FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam dla jakch par (, ) ukcja (, ) ma ses, p.: Fukcja z jest określoa gd:. pod perwastkem jest lcza eujema tj. czl : ( ) ( -) alo ( ) ( -)
Pole ukcj z.wraŝee w maowku jest róŝe od zera tj. gd ( -) to De. ór E to pole ukcj dwóch zmech, aczej zwa dzedzą ukcj. Jest to część płaszczz.
3 Wkresem ukcj dwóch zmech azwam zór W puktów w przestrze R 3 spełającch waruk: W ((,, z) : (, ) E z (, ) ) Jest to zatem pewa powerzcha w przestrze R 3. Na przkład orazem geometrczm ukcj: z ( ),, gdze R jest powerzcha zwaa paraolodą orotową.
4 Paraoloda z
5 Fukcja potęgowa z 3 4 De. Rzut prostopadł a płaszczzę OXY przekroju powerzch z (, ) płaszczzą rówoległą do płaszczz OXY azwam warstwcą tej ukcj. Jak wka z decj warstwce ukcj dwóch zmech są pewm prostm lu krzwm a płaszczźe OXY.
6
7 POCHODNA CĄSTKOWA FUNKCJI z (, ) De. Daa jest ukcja z (, ). akładając, Ŝe jeda ze zmech jest ustaloa, p. zmea otrzmujem w te sposó ukcję jedej zmeej z(, ). JeŜel ukcja (, ) posada pochodą w pukce, to pochodą tę azwam pochodą cząstkową w pukce (, ) ukcj (, ) względem zmeej ozaczam przez ( ), lu δ (, δ ) Aalogcze deujem pochodą cząstkową względem zmeej (, ) Aalogcze moŝem deować pochodą pochodej czl drugą pochodą. tm, Ŝe w tm przpadku mam aŝ czter pochode rzędu drugego: Przkład: (,,,, )
8 z 3 6 3 GRADIENT FUNKCJI z (, ) GRADIENTEM ukcj z azwam wektor, którego składowm są pochode cząstkowe rzędu perwszego grad (, ) ( ), ( ), W otoczeu puktu (, ) gradet wskazuje keruek w którm ukcja wzrasta ajszcej. Przkład: WskaŜ keruek ajszszego przrostu wartośc ukcj (, ) 3 z 6 5 prz
9 grad grad 3 6 5 (, ) 5 6 5 5 (,) grad 5 3 (,) Elastczość cząstkowa ukcj z (, ) Elastczośc cząstkowe ukcj dwóch zmech deujem: Ez E (, ), (, ) ( )
Ez E (, ) (, ) (, ) Określam w te sposó % wzrost wartośc ukcj z (, ), gd jeda zmea ezaleŝa ( lu )wzrasta o %. Przkład: Olczć elastczośc cząstkowe ukcj z 3 z 4 3 z stąd Ez 6 3 4 Ez 6 3 3 3 kole dla ukcj z e pochode cząstkowe elastczośc woszą:
, e z e z e e Ez e e Ez RÓśNICKA UPEŁNA z (, ) akładam, Ŝe ukcja z (, ) jest róŝczkowala w pewm oszarze. RóŜczk cząstkowe tej ukcj względem zmeej zmeej są określoe astępującm wzoram: d oraz d ), ( ), ( Jako, Ŝe róŝczka zmeej ezaleŝej jest po prostu rówa przrostow tej zmeej to powŝsze wzor moŝa zapsać: d d oraz d d ), ( ), ( Sumę róŝczek cząstkowch azwam róŝczką zupełą ukcj (,).
