4. Wybrae zagadieia maemayi wyorzyywae do oiu liiowych uładów auomayi.. Przezałceie alace a Wyorzyaie rzezałceia alace a do obliczeń zwae je rachuiem oeraorowym. Zaczeie rachuu oeraorowego w zaoowaiach echiczych olega a ym, że umożliwia o w ouowo roy oób rozwiązywaie liiowych rówań różiczowych. Przezałceie alace a, ozaczae ymbolem, rzyorządowuje ucji zmieej rzeczywiej ucję zmieej zeoloej c j wg zależości zwaej całą alace a. ] e d. ucja azywa ię raormaą alace a daej ucji ; ucja azywa ię orygiałem ucji. Nie wzyie ucje mają raormay. Aby moża było wyzaczyć raormaę ucji muzą być ełioe warui: - ma w ażdym rzedziale ończoym warość ończoą, d - ma ochodą d w ażdym rzedziale ończoym, - iieje zbiór liczb rzeczywiych c, dla órych cała e c d je aboluie zbieża. Oeracja wyzaczaia ucji dla daej ucji azywa ię roym rzezałceiem roą raormacją alace a. Oeracja wyzaczaia orygiału a odawie raormay, ozaczaa ymbolem, azywa ię odwroym rzezałceiem alace a. Zależość umożliwiająca oreśleie orygiału a odawie raormay, zwaa całą Riemaa ellia, ma oać: c j ] e d j. c j W echice ucje ą ucjami czau, óre mają izyczy e dla. Załada ię, że dla. Przy ym założeiu, cała alace a rzybiera oać zwaą jedoroym rzezałceiem alace a:
5 e d.3 W zaoowaiach rayczych do wyoywaia raormacji roej i odwroej, óre ą odawowymi oeracjami w rachuu oeraorowym, zwyle ie zachodzi orzeba wyorzyywaia wzorów deiicyjych. Najczęściej wyarczy zajomość odawowych właości rzezałceń alace a i ablice raorma yowych ucji zmieej rzeczywiej. Zeawieie raorma ucji rzydaych w dalzych rozważaiach zawiera ablica.. W ablicy. między iymi wyęują dwie ucje, odgrywające ważą rolę w aalizie modeli maemayczych elemeów i uładów auomayi: - imul jedoowy ucja Diraca ry.. i - o jedoowy ucja Heaviide a ry... Deiicje ych ucji ą aęujące: dla +, dla oraz dla, dla. Nazwa imul jedoowy ucji wyia z właściwości ej ucji d Ry... Imul jedoowy ucja Diraca Ry... So jedoowy ucja Heaviide a
6 Tablica.. Tablica raorma alace a wybraych ucji. Orygiał Traormaa imul jedoowy o jedoowy 3 4! ; 5 e 6 e 7 e! ; 8 i 9 co e e e i o 3 e arc g i
7 4 4 i 4 4 co C D e C D AC B C D Ae C C 4 D C D C B A W dalzych rozważaiach będą wyorzyywae iżej wymieioe wierdzeia doyczące właości rzezałceia alace a. Twierdzeia o liiowości : ] ] ] ] ].4 ] ] ] ] ].5 Twierdzeia o raormacie ochodych : ] d d.6 gdzie ], ' d d.7 gdzie d d ' Wzór ogóly ma oać:.... ' d d.8 gdzie d d Twierdzeie o raormacie całi: d.9 Twierdzeia o rzeuięciu w dziedziie zmieej zeoloej: e e. Twierdzeia o rzeuięciu w dziedziie zmieej rzeczywiej:
