1 W S E i Z W WARSZAWE WYDZAŁ LABORAORUM FZYCZNE Ćwiczenie Nr 1 emat: WYZNACZNE PRZYSPESZENA ZEMSKEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO Warszawa 9
WYZNACZANE PRZYSPESZENA ZEMSKEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA REWERSYJNEGO 1. Podstawy fizyczne. Ceem ćwiczenia jest wyznaczenie przyśpieszenia ziemskiego na podstawie drgań harmonicznych wahadła rewersyjnego ( odwracanego). Wśród icznych rodzajów drgań, najprostszym jest ruch drgający harmoniczny, w którym zmiany wiekości fizycznej w czasie opisuje funkcja okresowa harmoniczna (sinusoidana). W przypadku, gdy okresowym zmianom harmonicznym podega wychyenie ciała z położenia równowagi wzdłuż osi x, to zaeżność położenia od czasu t dana jest wzorem: x Asin( t ) (1) gdzie x wychyenie ciała z położenia równowagi przyjętego jako x =. Wiekość A nosi nazwę ampitudy drgań. Jest to maksymana wartość wychyenia ciała z położenia równowagi. Charakterystyczną cechą ruchu drgającego jest okresowość wyrażona we wzorze (1) przez okres drgań. Jest czas jednego pełnego cyku czyi czas po upływie którego dana wiekość ( w rozważanym przypadku wychyenie) przyjmie ponownie taką sama wartość (z dokładnością do znaku). Liczba pełnych drgań (cyki) w jednostce czasu wyraża się odwrotnością okresu i nosi nazwę częstotiwości : 1 () Argument funkcji sinus we wzorze (1) t (3) nazywa się fazą drgań a symbo oznacza fazę początkową okreśającą zgodnie ze wzorem (1) wychyenie w chwii t =. Zastanówmy się jakie warunki fizyczne muszą być spełnione, aby układ wykonywał drgania harmoniczne. Różniczkując dwukrotnie po czasie wyrażenie (1) otrzymujemy przyśpieszenie: a d x 4 4 Asin( t ) x (4) dt Widzimy, że przyśpieszenie a jest proporcjonane do wychyenia z położenia równowagi i skierowane przeciwnie do wychyenia. Zgodnie z zasadą dynamiki, siła F wyraża się wzorem F ma x (5) gdzie wprowadziiśmy oznaczenie 4 / (tzw. częstość kołowa drgań) Stwierdzamy więc, że ciało wykonuje drgania harmoniczne jeżei działająca siła jest
3 proporcjonana do wartości wychyenia z położenia równowagi i zwrócona do położenia równowagi ( na co wskazuje znak minus we wzorze (5)). Jako przykład drgań harmonicznych rozważymy wahadło fizyczne grawitacyjne, którym jest dowona bryła sztywna zawieszona na poziomej osi przechodzącej powyżej środka ciężkości (rys. 1). Jeżei taką bryłę odchyimy od położenia równowagi ( czyi od pionu) o niewieki kąt, to bryła poruszać się będzie ruchem wahadłowym, przy czym siłą decydująca o ruchu będzie jej ciężar. Zauważmy, że każdy punkt bryły porusza się po łuku. Gdy odcinek łączący środek ciężkości bryły S z osią obrotu odchyony jest od inii pionowej przechodzącej przez punkt zawieszenia o kąt, to na bryłę działa moment siły ciężkości: M mgd sin (6) gdzie d jest odegłością od osi obrotu do środka ciężkości. Znak minus oznacza, że moment M wywołuje obrót w kierunku przeciwnym do kierunku w którym mierzymy kąt. Rys1. Wahadło fizyczne Da dostatecznie małych kątów, możemy sin zastąpić wartością kąta wyrażonego w mierze łukowej i wtedy wzór (7) przechodzi w M mgd D (7) Wiekość D = mgd nazywamy momentem kierującym. Jest to maksymana wartość, jaką może przyjąć moment siły usiłujący przywrócić ciało do położenia równowagi. Do ruchu wahadła możemy zastosować drugą zasadę dynamiki ruchu obrotowego M (8) gdzie - jest przyśpieszeniem kątowym, zaś wiekość jest momentem bezwładności bryły wzgędem zadanej osi obrotu. ( m da układu punktów r i i i materianych m i, których odegłości od osi obrotu wynoszą odpowiednio r i ; r ciągłego rozkładu masy). Uwzgędniając wzór (8) oraz, że przyspieszenie kątowe d dt możemy drugą zasadę dynamiki przepisać w postaci d D dt dm - da (9)
