POLITECHNIK OPOLSK INSTYTT TOMTYKI I INFORMTYKI LBORTORIM METROLOGII ELEKTRONICZNEJ. ROZKŁD SYGNŁÓW N HRMONICZNE oraz POMIR WSPÓŁCZYNNIK ZNIEKSZTŁCEŃ NIELINIOWYCH
8. WIDMO FORIER I POMIRY NPIĘĆ NIESINSOIODLNYCH. 8.. Wsęp 8... Podsawowe pojęcia. Przebieg okresowy ożey opisać rówaie x() = x( ± T) x() - wielkość fizycza zależa od czasu, T - okres przebiegu, x - warość chwilowa. Jeśli przebieg x() jes poday w posaci zapisu aeayczego, o jego warość średią wyzaczay za poocą zależości: x= T x()d. (8.) T Jeśli przebieg jes poday w forie wykresu lub oscylograu, o warość średią wyzaczay z zależości x = x - liczba rówych części a jakie dzieliy okres przebiegu, x - warość -ej rzędej wykresu Warość średia oże być dodaia lub ujea. Warość skuecza przebiegu okresowego jes zdefiiowaa: - dla zapisu w forie aeayczej = T T x ()d (8.) - dla wykresu lub oscylograu = x Warość skuecza jes zawsze dodaia. Warość aksyala (apliuda) - ajwiększa warość w ciągu okresu przebiegu bez składowej sałej. pliudy dodaia i ujea ogą być rówe co do warości lub róże. Warość iędzyszczyowa - bezwzględa warość różicy iędzy ajwiększą i ajiejszą warością fukcji x() w okresie, j. iędzy szczye doly i góry. Warość iędzyszczyowa jes zawsze dodaia. Składowa sała i składowa ziea przebiegu. Każdy przebieg periodyczy oża rozłożyć a dwie składowe: sałą i zieą. x T Rys.8.. Przebieg okresowy: x - warość chwilowa przebiegu - składowa sała przebiegu - składowa ziea przebiegu x = +
Moża udowodić zależość, że kwadra warości skueczej przebiegu periodyczego jes rówy suie kwadrau składowej sałej i kwadrau skueczej warości składowej zieej x = + Współczyik szczyu (apliudy): Ksz = dla siusoidy,4 (8.) Współczyik kszału : Kk = dla siusoidy, (8.4) Współczyik uśrediaia : Ku = dla siusoidy,57 (8.5) Współczyik odkszałceia : Kod = gdzie - warość skuecza pierwszej haroiczej. (8.6) Porówaie iekórych paraerów opisaych powyżej dla przebiegów iesiusoidalych zaware jes w abeli 8.. Tabela 8.. Paraery fukcji okresowych Fukcja okresowa Warość średia Π Warość skuecza Współczyik szczyu Współczyik kszału (,67 ) (, 77 ) (, 44 ) (, ) Π T = / T wypełieie (, 7) ( 55, ) Π (, ) Π ( 57, ) Π (, 64 ) (, 77 ) (, 44 ) (, ) Π
8... Poiary apięć przebiegów okresowych. Poiar warości średiej. Do poiaru warości sałej i warości średiej sosuje się przyrząd ageoelekryczy. Wychyleie wskazówki przyrządu jes proporcjoale do prądu α = c i Przyrząd wskazujed poprawie przy przebiegach szybkozieych f >>f f - częsoliwość przebiegu f - częsoliwość własa usroju poiarowego przyrządu Dla f=f - słabe łuieie, przyrząd jes galwaoere, dla f<<f przyrząd wskazuje warości chwilowe. Przyrządy ageoelekrycze budowae są zazwyczaj dla prądu sałego. Dla prądu przeieego siusoidalego przyrząd posiada prosowik. Przyrząd aki ierzy warość średią wyprosowaą. Dla siusoidy sosuek warości skuecze do warości średiej wyprosowaej, zw. współczyik kszału jes zay. Dla prosowia jedopołówkowego wyosi,57 a dla dwupołówkowego,. Wykorzysuje się o do skalowaia przyrządów ageoelekryczych w warościach skueczych. Dla przebiegów