Zadanie 1 Zamkowa zbrojownia produkuje dwa rodzaje halabard: A i B, które stały się jej przebojem eksportowym. Jednostkowy zysk osiągany na halabardzie A równa się 1 dukatowi, a na halabardzie B 3 dukatom. W procesie produkcji wykorzystywane są dwa surowce o kluczowym znaczeniu: stal i drewno. Ich zużycie w kg na jedną halabardę A oraz B a także limity zapasów w magazynie zawiera tabela: Halabarda A Halabarda B Zapas [t] Stal 1 2 20 Drewno 2 1 18 Podczas produkcji stali zużywa się rudę. Normy technologiczne wymagają 2 jednostek tego surowca na każdą sztukę A oraz na każdą sztukę B. Należy zużyć co najmniej 10000 jednostek rudy, aby uzyskać odpowiednią stal. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży obu rodzajów halabard do ościennych księstw. O ile przekroczone zostanie zużycie rudy? Zadanie 2 (Jędrzejczyk, Kukuła) Rafineria ropy naftowej kupuje do przerobu dwa gatunki ropy: R1 i R2 w cenach odpowiednio: 7 i 14 zł za jednostkę przerobową. Proces technologiczny, odbywający się w wieży rektyfikacyjnej daje trzy produkty: benzynę, olej napędowy i odpady. Z jednostki przerobowej ropy R1 otrzymujemy 16 hl benzyny, 20 hl oleju napędowego i 24 hl odpadów. Z jednostki przerobowej ropy R2 otrzymujemy 48 hl benzyny, 10 hl oleju napędowego i 14 hl odpadów. Ile należy kupić ropy R1 i R2, aby wyprodukować co najmniej 48 000 hl benzyny oraz 20 000 hl oleju napędowego przy minimalnym koszcie zakupu surowca. Zdolność przerobowa wieży rektyfikacyjnej, mierzona łączną objętością wszystkich produktów wynosi 144 000 hl. Czy limit produkcji odpadów zostanie wykorzystany w całości? Zadanie 3 Nowopowstająca sieć marketów ogłosiła przetarg na dostawę wózków. Zamówienie obejmuje wózki dwóch rodzajów: duże i małe. Firma, która wygrała przetarg zaoferowała cenę za swoje wyroby na poziomie odpowiednio 150 i 100 złotych. Do wyprodukowania wózków niezbędne są pręty stalowe. Na jeden duży wózek potrzeba ich 10 kg zaś na mały 8 kg. Zapas prętów poczyniony na poczet zamówienia wynosi 2,5 tony. Drugim niezbędnym surowcem jest tworzywo sztuczne. Zużywa się go 100 dag na wózek duży i 50 dag na mały, a zapas wynosi 200 kg. Kontrakt wymaga, aby dużych wózków było przynajmniej dwa razy tyle, co małych. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny przychód przy wynegocjowanych cenach. Jaka ilość prętów stalowych pozostanie niewykorzystana? Zadanie 4 Trener przed zawodami podejmuje decyzję odnośnie zakupu odpowiednich odżywek dla zawodników. Do wyboru ma dwie: Vitarevival i Komandirskaja. Z uwagi na ograniczone zasoby finansowe, w jakie został wyposażony, szkoleniowiec musi dążyć do jak najniższych kosztów zakupu. Cena jednego opakowania Vitarevival wynosi 2 euro, a Komandirskaja 3 euro. Podstawą wyboru jest zawartość trzech składników: S1, S2 i S3. Ich zawartość w jednym opakowaniu odżywki podaje tabela: Składnik Vitarevival Komandirskaja S1 2 2 S2 1 2 S3 3 6 1
