności: <. sin (5.23) 0 < cos x, 0 < sin x dla x (0, ]. Ponadto cos 2 < 0. Dowód. Z twierdzenia 5.6. mamy cos x = x (0, ] zachodzi ( x 4n ) x4n+2 (4n)! (4n+2)! dla x R oraz dla x 4n ( (4n)! x4n+2 (4n + 2)! = x4n (4n)! x 2 ) ( ) x 4n (4n + 2)! (4n)! > 0, (4n + 2)! zatem otrzymujemy cos x > 0 dla x (0, ]. Stąd i z twierdzenia 5.0.5(5.8) mamy 0 < x cos x < sin x dla x (0, ], więc udowodniliśmy (5.23). Ponadto z twierdzenia 5.0.5(5.7) wynika, że sin > 5. Stąd, z wniosku 5.0.4(b) 6 oraz twierdzenia 5.0.3(e) mamy To daje tezę i kończy dowód. cos 2 = 2 sin 2 < 2 25 36 = 4 36 < 0. W świetle wniosku 5.0.5 mamy, że funkcje sin i cos nie znokają tożsamościowo. Zatem następująca definicja jest poprawna.

5.. ROZWINIĘCIE DZIESIĘTNE LICZBY RZECZYWISTEJ 7 Definicja funkcji tangens i cotangens. Niech x R. Liczbę sin x, gdy cos x 0 nazywamy tangensem x i oznaczamy tg x. cos x Liczbę cos x, gdy sin x 0 nazywamy cotangensem x i oznaczamy ctg x. sin x Funkcje x tg x określoną w zbiorze {x R : cos x 0} nazywamy funkcją tangens i oznaczamy tg. Funkcję x ctg x określoną w zbiorze {x R : sin x 0} nazywamy funkcją cotangens i oznaczamy ctg. Z wniosku 5.0.6 dostajemy natychmiast Wniosek 5.0.8. Jeśli cos x 0, to x jest punktem skupienia dziedziny funkcji tg oraz jeśli sin x 0, to x jest punktem skupienia dziedziny funkcji ctg. Z wniosku 5.0.6 i twierdzenia 4.2.9(e) mamy Wniosek 5.0.9. Niech ciąg ( ) n N będzie zbieżny do a R. (a) Jeśli cos 0 oraz cos a 0, to lim tg = tg a, (b) Jeśli sin 0 oraz sin a 0, to lim ctg = ctg a. 5. Rozwinięcie dziesiętne liczby rzeczywistej Uwaga 5... Z własności 2.4.3(a) dostajemy, że {k Z : 0 k < 0} = {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Lemat 5..2. Niech x R. Istnieje dokładnie jeden ciąg (v n ) liczb całkowitych taki, że (5.24) v n 0 n x < v n + 0 n dl = 0,,... Wtedy v 0 = [x] ( 4 ) i oznaczając α n = v n 0v n dl =, 2,... mamy (5.25) α n {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dl =, 2,..., przy czym zbiór {n N : α n 9} jest nieskończony i zachodzi (5.26) x = [x]+ 4 [x] oznacza całość z liczby x. α n 0 n.

8 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Dowód. Przyjmując v n = [x0 n ], n = 0,,..., dostajemy (5.24). Jednoznaczność ciągu (v n ) wynika z określenia całości z liczby. Wtedy z (5.24) dl = 0,,... mamy 0v n x, 0n+ więc 0v n v n+, czyli 0 v n+ 0v n. Ponadto v n+ 0 x < v n + = 0v n + 0, n+ 0 n 0 n+ zatem v n+ < 0v n + 0 dl = 0,,..., co daje (5.25). Z (5.24) mamy x 0 < v n x dl = 0,,..., n 0n więc z twierdzenia o trzech ciągach 4.2.6 dostajemy x = lim v n 0 n = v 0+ n k= ( vk 0 v ) k = [x]+ k 0 k n k= v n. Stąd wynika (5.26), gdyż 0 n α k 0 k dl =, 2,... Zauważmy, że zbiór {n N : α n 9} jest nieskończony. Istotnie, w przeciwnym razie oznaczając przez s liczbę 0, gdy α n = 9 dl N oraz s = max{n N : α n 9}, gdy nie wszystkie liczby α n są równe 9, mamy Zatem x = [x] +, gdy s = 0 oraz k=s+ α k 0 = k 0. s x = [x]+ s k= α k 0 +, gdy s > 0. k 0s Przypadek x = [x]+ przeczy określeniu całości z liczby. W drugim przypadku zaś, mamy x = ( ) s [x]0 s + α 0 s k 0 s k + α s +, k= więc v n = 0 n s ([x]0 s + s k= α k 0 s k + α s + ) dl s i α n = v n 0v n = 0 dl > s. To przeczy przypuszczeniu i kończy dowód. Definicja ciągu przybliżeń dziesiętnych liczby rzeczywistej. Niech x R oraz (v n ) będzie ciągiem liczb całkowitych spełniających (5.24). Ciąg (w n ) określony wzorem w n = vn 0 n nazywamy ciągiem przybliżeń dziesiętnych liczby x.