iesiusoidalych sosuek e ie jes zay, przyrząd ie oże służyć do poiaru warości skueczej. Dla woloierzy z prosowikai warości średiej jeżeli zay współczyik kszału przebiegu, o ożey obliczyć błąd wskazaia dla przebiegu iesiusoidalego. w = K vx r = K x vx δ = w r r = K o K x K x (8.7) w - warość skuecza przebiegu odkszałcoego odczyaa z podziałki ierika r - warość rzeczywisa apięcia odkszałcoego vx- warość średia apięcia odkszałcoego K o - współczyik kszału krzywej dla kórej jes skaloway ierik K x - współczyik kszału przebiegu odkszałcoego Poiar warości skueczej Warości skuecze oża ierzyć asępującyi przyrządai: - cieply (akże ageoelekryczy z eroeleee), - elekroageyczy, - elekrodyaiczy, - elekrosayczy, - idukcyjy (dla jedej częsoliwości). Moe apędowy ych przyrządów jes proporcjoalydo kwadrau prądu lub apięcia. Woloierzai kóre ierzą warość skueczą apięcia iezależie od jego kszału są woloierze cieple i elekroageycze lecz ich rezysacja wejściowa jes ała. Przyrząd elekroageyczy adaje się do ierzeia warości skueczej dla częsoliwości 5 Hz wraz z kilkoa haroiczyi, aoias dla częsoliwości akusyczych (powyżej Hz) wskazaia jego wyraźie aleją i błędy rosą. Przyrząd
elekrodyaiczy (z cewkai połączoyi w szereg) rówież ierzy warości skuecze dla częsoliwości poiżej akusyczych, przy czy przebieg oże zawierać dowolą składową sałą. Przyrząd elekrosayczy adaje się do poiaru warości skueczych apięcia iezależie od częsoliwości. Przyrząd idukcyjy adaje się jedyie do poiarów warości skueczej przebiegów siusoidalych o częsoliwości 5 Hz, bez składowej sałej. Poiar warości skueczej z wykorzysaie przeworika True RMS. a) Meoda bezpośredia Meoda a polega a wyzaczaiu warości skueczej z defiicji, czyli podoszeiu do kwadrau, uśrediaiu i pierwiaskowaiu przy wykorzysaiu aalogowych układów ożących i wzaciaczy operacyjych. Zasada poiaru pokazaa jes a rys.8.. w e W E W Y w e _ + w e w e W E K Ł D K Ł D M N O Ż C Y P IE R W I S T K J C Y IN T E G R T O R Rys.8.. Zasada poiaru warości skueczej eodą bezpośredią Wadą ej eody jes duża dyaika układua skuek ożeia sygału wejściowego. Ograicza o sosowaie ej eodydo sygałów wejściowych o dyaice db i z ego względu eoda a jes sosowaa rzadko, choć jes dokłada (błąd poiaru,% pełej skali), zapewia dużą szerokość pasa ierzoych częsoliwości oraz bardzo ałą bezwładość. b) Meoda pośredia W eodzie ej wykorzysuje się sprzężeia zwroe iędzy wyjście a układe ożąco-dzielący (rys.8.). wy we WE WE WY + WE KŁD MNOŻCO-DZIELCY WY= we WE WE WE _ INTEGRTOR wy we czyli wy = we wy Rys.8.. Zasada poiaru warości skueczej eodą pośredią kład realizuje fukcję wy = warość średia we wy co odpowiada defiicji warości skueczej. Pozio apięcia wejściowego przy podoszeiu do kwadrau jes jedocześie dzieloy przez średi sygał wyjściowy, przez co średie pozioy apięć zieiają się liiowo z pozioe warości skueczej przebiegu wejściowego (większa dyaika). Zaleą ej eody jes iejszy kosz, większy zakres dyaiki i prossza kosrukcja. Naoias wadą jes węższe paso częsoliwości ierzoego sygału. 8... Poiary z wykorzysaie aalizaora haroiczych.
