Wykłd 1: SFER NIEIESK Elementy geometii i tygonometii sfeynej Tdeus Jn Jopek t I Sfe nieiesk: geometi, współędne punktów n sfee. Instytut sewtoium stonomine, Wydił Fiyki M Semest II (ktulniono Mh 3, 215) Konepj sfey nieieskiej (1) Źódło konepji 1 Wstęp Konepj sfey nieieskiej: źódło Konepj sfey nieieskiej: stosownie sfey 2 Elementy geometyne n sfee Koło wielkie, koło młe, ieguny kół wukt sfeyny, kt sfeyny, tójkt sfeyny ługośi łuków n sfee 3 ołożeni ił nieieskih n sfee Współędne postoktne ił nieieskih Współędne sfeyne. eminy współędnyh sfeynyh i postoktnyh. ykłd: ukłd współędnyh ównikowyh. o konepji nieieskiej sfey dopowdj ns nstępuje sposteżeni: owięksenie wygld ogwieżdżonego nonego nie, nie potfimy oóżnić, któe oiekty s ns liżej, któe dlej, uh doowy gwid peieg tk, jk gdyy yły one n stywno pymoowne do niewidonej sfey. Konepj sfey nieieskiej (2) stosownie: wynnie położeń ił nieieskih sfey nieieskiej W elu wyneni położeni ił nieieskiego (kieunku popgji pomieniowni E-H) wygodnie jest pyjć, że: kieunek do eywistego oiektu jest identyny kieunkiem do jego utu położonego n sfee nieieskiej, osewto njduje się w śodku sfey nieieskiej, pomień sfey wynosi 1 [egoś] w dowolnyh jednostkh. Figue: Jednostkow sfe o śodku w. Sfe jest to powiehni, któej punkty s ówno odległe od punktu wspólnego wnego śodkiem sfey. Wektoy punktów położonyh n powiehni sfey spełnij ównnie: T = 1 gdie: on wekto jednostkowy o potku w śodku sfey. Figue: Rutownie gwid n sfeę nieiesk. Koło wielkie ieguny koł wielkiego n Figue: Koło wielkie. eięie sfey płsyn pehod pe śodek sfey jest kołem wielkim. Wektoy punktów koł wielkiego spełnij ównnie: n T = (1) gdie: wekto jednostkowy n wskuje jeden iegunów koł wielkiego, ntomist wekto peieg punkty koł wielkiego. Q Figue: Koło wielkie i jego ieguny Q. Końe śedniy postopdłej do koł wielkiego nywne s iegunmi koł wielkiego. Np. iegunmi koł wielkiego s punkty i Q. e ieguny, Q możn wykeślić nieskońenie wiele kół wielkih. w punkty sfey, któe nie s punktmi iegunowymi, np. i, wynj jedno koło wielkie owiem łnie e śodkiem sfey (punktem ) jednonnie okeślj płsynę, któej peięie e sfe jest kołem wielkim.
Koło młe wukt sfeyny kolo mle eięie sfey płsyn nie pehod pe śodek sfey jest okęgiem, tdyyjnie wnym kołem młym. eięie sfey dwom kołmi wielkimi wyn tey osy (powiehnie) wne dwuktmi sfeynymi. Q Figue: Koło młe i jego ieguny Q. Jego ieguny i Q s punktmi skjnymi śedniy sfey postopdłej do płsyny koł młego. omień koł młego jest wse mniejsy od pomieni sfey. Figue: wukty sfeyne. wukt sfeyny okeślony jest ktem sfeynym, np. ktem. ole pwiehni dwukt wynosi S = 2 2 gdie w dinh, pomień sfey. Kt sfeyny Tójkt sfeyny Kt liniowy pomiędy płsynmi kół wielkih jest ktem sfeynym. Jest on identyny ktem pomiędy stynymi wystwionymi w punkie wjemnego peięi się kół wielkih. Ty koł wielkie two n sfee osiem osów wnyh tójktmi sfeynymi. Gdy dostępne s elementy jednego