4 d D ub = (1) dt Otrzymaiśmy równanie anaogiczne do równania (5) a więc rozwiązanie będzie miało postać sin( t ) Z porównania wyrażeń ( 4) i (11) otrzymujemy wzór na okres wahań wahadła fizycznego (11) ub podstawiając D=mgd (1a) D (1b) mgd Wprowadzimy teraz pojęcie długości zredukowanej wahadła fizycznego. Długość zredukowana L wahadła fizycznego jest równa takiej długości wahadła matematycznego, które posiada ten sam okres drgań, co dane wahadło fizyczne. Przypomnijmy, że wahadło matematyczne przedstawia ciężarek (punkt materiany) zawieszony na nierozciągiwej i nieważkiej nici. Po odchyeniu nitki od pionu o niewieki kąt, nitka z ciężarkiem będzie poruszała się ruchem wahadłowym, którego okres wynosi (13) g Z porównania wyrażeń pod pierwiastkami we wzorach (1b) i (13) otrzymujemy długość zredukowaną wahadła fizycznego (14) md Moment bezwładności bryły wzgędem dowonej osi obrotu możemy wyznaczyć korzystając z twierdzenia Steinera. wierdzenie to mówi, że moment bezwładności bryły wzgędem dowonej osi równy jest momentowi bezwładności tej bryły wzgędem osi przechodzącej przez jej środek ciężkości (i równoegłej do danej osi), powiększonemu o ioczyn masy tej bryły przez kwadrat odegłości między osiami: md (15) Po uwzgędnieniu (15) zapisujemy wzór (14) w postaci: md (16) md Punkt bryły odegły o od osi obrotu nazywa się środkiem wahań wahadła fizycznego, grawitacyjnego Wykażemy, że jeśi przez ten punkt przeprowadzimy oś obrotu równoegłą do osi pierwotnej, to okres drgań wzgędem nowej osi będzie taki sam, jak okres wzgędem osi
5 pierwotnej, przechodzącej przez punkt.wahadło odwrócone o osi obrotu przechodzącej przez środku wahań ma okres drgań wyrażający się wzorem: md (17) mgd Z rysunku () widać, że d = d co po uwzgędnieniu zaeżności (16) pozwaa ( po przekształceniach) zapisać wzór (17) w postaci: ( d d ) (18) g g en fakt wykorzystuje się do wyznaczenia przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła fizycznego o specjanej konstrukcji, tzw. wahadła rewersyjnego, (odwracanego). Jest to bryła sztywna mająca takie dwie osie obrotu i, że okresy wahań wzgędem nich są jednakowe. W ćwiczeniu wahadło rewersyjne przedstawia pręt metaowy, na którym znajdują się dwa ruchome ciężarki A i B (rys. (). Przez przesuwanie ciężarków zmieniamy położenie środka ciężkości pręta, a zatem i okres wahań. Osie obrotu mają postać pryzmatów nieruchomo umocowanych w stałej odegłości od siebie. Przesuwając odpowiednio ciężarki znajdujemy takie ich położenie, przy którym okresy wahań wzgędem obu osi są jednakowe,. Wtedy odegłość między osiami będzie długością zredukowaną odpowiadającą okresowi drgań równoważnego wahadła matematycznego. Znając długość zredukowaną, możemy ze wzoru (13) wyznaczyć wartość przyśpieszenia ziemskiego g: (19) 4 g (19). Wykonanie ćwiczenia. 1. Ciężarek A (znajdujący się między osiami) zamocowujemy mniej więcej w połowie odegłości między osiami Ciężarek B umieszczamy w położeniu najbiższym osi.. Uruchamiamy wahadło i mierzymy czas dwudziestu wahnięć wokół osi. 3. Wyznaczamy okres drgań Odwracamy wahadło, mierzymy czas wahnięć wokół osi i wyznaczamy okres drgań. 4. Przesuwamy ciężarek A o cm, ponownie znajdujemy okresy wahań i wokół osi
6 i. Mierząc za każdym razem odegłość ruchomego ciężarka A od osi. Postępujemy w ten sposób do momentu, gdy ciężarek A znajdzie się na końcu wahadła. 5. Po zmierzeniu okresów drgań wahadła zawieszanego na osi.-. i osi - w funkcji położenia x ruchomego ciężarka, sporządzamy wykres zaeżności okresów drgań wahadła od odegłości ruchomego ciężarka od wybranej osi obrotu, = (x) i (x) 6. Znajdujemy na nim punkt ( x, ) przecięcia krzywych (x) i (x) 7. Jeśi okaże się, że krzywe na wykresie nie przecięły się, zmieniamy położenie ciężarka B i doświadczenie powtarzamy od początku. 8. W przypadku, gdy krzywe przecinają się, sprawdzamy, ustawiając ciężarek A w punkcie x, czy istotnie wtedy =. Gdyby okazało się, że da tego ustawienia okresy nie są dokładnie sobie równe, przesuwamy A o około 1cm w jednym ub drugim kierunku. Powtarzamy pomiary. Położenie ciężarka uściśamy do momentu, gdy okresy w granicach błędu będą sobie równe. 9. Mierzymy odegłość miedzy osiami (długość zredukowaną). 1. Znaezioną wartość i podstawiamy do wzoru (19), z którego obiczamy wartość przyśpieszenia ziemskiego. 11. Obiczamy błąd mierzonej wiekości (np. metodą pochodnej ogarytmicznej). 1. Wyznaczoną wartość g porównujemy z wartością tabicową. 3. Pytania kontrone 1. Jak zmienia się energia potencjana i kinetyczna w ruchu harmonicznym nietłumionym?. Jakie wiekości charakteryzują ruch drgający harmoniczny? 3. Czy okres wahań wahadła matematycznego na biegunie i na równiku Ziemi będzie jednakowy? 4. Jaki byłby okres wahań wahadła fizycznego umieszczonego w spadającej swobodnie windzie? 4. Literatura. 1.. Dryński: Ćwiczenia aboratoryjne z fizyki. PWN, Warszawa, 1977.. R. Resnick, D. Haiday: Fizyka, t. 1. PWN, Warszawa, 198. 3. H. Szydłowski: Pracownia fizyczna. PWN, Warszawa, 1979.