RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNE
RUCH OBROTOWY BRYŁY SZTYWNE Cało Doskonale Sztywne (Była Sztywna) model cała zeczywstego układ n oddzaływujących cząstek któych wzajemne odległośc ne ulegają zmane Cało wykonuje uch obotowy względem os obotu, tj. układu punktów, któe znajdują sę w spoczynku Wekto pędkośc kątowej jest wektoem, któego keunek pokywa sę z keunkem os obotu Welkośc opsujące uch układu cząstek: n - ta cząstka ( m,, v, ) wszystke cząstk posadają tę samą pędkość kątową
ŚRODEK MASY UKŁADU PUNKTÓW MATERALNYCH (ŚRODEK MASY BRYŁY SZTYWNE) Rys.. Rys. 3. z układ n punktów matealnych y m -R () x 0 v m y z 0 R 0 x oś z oś obotu 0 - POCZĄTEK UKŁADU Defncja ( Cente Mass) R n n m m Uwaga: w dalszym zapse wzoów sumowane po lczbe cząstek ne będze oznaczane wskaźnkam pzy znaku sumy, tzn. n x x 3
UKŁAD DWÓCH PUNKTÓW MATERALNYCH (DWÓCH CZĄSTEK), pzykład Rys. 4. x z 0 m m R 0 y R m m + m + m Gdy początek układu odnesena znajduje sę w śodku masy (O ) R 0 m + m 0 m m Rys. 5. m m 0 4
PĘD, MOMENT PĘDU, MOMENT SŁY Rys. 6. Rys. 7. v m v (P ) m 0 0 oaz P moment pędu MOMENT PĘDU Pęd Moment pędu Moment sły v Punkt matealny Układ punktów matealnych (była sztywna) P p mv p m v p ϖ N m v F N N p m v p 5
ROLA MOMENTU PĘDU MOMENTU SŁY W RUCHU OBROTOWYM BRYŁY SZTYWNE śodek masy były sztywnej R wekto położena śodka masy Rys. 8. z m v m ( R ) v m R + + R P v 0 - R SPN moment pędu były sztywnej względem 0 R m y śodka masy (własny moment pędu, ne zależy od układu odnesena): m ( R ) v x Moment pędu śodka masy względem początku układu (zależy od wybou układu odnesena): R m v R P 6
RÓWNANE RUCHU OBROTOWEGO BRYŁY SZTYWNE Aby wpawć byłę sztywną w uch obotowy należy zadzałać momentem sły N. d N dt + R P zasada dynamk dla uchu obotowego. Zmana całkowtego momentu pędu pzypadająca na jednostkę czasu jest ówna wypadkowemu momentow sł dzałającemu na byłę sztywną. d N 0 0 const dt Pawo zachowana momentu pędu Gdy na byłę sztywną ne dzała zewnętzny moment sł, lub wypadkowy moment sł jest ówny zeu, to moment pędu jest welkoścą stałą w czase. Gdy początek układu odnesena znajduje sę w śodku masy, całkowty moment pędu ówny jest spnow. Wówczas: R P 0 d d N dt dt oaz N 0 const 7
RUCH OBROTOWY BĄKA SYMETRYCZNEGO (ELEMENTARNA TEORA ŻYROSKOPU) Bąk symetyczny cało o symet osowej jednoodnym ozkładze masy, np. bąk zabawka, kążek z bolcam umożlwającym pzyłożene momentu sł Ruch bąka symetycznego w polu gawtacyjnym. Bąk wujący ze stałą pędkoścą kątową wokół os pozomej doznaje dzałana pay sł: sły cężkośc eakcj w punkce podpaca os, co powoduje, że moment sł dzałający na bąka jest óżny od zea. Rys. 9. R - sła eakcj podłoża Q moment sły cężkośc Własnośc żyoskopu posada wele cał np: cała nebeske w tym Zema, pocsk kaabnowe, wnk maszyn, koła. Żyoskop ma on postać metalowego kążka, któy az wpawony w uch obotowy zachowuje swoje pewotne położene os obotu. Żyoskop został wynalezony w 85 pzez Leona Foucaulta, jako demonstacja zasady zachowana momentu pędu. 8
Założena: Duża watość momentu pędu Moment sły postopadły do momentu pędu Rys. 3. x N oaz N 0, const 0, N d dt t Ω z ϕ Rys. 30. x y F 0 N z Pędkość kątowa pecesj: Ω ϕ t y (0 ) punkt podpaca F w meze łukowej kąta: ϕ Ω t t N Ω N Ω ϕ t N 9