tyh tójktów (ty oki (łuki),, o kty wewnętne,, ), możn łtwo wynyć elementy wsystkih poostłyh tójktów. Figue: Kt sfeyny. Figue: Tójkty sfeyne. l iekwyh n ile osów podieli sfeę n kół wielkih? Tójkt sfeyny plktyny: włsnośi (1) Tójkt sfeyny: włsnośi (2) Figue: Tójkt sfeyny, plktyny (euleowski). Wsystkie oki,, tójkt plktynego s mniejse od π. l dowolnego oków,, i któw sfeynyh,, mmy: Różni < + > π < + + < 3π ( + + ) π = ε wn jest ndmiem sfeynym. Figue: Tójkt plktyny. Różni ( + + ) π = ε jest ndmiem sfeynym. ole powiehni tójkt sfeynego wynosi S = 2 ε gdie jest pomieniem sfey, kt ε ndmi sfeyny podno w dinh. Tójkt płski posid tylko jeden kt posty, tójkt sfeyny niekonienie, może mieć ih dw nwet ty. ługość łuku koł wielkiego ługość łuku koł młego K N S ϕ W Figue: todomy LW, K linie geodeyjne n sfee. L ϕ todom N punkth L, W opięte s dw łuki koł wielkiego, mniejsy nih to lini geodeyjn (otodom). Jest to njkóts kyw ł n sfee punkty L i W. Linie geodeyjne pełni n sfee olę tk jk linie poste w geometii euklidesowej. oniewż pomień sfey nieieskiej = 1, to długość łuku LW koł wielkiego ówn jest ktowi śodkowemu φ (w dinh) jki ten łuk opin wględem śodk sfey. M S E F kolo mle Iogon N punkth, E opięte s dw łuki koł młego. Kótsy nih, tw. iogon m długość E dn fomuł: S = sin S M = sin E = M SE = sin (2) Q
keślenie położeń punktów w pesteni (1) keślenie położeń punktów w pesteni (2) Tid Nieh dn jest tójwymiow pesteń euklidesow, w niej ukłd osi współędnyh (, y, ) opięty n tóje wesoów i, j, k. Nieh międy wesomi spełnione ęd nstępuje leżnośi: i = j k j = k i k = i j i T i = j T j = k T k = 1 Tójkę i, j, k możemy ujć w fomie miey 3 3 wnej tid R (3) R = [i, j, k] (4) Jej elementy s osinusmi kieunkowymi kieunków i, j, k. Tid otogonln Tnspoyj tidy R m postć R T = [i, j, k] T = i T j T k T (5) Iloyn o poig i T i i T j i T k R T R = j T i j T j j T k = k T i k T j k T k R 1 = R T yli tid R jest mie otogonln. 1 1 (6) 1 keślenie położeń punktów w pesteni (3) keślenie położeń punktów n sfee (1) y Y Wekto położeni l sfey jednostkowej pwdiwy jest wiek Stwiedenie, że wekto opisuje położenie punktu on, że nne s jego skłdowe (, y, ), ty liy wynone wględem pewnej tidy R. więźle wyżmy to pomo pisu = R y = i + y j + k (7) 2 + y 2 + 2 = 1 (8) R S Współędne sfeyne (1) stonomowie lui posługiwć się współędnymi sfeynymi (,, ), liżsymi intuiyjnemu wyuiu kieunku do punktu : = = 1 jest współędn diln punktu, jest współędn poln punktu, ( = ), jest współędn ymutln punktu ówn ktowi sfeynemu pomiędy płsynmi i. tem, w elu ustleni położeni ił nieieskiego wysty posłużyć się dwiem limi. keślenie położeń punktów n sfee (2) keślenie położeń punktów n sfee (3) R wg! S Współędne sfeyne (2) oniewż = 1, tem położenie ił n sfee w pełni wynj dwie współędne ktowe (, ). W elu ustleni położeni ił n sfee, wysty jeśli współędne (, ) pyjm wtośi nleże do diediny π 2π w jki sposó pomo współędnyh (, ) nleżłoy okeślić położenie punktów,? (9) kłd współędnyh sfeynyh W elu definiowni jkiegokolwiek ukłdu współędnyh sfeynyh nleży: dokonć wyou iegun, wględem któego mieon jest współędn kt polny, dokonć wyou koł wielkiego pełniego olę płsyny odniesieni, wględem któej mieony jest dwuśienny kt ymutlny. ustlić skętność ukłdu, ustlić jednostki miy i diedinę wtośi któw i. kłdy współędnyh sfeynyh i postoktnyh eminy współędnyh sfeynyh i postoktnyh y Y Kżdy ukłd współędnyh sfeynyh m odpowiednik postoktny: oś pehodi pe iegun ukłdu sfeynego, oś leży w płsyźnie koł odniesieni współędnej ymutlnej, oś Y don jest tk y pewnić godność skętnośi ou ukłdów. W pktye wykoystne s współędne sfeyne jk i postoktne. odejśie sfeyne jest wykle osędniejse hunkowo, podejśie wektoowe jest ogólniejse i elegnkie. y Y wiki (y) (,, ) Skłdowe (, y, ) s osinusmi kieunkowymi odink wględem osi, Y, = os y = os Y = os (1) l współędnyh, y, o, tego smego punktu mmy wiki = sin os y = sin sin = os (11)
Elementy tygonometii sfeynej ykłd stosowni definiji współędnyh sfeynyh kłd współędnyh ównikowyh α G δ iegunem ukłdu jest półnony iegun świt, współedn poln jest łuk G = 9 δ gdie δ jest delkinj oiektu G, płsyn odniesieni współędnej ymutlnej α jest półkole Υ, gdie Υ jest punktem ównonoy wiosennej. ektsensj α wst godnie kieunkiem onego uhu Słoń, wtośi współędnyh α, δ nleż do diediny: t II Tygonometi tójkt sfeynego Q α 24 h 9 δ 9 Elementy tygonometii sfeynej Elementy tygonometii sfeynej Fomuły tygonometii sfeynej (1) stleni 4 Elementy tygonometii sfeynej Wó osinusów Wó sinusów Wó pięioelementowy Wó otngesowy N wektoh jednostkowyh,, opinmy tójkt. iemy ukłd współędnyh sfeynyh: tem: iegun ukłdu ustlmy w punkie, płsynę łuku oiemy jko odniesienie miy współędnej ymutlnej położenie punktu dne jest pe ( =, = ), położenie punktu pe ( =, = ). Elementy tygonometii sfeynej Fomuły tygonometii sfeynej (2) Elementy tygonometii sfeynej Wó osinusów stleni d. godnie ównnimi = sin os y = sin sin = os (12) skłdowe wektoów położeń punktów i, wynos = (sin,, os ) = (sin os, sin sin, os ) (13) Wypowdenie Kt pomiędy, jest ówny długośi oku, woe = = 1 iloyn sklny tyh wektoów wynosi = os odstwij skłdowe wektoów i, mmy (sin,, os ) (sin os, sin sin, os ) i w eultie dostjemy wó osinusów os = os os + sin sin os (14) Jest to jedn podstwowyh fomuł tygonometii sfeynej. Elementy tygonometii sfeynej Wó sinusów (1) Elementy tygonometii sfeynej Wó sinusów (2) Wypowdenie Wypowdenie: dnie iloynu 9 dmy iloyn wektoowy = sin (15) gdie jest wektoem jednostkowym. o podstwieniu skłdowyh i wymnożeniu, lew ston uyskuje postć = (sin os sin, os sin sin os os, sin sin sin ) (16) 9 Sfeyne współędne punktu wynos ( =, = ). tem, koystj (12) pw stonę ównni pepisemy jko = sin sin = sin (sin os, sin sin, os ) (17) osinusy i sinusy któw, stpimy wyżenimi wiejymi jedynie elementy tójkt sfeynego