Wiadomo, że organizm potrzebuje co najmniej 10 jednostek S1 i co najwyżej 14 jednostek S2 oraz co najwyżej 18 jednostek S3. Opracować plan zaopatrzenia zawodników minimalizujący łączne koszty zakupu. Czy składnik S1 zostanie dostarczony w minimalnej, wymaganej ilości? Zadanie 5 Warsztat rękodzielniczy przygotowuje na najbliższy kiermasz gliniane dzbany dwóch rodzajów: A i B. Zysk ze sztuki A wynosi 60 a z 1 sztuki B 50 zł. Do wyrobu produktów używana jest glina, której zapas wynosi 150 kg. Następnie dzbany malowane są farbą, której warsztat posiada 30 litrów. Jednostkowe zużycie obu wymienionych surowców zawiera poniższa tabela: Produkt Glina [kg/szt.] Farba [l/szt.] Dzban A 1,5 0,2 Dzban B 2 0,3 Należy się spodziewać, że dzbanów typu A sprzedanych zostanie co najmniej 20 sztuk. Opracować plan produkcji zapewniający maksymalny zysk ze sprzedaży dzbanów (zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana). Czy zapas gliny zostanie wykorzystany w całości? Zadanie 6 Kierownictwo firmy rozważa rozpoczęcie produkcji dwóch rodzajów (A i B) części do pralek. Przychód ze sprzedaży liczony jest jako suma kosztów i marży w przeliczeniu na 1 sztukę produktu i nie powinien być niższy niż 24 tys. zł. Części wytwarzane będą na maszynach, których limit nieprzerwanej pracy wynosi 10 godzin. Struktura zamówień ze strony odbiorców oznacza, że części A należy wyprodukować co najmniej 50 sztuk, zaś części B co najwyżej 120 sztuk. W poniższej tabeli znajdują się wartości kosztów, marży oraz czasu wytwarzania w przeliczeniu na 1 sztukę danego wyrobu: Rodzaj części Koszt [zł/szt.] Marża [zł/szt.] Czas wytw. [min.] A 80 20 3 B 90 30 2 Zbudować i rozwiązać liniowy model decyzyjny zapewniający maksymalny przychód z produkcji. Czy pozostanie rezerwa niewykorzystanego czasu pracy maszyn? Zadanie 7 Dane jest następujące zadanie optymalizacyjne: f(x) = 5x 1 + 2x 2 max 3x 1 + 3x 2 18 x 1 4 5x 1 + 2x 2 10 x 1 0, x 2 0 Znajdź rozwiązanie przy pomocy metody graficznej. 2
Zadanie 8 Dane jest następujące zadanie optymalizacyjne: f(x) = 10x 1 + 10x 2 min 2x 1 + 3x 2 60 x 1 + 2x 2 20 x 1 0, x 2 0 Znajdź rozwiązanie przy pomocy metody graficznej. x 2 10 Zadanie 9 Złotnik otrzymał zamówienie na produkcję biżuterii. Ma zamiar podzielić je na trzy rodzaje produktów: kolie, brosze i kolczyki. Do produkcji zużywać będzie złoto, srebro i platynę. Limity (zamówienie jest na wczoraj i nie ma czasu na uzupełnienie zapasów surowców) oraz wykorzystanie tychże surowców na jedną sztukę wyrobu prezentuje tabela: Zużycie jednostkowe [g] Kolia Brosza Kolczyki Limity [g] Złoto 3 2 3 15 Srebro 2 1 2 20 Platyna 2 0 4 30 Jednostkowy zysk dla kolii wynosi 34 zł, dla broszy 20 zł, a dla kolczyków 50 zł. Złotnika interesuje osiągnięcie jak najwyższego zysku z całego zamówienia. Wartości Zmienne x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 zmiennych c B bazowe (kolie) (brosze) (kolczyki) (złoto) (srebro) (platyna) bazowych x 3 1 2/3 2/3 5 s 2 0 1/3 2/3 10 s 3 2 8/3 4/3 10 j 1. Uzupełnij powyższą tabelę. 2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu). 3. Czy zapas srebra zostanie wykorzystany w całości? 4. Czy należy wyprodukować wszystkie rodzaje biżuterii? Zadanie 10 Importer planuje wprowadzenie na rynek herbaty powstającej z mieszanki trzech różnych gatunków tego krzewu. W przeliczeniu na 1 tonę sprowadzenie herbaty 1-go gatunku kosztuje 250 zł, 2-go gatunku 210 zł a 3-go gatunku 300 zł, przy czym koszt zakupu nie powinien przekroczyć 8000 zł. Herbata musi przejść obróbkę w specjalnych komorach oraz charakteryzować się określoną zawartością garbników. Czas obróbki i zawartość garbników w zależności od gatunku podaje tabela: 3
