3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie Fermata Waruki koiecze optmalości dla zadań bez ograiczeń formułue poiższe twierdzeie Tw 3: Niech fukca określoa w X R osiąga w pukcie wewętrzm ˆ X ekstremum lokale (maksimum lub miimum) Jeśli istieą w tm pukcie ciągłe pochode cząstkowe: to każda z ich est rówa zeru: F( ˆ) F( ˆ ), F F F ( ˆ) = (3) Jeśli pukt ekstremal est miimum, to spełio będzie waruek II rzędu Tw 3a: (waruek koiecz II rzędu a miimum) Niech fukca określoa w X R osiąga w pukcie wewętrzm ˆ X miimum lokale Jeśli istieą w tm pukcie ciągłe pochode cząstkowe drugiego rzędu, to spełioe est: d T H ( ˆ) d, gdzie F H ( ˆ) = ( ˆ ) i est hesaem fukci, d = ˆ Waruek te wika to z rozwiięcia fukci F () w szereg Talora w otoczeiu puktu ˆ Ab ekstremum bło puktem miimum, ależ zapewić lokalą wpukłość fukci F () Wkład III -38-
Tw 3: waruek dostatecz II rzędu a miimum) Niech fukca F : R R będzie dwukrotie różiczkowala i spełia w pukcie ˆ wewętrzm X waruek koiecz optmalości (3) Jeśli hesa F H ( ˆ) = ( ˆ ) i est ściśle dodatio określo, to pukt ˆ est miimum lokalm (ścisłm) Prz okazi warto przpomieć aalogicz waruek dostatecz dla fukci ede zmiee Tw 33: waruek koiecz i dostatecz II rzędu a miimum fukci ede zmiee): Niech fukca F : R R będzie różiczkowala ieskończoą liczbę raz Pukt ˆ est df ( miimum lokalm wted i tlko wted, gd albo = dla każdego, lub gd istiee d df ( df ( parzste, takie, że > i rówocześie = dla każdego < d d Tw 34: Niech fukca F : R R będzie pseudowpukła w zbiorze ˆ X est miimum globalm wted i tlko wted gd F ( ˆ) = X R Pukt Spełieie waruku (3) sgalizue istieie tzw puktu stacoarego Dla rozważae klas fukci F () moża zaobserwować trz rodzae puktów stacoarch: miima, maksima oraz pukt siodłowe (patrz także Przkład 5) Def 3: Niech fukca F będzie zdefiiowaa a iloczie kartezańskim: m R Fukca F(, ) posiada w pukcie ( ˆˆ ) pukt siodłow (lokal), gd istiee ε > takie, że dla: : : ˆ ˆ < ε < ε (3) zachodzi: F(, ˆ) F( ˆ, ˆ) F( ˆ, ) Przkład 3: Wkład III -39-
Fukca F(, ) = ma pukt stacoar tpu puktu siodłowego (rs3) Rs3 Pukt siodłow Uzasadieie koieczego i dostateczego waruku optmalości Dla uproszczeia rozważoe będzie zadaie w przestrzei mi F(, ) R, R R : a fukca F : R R est klas C Niech pukt (, ) będzie kaddatem a miimum Rozwiięcie w szereg Talora w otoczeiu ( ) dae: F( + + h, + k) = F( k ) + hf 3 3 [ h k] H ( ) + O( h, k ) ( ) + kf ( ) + (34) gdzie h i k to przrost, a H, ) est macierzą hesau o postaci: ( H ( F F ) = F F, Wkład III -4-
W pukcie (, ) istiee ścisłe lokale miimum, gd: dla każdego h, k takich, że: F ( + h, + k) > F ( ), W rozwiięciu w szereg Talora (34) ozacza to, że: hf ( < h + k < ε (35) ) + kf ( ) + k k 3 3 [ h k] H ( ) + O( h, ) > Poieważ h i k zmieiaą zak w zbiorze (35) to edie spełieie waruków: F ( ) = ; F ( ) = (waruek koiecz), gwaratue, że prz ε h (waruek dostatecz), k [ k] H ( ) > będzie spełio waruek a ścisłe miimum lokale Przkład 3: Dla form kwadratowe: T F ( ) = A, określić charakter ekstremum w pukcie ˆ = A Ściśle dodatio określoa Ściśle uemie określoa Dodatio określoa Uemie określoa ˆ ścisłe miimum ścisłe maksimum miimum maksimum Przkład 33: Podać waruki koiecze i dostatecze miimalizaci form kwadratowe w postaci: optmalości dla zadaia mi{ T A + R B} Zastosowaie twierdzeń 3 33 dae astępuąc wik: Wkład III -4-
WK: A ˆ + B = lub ˆ = A B WD: ˆ = A B i A > 3 Waruki optmalości dla fukci ieróżiczkowale Rozszerzeiem waruków optmalości est waruek koiecz i dostatecz optmalości wkorzstuąc poęcie subróżiczki Tw34: o warukach koieczch i dostateczch optmalości fukci wpukłe Niech fukca będzie wpukła (ale iekoieczie różiczkowala w klasczm sesie) Warukiem koieczm i dostateczm a to, ab pukt ˆ R bł miimum globalm est, ab istiał w tm pukcie subgradiet fukci F i ab zachodziło: F( ˆ) (Subróżiczka musi zawierać elemet zerow) Fukca z Przkładu 3 spełia waruki Twierdzeia 34 Wkład III -4-