8 e e ] e ] e Twierdzeia o warości ocząowej i ońcowej: - jeżeli iieje graica lim, o. lim lim,. - jeżeli iieje graica lim, o lim lim.3.. Zaoowaie rzezałceia alace a do rozwiązywaia liiowych zwyczajych rówań różiczowych o ałych wółczyiach Rozwiązaiem rówaia różiczowego a d y a d d y d y dy... a a a y.4 d d d ze ałymi wółczyiami a,...a, w órym je zaą ucją zmieej rzeczywiej, je ucja y ełiająca o rówaie. Na ogół rówaie aie ełia wiele zw. rodzia ucji y. Zwyle ozuuje ię jedej ucji y, ełiającej dodaowe warui, zw. warui brzegowe ocząowe, óra azywa ię rozwiązaiem zczególym daego rówaia różiczowego. Rówaie różiczowe moża zaiać aże oując urozczoą ymbolię: a y a y... a y a y a y.5 Wyorzyując rachue oeraorowy, ozuiwaie rozwiązaia zczególego moża rowadzić do aęujących oeracji: - oddaie rzezałceiu alace a obu ro daego rówaia z uwzględieiem waruów ocząowych, - wyzaczeie raormay Y zuaej ucji, - wyzaczeie zuaej ucji rzez wyoaie odwroego rzezałceia alace a y Y ]. Przyład. Wyzaczyć ucję y ełiającą rówaie y 3 y y
9 i warui ocząowe: y i y. Rozwiązaie Zgodie z odaym algorymem, oddajemy obie roy rówaia rzezałceiu alace a. Wyorzyuje ię rzy ym wierdzeie o liiowości ochodych. Ozaczając raormaę zuaej ucji y ] Y moża aiać: Y y y 3 Y y Y i o raormacji Po uwzględieiu waruów ocząowych i rzezałceiu, orzymuje ię raormaę zuaej ucji Y 3 Wyzaczeie orygiału je rawą roą, jeżeli orzymaa raormaa wyęuje w ablicy raorma. W rzeciwym rzyadu ależy miaowi raormay rozłożyć a czyii, co umożliwia rzezałceie raormay a umę ułamów roych. W daym rzyadu Y 3 Ułame je umą dwóch ułamów roych A A. Warości A i A moża wyzaczyć rzyrówując obydwa wyrażeia: A A A A A A A A Z orówaia licziów wyia uład rówań A A A A z órego orzymuje ię: A oraz A. Traormaę zuaej ucji moża więc rzedawić w oaci Y Poługując ię ablicą raorma orzymujemy zuaą ucję y e e
3 Zwyle ajbardziej racochłoą czyością rzy rozwiązywaiu rówaia różiczowego je rozład raormay a ułami roe. Soób rozładu zależy od rodzaju miejc zerowych miaowia raormay. Jeżeli miaowi raormay ma ylo ojedycze rzeczywie miejca zerowe, o rozład a ułami roe rzerowadza ię według wzoru: m m m A A A.......6 Wółczyii A,... m A moża wyzaczyć ze wzoru: lim A.7 Wzory.6 i.7 obowiązują rówież w rzyadu, w órym jedo z miejc zerowych wielomiau je zerem. Jeżeli wielomia oiada orócz ojedyczych rzeczywiych miejc zerowych aże miejca zerowe wieloroe,. roe miejce zerowe, o rozład a ułami roe rzerowadza ię według wzoru: B B B A....8 Wółczyii B,... B moża wyzaczyć ze wzorów: B lim.9 d d B lim. d d B! lim. i i i d d i B! lim. Poday oób rozładu doyczy aże wieloroego miejca zerowego rówego zero. iaowi raormay orócz miejc zerowych rzeczywiych ojedyczych i wieloroych może mieć ary miejc zerowych zeoloych rzężoych. W rzyadu wyąieia jedej ary miejc zerowych rzężoych,.