Elementy tygonometii sfeynej Wó sinusów (3) Elementy tygonometii sfeynej Wó pięioelementowy Wypowdenie 9 Wypowdenie d unkt jest iegunem koł wielkiego, woe ego, łuk = 9 i iegnie postopdle do koł. Std, = 9 +, w tójkie sfeynym, e wou osinusów os = os 9 os + sin 9 sin os(9 + ) os = sin sin odstwij sin sin do skłdowej -towej w ównniu (17), poównuj j e skłdow -tow ównni (16) otymmy wó sinusów 9 W, mo wou sinusów dl oku i kt wiehołkowego ędie: sin(9 + ) sin = sin sin 9 sin sin = sin(9 + ) = os Kłd ten eultt do y-kowej skłdowej ównni (17), pyównuj j e skłdow y-kow ównni (16) otymujemy wżny wó wny woem pięioelementowym sin os = os sin sin os os (19) sin sin = sin sin (18) lse pięć woów typu (19) otymmy po odpowiednih pemutjh symoli w. Elementy tygonometii sfeynej Elementy tygonometii sfeynej Wó otngensowy (1) Wó otngensowy (2) Wypowdenie Wypowdenie d Wó otngensowy (teoęśiowy) uyskmy e woów osinusów i sinusów. Koystmy e wou osinusów oków i tójkt os = os os + sin sin os os = os os + sin sin os os w piewsym ównniu eliminujemy pomo pwej stony dugiego ównni os = os (os os + sin sin os ) + [ ] sin sin sin os sin o podieleniu ou ston pe sin, ędie ot = os 2 ot + os sin os + sin sin ot sin 2 ot = sin (os os + sin ot ) os = os (os os + sin sin os )+ sin sin os Kłd sin odpowiednie wyżenie e wou sinusów dostniemy... iel dugie ównnie stonmi pe sin, otymmy wó otngensowy os os = sin ot sin ot (2) Komplet seśiu woów uyskmy odpowiednio pemutuj symole w. 5 Młe pesunięie odejśie sfeyne: miny współędnyh α, δ odejśie wektoowe: miny kieunku weso położeni s t III ożyteny pt olieniowy 6 Wektoowe tnsfomje współędnyh. Miee ootów. Kty Eule. Miee lustnyh odić. emin współędnyh postoktnyh i sfeynyh. 7 ygesj Młe kty 8 odsumownie wgi podsumowuje Wstęp Konepj młego pesunięi: łożeni W stonomii sfeynej mmy do ynieni niewielkimi minmi kieunków do ił nieieskih (tw. młe pesunięi). yyny i wielkość pesunięć ywj óżne, m.in. leż od położeni oiektów. le sme pesunięi wse hod po kolh wielkih ł yh posególne oiekty e wspólnym, ustlonym punktem sfey. o jwisk wywołujyh niewielkie miny współędnyh ił nieieskih nleż m. in.: plks on pesuw oiekt wdłuż koł wielkiego wiejego wesoy kieunku do Słoń i do oiektu, ej doow peieg po łuku koł wielkiego opiętego n wektoh położeni dnego ił i pędkośi doowej osewto, pesunięie powodowne efkj tmosfeyn peieg w kieunku enitu osewto po wetykle, n któym njduje się oiekt. Wsystkie tego typu pesunięi możn tktowć jko sególne pypdki ogólniejsego młego pesunięi opisnego poniżej. 9 δ 9 δ d δ dα łożeni Kieunek do gwidy (α, δ) uległ młemu pesunięiu do punktu, odyło się to wdłuż koł wielkiego ł ego punktem (α, δ ). Łuk = łuk = d, d jest młym ktem. mwimy się jese, że wielkość pesunięi d opisn jest pomo = d = k sin (21) gdie k jest stł dodtni lu ujemn nieleżn od włsnośi fiynyh oiektu. l ustlonego k inteesujemy się pesunięimi, któyh wielkość leży jedynie od ktowej odległośi oiektu od punktu.