MOMENT BEZWŁADNOŚC BRYŁY SZTYWNE Wująca swobodne kula jednoodna Rys. 3 wująca swobodne kula jednoodna zawsze Zawsze jest ównoległe do. Wówczas moment pędu jest popocjonalny do pędkośc kątowej. gdze jest współczynnkem popocjonalnośc. Współczynnk ten nos nazwę momentu bezwładnośc, w tym pzypadku momentu bezwładnośc kul. Okeśla on pewną chaakteystyczna cechę cała ozkład masy cała względem os obotu. Powyższa elacja pomędzy jest ówneż słuszna w pzypadku cał o symet osowej jednoodnym ozkładze masy oaz cał wykonujących uch obotowy względem jednej z tzw. os głównych cała. Rysunek Wzó na moment bezwładnośc Ops 0,4mR Kula o pomenu R oś obotu pzechodz pzez śodek kul 0
M Moment bezwładnośc obęczy Cenka obęcz kołowa o mase M pomenu R wykonująca uch obotowy względem os pzechodzącej pzez śodek masy postopadłej do płaszczyzny obęczy. Rys. 33 R n oś obotu cenka obęcz kołowa o mase M pomenu R v n Pędkość lnowa kątowa wszystkch Punktów matealnych, z któych składa sę obęcz jest taka sama: v v R v m ( v ) MR v MRv MR Z defncj, moment bezwładnośc obęczy względem os obotu wynos: MR Rysunek Wzó na moment bezwładnośc mr Ops Peśceń o pomenu R (także cylnde obęcz)
Cało sztywne o dowolnym kształce dowolnym ozkładze masy, gdy ównoległe do Na ogół ne jest ównoległe do. est tak w pzypadku, gdy wypadkowy uch obotowy jest złożenem welu uchów. Składowe wektoa momentu pędu: ( x, y, z ) Składowe wektoa pędkośc kątowej: ( x, y, z ) Zwązek mędzy ma postać ównana macezowego: x y z xx yx zx x y yy zy xz yz zz x y z Moment bezwładnośc wyażony jest za pomocą macezy bezwładnośc (tenso bezwładnośc) o własnoścach: Wyazy poza pzekątne są symetyczne, tzn.,, xy yx xz zx yz zy Suma wyazów pzekątnych wynos: xx + yy + zz m
Ogólne wzoy na oblczane wyazów macezy bezwładnośc mają postać całkową Rys. 34. x Gęstość mate były sztywnej w dowolnym punkce wynos: 0 ρ ( ) z Wekto położena ma współzędne ( x,y,z ) ρ y Wyazy pzekątne macezy bezwładnośc: xx ρ ( )( x ) dv Podobna postać mają wzoy na yy zz. Wyazy poza pzekątne tensoa bezwładnośc: xy ρ( )xydv ρ( )xzdv xz podobna postać mają pozostałe wyazy. Ponadto + + ρ ( ) dv xx yy zz oaz wyazy poza pzekątne są symetyczne. Oblczena upaszczają sę, gdy ozkład masy cała posada wysoka symetę względem os obotu. 3
TWERDZENE O OSACH RÓWNOLEGŁYCH (Twedzene Stenea) Ose obotu x x są ównoległe odległe o odcnek a Oś x pzechodz pzez śodek masy, M masa cała Rys. 35. x x a M + x' x Ma akob Stene (796-863) Twedzene: Moment bezwładnośc były sztywnej względem dowolnej os obotu, ównoległej do os pzechodzącej pzez śodek masy, jest sumą momentu bezwładnośc względem os pzechodzącej pzez loczynu masy cała pzez kwadat odległośc mędzy osam obotu. 4
ENERGA ROTAC ENERGA KNETYCZNA CAŁA DOSKONALE SZTYWNEGO W RUCHU OBROTOWYM Cało doskonale sztywne wykonuje obót wokół neuchomego śodka masy, Całkowta enega knetyczna cała jest ówna sume eneg knetycznych poszczególnych punktów matealnych, z któych cało sę składa: E v E mv k k m ( ) ρ( )( ) Cało o symet osowej (stożek, walec, kula, tp.) dv Rys. 36. x 5
6 OSE GŁÓWNE CAŁA Wzó na enegę knetyczną cała można zapsać w postac: [ ] ) E yz z y yz z y xy y x zz z yy y xx x k + + + + + Wyażene powyższe upaszcza sę dla cał o egulanym kształce w układze tzw. os głównych cała. Defncja os głównych: W układze os głównych wyażene na enegę knetyczną pzyjmuje postać: 3 3 z zz y yy x xx k E + + + + ndeksy,, 3 numeują ose główne cała: ose obotu o najwększej, najmnejszej pośednej watośc momentu bezwładnośc W układze os głównych moment pędu posada składowe ( ) 3 3 3 3.. k 3 3 E,, 3 - główne momenty bezwładnośc (maksymalny, mnmalny, pośedn) eżel cało obaca sę wokół któejś z os głównych, to wekto momentu pędu cała jest ównoległy do wektoa pędkośc kątowej.