Rozkład przebiegu okresowego a szereg Fouriera w dziedziie ciągłych sygałów okresowych. Dowoly przebieg okresowy oża przedsawić jako suę wielu prosych przebiegów siusoidalych worzących szereg Fouriera. W posaci rygooeryczej szereg Fouriera ożey zapisać: x() = a ( ) + = cos - a = = ω ϕ = + a cos ω + bsi ω (8.8) = = = gdzie: a = ( ) T x d składowa sała przebiegu, czyli warość średia, a = x( ) cos ω d T b = x( ) si ω d T = a + b oduł -ej haroiczej, ϕ = arc g b ką fazowy -ej haroiczej a Szereg Fouriera oża rówież zapisać w posaci wykładiczej - wysępują wedy częsoliwości ujee (- ω ): x() = jϕ = e = a + jb - e = e =- =+ j ω ϕ jω ( ) =- (8.9) -jϕ = e = a jb =+ W abeli 8.. przedsawioo rozkład a rygooeryczy szereg Fouriera podsawowych przebiegów okresowych iesiusoidalych. Przyrządy do aalizy haroiczej przebiegu iesiusoidalego. Doświadczaly sposób wyzaczaia wida apliudowego polega a poiarze kolejo poszczególych apliud wydzieloych z przebiegu za poocą filru selekywego o wąski paśie przeoszeia i płyie przesrajaej częsoliwości środkowej filru. Przyrządy służące do wyzaczaia wida apliudowego sygału okresowego są azywae aalizaorai haroiczych. Fukcję ę oże spełiać elekroiczy woloierz selekywy o przesrajaej częsoliwości. ożliwia o poiar warości kolejych haroiczych i ich częsoliwości. Jeśli czułość woloierza oże być płyie regulowaa, o przy poiarze pierwszej haroiczej dogodie jes asawić wskazaie a %, wówczas koleje haroicze będą wskazywae w proceach warości pierwszej haroiczej. Bardziej rozbudowae przyrządy, azywae aalizaorai wida, uożliwiają obserwację a ekraie oscyloskopu szeregu pioowych prążków o wysokości proporcjoalej do warości kolejych haroiczych badaego apięcia, rozieszczoych w kieruku pozioy proporcjoalie do częsoliwości (wzdłuż osi częsoliwości) Na podsawie wskazań woloierza selekywego oża wyzaczyć warość skueczą apięcia odkszałcoego = + + +... + (8.)
Tabela 8.. Rozkład Fouriera dla iekórych przebiegów iesiusoidalych x - 4 f ( x) = si x + six + si 5x+... 5 - x 4 f ( x) = cos x cosx + cos 5x... 5 α - α x - 4 si α si5α f ( x) = siα si x + si x + si x+... 5 5 α - - α x x 4 si α si5α f ( x) = si α cos x cosx + cos 5x... α 5 8 six si5x si7x f ( x) = si x + +... 5 7 x 4 cosx cos5x f ( x) = cos x + + +... 5 - x f ( x) = + si x 4 cosx cos4x cos6x... 5 5 7 x f ( x) = + cos x + 4 cosx cos4x cos6x + +... 5 5 7 4 cosx cos4x cos6x f ( x) =... 5 5 7 4 cosx cos4x cos6x f ( x) = + +... 5 5 7
Cyfrowe szeregi i szybka rasforaa Fouriera (FFT) Przekszałceie fukcji czasu w fukcję częsoliwości odbywa się zgodie ze wzore + -j f (f) = x()e d (8.) W przypadku sygałów dyskreych fukcja x() jes zasępowaa fukcją argueu dyskreego x(kt s) złożoą z N próbek (zbiór skończoy) jedakowo odległych o czas próbkowaia T s. Dyskrea rasforaa Fouriera a posać f s N- = x( kt s ) e N k = -j k N (8.) =,,...N - f = s Ts Paraery i k odoszą się odpowiedio do częsoliwości i czasu. Dyskrea rasforaa Fouriera rasforuje N-pukowy ciąg próbek w dziedziie czasu : x kt = x(),x(t ),x(t ),...,x T ( ) ( ) ( ) s s s s w N-pukowy ciąg dyskrey w dziedziie częsoliwości: ( ) f ( ) N = f N f N..., N - f s s s s,,, (8.) N W rzeczywisych zasosowaiach ciąg próbek x(kt s) jes ciągie warości rzeczywisych, podczas gdy ciąg rasfora (f s / N) jes ciągie warości zespoloych przedsawiaych zwykle w posaci oduł-faza. Ciąg x(kt s) jes skończoy i zawsze saowi frage zaczie dłuższego czasu rzeczywisego próbek. Może być więc rakoway jako iloczy rzeczywisego ciągu próbek sygału wejściowego i fukcji oka wyciającego (obserwacyjego) s () o długości T = Ts. Fukcja oka wyciającego poza oke przybiera warości rówe zero, a w odrębie oka oże przybierać warość rówą w przypadku zw. oka prosokąego. Wido częsoliwościowe (f) ciągłej rasforay Fouriera (wzór 8.) a charaker ciągły, podczas gdy w przypadku rasforay dyskreej (wzór 8.) a charaker prążkowy. Odsęp iędzy poszczególyi prążkai oka wyosi fs = = N NT T s i jes odwroie proporcjoaly do długości oka obserwacyjego T. Gdy długość ciągu próbek jes większa, o większa jes rozdzielczość częsoliwościowa rasforay dyskreej. Realizacja uerycza rasforay Fouriera wyaga dużej ocy obliczeiowej i jes czasochłoa. Korzysając z ego że fukcja sius i cosius jes syerycza i okresowa, oża zredukować oc obliczeiową. Isoy przełoe w dziedziie eod obliczeiowych dyskreej rasforacji Fouriera było opracowaie owego algoryu przez Cooleya i Tukeya, kóry sał się podsawą szybkiej rasforacji Fouriera (FFT). Podsawowa zasada ej rasforacji o zasąpieie obliczeń dyskreej rasforay Fouriera ciągu o długości N, obliczaie dyskreej rasforay odpowiedio krószych ciągów. lgoryy FFT dzielą się ajczęściej a dwie grupy: - z podziałe czasowy (ciąg (k) jes dzieloy a coraz krósze podciągi, - z podziałe częsoliwościowy (ciąg () jes dzieloy a coraz krósze podciągi.
Niekóre właściwości dyskreej rasforay Fouriera. Dyskreą rasforaę Fouriera przeaalizujey a przykładzie. Niech będzie day przebieg czasowy oraz rasforaa jego odułu (rys.8.4) a ) b ) x ( ) ( f ) f Rys.8.4. Para rasfora Fouriera a) przebieg czasowy b) rasforaa Fouriera (oduł) Sygał ciągły jes podday próbkowaiu, fukcja próbkująca s() jes złożoa z szeregu del Diraca. Przebieg fukcji próbkującej i jej rasforay jes pokazay a rysuku 8.5. a) b) s() s() T s - --- T --- s Ts Rys.8.5. Fukcja próbkująca a) przebieg czasowy, b) rasforaa w dziedziie częsoliwości Sygał dyskrey jes określoy ylko w dyskreych chwilach czasowych = k T s. Możey go ierpreować jako iloczy pierwoego sygału ciągłego x() i fukcji próbkującej s() + ( ) = ( ) ( ) = ( ) δ ( ) x kt x s x - kt s k=- Możeiu w dziedziie czasu odpowiada splo w dziedziie częsoliwości, a więc rasforaa Fouriera S ( f ) = ( f ) S ( f ) Wido przebiegu spróbkowaego i jego rasforaa jes pokazaa a rysuku 8.6. s a ) b ) x s ( k T s ) s ( ) Rys.8.6. Ciąg próbek T S T S T S T S a) przebieg czasowy b) rasforaa w dziedziie częsoliwościowej Należy zazaczyć, że oko wyciające ograicza długość ciągu próbek w czasie w celu uożliwieia prakyczego obliczeia rasforay. Wycięy sygał wejściowy jes iloczye ciągu ieskończoego S(k T S) i pewej fukcji oka wyciającego s (), kóra jes rówa jedości dla oka prosokąego ylko w przedziale od (-T S/) do (N- /)T S, a rówa zero poza y przedziałe oraz a wido s (), czyli sygał wycięy wyosi:
( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) x kt x kt s x s s s s s Wido Fouriera sygału wycięego określa zależość: f = f S f S f ( ) ( ) ( ) ( ) N Moduł fukcji S (f) pokazay a rys.8.7 a warość si fnts NT S. a) S () o S ( f ) f b) T S o T = NT S x( kt s ) TS o Rys.8.7. Wpływ oka wyciającego a) oko wyciające i jego rasforaa b) ucięy ciąg próbek i jego rasforaa Jeśli uwzględić, że rasforaa Fouriera fukcji x() ie jes ciągła lecz jes zbiore N f próbek wida w dziedziie częsoliwości, odległych od siebie o s N [ Hz ], gdzie f s jes częsoliwością próbkowaia), o pojawia się pyaie: jak dobrze wido prążkowe przybliża rasforaę Fouriera pierwoej ciągłej posaci sygału wejściowego x(). Warukie podsawowy do dobrego przybliżeia jes spełieie prawa Shaoa-Koielikowa. Oprócz ego efek dyskreyzacji wida częsoliwości będzie zależał od ego czy oko wyciające zawiera dokładie całkowią liczbę okresów fukcji x(). Jeśli ie o dyskrea rasforaa Fouriera realizuje obliczeia dla fukcji o zaczych ieciągłościach, rosą blędy składowe wida i wido ulega rozyciu. Isieją eody ziejszeiawpływu ieciągłości fukcji x(kt s) przy zły doborze czasu rwaia oka w sosuku do okresu fukcji s(), p. przez sosowaie właściwych fukcji wagowych w odrębie oka. 8..4. Poiary z wykorzysaie ierika ziekszałceń ieliiowych. Współczyik ziekszałceń ieliiowych (zawarość haroiczych) jes o sosuek skueczej warości apięcia apięcia haroiczych bez składowej podsawowej do warości składowej podsawowej. h = + +... = + +... (8.4) gdzie - apięcie składowej podsawowej,,,... - apięcie wyższych haroiczych Ze względu a rudości z wydzieleie składowej podsawowej wprowadzoo defiicję współczyika ziekszałceń ieliiowych określoego jako sosuek skueczej warości apięcia haroiczych do skueczej warości całego sygału: h = + +... + + +... Ze względu a dwie róworzęde defiicje współczyika ziekszałceń ieliiowych isieją dwie podsawowe eody poiarowe (8.5)
a) eoda kopesacji składowej podsawowej uożliwiająca wyzaczeie współczika h R Czwórik baday R V + +... + V + +... R Przesuwik fazowy V o ( ϕ + ) 8 Rys.8.8. Poiar współczyika ziekszałceń ieliiowych eodą kopesacji składowej podsawowej. Napięcie o kszałcie dokładie siusoidaly podaje się a baday czwórik wywarzający ziekszałceia oraz a przesuwik fazowy. Zieiając waruki fazowe (przesuwikie fazowy) i apliudowe (poecjoere R ) uzyskuje się iiu wskazań woloierza V, co asąpi wedy gdy będzie peła kopesacja składowej podsawowej. Woloierz V uożliwia odczyaie składowej podsawowej. Dzieląc przez siebie wskazaia obu przyrządów orzyuje się poszukiwaą warość współczyika ziekszałceń. Meoda a jes w prakyce sosowaa do koroli czwórików ogących wprowadzać ziekszałceia ieliiowe. b) Meoda eliiacji składowej podsawowej. Najczęściej sosowaa w