ANALIZA ZESPOLONA IV semestr 203/4 oprac. Janina Kotus
Spis treści. Poj ecia podstawowe str. 5. Rzut stereograficzny str. 5.2 Metryki w C i C str. 6 2. Funkcje zespolone str. 8 2. Granica i ciag lość str. 9 2.2 Pochodna str. 9 2.3 Pochodne formalne str. 3 2.4 Pochodna kierunkowa funkcji str. 4 2.5 Funkcje holomorficzne str. 5 3. Funkcje elementarne str. 6 3. Funkcja wyk ladnicza str. 6 3.2 Funkcje trygonometryczne str. 8 3.3 Funkcje hiperboliczne str. 2 3.4 Funkcja logarytmiczna str. 22 3.5 Funkcja pot egowa str. 22 3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych str. 23 4. Szeregi funkcyjne str. 23 4. Szeregi liczbowe str. 23 4.2 Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych str. 25 4.3 Szeregi pot egowe str. 26 4.5 Funkcje analityczne str. 30 5. Odwzorowania konforemne str. 32 5. Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej str. 32 5.2 Interpretacja geometryczna równań Cauchy ego-riemanna str. 34 5.3 Odwzorowania konforemne str. 35 2
6. Ca lka z funkcji zespolonej str. 40 6. Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej str. 40 6.2 Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej str. 42 7. Twierdzenia i wzory ca lkowe Cauchy ego str. 50 8. Funkcje holomorficzne w C str. 59 9. Zera funkcji holomorficznej str. 60 0. Szeregi Laurenta str. 6. Punkty osobliwe str. 65. Punkty osobliwe izolowane str. 65.2 Zachowanie si e funkcji holomorficznej w punkcie str. 70.3 Klasyfikacja funkcji holomorficznych ze wzgl edu na ich punkty osobliwe str. 72 2. Obliczanie ca lek za pomoca residuów str. 73 3. Geometryczna teoria funkcji str. 8 4. Przed lużenia analityczne str. 86 5. Rodziny normalne funkcji str. 90 6. Funkcje harmoniczne str. 97 3
. 4
Poj ecia podstawowe Zbiór liczb zespolonych C = {z = x + iy : x, y R} można utożsamiać z p laszczyzna dwuwymiarowa, która bedziemy oznaczać symbolem C i nazywać p laszczyzna zespolona otwarta. Aby zdefiniować jej domkni ecie podamy najpierw definicj e przekszta lcenia zwanego rzutem stereograficznym.. Rzut stereograficzny W przestrzeni R 3 definiujemy sfere x 2 + y 2 + ( z 2) 2 = o środku w punkcie (x 4 0, y 0, z 0 ) = (0, 0, ) i promieniu r =, styczn a 2 2 do p laszczyzny uk ladu OXY w poczatku uk ladu wspó lrzednych. Punkt N = (0, 0, ) S 2 nazywać bedziemy biegunem pó lnocnym sfery. Konstrukcja rzutu stereograficznego Każdemu punktowi z = x + iy C przyporzadkujemy punkt Z(ξ, η, ζ) S 2 \ {N} bed acy punktem przeciecia odcinka l acz acego punkt z C z punktem N. Definicja. Odwzorowanie gdzie ξ = P : C nazywamy rzutem stereograficznym. z = Z S 2 \ {N}, z = x + iy = Z = (ξ, η, ζ), x + z 2, η = y + z 2, ζ = z 2 + z 2, Uwaga. Rzut stereograficzny posiada przekszta lcenie odwrotne P : S 2 \ {N} = C, Z = (ξ, η, ζ) = z = x + iy, zdefiniowane wzorem x = ξ, y = η. ζ ζ Zatem rzut stereograficzny jest bijekcja miedzy p laszczyzna otwarta C i sfera bez bieguna pó lnocnego, któremu nie odpowiada żaden punkt na p laszczyźnie. 5
Uwaga.2 Umówimy si e, że punktowi N odpowiada punkt w nieskończoności (ozn. ). Definicja.2 P laszczyzna domnkiet a, która oznaczamy symbolem C nazywamy sume C { } i utożsamiamy ja z dwywymiarowa sfera zwana sfera Riemanna..2 Metryki w C i C W p laszczyźnie otwartej C wprowadzamy metryke euklidesowa d(z, z 2 ) := (Rez Rez 2 ) 2 + (Imz Imz 2 ) 2 = z z 2. W p laszczyźnie domknietej C wprowadzamy metryke sferyczna, w której odleg lość miedzy punktami z, z 2 rozumiemy odleg lość euklidesowa miedzy ich obrazami przy rzucie stereograficznym na sferze tzn. ρ(z, z 2 ) := d(p (z ), P (z 2 )) = ρ(z, ) := z z 2 + z 2 + z 2 2 z z 2 C, + z 2, z. Uwaga.3 Aby otrzymać drugi wzór z pierwszego należy za z mianownik przez z 2. podstawić z i podzielić licznik oraz ρ(z, z 2 ) = z z 2 + z 2 + z 2 = z z 2 2 + z 2 + z 2 2 z 2 2 + z 2 jesli z 2. Uwaga.4 z, z 2 C, 0 ρ(z, z 2 ). Uwaga.5 P laszczyzna domknieta C z metryka sferyczna jest przestrzenia metryczna zwarta. Uwaga.6 Na zbiorach ograniczonych, zawartych w C obie metryki euklidesowa i sferyczna sa równoważne tzn. jeśli A {z : z R}, (R < ), to z z 2 + R 2 ρ(z, z 2 ) z z 2 z, z 2 A. 6