Rys. 37. Rys. 38. (3) () () Kula, powłoka kulsta o jednoodnym ozkładze masy wszystke ose pzechodzące pzez śodek masy są osam głównym. Walec jednoodny oś podłużna dwe ose do nej postopadłe są osam głównym. Cało sztywne wujące swobodne wokół os o maksymalnym lub mnmalnym momence bezwładnośc zachowuje stały keunek tej os w pzestzen (zasada dzałana stablzatoów). 7
PRAWA ZACHOWANA W MECHANCE (PĘDU, ENERG, MOMENTU PĘDU) PRAWO ZACHOWANA PĘDU Całkowty pęd cząstek (cał) twozących układ zamknęty (zolowany) pozostaje stały w czase UKŁAD ZOLOWANY układ na któy ne dzałają sły zewnętzne P [ mv + mv + m3v3 +... + mnvn mv const] ( t,t + ) p m v Rys.39. y Klasyczne, masa -tej cząstk m const Relatywstyczne, masa -tej cząstk wynos m γ γ m 0 v c m v m v m v 0 x z Układ zolowany 8
PRAWO ZACHOWANA ENERG Całkowta enega zolowanego układu cząstek (cał) pozostaje stała w czase Układ zolowany układ, któy ne wymena eneg z otoczenem E E ( ) const E k p k Ek ( t, t + ) E E p Klasyczne, enega knetyczna -tej cząstk wynos: p E k mv Relatywstyczne: E k ( γ )m 0 c Enega potencjalna E p () jest okeślona dla potencjalnego pola sł, tj. pola sł zachowawczych (gawtacyjnych, kulombowskch) PRAWO ZACHOWANA MOMENTU PĘDU Całkowty moment pędu zolowanego układu cząstek (cał) pozostaje stały w czase Układ zolowany układ, na któy ne dzała zewnętzny moment sł, lub wypadkowy moment sł jest ówny zeu ( t,t + ) N N 0 m v p 9
RUCH CAŁ W POTENCALNYM POLU SŁ Rys. 40. lne sł pola m N Centalne pole sł - pole sł, w któym lne sł są półpostym zbegającym sę w jednym punkce, np. pole gawtacyjne masy punktowej, pole elektostatyczne ładunku punktowego. Sła dzałająca mędzy całam jest M F m zawsze skeowana wzdłuż postej łączącej cała. Pole centalne S Pole necentalne punkt pola F () m l l Rys.4. () m punkt pola F centum sł M 0
POLE GRAWTACYNE MAS PUNKTOWYCH Słę dzałającą mędzy dwoma masam punktowym można zapsać za pomocą wzou, któy wyaża matematyczna postać pawa powszechnego cążena (pawa gawtacj, pawa Newtona). Mm F( ) G G 6.67 0 N m / kg Rys. 4 F - F M m
NATĘŻENE POLA GRAWTACYNEGO Rys. 43 g g F M M - masa cała wytwazającego pole gawtacyjne, m masa cała póbnego Maą natężena pola gawtacyjnego jest sła dzałająca na cało o mase jednostkowej, umeszczone w danym punkce pola: F g m Gdy oddzaływają masy punktowe, wzó na g pzybea postać: M g G Watość natężena pola gawtacyjnego opsuje dynamczne własnośc pola: zależy tylko od masy cała wytwazającego pole położena punktu pola w pzestzen; ne zależy od własnośc cała póbnego.