5.. ROZWINIĘCIE DZIESIĘTNE LICZBY RZECZYWISTEJ 9 Lemat 5..3. Niech c N. Istnieje dokładnie jeden ciąg (v n ) liczb całkowitych taki, że (5.27) v n 0 n c < (v n + )0 n dl = 0,,... Wtedy v 0 = c i oznaczając β n = v n 0v n+ dl = 0,,... mamy (5.28) β n {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dl = 0,,... Ponadto istnieje k Z, k 0, że 0 k c < 0 k+ i wtedy β k 0 oraz β n = 0 dl > k, przy czym k (5.29) c = β n 0 n Dowód. Przyjmując v n = [ c 0 n ], n = 0,,..., dostajemy (5.27). Jednoznaczność ciągu (v n ) wynika z określenia całości z liczby. Wtedy v 0 = c i z określenia ciągu (v n ) mamy 0v n+ 0 n v n 0 n c < (v n+ + )0 n+ dl = 0,,... Zatem 0v n+ v n oraz v n < 0v n+ + 0, co daje (5.28). Ponieważ c i lim więc istnieje k Z, k 0, że c c < 0 oraz 0 < < dl > k. 0k 0n c = 0, 0 n Stąd wynika, że v k 0 oraz v n = 0 dl > k i w konsekwencji β k = v k oraz β n = 0 dla n > k. Jeśli k = 0, to c = β 0, więc mamy (5.29). Jeśli k > 0, to c = v 0 = v k 0 k + co daje (5.29) i kończy dowód. k (v n 0v n+ )0 n = β k 0 k + k β n 0 n, Definicja rozwinięcia dziesiętnego liczby rzeczywistej. Niech x R, x 0. Przedstawienie (5.30) x = sgn (x) α n 0 n, gdzie k Z, k 0, α n {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dl = k, k +,... (przy czym α k 0, gdy x oraz k = 0 i α k = 0, gdy x < ), nazywamy rozwinięciem dziesiętnym liczby x i piszemy x = α k...α 0, α α 2..., gdy x > 0 oraz x = α k...α 0, α α 2..., gdy x < 0. Dodatkowo przyjmujemy 0 = 0, 0.... Rozwinięcie (5.30) nazywamy normalnym, gdy zbiór {n Z : n k α n 9} jest nieskończony.

20 ROZDZIAŁ 5. SZEREGI LICZBOWE Twierdzenie 5..4. Każda liczba rzeczywista posiada dokładnie jedno rozwinięcie dziesiętne normalne. Dowód. Niech x R. Wobec definicji rozwinięcia dziesiętnego, wystarczy rozważyć przypadek x > 0. Pokażemy najpierw, że liczba x ma rozwinięcie dziesiętne normalne. Niech c = [x]. Jeśli c = 0, to teza wynika z lematu 5..2. Jeśli c > 0 i x = c, to teza wynika z lematu 5..3. Jeśli c > 0 oraz x c, to przyjmując y = x c mamy x = c + y oraz 0 < y <, więc biorąc sumę rozwinięć dziesiętnych liczby y (patrz lemat 5..2) oraz liczby c (patrz lemat 5..3) dostajemy tezę. Pokażemy teraz jedyność rozwinięciormalnego. Niech x = α n oraz x = 0 n β n 0 n, gdzie α n, β n {0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dl k oraz zbiory (5.3) {n Z : n k α n 9}, {n Z : n k β n 9} będą nieskończone. Wystarczy pokazać, że α n = β n dl k. W tym celu zauważmy, że (5.32) s β n 0 n s Istotnie dla każdego s k mamy s β n 0 n s Analogicznie pokazujemy s α n 0 n x s s α n 0 n < dla s k. 0 s α n x, więc z założenia (5.3), 0 n β n 0 n s α n 0 n = n=s+ α n 0 < n 0. s α n 0 n < n=s+ 9 0 = n 0. s Reasumując mamy (5.32). Z (5.32) indukcyjnie dostajemy, że α n = β n dl k. To kończy dowód. Uwaga 5..5. Zastępując liczbę 0 w powyższych twierdzeniach przez dowolną liczbę naturalną większą od dostajemy analogiczne rozwinięcia liczb rzeczywistych.