Definicja.3 Zbiór U(z 0, ɛ) = {z C : d(z, z 0 ) = z z 0 < ɛ} nazywamy ɛ-otoczeniem punktu z 0 C w p laszczyźnie C (otwartej). Definicja.4 Zbiór U(z 0, ɛ) = {z C : ρ(z, z 0 ) < ɛ} nazywamy ɛ-otoczeniem punktu z 0 C w p laszczyźnie C (domkni etej). Zatem: U(, ɛ) = {z C : ρ(z, ) < ɛ} = {z C : {z C : z > ɛ 2 }, + z 2 < ɛ} = ɛ ma le. Otoczeniem punktu w w p laszczyźnie C jest dope lnienie domkni etego ko la o środku w zerze. Definicja.5 - Otoczeniem nak lutym punktu z 0 C w p laszczyźnie C nazywamy zbiór U(z 0, ɛ) \ {z 0 } = {z C : 0 < z z 0 < ɛ}. - Otoczeniem nak lutym punktu z 0 C w p laszczyźnie C nazywamy zbiór U(z 0, ɛ) \ {z 0 } = {z C : 0 < ρ(z, z 0 ) < ɛ}. Definicja.6 Obszarem D nazywamy zbiór punktów p laszczyzny C spe lniajacy warunki: - (otwartość) a D U(a, ɛ)-otoczenie takie, że U(a, ɛ) D, - ( lukowa spójność) a, b D istnieje droga o końcach a,b zawarta w D. Droga o końcach a, b nazywamy funkcje ciag l a γ : [t 0, t ] C taka, że γ(t 0 ) = a, γ(t ) = b. Stwierdzenie. Dla zbiorów otwartych zawartych w C (odpow. w C) lukowa spójność pokrywa sie ze spojnościa zbiorów. Definicja.7* Obszar D C (odpow. D C) nazywamy jednospójnym, jeśli jego brzeg jest zbiorem spójnym. W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielospójnym. (*) Później podamy inna definicje jednospójności. 7
2 Funkcje zespolone Definicja 2. Odwzorowanie f : D C, z w = f(z) nazywamy funkcje zespolona zmiennej zespolonej. D C Argument z funkcji f i jej wartość w = f(z) rozk ladamy na cześć rzeczywista i urojona tzn. z = x + iy, w = u + iv. Otrzymujemy w ten sposób rozk lad funkcji w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) na cześć rzeczywista Ref(z) := u(x, y) i cześć urojona Imf(z) := v(x, y). Cześć rzeczywista i urojona funkcji zespolonej f jest funkcja rzeczywista dwóch zmiennych x, y. Przyk lad 2. Znaleźć cześć rzeczywista i urojona funkcji f(z) = iz 2. Zatem f(z) = iz 2 = i(x + iy) 2 = i(x 2 + 2ixy y 2 ) = ix 2 2xy iy 2 = 2xy + i(x 2 y 2 ). Ref(z) = u(x, y) = 2xy, Imf(z) = v(x, y) = x 2 y 2. Przyk lad 2.2 Dane sa cześć rzeczywista u(x, y) = x y i urojona v(x, y) = 4xy funkcji zespolonej f. Przedstawić funkcje f jako funkcje zmiennej zespolonej z. z = x + iy, z = x iy x = z + z 2, y = z z. 2i Podstawiamy ( ) ( ) ( ) ( ) z + z z z z + z z z f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = (x y) + i4xy = + i4 2 2i 2 2i ( = z 2 ) ( + z 2i 2 + ) ( ) ( ) (z 2 z 2 ) = z 2i 2 + i + z 2 2 i + z 2 z 2. 2 8
2. Granica i ciag lość Definicja 2.2 lim f(z) = g ɛ > 0 δ > 0 z D 0 < d(z, z 0 ) < δ d(f(z), g) < ɛ. z z 0 Stwierdzenie 2. lim f(z) = g lim u(x, y) = Reg i lim v(x, y) = Img. z z 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Definicja 2.3 Funkcja f jest ciag la w z 0 lim z z0 f(z) = f(z 0 ). Twierdzenie 2. Funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) jest ciag la w z 0 funkcje u i v sa ciag le w (x 0, y 0 ). Definicja 2.4 Funkcja f jest ciag la w, jeśli funkcja f( ) jest ci ag la z w zerze. 2.2 Pochodna Definicja 2.5 Granice w laściwa ilorazu różnicowego f(z + z) f(z) lim z 0 z nazywamy pochodna funkcji f w punkcie z i oznaczamy f (z). f (z) := lim z 0 f(z + z) f(z), z f (z 0 ) := lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0. Jeżeli funkcje f i g maja pochodna w punkcie z, to. (f ± g) (z) = f (z) ± g (z). 2. (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z). ( ) f 3. g (z) = f (z)g(z) f(z)g (z) dla z / g (0). [g(z)] 2 9
Jeżeli funkcja f ma pochodna w punkcie g(z) i g ma pochodna w punkcie z, to (f g) (z) = f (g(z))g (z). Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej) Jeżeli funkcja f(z) = u(x, y)+iv(x, y) ma w punkcie z 0 = x 0 +iy 0 pochodna f (z 0 ), to istnieja w punkcie (x 0, y 0 ) pochodne czastkowe u, u, v, v i spe lniaj a x y x y w punkcie (x 0, y 0 ) warunki: u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ), u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ), zwane warunkami Cauchy ego-riemanna. Dowód. Zak ladamy, że istnieje Niech z = x + i y f (z 0 ) = lim z 0 f(z 0 + z) f(z 0 ). z () y = 0 z = x f u(x 0 + x, y 0 ) + iv(x 0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim x 0 [ x u(x0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) = lim + i v(x ] 0 + x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) x 0 x x = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). (2) x = 0 z = i y f u(x 0, y 0 + y) + iv(x 0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim y 0 i y [ u(x0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) = lim + v(x ] 0, y 0 + y) v(x 0, y 0 ) y 0 i y y = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). Zatem u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). 0