PRACA W POLU GRAWTACYNYM Cało o mase M wytwaza pole. Rys. 44. l W polu tym pzemeszczamy masę póbną z punktu do punktu. F( ) F( ) Paca wykonana podczas pzemeszczena cała: GMm d W F( ) d d GMm 3 ( d d) GMm GMm M l m Paca wykonana pzez sły pola. Cało o mase m znajduje sę pod wpływem sły gawtacj jego położene końcowe znajduje sę blżej źódła pola M: < W 0 > Paca wykonana pzez sły zewnętzne. Cało ulega pzemeszczenu pod wpływem sły zewnętznej, powodującej oddalene cała od źódła pola : > W 0 < Sły gawtacyjne są słam zachowawczym pole gawtacyjne jest polem zachowawczym W 0 F d F d F d ( l ) ( l ) 3
ENERGA POTENCALNA CAŁA W POLU SŁ GRAWTACYNYCH Paca wykonana w polu gawtacyjnym jest ówna óżncy eneg potencjalnej cała w położenu początkowym końcowym W Fd U( ) U( ) Enega potencjalna cała okeślona jest ujemne U ( GMm GMm ) U ( ) U ( ) GMm Enega potencjalna cała znajdującego sę poza zasęgem sł gawtacyjnych (w neskończonośc) jest ówna zeu U( ) 0 U( ) F( )d F( )d GMm Enega potencjalna cała w danym położenu (w danym punkce pola) jest ówna pacy jaką tzeba wykonać, aby cało pzeneść do neskończonośc (poza zasęg sł gawtacj). 4
POTENCAŁ POLA GRAWTACYNEGO Potencjał pola gawtacyjnego w odległośc od centum sł jest ówny eneg potencjalnej cała póbnego o mase jednostkowej znajdującego sę w danym punkce pola U( ) ϕ( ) m GM U( ) Potencjał pola opsuje własnośc statyczne pola: zasób eneg potencjalnej, któą pole zawea. Rys. 45. M g () M ϕ () lub U() Powezchne ekwpotencjalne (powezchne jednakowego potencjału) stanową zboy geometyczne punktów w pzestzen, w któych potencjał pola posada tę samą watość, tzn. ϕ ( ) const eżel pole gawtacyjne wytwaza masa punktowa, to powezchne ekwpotencjalne stanową powezchne kul współśodkowych, otaczających masę punktową. Rys. 46. ϕ () const. M - masa punktowa M - G M - G M lne sł natężene pola potencjał pola (lub enega potencjalna) powezchna ekwpotencjalna powezchna kul 5
PRAWO GAUSSA DLA POLA GRAWTACYNEGO Stumeń wektoa natężena pola (stumeń pola gawtacyjnego) pzez dowolna powezchnę zamknętą jest ówny loczynow masy znajdującej sę w obszaze oganczonym ta powezchną pzez (-4πG), gdze G oznacza stałą gawtacj. Rys. 47. ds n ds ds. n ds S g M 3 ds g M M S g S powezchna zamknęta g - wekto natężena pola n - wekto jednostkowy o keunku nomalnej do powezchn ds - wekto keunkowy elementu powezchn ds ds n Elementany stumeń pola gawtacyjnego dφ g ds gds cos( g, n) Stumeń pola pzez powezchnę zamknętą S Φ dφ g ds 4πG Pawo Gaussa stosuje sę do wyznaczana natężena pola, zwłaszcza w pzypadkach pół wytwazanych pzez układ cał. W pzypadku pola wytwazanego pzez masę punktową. Pawo Gaussa ma wyjątkowo uposzczoną postać: g 4π 4πGM GM g 6
RUCH CAŁ W POLU SŁ CENTRALNYCH Rozważamy oddzaływane dwóch cał o poównywalnych masach w układze laboatoyjnym układze śodka masy Rys. 48. y 0 LAB M M o m x m Dwa cała o mase M m, ch położene względem początku układu laboatoyjnego okeślają wektoy M m Położene śodka masy wyznacza wekto 0 M m M + m 0 M + m Cała oddzałują ze sobą słam centalnym F( ), F( ) M m, gdze Wskutek oddzaływana cała wykonują uch obotowy wokół śodka masy, któego ops jest skomplkowany w układze laboatoyjnym (wymaga ozwązana układu óżnczkowych ównań uchu). 7