3 A 3 C D 3 liczi ułama roego, órego miaowi je rójmiaem wiie być dwumiaem. W ażdym rzyadu warości wółczyiów wyęujących w licziach ułamów roych moża wyzaczyć meodą wyorzyaą w rzyładzie.. Przyłady do amodzielego rozwiązaia:. Rozwiązać rówaie różiczowe y 4y 3y rzy waruach Od.: ocząowych: y, y y. y e co 3 3 e i 3. Rozwiązać rówaie y 3y y 4 rzy waruach ocząowych: y, y. Od.: y 4 e 4 e.5 3. Wyzaczyć orygiał raormay. Od.: 4 4 e e.3. iearyzacja rówań ieliiowych odele maemaycze roceów zachodzących w urządzeiach echiczych lub zachodzących z udziałem ych urządzeń mogą mieć oać rówań algebraiczych, rówań różiczowych albo rówań różicowych w rzyadu urządzeń o działaiu imulowym. ogą o być rówaia liiowe albo ieliiowe. aemayczy oi zjawi izyczych model maemayczy je zawze rzybliżeiem ich rzeczywiego charaeru. W rzyadu modeli ieliiowych, do ieórych celów może oazać ię bardziej użyeczy miej dołady model liiowy. Tworzeie oiu liiowego a odawie oiu ieliiowego azywa ię liearyzacją. iearyzacja oiu ieliiowego w oaci rówań algebraiczych azywa ię liearyzacją ayczą, liearyzacja oiu ieliiowego w oaci rówań różiczowych azywa ię liearyzacją dyamiczą. eody liearyzacji ayczej rzedawioo a rzyładzie ieliiowej ucji jedej zmieej y x - ry..3. Poać rówaia liiowego zależy od celu liearyzacji, órym może być:
3 - uzyaie ajlezej zgodości oiu liiowego z ieliiowym w oreśloym rzedziale zmia zmieej iezależej ry..3a - je o liearyzacja meodą ieczej, - uzyaie ajlezej zgodości oiu liiowego z ieliiowym dla oreśloej warości zmieej iezależej, a więc i oreśloej warości zmieej zależej, ry..3b - je o liearyzacja meodą yczej. Przyładowo a ry..3a roa rerezeuje liiową ucję y a x, óra zaęuje oi ieliiowy w zareie x x x a aby średiowadraowy błąd różicy między uładem ieliiowym a jego liiowym rzybliżeiem był miimaly, aomia roa a ry..3b rerezeuje liiową ucję zgoda z oiem ieliiowym jedyie w ucie o wółrzędych x, y. y a x, óra je Poieważ w auomayce rozważa ię zachowaie uładów w ooczeiu oreśloego uu racy, w dalzych rozważaiach rzyday je drugi oób liearyzacji. Je oczywie, że wółczyi ieruowy je ochodą ieliiowej ucji x, wyzaczoą w ucie racy o wółrzędych x i y, zaiywaą ymboliczie w oaci d x dx Zliearyzowaą ucję y y x. x y a x moża zaiać aże w oaci W auomayce, w rzyadu oługiwaia ię ucjami zliearyzowaymi w oreśloym ucie racy, a ogół iereująca je zależość omiędzy odchyleiami x i y od uu racy, gdzie: y y y i x x x. Zaem jao oaeczy wyi liearyzacji meodą yczej rauje ię zależość omiędzy odchyleiami d x y dx x i x.3 y od uu racy, zwaymi zmieymi rzyroowymi.
33 Ry..3. Ierreacja geomerycza meod liearyzacji ieliiowej ucji jedej zmieej: a liearyzacja meodą ieczej, b liearyzacja meodą yczej Przerowadzoy roce liearyzacji olegał więc a : - zaąieiu rzywej, rerezeującej ieliiową zależość y x yczą do iej w ucie racy, - rzeieieiu ocząu uładu wółrzędych do uu racy, - zaąieiu w modelu maemayczym zmieych aboluych x i y odchyleiami ych zmieych od uu racy rzyroowymi x i y. - zmieymi Należy amięać, że rówaie zliearyzowae aowi rzybliżeie ucji ieliiowej jedyie w ooczeiu uu racy, dla órego zoało wyzaczoe. Przedawioe meody liearyzacji ie zmieiają rzeczywiych ieliiowych właściwości oiywaego urządzeia, a jedyie uławiają ich aalizę. a b Ry..4. Ierreacja geomerycza liearyzacji uładowej ucji ieliiowej N meodą rzężeia zwroego: a chema uładu, b zależości omiędzy ygałami
34 W rayce rzemyłowej wyorzyuje ię rówież zw. liearyzację uładową, olegającą a zaoowaiu dodaowych elemeów, óre w odowiedim ołączeiu z elemeem ieliiowym worzą uład liiowy. Przyład liearyzacji olegającej a zaoowaiu dodaowego liiowego elemeu, worzącego wraz z elemeem ieliiowym uład liiowy, rzedawioo a ry..4. Przerowadzoe rozważaia rozzerzyć moża a ucje wielu zmieych. Na rzyład, ieliiowej zależości y x, x odowiada rówaie zliearyzowae x, x x, x y x x x x.4 Rówaie o rerezeuje łazczyzę yczą do owierzchi oiaej ieliiowym rówaiem y x, x, rzy czym u yczości odowiada założoemu uowi racy. Ogólie ieliiowej zależości y x, x,... x odowiada rówaie zliearyzowae : y x x x x... x x.5 W rzyadu ieliiowej ucji rzedawioej w oaci uwiłaej,. x, x, y ucja zliearyzowaa woół uu racy o wółrzędych x, x, y, ma oać: Przyład. d dx x d dx Przerowadzić liearyzację ucji x d y dy x. y x w ucie o wółrzędej.6 Ry..5. Ryue do rzyładu.