Fomuły n pyosty dα, dδ Fomuły n pyosty dα, dδ Wypowdenie (1) Wypowdenie (2) 9 δ dα 9 δ d δ unkt m współędne (α + dα, δ + dδ). Sukmy wyżeń n pyosty dα, dδ odpowidje pesunięiu d. W tym elu, konstuujemy oiekt geometyny o nnyh włsnośih (np. tójkt), któego elementy ęd miły wiek wielkośimi: dα, dδ, d.... e popowdźmy koło młe o iegunie w, peinje łuk w punkie. owstł, posukmy wyżeń n niektóe jego elementy. 9 δ dα 9 δ d δ oki, wyimy pomo współędnyh punktów i : Υ = α, Υ = α + dα = = dα, = = 9 (δ + dδ), std ównni (2), dokłdnośi do wyów piewsego ędu: = dα sin(9 (δ + dδ)) = dugi ok dα os(δ + dδ) dα os δ = dδ Fomuły n pyosty dα, dδ Fomuły n pyost dα, dδ Wypowdenie (4) oki, wyimy pomo wielkośi k, opisujyh młe pesunięie. 9 δ 9 δ χ Wypowdenie (3) W stosunku do pomieni sfey, tójkt jest do mły, std pyjmujemy go płski o kie postym w. W tkim pyliżeniu: jeśli = χ to = 18 χ, tygonometii tójkt płskiego: = os(18 χ) = os χ = sin(18 χ) = sin χ pyównuj o eultty n i, kłd = k sin dostjemy: os δ dα = k sin sin χ dδ = k sin os χ (22) 9 δ 9 δ χ W elu wyeliminowni w (22) któw, χ, do stosujemy wó sinusów i wó pięioelementowy sin sin χ = sin(9 δ ) sin(α α ) sin os χ = os(9 δ ) sin(9 δ) sin(9 δ ) os(9 δ) os(α α ) po podstwieniu pwyh ston tyh ównń do (22), osttenie ędie: dα = k se δ os δ sin(α α ) dδ = k(sin δ os δ os(α α ) os δ sin δ ) (23) Fomuły n pyosty ds wekto położeni Fomuły n pyost ds wekto położeni s o s ds ss o L łożeni Nieh: położenie punktu wyn weso s, weso s wyn położenie punktu, kieunek do opisuje wekto s + ds. godnie konepj młego pesunięi, ds leży w płsyźnie koł wielkiego. Iloyn wektoowy s s jest wektoem o długośi sin skieownym do punktu L. unkt L jest iegunem koł wielkiego gdyż odległy jest o 9 ówno od jk i od. ołożenie punktu wynj s i nienny wekto ds. s o s ds ss o L Wypowdenie Sukmy wekto ds i w tym elu pote nm wiku, w któym występuje ds. Np. óżnikujemy iloyn s s = 1 s ds = (24) ds jest wię postopdły do s tkże do s s, std ds skieowny jest godnie kieunkiem wekto s (s s ) o długośi sin. Wektoowy odpowiednik (21) m postć ds = k sin ds ˆ s (s s) = k sin = sin = k s (s s ) (25) Tnsfomje współędnyh. Wstęp. Mie ootu wokół osi (1). kłdy współędnyh postoktnyh pedstwimy pomo tójek i, j, k, ujętyh w mie R = [i, j, k] wn tid. Wjemn otogonlność wesoów i, j, k poig otogonlność tidy R, o ojwi się włsnośi R T R = I, gdie I jest mie jednostkow. Skłdowe tego smego wekto mog yć wynone w óżnyh ukłdh współędnyh, yli wględem óżnyh tid, np. R i : 1 α 1 = R 2 = α 2 (26) 3 α 3 Mnoż (26) lewostonnie pe R T widimy, że: 1 α 1 R T = 2 = R T α 2 (27) 3 α 3 tem tnsfomj skłdowyh [α 1, α 2, α 3] w skłdowe [ 1, 2, 3] może yć dokonn pośednitwem iloynu miey R T, tnsfomj odwotn pomo T R. k1 k sin os j 1 j Wypowdenie Inteesuje ns pelienie współędnyh ukłdu definiownego tid R = [i, j, k] do ukłdu dnego tid R 1 = [i, j 1, k 1]. oniewż o ukłdy óżni się jedynie o dodtni oót o kt wokół osi i, std, skłdowe tidy R 1 oliymy pomo skłdowyh tidy R: i 1 = i j 1 = (os )j + (sin )k k 1 = ( sin )j + (os )k w posti dogodnej do umieowieni pisu: i 1 = 1i +j +k j 1 = i +(os )j +(sin )k k 1 = i +( sin )j +(os )k