Herbata 1 Herbata 2 Herbata 3 Czas w komorze [min] 30 60 60 Zawartość garbnika [mg/100g] 15 14 20 Dostępny czas pracy komory wynosi 200 godzin. Walory smakowe wymagają, aby garbnika w mieszance znalazło się co najmniej 350 mg/100g. Opracować plan zakupu poszczególnych gatunków zapewniający minimum kosztów. Wartości Zmienne x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 t 3 zmiennych c B bazowe (koszt) (czas, h) (garbnik) bazowych j s 1 25 0 15 2750 s 2 0,25 0,3 0,05 182,5 x 3 0,75 0,7 0, 05 17,5 1. Uzupełnij powyższą tabelę. 2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu). 3. Czy należy kupić wszystkie gatunki herbaty? 4. Czy faktycznie poniesione koszty zakupu będą niższe od zakładanych o 2750 zł? Zadanie 11 Zbudować plan produkcji maksymalizujący przychód ze sprzedaży trzech produktów A, B, C (zakładamy, że cała produkcja zostanie sprzedana). Przychód jednostkowy obliczany jest jako suma kosztów produkcji pojedynczego produktu oraz nakładanej marży. W procesie produkcji kluczowe znaczenie mają 2 surowce U1 i U2 oraz dostępny czas pracy maszyn. Jednostkowe wartości kosztów, marży, czasu pracy i zużycia surowców podaje tabela: Produkt Koszt (zł) Marża (zł) U1 (kg) U2 (l) Czas (min) A 11 3 8 5 5 B 8 2 2 5 10 C 15 2 5 5 6 Zapas surowca U1 wynosi 3,4 t zaś U2: 20 hl. Dostępny limit czasu dla maszyn wynosi 50 godzin nieprzerwanej pracy. Wartości Zmienne x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 zmiennych c B bazowe (A) (B) (C) (U1) (U2) (czas) bazowych j 1. Uzupełnij powyższą tabelę. s 1 3 3 1 1400 x 3 1 1 0,2 400 s 3 1 4 1,2 600 2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu). 4
3. Czy wykorzystane zostanie 2000 kg surowca U1? 4. Czy dostępny czas pracy będzie wykorzystany w całości? Zadanie 12 Inwestora interesują trzy przylegające do siebie działki, pierwsza o pow. 510 m 2, druga 550 m 2 a trzecia 530 m 2. Firma planuje wykupić łącznie co najmniej 1000 m 2 terenu. Negocjacje prowadzono oddzielnie z poszczególnymi właścicielami. Zaoferowano ceny za 1 m 2 wynoszące dla odpowiednich działek: 200, 180, 170 zł, przy czym możliwe jest wykupienie po tej cenie tylko części danej działki. Opracować plan wykupienia stosownej powierzchni tak, aby łączny koszt zakupu był jak najmniejszy. Wartości Zmienne x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 s 4 t 1 zmiennych c B bazowe (łącznie) (dz. 1) (dz. 2) (dz. 3) bazowych x 2 1 1 1 s 2 1 0 0 510 s 3 1 1 1 80 x 3 0 0 1 530 j 174 700 1. Uzupełnij powyższą tabelę. 2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu). 3. Czy konieczny jest zakup wszystkich działek? 