Stad u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) oraz u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). Wniosek 2. Jeżeli istnieje pochodna funkcji f w punkcie z 0, to: f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Wniosek 2.2 Pochodne czastkowe funkcji f wyrażaja sie wzorami f x f y (x, y) = u x (x, y) = u y (x, y) + i v (x, y) x (x, y) + i v (x, y). y Stad i z wniosku 2. otrzymamy nastepuj ace wzory na pochodna funkcji f w punkcie z 0. f (z 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = i f y (x 0, y 0 ). Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej) Jeżeli funkcje u(x, y) i v(x, y) sa rózniczkowalne w punkcie (x 0, y 0 ) i spe lniaja w tym punkcie warunki Cauchy ego Riemanna, to funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodna f (z 0 ). Dowód. Funkcje u i v sa różniczkowalne w punkcie (x 0, y 0 ), wiec () u(x 0, y 0 ) = u(x, y) u(x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 ) x + u y (x 0, y 0 ) y + o ( z ), gdzie z = ( x) 2 + ( y) 2, o jest wielkościa ma lego rzedu tzn. Analogicznie lim z 0 o ( z ) z = 0. (2) v(x 0, y 0 ) = v(x, y) v(x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) x + v y (x 0, y 0 ) y + o 2 ( z ), o o 2 jest wielkościa ma lego rzedu tzn. lim 2 ( z ) z 0 = 0. z f(z 0 ) = f(z) f(z 0 ).
(3) f(z 0 ) = f(z) f(z 0 ) = u(x 0, y 0 ) + i v(x 0, y 0 ). Podstawiajac () i (2) do (3) otrzymamy: f z (z 0) = u z (x 0, y 0 ) + i v z (x 0, y 0 ) = ( u x (x 0, y 0 ) x z + u y (x 0, y 0 ) y ) + o ( z ) z z ( u x (x 0, y 0 ) + i v ) x x (x 0, y 0 ) z + ( v + i ( u y (x 0, y 0 ) + i v y (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) x z + v y (x 0, y 0 ) y ) z ) y z + o ( z ) z + i o 2( z ) z + i o 2( z ). z = Korzystajac z za lożenia, że funkcje u(x, y) i v(x, y) spe lniaja warunki Cauchy ego-riemanna otrzymamy, że Zatem f z (z 0) = u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) ( u x (x 0, y 0 ) + i v ) ( ) x + i y x (x 0, y 0 ) z + o ( z ) z ( f u lim z 0 z (z 0) = lim z 0 x (x 0, y 0 ) + i v ) x (x 0, y 0 ) + o ( z ) z + i o 2( z ). z + i o 2( z ). z Stad wynika, że istnieje granica w laściwa ilorazu różnicowego w punkcie z 0, czyli istnieje pochodna f (z 0 ). Przyk lad 2.3 Dla jakich punktów z C funkcja f(z) = z z = z 2 = x 2 + y 2 ma pochodna? Ref(z) = u(x, y) = x 2 + y 2, Imf(z) = v(x, y) 0. Funkcje u i v sa różniczkowalne dla (x, y) R 2. Sprawdzamy warunki C-R. Stad u x = 2x, u y = 2y, v x = v y = 0. u x = v y x = 0, u y = v x y = 0. Zatem warunki Cauche go Riemanna sa spe lnione tylko w punkcie z 0 = 0. Z Twierdzenia 2.2 wynika, że tylko w tym punkcie spe lniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z twierdzenia 2.3 zaś wynika, że w punkcie z 0 = 0 spe lnione sa również warunki dostateczne istnienia pochodnej funkcji f. Pochodna funkcji policzymy z definicji. f (0) = lim z 0 f(z) f(0) z 0 2 z z = lim z 0 z = lim z = 0. z 0
2.3 Pochodne formalne Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Za lóżmy, że funkcje u(x, y) i v(x, y) sa różniczkowalne w punkcie z 0 = (x 0, y 0 ). Wyprowadzimy wzory na pochodne formalne f(z). Ponieważ dz = dx + idy i d z = dx idy, to df = du + idv =(u xdx + u ydy) + i(v xdx + v ydy) =(u xdx + iv xdx) + (u ydy + iv ydy) = f f dx + x y dy. (2.) Wstawiajac (2.2) do (2.) otrzymamy dx = 2 (dz + d z), dy = (dz d z). (2.2) 2i df = f f (dz + d z) + x 2 y 2i = ( ) f 2 x i f dz + y 2 = f f dz + z z d z. (dz d z) ( f x + i f y ) d z Definicja 2.6. Pochodne formalne funkcji f(z) definiujemy nastepuj aco: f z := ( ) f 2 x i f f, y z := ( ) f 2 x + i f. y (2.3) Twierdzenie 2.4 (warunek różniczkowalności funkcji w postaci