Mie ootu wokół osi (2). Wypowdenie d tem tidę R 1 możemy pedstwić jko iloyn mieowy: 1 R 1 = [i 1, j 1, k 1] = R os sin sin os osukiwn tnsfomj R T 1 R m postć: 1 T 1 R T 1 R = R os sin R = os sin sin os sin os Mie ootu wokół osi, Y,. Wniosek Jeśli dw ukłdy óżni się tylko tnsfomj ootu wokół osi o dodtni kt, to współędne (skłdowe wekto) [ 1, y 1, 1] T wględem ukłdu oóonego uyskmy e współędnyh [, y, ] T wględem ukłdu nieoóonego pomo: 1 y 1 = p() y (28) 1 1 p() = os sin (29) sin os l ukłdów óżniyh się ootmi o dodtni kt wokół osi Y i, odpowiednie miee tnsfomyjne q() i () mj postć: os sin os sin q() = 1, () = sin os (3) sin os 1 Kty Eule. Tnsfomj współędnyh wykoystniem któw Eule. 1 φ N 1 y w ukłdy współędnyh oientowno wględem sieie tk, że żdn p osi tyh ukłdów nie jest do sieie wjemnie ównoległ. Jest to njdiej ogólny pypdek oientji ukłdów, okeślonej pomo teh któw Eule: kt wty pomiędy osimi i 1 ou ukłdów, kt φ wty pomiędy osi i lini N peięi płsyn -Y, 1-Y 1 ou ukłdów, kt pomiędy osi 1 i lini N, liony jko dodtni od linii N do osi 1. 1 φ N 1 y Tnsfomj współędnyh [, y, ] T we współędne [ 1, y 1, 1] T, jest łożeniem teh ootów 1 y 1 1 = ()p()(φ) y (31) Jeśli mmy do dyspoyji kty Eule okeślje wjemn oientję dwóh ukłdów współędnyh ktejńskih, to tnsfomj pomiędy współędnymi tyh ukłdów wse ędie mił postć (31). Miee lustnyh odić. Mie tnsfomyjn dl ukłdów óżniyh się jedynie skętnośi (pypdek ukłdów lewo i pwoskętnyh) jest mie modyfikuj wyłnie współędn Y-ow (lustne odiie wględem płsyny ), m on postć: 1 M y = 1 (32) 1 Niekiedy koystnym ędie stosownie miey M lustnego odii wględem płsyny Y, w wyniku któej uyskmy minę nku współędnej -owej. 1 M = 1 (33) 1 emin współędnyh postoktnyh i sfeynyh. W elu pktynego stosowni fomuł podnyh wyżej musimy dysponowć womi umożliwijymi tnsfomję współędnyh sfeynyh do współędnyh postoktnyh i odwotnie. Jeśli dne s (u, v) położeni ił nieieskiego, gdie u jest współędn ymutln v jest dopełnieniem do 9 odległośi iegunowej, to odpowidje im postoktne skłdowe weso położeni tego ił wylimy pomo woów: leżnośi odwotne mj postć: = os u os v y = sin u os v = sin v v = sin u = tn y (34) (35) py ym w elu ustleni włśiwej ćwitki kt u musimy stosowć stosown poeduę nomuj. ygesj n temt miy młyh któw. omiędy mimi tego smego kt, dinmi i stopnimi mmy nne pyliżone wiki: 1 d = 57 17 45 = 26265 (36) Rdiny wykoystywne s w pyliżenih młyh któw, w któyh dopuslne s poksymje niektóyh funkji tygonometynyh: ównń (36), (37) wynik, że: sin os 1 tn sin 1 = 1 26265 Wyżenie to nkomiie ndje się do mimy dinów n sekundy łuku. Np. jeśli pis on lię sekund w młym kie, to (37) (38) odsumownie Sfe nieiesk jest pożyten konepj ułtwij wynnie kieunków do ił nieieskih, dnie miennośi tyh kieunków, ktlogownie. ołożeni n sfee możn wynyć pomo wektoów o skłdowyh odpowidjyh tidie ustljej konketny ukłd współednyh postoktnyh. Skłdowe wekto podne wględej dnej tidy, pomo miey ootu i miey odić, możn peliyć w skłdowe wględem innej tidy. stonomowie lui koystć e sfeynyh ukłdów współędnyh, w któyh połóżeni ił n sfee podne s pomo dwóh któw,. Tygonometi sfeyn dost m.in. kilku odjów fomuł powljyh n owiywnie seegu polemów dotyyh tójktów steynyh. W dlsym toku wykłdu ponmy jwisk powoduj e miny położeń ił nieieskih. Wielkość tyh min opisemy jednolitym ptem mtemtynym, któy okeśliliśmy minem - młego pesunięi. sin 26265 = sin 1
Ston tytułow owót