Ops uchu cał, ch eneg, znaczne sę upaszcza w układze śodka masy, jeżel wpowadzmy cało o mase zastępczej, tzw. mase zedukowanej, ozważać będzemy zachowane sę tego cała. Spowadzamy w ten sposób poblem opsu uchu dwóch cał, oddzaływujących słam centalnym, do poblemu opsu uchu jednego cała o mase ównej mase zedukowanej: Mm µ M + m ( + ) µ M m Rys.49. eżel sła jest słą centalną, to moment tej sły względem m - M m µ ozważanego śodka masy jest ówny zeu (amę sły jej keunek pokywają sę). Z dugej zasady dynamk dla uchu obotowego wynka, że moment pędu układu cał jest welkoścą stałą. Oznacza to ówneż, że uch jest płask (toy cał leżą w jednej płaszczyźne). M 8
ENERGA CAŁA W POLU SŁ CENTRALNYCH Układ śodka masy cał, w któym opsujemy uch masy zedukowanej, stanowć może begunowy układ współzędnych. Masa zedukowana µ pousza sę po toze kzywolnowym, a jej chwlowe położene wyznacza wekto kąt ϕ. Rys. 50. Całkowta enega układu enega masy zedukowanej E Ek + Ekϕ + E p ϕ v v ϕ µ v to Chwlowe watośc pędkośc całkowtej oaz jej składowych, tzw. adalnej azymutalnej wynoszą odpowedno v, v, v ϕ E k - enega knetyczna zwązana z pędkoścą adalną E p µ v () µ k p µ v jest składową adalną pędu masy zedukowanej E kϕ - enega knetyczna zwązana z pędkoścą azymutalną E () µ k ϕ µ v ϕ Moment pędu jest welkoścą stałą w czase: p v const ϕ µ ϕ vϕ E p - enega potencjalna układu cał w polu sł centalnych A GMm E p (3) ( E ) p p A p B A Enega całkowta masy zedukowanej E + + B µ µ µ µ µ Enega całkowta masy zedukowanej jest funkcją położena cała E( ) p + U( ) const µ 9
Rys. 5. E 0 E E U () B A p µ Na ysunku oznaczają odległośc najwększego najmnejszego oddalena cała od centum sł. Całkowta enega masy zedukowanej może być dodatna lub ujemna. tak: Gdy E>0 (np. E ) uch cała po kzywej stożkowej otwatej (paabola, hpebola). Gdy E<0 (np. E ) uch cała po kzywej stożkowej zamknętej (elpsa, koło). eżel jedno z cał wytwazających pole gawtacyjne posada dużą masę tak, że M >> m, to śodek masy układu pokywa sę z położenem cała o mase M. Wówczas watość masy zedukowanej układu cał jest w pzyblżenu ówna mase cała mnejszego m, zaś oznacza odległość cała m od centum sł (M). Waunk te są spełnone np. w naszym układze planetanym, modelu planetanym atomu. 30
SŁY GRAWTAC WE WSZECHŚWECE Kształt Galaktyk, model Hubble a Gaz kosmczny o mase M składający sę z pojedynczych obektów, z któych jeden posada masę np. M. Masa posada moment pędu const. Kształt galaktyk (Model Hubble a) Rys. 5. M o M M - masa galaktyk M masa pojedynczej cząstk Edwn Powell Hubble (889 953) Obłok gazu kuczy sę pod wpływem oddzaływana gawtacyjnego 3
Rys. 53. v v o o M const Mv00 M v v 0 0 v Zmana eneg knetycznej cząstk M wskutek pacy sł gawtacyjnych jest ówna zmane jej eneg potencjalnej wynos : 0 E k M v M v0 M v0 ( ) Ek Ep Enega potencjalna obektu M wynos: E p E g + E gdze ndeks 0 okeśla watość pędkośc położena masy M w chwl t 0, welkośc bez ndeksu w dowolnej chwl czasu t GMM + M v0 0 0 E p E mn τ mn E / E g - / Rys. 54. 3
Kucząc sę gawtacyjne, obłok gazu osąga stan ównowag. W stane ównowag cząstk obłoku posadają najmnejsza watość eneg potencjalnej (enega potencjalna osąga mnmum). Mnmum eneg okeśla waunek: de d p 0 GMM Mv dla mn 0 0 3 0 mn v0 0 GM Słońce Słońce Rys. 55. Pzypuszczalny wdok Dog Mlecznej z boku z góy z zaznaczonym położenem Słońca. W pzypadku naszej Galaktyk mn ~ 0 0 m Galaktyka napawdę posada kształt dysku 33
NEKTÓRE PROBLEMY KOSMOLOG ozszezane sę Wszechśwata gęstość kytyczna los Wszechśwata wek Wszechśwata wczesny Wszechśwat, jego tempeatua, czas twana epok leptonowej hadonowej Kosmologa obejmuje: - teoę gawtacj, - fzykę jąde cząstek elementanych, - temodynamkę, - fzykę statystyczną. 34