35 Rozwiązaie Korzyając ze wzoru.3 orzymuje ię d y x x dx x x x iearyzowaą ucję oraz wyi liearyzacji ucję rzedawioo a ry..5. Przyład.3 y x liia rzerywaa Wyzaczyć zliearyzowaą ucję oreślającą zależość rumieia may Q cieczy rzeływającej rzez zawór ry..6 od ciśień i odowiedio rzed i za zaworem oraz od odległości x grzyba od giazda zaworu. Ry..6. Schema ideowy zaworu do rzyładu.3 Rozwiązaie W rayce do wyrażeia zależości Q x,, wyorzyuje ię wzór Q dx w órym: - wółczyi rzeływu, d - średica giazda zaworu, - gęość cieczy, rzy czym załada ię, że co., co. Je o zależość ieliiowa, óra o liearyzacji rzybiera oać Q Q Q Q x x, rzy czym Q x Q Q d d x x x x gdzie x,, ą wółrzędymi aramerami założoego uu racy.
36 Warości wółczyiów rówaia zliearyzowaego zmieiają ię w rzyadu zmiay uu racy. eodę liearyzacji dyamiczej rzedawioo a rzyładzie rówaia różiczowego, będącego ieliiową zależością omiędzy ucjami y i x i ich ochodymi m y, y, y,... y, x, x, x,... x.7 W zaoowaiach rayczych liearyzację dyamiczą rzerowadza ię dla zw. ayczych uów racy, j. uów, w órych wzyie ochode w rówaiu.7 rzyjmują warość zero. Zbiór aich ayczych uów racy azywa ię charaeryyą ayczą oiywaego roceu. Zależość rerezeującą charaeryyę ayczą wyzacza ię rzyrówując do zera warości ochodych w rówaiu różiczowym. Ozacza o, że wyęujące w liearyzowaym rówaiu ucje y i x rzyjmują warości ałe, ozaczae jao y i x. Charaeryya aycza roceu oiaego rówaiem różiczowym.6 je rówaiem algebraiczym x, y.8 gdzie x i y ą wółrzędymi charaeryyi ayczej daego roceu. iearyzując rówaie różiczowe.7, zarówo ucje y i x ja i ich ochode rauje ię aalogiczie ja zmiee ucji uwiłaej. Zaem rówaie zliearyzowae ma oać y x gdzie: y y y y y, d x x, d x x x y y... y y dy y, d m x... x m d x m d m d y y, d x m y x x d y y, x x x, d.9 dx x, d
37 Nieliiowe rówaie różiczowe.7 zoało w wyiu liearyzacji zaąioe rówaiem różiczowym liiowym.9 o ałych wółczyiach. Wółczyiami ymi ą warości odowiedich ochodych, wyzaczoe w założoym ucie racy. Przyład.4 Zliearyzować ieliiowe rówaie różiczowe y x ] x x x ] w ayczym ucie racy o wółrzędej x i wyzaczyć charaeryyę ayczą. Rozwiązaie Zgodie ze wzorem.9 rówaie zliearyzowae ma oać 4x x x x x 4 x x y Poieważ w ayczym ucie racy x i x, oaeczie orzymuje ię rówaie zliearyzowae y 4x x Przyrówując w daym ieliiowym rówaiu różiczowym ochode do zera orzymuje ię charaeryyę ayczą y x. Dla modelu zliearyzowaego rówież moża wyzaczyć charaeryyę ayczą, rzyrówując ochode do zera. W rozważaym rzyładzie ma oa oać y 4 x Ławo zauważyć, że charaeryya aycza wyzaczoa a odawie modelu zliearyzowaego rerezeuje liię roą, yczą w ucie racy do charaeryyi ayczej wyzaczoej a odawie modelu ieliiowego.