zespolonej) Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Zak ladamy, że funkcje u(x, y) i v(x, y) sa różniczkowalne w punkcie z 0 = (x 0, y 0 ). Wtedy funkcja f(z) ma pochodna w punkcie z 0 = x 0 + iy 0 wtedy i tylko wtedy gdy f (z z 0) = 0. Dowód Korzystajac z definicji pochodnej formalnej mamy, że f z = ( ) f 2 x + i f = ( u y 2 x + iv x + i(u y + iv y) ) = ( u 2 x v y + i(u x + iv y) ). Zauważmy, że warunek f (z z 0) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy u x(x 0, y 0 ) = v y(x 0, y 0 ) i u y(x 0, y 0 ) = v x(x 0, y 0 ), czyli gdy spe lnione sa warunki Cauchy ego-riemanna w punkcie z 0. 3
Uwaga 2. f (z 0 ) = f z (z 0) Dowód ( ) Z wniosku 2. wynika, że f (z 0 ) = u(x x 0, y 0 ) + i v (x x 0, y 0 ). Natomiast f = f i f = z 2 x y ( 2 u x + iv x i(u y + iv y) ) ( = 2 (u x + v y) + i(v x u y) ). Korzystajac z faktu, że jeśli istnieje f (z 0 ) to f spe lnia w punkcie z 0 warunki Cauchy ego-riemanna otrzymamy, że f z (z 0) = [ u 2 x (x 0, y 0 ) + v y(x 0, y 0 ) + i(v x(x 0, y 0 ) u y(x 0, y 0 )) ] = 2 [2u x(x 0, y 0 ) + i2v x(x 0, y 0 )] = f (z 0 ) 2.4 Pochodna kierunkowa funkcji Niech D C, f : D C, z 0 D. Wtedy f = f(z) f(z 0 ), z = z z 0, z = z z 0. Zatem f = f z f z + z + o( z), z o( z) gdzie o( z) oznacza ma l a wyższego rzedu wzgledem tzn. lim z 0 z z = z e iθ, wtedy z = z e iθ. = 0. Zapiszemy gdzie η( z) = o( z) z dla z 0. f z = f z + f z e 2iθ + η( z), Do istnienia granicy ilorazu f dla z 0 potrzeba i wystarcza, aby przy d ażeniu z z 0 kat θ = arg( z) daży l do pewnej granicy φ. Granica ilorazu f gdy arg( z) d aży z do kata φ nazywamy pochodna funkcji f w kierunku kata φ w punkcie z 0 i oznaczamy symbolem f f = f z φ z + f z e 2iφ. Uwaga 2.2 Jeżeli f (z z 0) 0, to pochodne kierunkowe w tym punkcie zależa od od kierunku. z φ. 4
Uwaga 2.3 Funkcja ma pochodna w punkcie z 0 f (z z 0) = 0 gdy pochodna funkcji f nie zależy od od kierunku φ w punkcie z 0. 2.5 Funkcje holomorficzne Definicja 2.7 Funkcje f(z) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w obszarze D jeśli w każdym punkcie z D istnieje pochodna f (z). Ozn. f H(D). Definicja 2.8 Funkcje f(z) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w punkcie z 0 D jeśli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu. Przyk lad 2.4 Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = z 2 = z z. Wiadomomo, że f (z 0 ) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy f (z z 0) = 0. Policzymy f (z) = z. z Stad f (z) = 0 z = 0. Zatem f ma pochodn a z tylko w z 0 = 0. Policzymy ja z definicji f (z 0 ) = lim z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 z z 0 = lim z 0 z 0 = lim z = 0. z 0 - f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z 0 = 0, ani w ca lej p laszczyźnie C. Przyk lad 2.5 Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = z 2 z. Policzymy f (z) = z z2. St Policzymy ja z definicji ad f (z) = 0 z = 0. Zatem f ma pochodn a z tylko w z 0 = 0. f (z 0 ) = lim z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = lim z 0 z 2 z 0 z 0 = lim z 0 z z = 0 - f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z 0 = 0, ani w ca lej p laszczyźnie C. Jest to kolejny przyk lad funkcji, która ma pochodna w punkcie ale nie jest w nim holomorficzna. 5
W lasności funkcji holomorficznych:. Jeśli f, g H(D), to (f ± g) H(D) oraz fg H(D). 2. Jeśli f, g H(D), to f g H(D \ (g (0)). 3. Jeśli g H(D), f H(f(D)), to (f g) H(D). 3 Funkcje elementarne 3. Funkcja wyk ladnicza Funkcje wyk ladnicza w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w analizie rzeczywistej tzn. exp(z) := lim ( + z ) n. n n Wykażemy istnienie tej granicy dla każdego z C.. Najpierw pokażemy zbieżność modu lów tzn. ( lim + n) z n = e x. (3.) n Skorzystamy z w lasności, że z n = z n. Zatem ( + z ) n [ ( = + x ] 2 y + n n) 2 n/2 = [ + 2xn ] n + x2 + y 2 n/2. 2 n 2 Przechodzac do granicy otrzymamy, że ( lim + n) z n = e x, czyli zachodzi (3.). n 2. Niech Argz oznacza argument g lówny liczby z. Pokażemy, że lim ( Arg + z ) n = y. (3.2) n n Zauważmy najpierw, że Ponieważ Arg(z n ) = narg(z), to ( Arg + z ) n y n = arctg + x. n ( Arg + n) z ( n y = narctg n + x n 6 ).