prakyce. Podsawowy eleee ierika pracującego a ej zasadzie jes selekywy czło środkowo-zaporowy lub filr góroprzepusowy za poocą kórego oża wyeliiować składową podsawową. Zależie od ypuurządzeia eliiującego składową podsawową ieriki dzieli się a rzy zasadicze grupy: - ieriki z oskie rezoasowy lub ypy T zboczikowae, - ieriki z filre góroprzepusowy, - ieriki z zaporowy wzaciacze selekywy (aplifilre). Przyrządy składają się z rzech zasadiczych bloków fukcyjych: ) układu dopasowaia ierika do badaego obwodu, ) układu eliiacji składowej podsawowej, ) układu do poiaru apięcia haroiczych. Na rys.8.9 przedsawioo schea ierika z aplifilre do poiaru eodą wychyłową. we klad wejsciowy Wzaciacz selekywy Tluik wzorcowy [ ] h % = cα Regulacja we Regulacja czesoliwosci Regulacja zakresu jee sprzezeie zwroe DOPSOWNIE ELIMINCJ SKLDOWEJ PODSTWOWEJ POMIR SKTECZNEJ WRTOSCI NPIECI Rys.8.9 kład do poiaru współczyika ziekszałceń ieliiowych z wykorzysaie wzaciacza selekywego Mierik uożliwia bezpośredie odczyywaie współczyika ziekszałceń ieliiowych. Napięcie wejściowe doprowadza się przez układ wejściowy do wzaciacza selekywego
o charakerysyce zaporowej kóry eliiuje składową podsawową. Napięcie a wyjściu wzaciacza jes ierzoe za poocą wielozakresowego iliwoloierza reagującego a warość skueczą. 8.. Przebieg ćwiczeia Połączyć układ poiarowy jak a rysuku 8.. W o l o ie r z b a d a y W o l o ie r z T R E R M S O s c y lo s k o p G e e r a o r a p ię c ia ie s i u s o id a l e g o M ie r ik z ie k s z a łc e ń ie li io w y c h D z ie l ik a p ię c ia W o l o ie r z s e le k y w y 8... Na podsawie obserwacji przebiegu a ekraie oscyloskopu określić współczyik kszału przebiegu (zgodie z abelą 8.). Obliczyć warość rzeczywisą apięcia a podsawie wskazań woloierza badaego (zgodie ze wzore 8.7). Porówać warość obliczoą z warością wskazaą przez woloierz TRE RMS i obliczyć błąd ierika badaego. Wyiki wpisać do abeli 8.4. Tabela 8.4. f Woloierz baday Woloierz Błąd Lp. obliczoe TRE RMS Hz V V V %.. 4... 4... 4. 8... Za poocą woloierza selekywego zierzyć koleje haroicze dla przebiegu iesiusoidalego (zgodie z abelą 8.). Porówać z warościai eoreyczyi. a) obliczyć warość skueczą apięcia (wzór 8.) i porówać ze wskazaiai woloierza TRE RMS. Obliczyć błąd. b) obliczyć współczyik ziekszałceń ieliiowych (wzór 8.4 lub 8.5), porówać z warością współczyika zierzoą ierikie ziekszałceń ieliiowych,obliczyć błąd. Wyiki poiarów i obliczeń wpisać do abeli 8.5.
Tabela 8.5. Haroicza haro. odksz. δ ziekszałceń Współczyik ieliiow. h Nr f zier oblicz zier oblicz zierz oblicz z z... 4. 5. 6. 7. 8. 9... Hz V V V V % % % % δ h 8.. Zakres sprawozdaia. - Sprawdzić wskazaia woloierza badaego dla apięć iesiusoidalych, porówać ze wskazaiai woloierza TRE RMS, obliczyć błędy. - Na podsawie wskazań woloierz selekywego obliczyć warość skueczą apięcia odkszałcoego, współczyyik ziekszałceń ieliiowych, porówać z wielkościai zierzoyi, wyzaczyć błędy. - Narysować wykres prążkowy bdaych przebiegów iesiusoidalych.