d (, ) d (, ) d (, ) d d Przkład: 3 Olczć przrost ukcj z z puktu (, ) prz, (, ) ( ) 4 ( ) 3,, (, ) 8, 3,, Przkład: W adaach ekoomczch stosowaa jest tzw ukcja Co-Douglasa D am α β D- welkość wtworzoego dochodu arodowego M- welkość produkcjego majątku trwałego ukcjoującego w gospodarce arodowej - welkość zatrudea w produkcj materalej a, α, β- parametr (dodate) średe tempo wzrostu dochodu arodowego: D r D D
3 poewaŝ : D ( M, ) to przrost zupeł ukcj wos: D D M M D D a M α M α β D β a M α β czl: D αam M βam α β α β stąd średe tempo wzrostu dochodu arodowego wos: D D αam M am βam α β α β α β M α M β
4 Uwzględając zaps: M r m M ozacza średe tempo wzrostu produkcjego majątku trwałego r ozacza średe tempo wzrostu zatrudea w produkcj materalej średe tempo wzrostu dochodu arodowego wos: r D α r β M r Na podstawe ukcj Co-Douglasa olczam elastczość dochodu arodowego względem produkcjego majątku trwałego zatrudea: ED M M D D M M α β α a M α α β am ED D D α β β a M β α β am
5 EKSTREMA FUNKCJI DWÓCH MIENNYCH De. F: D, D R (, ) D Fukcja (, ) ma w pukce (, ) maksmum, jeŝel steje otoczee tego puktu take, Ŝe dla kaŝdego puktu (, ) aleŝącego do tego otoczea zachodz erówość: r> (, ) (, ) (, ) D ( ) ( ) (, ) (, ) czl r De. Fukcja (, ) ma w pukce (, ) mmum jeŝel steje otoczee tego puktu take, Ŝe dla kaŝdego puktu (, ) aleŝącego do tego otoczea zachodz erówość:
6 r> (, ) (, ) (, ) D ( ) ( ) (, ) (, ) czl r Maksma mma ukcj to aczej ekstrema ukcj. Tw. [WARUNEK KONIECNY ISTNIENIA EKSTREMUM] JeŜel ukcja F: D, D R ma w pukce (, ) D ekstremum oe pochode cząstkowe perwszego rzędu, to pochode te są w tm pukce rówe zeru to jest: (, ) (, ) Tw. [WARUNEK WYSTARCAJACY ISTNIENIA EKSTREMUM] ałóŝm, Ŝe ukcja (, ) ma w otoczeu puktu (, ) cągłe pochode cząstkowe drugego rzędu ozaczm:
7 w (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) wraŝee W wróŝk ukcj akładam, Ŝe (, ) (, ) JeŜel W(, )> > to ukcja ma w pukce (, ) mmum. JeŜel W(, )> < to ukcja ma w pukce (, ) maksmum 3 JeŜel W(, )< to ukcja e ma w pukce (, ) ekstremum 4 JeŜel W(, ) to ukcja moŝe meć lu e meć w pukce (, ) ekstremum Przkład: adać ekstrema ukcj (, ) -4 9 6 54 98 8 6 8 54
8 8 6 8 54-3 8 8 W (, 3) ( 8)( 8) 44> < czl ukcja posada w tm pukce (, -3) maksmum.
9 W zastosowaach matematk do ekoom wstępuje prolem wzaczea zaleŝośc mędz welkoścam ekoomczm a przkład: mędz dochodem arodowm, a westcjam, poptem a dae doro, a dochodam ludośc. Przez X określm jedą z welkośc ekoomczch, a przez Y drugą oraz załoŝm, Ŝe mam odpowede ormacje statstcze o tch welkoścach w lośc dach. Metoda ajmejszch kwadratów polega a wzaczeu parametrów ukcj (), które zapewał, Ŝe suma kwadratów S odchleń przjmowała wartość ajmejszą: S e ( ( ) ) ałóŝm, Ŝe zaleŝość mędz zmem ma charakter low: Y ax Metoda ajmejszch kwadratów pozwala am a wzaczee parametrów a : S ( a ) Jest to ukcja dwóch zmech a
Naszm zadaem jest zalezee mmum ukcj dwóch zmech. Pochode cząstkowe ukcj S(a,) określoej wzorem: ( ) a S woszą: ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a S, ( ) ( ) ( ) ( ) a a a S, waruek koecz a ekstremum przjmuje postać układu rówań: ( ) ( ) a a,,
po przekształceach rówaa przjmują postać: a a co daje rozwązae tego układu względem zmech a : a a akładając, Ŝe:
ukcja S moŝe meć ekstremum w pukce o współrzędch określoch wzoram a a Sprawdzm jeszcze cz ukcja speła waruek dostatecz stea ekstremum w tm pukce: ( )( ) aa S ( )( ) S ( )( ) a S ( )( ) a S WróŜk: ( ) a W 4, MoŜa udowodć, Ŝe jeŝel (,, 3, 4,,)
3 e są wszstke rówe, (załoŝee to w metodze ajmejszch kwadratów jest spełoe), to > tego waruku wka, Ŝe wróŝk jest dodat w kaŝdm pukce (a, ). Jest o ukcją stałą zmech a, - jest węc dodat w pukce o współrzędch a, wzaczoch MNK. atem w pukce tm ukcja S ma ekstremum jest to mmum ( S aa ( a, ) > dla kaŝdego puktu (a, ).