Przechodzac do granicy otrzymamy, że czyli zachodzi (3.2). lim n ( narctg ( y n + x n )) = y, Z jednoznaczności zapisu liczby ( zespolonej w postaci trygonometrycznej otrzymamy, że modu l liczby e z czyli e z = lim n + z n n) = e x, zaś Arg(e z ) = lim n Arg ( + n) z n = y. St ad exp(z) = e z = e x+iy = e x (cosy + isiny). (3.3) Podstawiajac za z = 0 + iy otrzymamy wzór Eulera tzn. y IR e iy = cosy + isiny (3.4) Wracajac do definicji funkcji wyk ladniczej e z (znowu korzystajac z jednoznaczności zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej) otrzymamy, że W lasności e z = e x+iy = e x e iy = e x (cosy + isiny). a) Cześć rzeczywista i urojona funkcji f(z) = e z wynosza odpowiednio u(x, y) = e x cosy, v(x, y) = e x siny. b) e z = e x. c) funkcja e z jest holomorficzna w C oraz (e z ) = e z. Jest oczywiste, że cześć rzeczywista i urojona funkcji sa klasy C (R 2 ). Pokażemy, że spe lniaja równania Cauchy ego-riemanna: u x(x, y) = e x cosy, u y(x, y) = e x siny, v x(x, y) = e x siny, v y(x, y) = e x cosy, u x(x, y) = v y(x, y), u y(x, y) = v x(x, y). f (z) = f z = u x + iv x = e x cosy + ie x siny = e x (cosy + isiny) = e z. d) z, z 2 C, e z +z 2 = e z e z 2. e z e z 2 = e x (cosy + isiny )e x 2 (cosy 2 + isiny 2 ) = e x +x 2 (cos(y + y 2 ) + isin(y + y 2 )). = e (x +x 2 )+i(y +y 2 ) = e z +z 2. 7
e) z C, e z 0. Przypuśćmy, że e z = 0 e x (cosy + isiny) = 0 e x cosy = 0 e x siny = 0. Ponieważ e x 0 to cosy = 0 i siny = 0. Pierwsza równość zachodzi dla y = π + kπ, 2 druga zaś dla y = kπ, gdzie k Z. Ponieważ obie równości nie moga zachodzić jednocześnie, otrzymana sprzeczność dowodzi, że e z 0 dla każdego z C. f) funkcja e z jest okresowa o okresie podstawowym T = 2πi. Dla k Z korzystajac z okresowości funkcji trygonometrycznych sinx i cosx mamy e z+2kπi = e z e 2kπi = e z (cos(2kπ) + isin(2kπ)) = e z ( + i0) = e z. g) funkcja e z jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk ladniczej e x. Niech z = x + i0 R. Wtedy e z = e x (cos0 + isin0) = e x ( + i0) = e x. Uwaga 3. Zostanie później udowodnione, że funkcja wyk ladnicza e z rozwinie sie w szereg Maclaurina tzn. e z z k = dla każdego z C. k! k= 3.2 Funkcje trygonometryczne Funkcje cosz i sinz w dziedzinie zespolonej definiujemy nastepuj aco: W lasności tgz = sinz cosz = cosz := eiz + e iz, sinz := eiz e iz, 2 2i eiz e iz i(e iz + e iz ), cosz ctgz = sinz = i(eiz + e iz ) (e iz e iz ). a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. sinz i cosz dla z C, tgz dla z {z C : z kπ + π, k Z}, ctgz dla z {z C : z kπ, k Z}. 2 8
Korzystamy z faktu, że funkcja wyk ladnicza e z jest funkcja holomorficzna oraz z w lasności dzia lań na tych funkcjach. Stad można wyprowadzić wzory na pochodna: (cosz) = 2 (ieiz ie iz ) = i 2 (eiz e iz ) = 2i (eiz e iz ) = sinz. (sinz) = 2i (ieiz + ie iz ) = i 2i (eiz + e iz ) = 2 (eiz + e iz ) = cosz. b) cos 2 z + sin 2 z =. (tgz) = cos 2 z (ctgz) = sin 2 z. ( ) e cos 2 z + sin 2 iz + e iz 2 ( ) e iz e iz 2 z = + 2 2i = ( e 2iz + 2e iz e iz + e 2iz) ( e 2iz 2e iz e iz + e 2iz) 4 4 = 4eiz e 2iz 4 =. c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosza odpowiednio: Dowód podamy dla funkcji sinz sinz = sinxchy + icosxshy cosz = cosxchy isinxshy sin2x tgz = cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y sinz = eiz e iz 2i = ei(x+iy) e i(x+iy) 2i = e y (cosx + isinx) e y (cosx isinx) ( ) 2i ( ) e y e y e y + e y = cosx + isinx 2i 2i = sinxchy + icosxshy. = e y+ix e y ix 2i d) Funkcje trygonometryczne sinz, cosz, tgz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji sinx, cosx, tgx. 9
Niech z = x + i0 IR. Wtedy sinz = sinxch0 + icos0sh0 = sinx + i0 = sinx. cosz = cosxch0 icosxsh0 = cosx i0 = cosx. sin2x tgz = cos2x + ch0 + i sh0 cos2x + ch0 = 2sinxcosx + (2cos 2 x ) = tgx. e) Funkcje trygonometryczne sa okresowe tzn. sinz i cosz o okresie podstawowym T = 2π. tgz i ctgz o okresie podstawowym T = π. sin(z + 2π) =sin(x + iy + 2π) = sin(x + 2π)chy + icos(x + 2π)shy Dowód dla cosz jest analogiczny. =sin(x)chy + icos(x)shy = sinz. sin2(x + π) tg(z + π) = cos2(x + π) + ch2y + i sh2y cos2(x + π) + ch2y sin2x = cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y = tgz. f) sinz = sin 2 x + sh 2 y oraz cosz = cos 2 x + sh 2 y. Ponieważ funkcja hiperboliczna shy jest nieograniczona, wynika sta, że w przeciwieństwie do funkcji rzeczywistych funkcje sinz i cosz sa nieograniczone. g) sinz, tgz, ctz to funkcje nieparzyste, natomiast cosz jest funkcja parzysta tzn. sin( z) = sinz, coz( z) = cosz. h) sin( z) = sinz, cos( z) = cosz tg( z) = tgz ctg( z) = ctgz. i) sin(z ± z 2 ) = sinz cosz 2 ± cosz sinz 2. cos(z + z 2 ) = cosz cosz 2 sinz sinz 2. cos(z z 2 ) = cosz cosz 2 + sinz sinz 2. j) Funkcje sinz oraz cosz przyjmuja wszystkie wartości z p laszczyzny otwartej C. Funkcje tgz i ctgz omijaja dwie wartości i, i, natomiast przyjmuja wartość, tgz w punktach z k = π + kπ, ctgz w punktach z 2 k = kπ, k Z. 20
3.3 Funkcje hiperboliczne Funkcje chz i shz w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak w dziedzinie rzeczywistej tzn. chz := ez + e z, shz := ez e z, 2 2 W lasności thz := shz chz = ez e z e z + e z, chz cthz := shz = ez + e z e z e. z a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. shz i chz dla z C, thz dla z {z C : z i(kπ + π ), k Z}, cthz dla z {z C : z ikπ, k Z}. 2 (chz) = shz, (shz) = chz, (thz) = ch 2 z, (cthz) = sh 2 z. b) ch 2 z sh 2 z = dla z C. c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosza odpowiednio: shz = shxcosy + ichxsiny, chz = chxcosy + ishxsiny, sh2x thz = ch2x + cos2y + i sin2y ch2x + cos2y. d) Funkcje hiperboliczne shz, chz, thz, cthz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji shx, chx, thx, cthx. e) Funkcje hiperboliczne sa okresowe tzn. shz i chz o okresie podstawowym T = 2πi. thz i cthz o okresie podstawowym T = πi. f) shz = sh 2 x + sin 2 y oraz chz = sh 2 x + cos 2 y. g) cosiz = chz, siniz = ish(z). 2
3.4 Funkcja logarytmiczna Niech z C \ {0}. Każda liczbe zespolona w spe lniajac a równanie e w = z nazywamy logarytmem liczby z i oznaczamy lnz. Niech z = x + iy = e w = e u+iv = e u (cosv + isinv). (3.5) Zatem z = e u czyli u = ln z = ln x 2 + y 2. Z (3.5) wynika, że v = Argz +2kπ dla pewnego k Z, gdzie Argz oznacza argument g lówny liczby z. Każda liczba zespolona z C \ {0} ma nieskończenie wiele logarytmów wyrażonych wzorem Funkcja zdefiniowa wzorem w = u + iv = ln z + i(argz + 2kπ), k Z. lnz = ln z + iargz (3.6) dla z 0 nazywamy funkcja logarytmiczna. Funkcja lnz jest nieskończenie wielowartościowa. Funkcje Lnz = ln z + iargz, π < Argz π (3.7) nazywamy ga lezia g lówna logarytmu. Z (3.6) i (3.7) wynika, że lnz = Lnz + i2kπ, k Z. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym 0 i istnieje jednoznaczna ga l aź logarytmu. Takim obszarem jest np. p laszczyzna rozcieta wzd luż osi ujemnej tzn. 3.5 Funkcja pot egowa E = C \ {x R : x 0}. Niech µ bedzie dowolna liczba zespolona, E obszarem spójnym w którym istnieje jednoznaczna ga l aź logarytmu zmiennej z. Funkcje potegowa o wyk ladniku µ nazywamy funkcje zdefiniowana wzorem z µ = e µlnz. (3.8) Jest to także fukcja wielowartościowa. Ga l ezi a g lówna tej funkcji nazywamy ga l aź zdefiniowana za pomoca ga l ezi g lównej logarytmu tzn. e µlnz. Szczególnym przyk ladem funkcji potegowej jest funkcja n z = e (/n)lnz zwana pierwiastkiem n-stopnia z liczby z C \ {0}. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym zera i istnieje dok ladnie n ga l ezi różniacych sie czynnikiem e 2kπi/n, k = 0,,... n. 22
3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych Funkcja lnz zdefiniowana dla z C \ {0} jest nieskończenie wielowartościowa. Na p laszczyźnie rozcietej wzd luż pó losi rzeczywistej ujemnej istnieje nieskończenie wiele ga l ezi jednoznacznych logarytmu Lnz + 2kπi, k Z. Utwórzmy nieskończony ciag tak rozcietych p laszczyzn i ponumerujmy je liczbami k Z. Z każdej p laszczyzny usuwamy punkt 0. L aczymy górny brzeg rozciecia każdej z nich z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej tak aby punkty brzegowe o tych samych wspó lrzednych tworzy ly jeden punkt. Otrzymamy nieskończenie wielolistna powierzchnie z lożona z plaszczyzn zwanych liściami. Taka powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji lnz. Punktom p laszczyzny oznaczonej liczba 0 przyporzadkujemy wartości ga l ezi g lownej Lnz. Ogólnie, punktowi z n-p laszczyzny przyporzadkowujemy wartości Lnz + i2nπ. W ten sposób każdej wartości funkcji lnz zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i na odwrót. Na tej powierzchni lnz jest funkcja jednoznaczna. Startujac z pewnego punktu z i okrażaj ac punkt 0 dojdziemy po jednym okrażeniu do punktu z ± 2πi zależnie od tego czy okrażamy punkt 0 w dodatniej czy ujemnej orientacji. Funkcja n z ma n ga l ezi jednoznacznych na ca lej p lasczyźnie rozcietej wzd luż pó losi rzeczywistej ujemnej. Gdy okrażamy raz punkt 0 wzd luż pewnej krzywej zamknietej w kierunku dodatnim na p laszczyźnie nierozcietej, wówczas każda ga l aź przechodzi w nastepn a. Wartość funkcji zostaje pomnożona przez e 2πi/n. Po n-krotnym okrażeniu punktu 0 wartość funkcji wraca do swej poczatkowej wartości bo zmieni sie o czynnik e 2πi/n =. n Aby skonstruować powierzchnie Riemanna funkcji z umieszczamy n rozcietych p laszczyzn wzdluż osi rzeczywistej ujemnej i l aczymy górny brzeg rozciecia każdej p laszczyzny z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej. Tak samo po l aczymy górny brzeg ostatniej p laszczyzny z dolnym brzegiem pierwszej. Zawsze l aczymy punkty o tych samych wspó lrzednych. Otrzymana n w ten sposób n-listna powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji z. Na jednym liściu tej powierzchni rozmieśćmy wartości jednoznacznej ga l ezi naszej funkcji, a na każdym nastepnym liściu wartości tej ga l ezi pomnożonej przez e 2πi/n. W ten sposób n każdej wartości funkcji z zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i n na odwrót. Na tej powierzchni z jest funkcja jednoznaczna. 4 Szeregi funkcyjne 4. Szeregi liczbowe Definicja 4. Szereg a 0 + a + a 2 +... = a n o dowolnych wyrazach zespolonych nazywamy zbieżnym do sumy s, gdy ciag sum czastkowych s n = n k=0 a n, n N, jest zbieżny do granicy s. 23
Definicja 4.2 Szereg a n nazywamy: i) bezwzgl ednie zbieżnym jeśli a n jest zbieżny, ii) warunkowo zbieżnym jeśli jest zbieżny ale nie jest bezwgl ednie zbieżny. Twierdzenie 4. i) Jeżeli szereg a n jest zbieżny, to lim n a n = 0. ii) Szereg bezwzglednie zbieżny jest zbieżny przy dowolnym uporzadkowaniu wyrazów i jego suma nie zależy od porzadku wyrazów. iii) Szereg a n, gdzie a n = α n +iβ n, jest zbieżny do sumy s = α+β wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi α n i β n sa zbieżne tzn. α n = α i β n = β. Twierdzenie 4.2 (Kryterium porównawcze) Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów szeregu a n zachodzi nierówność a n A n i szereg A n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny bezwzglednie. Twierdzenie 4.3 (Kryterium d Alamberta) Szereg a a n jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim n+ n a n < oraz rozbieżny, gdy lim n a n+ a n >. Twierdzenie 4.4 (Kryterium Cauchy ego) Szereg a n jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim sup n n a n < oraz rozbieżny, gdy lim sup n n a n >. Twierdzenie 4.5 (Kryterium Dirichleta) Szereg a nb n jest zbieżny, jeśli wyrazy a n sa rzeczywiste, dodatnie i ze wzrostem n maleja do zera, a ciag sum czastkowych szeregu b n jest ograniczony. Przyk lad 4. Szereg z n n= jest zbieżny dla z =, z, bo przyjmuj ac n a n =, b n n = z n, z = i z > η otrzymamy s n = z + z 2 +... + z n = z( z n ) z < 2 η, a wiec za lożenia kryterium Dirichleta sa spe lnione. Zauważmy, że ten szereg nie jest zbieżny bezwglednie dla z takich, że z =, ponieważ z n n= n = n= =. n 24
4.2 Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych Definicja 4.3 Niech D C zbiór (czesto otwarty lub obszar), f n : D C ciag funkcji. Powiemy, że szereg funkcyjny n= f n(z) jest zbieżny w D jeżeli ciag {s n (z) = n k= f k(z)} jest zbieżny w D tzn. jeśli granica lim n s n (z) = s(z) jest funkcja dobrze określona w zbiorze D. Taki rodzaj zbieżności nazywamy zbieżnościa punktowa. Zbieżność w D nazywamy jednostajna, jeśli ɛ N(ɛ) n > N(ɛ) z D s n (z) s(z) < ɛ. Warunek jednostajnej zbieżności szeregu n= f n(z) można także sformu lować nastepuj aco: ɛ N(ɛ) n > N(ɛ) z D n=n+ f n (z) < ɛ. Funkcje graniczna s(z) = lim n s n (z) nazywamy suma danego szeregu. Uwaga 4. Niech D C zbiór otwarty (lub obszar), f n : D C ciag funkcji ciag lych. Jeżeli ciag funkcyjny (szereg funkcyjny n= f n(z)) jest zbieżny jednostajnie w D, to granica ciagu (suma szeregu) jest funkcja ciag l a w D. Twierdzenie 4.6 (Weierstrassa) Szereg n= f n(z) jest zbieżny jednostajnie w zbiorze D C, jeśli istnieje ciag liczbowy {a n } n= taki, że n N, f n (z) a n i szereg n= a n jest zbieżny. Definicja 4.4 Niech D C, f n : D C ciag funkcji. Szereg funkcyjny n= f n(z) nazywamy zbieżnym niemal jednostajnie w zbiorze D, jeśli jest on zbieżny jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze zbioru D. Uwaga 4.2 Zbieżność jednostajna można czesto zastapić zbieżnościa niemal jednostajna. Granica zbieżnego niemal jednostajnie ciagu (szeregu) funkcji ciag lych jest funkcja ciag l a. 25
4.3 Szeregi pot egowe Definicja 4.5 Szeregiem pot egowym o środku w punkcie z 0 nazywamy szereg postaci gdzie a n C. a n (z z 0 ) n, (4.) Definicja 4.6 Promieniem zbieżności szeregu potegowego (4.) nazywamy kres górny zbioru tych liczb r, że dany szereg jest zbieżny w kole {z : z z 0 < r}. Wzór Cauchy ego-hadamarda Niech dany b edzie szereg pot egowy (4.) i lim sup n n an = R, (4.2) gdzie 0 R (przyjmujemy, że =, = 0). Wówczas szereg (4.) jest zbieżny w 0 każdym punkcie z, dla którego z z 0 < R, i jest rozbieżny w każdym punkcie z, dla którego z z 0 > R. Dowód Niech 0 < R <. Wtedy dla każdego ɛ > 0 istnieje N N takie, że dla n N mamy n an < /R + ɛ. Stad [( ) n a n (z z 0 ) n < R + ɛ z z 0 ]. (4.3) Jeśli z z 0 < R, to ɛ można dobrać tak ma le, że spe lniona bedzie nierówność ( ) R + ɛ z z 0 = q <. Wówczas z (4.3) widać, że wyrazy szeregu (4.) dla n N sa majoryzowane przez wyrazy szeregu geometrycznego qn i w konsekwencji szereg (4.) jest zbieżny, gdy z z 0 < R. Z definicji granicy górnej wynika, że dla dowolnej liczby ɛ > 0 istnieje taki podciag n k, że n k a nk > /R ɛ. 26
Zatem a nk (z z 0 ) n k > [( ) nk R ɛ z z 0 ]. (4.4) Jeśli z z 0 > R, to liczbe ɛ można dobrać tak ma l a aby (/R ɛ) z z 0 >. Wówczas z (4.4) wynika, że a nk (z z 0 ) n k >, a w konsekwencji nie zachodzi warunek konieczny zbieżności szeregu (4.), wiec szereg ten jest rozbieżny dla z z 0 > R. Wniosek 4. Obszarem zbieżności szeregu potegowego (4.) jest ko lo {z : z z 0 < R}, gdzie R jest liczba wyznaczona ze wzoru Cauchy ego-hadamarda. Przyk lad 4.2. Szereg zn jest zbieżny w kole K(0, ) = {z : z < }, ponieważ lim sup n n an = R =. Jeśli z =, to szereg n= zn nie jest zbieżny, bo nie zachodzi warunek konieczny zbieżności - wyraz z n = e inφ ma modu l równy, czyli nie daży do zera. 2. Szereg z n n= n 2 oraz n N z n n 2 n 2. ( jest zbieżny w kole K(0, ) = {z : z }, ponieważ lim sup n n 2 n = R = n 2 <.) Zatem szereg jest zbieżny w kole i na brzegu. 3. Dla szeregu nn z n promień zbieżności R = 0, ponieważ lim sup n Szereg jest zbieżny tylko dla z = 0. n nn = lim sup n n = = R. Twierdzenie 4.7 (Abela) Jeżeli szereg potegowy a nz n jest zbieżny w punkcie z 0, to jest on bezwglednie zbieżny w kole K(0, z ) = {z : z < z } oraz jest zbieżny jednostajnie w każdym kole K(0, ρ), gdzie ρ < z. 27