4. Czy zostanie wykupione 480 m 2 działki 2? Zadanie 13 Zakład mechaniczny MECHANIK otrzymał zamówienia na wykonanie kół zębatych, drążków sterowniczych, kół zamachowych. Zakład ten składa się z trzech oddziałów: frezarni, tokarni, montowni. Czas (w godzinach) potrzebny tym działom na wykonanie poszczególnych wyrobów zawiera tabela: Koła zębate Drążki sterownicze Koła zamachowe Frezarnia 1 5 4 Tokarnia 2 2 3 Montownia 1 1 2 Maksymalny czas pracy dla oddziałów to: 200 godzin dla frezarni i tokarni i 300 godzin dla montowni. Wiedząc, że jednostkowy zysk na kołach zębatych wynosi 10 zł, na drążkach 20zł, a na kołach zamachowych 18 zł należy wyznaczyć taki plan produkcji, aby zysk osiągany przez warsztat był maksymalny. Wartości Zmienne x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 zmiennych c B bazowe (zębate) (drążki) (zamach.) (frez.) (tok.) (mont.) bazowych 1 5/8 1/4 1/8 0 25 x 1 0 7/8 1/4 5/8 0 0 1/2 0 1/2 1 200 j 1250 5
1. Uzupełnij powyższą tabelę. 2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu). 3. Czy czas pracy montowni zostanie wykorzystany w całości? 4. Czy któraś z części nie powinna być produkowana? Zadanie 14 Poniżej znajduje się model decyzyjny dla pewnego zadania optymalizacyjnego: X A liczba zamontowanych elementów typu A [szt.] X B liczba zamontowanych elementów typu B [szt.] f(x) = 5X A + 6X B min (czas montażu [sek.]) 5X A + 6X B 28800 X A 1000 X A 2X B 0 (czas montażu [sek.]) (wielkość produkcji A [szt.]) (proporcja A do B [szt.]) 0,1X A + 0,15X B 100 (zużycie wody [l]) X A 0, X B 0 Wartości Zmienne X A X B s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3 zmiennych c B bazowe (czas) (prod.) (propor.) (woda) bazowych s 1 6 5 0 0 23800 X A 0 1 0 0 1000 2 1 1 0 1000 0,15 0,1 0 1 0 j 5-M M 1. Uzupełnij powyższą tabelę. 2. Podaj wynikające z niej rozwiązanie (wartości wszystkich zmiennych i funkcji celu). 3. Czy należy montować obie części? 4. Czy woda zostanie zużyta w maksymalnej dopuszczalnej ilości? Zadanie 15 Trzy punkty skupu dostarczają złom do trzech hut. Punkty dysponują odpowiednio 25, 26 i 24 tonami złomu, podczas gdy huty mogą przyjąć: 29, 26 i 20 tony. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: 8 8 6 C = 2 4 7 6 5 5 Opracować plan dostaw złomu minimalizujący łączne koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego. Zadanie 16 Trzech rolników dostarcza mleko do trzech mleczarni. Rolnicy owi dostarczają odpowiednio 200, 6
150, 220 hl mleka. Poszczególne mleczarnie mogą przyjąć następujące ilości: 100, 300 i 150 hl. Koszty przewiezienia jednego hl mleka (zł) między rolnikami a mleczarniami przedstawia macierz: 2 3 1 C = 4 2 2 2 3 3 Opracować plan dostarczenia całego mleka tak, aby łączny koszt przewozu był jak najmniejszy (wykorzystać metodę kąta północno-zachodniego). Zadanie 17 Trzy cementownie zaopatrują w cement cztery budowy. Cementownie dysponują odpowiednio 20, 30 i 40 tonami cementu, podczas gdy zapotrzebowanie na budowach wynosi: 15, 20, 20 i 30 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: C = 11 12 10 10 14 8 9 20 13 13 15 10 Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północnozachodniego Zadanie 18 Czterech producentów dostarcza do 2 kontrahentów wyroby metalowe. Dysponują oni odpowiednio 50, 30, 45 i 23 tonami wyrobów, podczas gdy zapotrzebowanie wynosi u każdego z odbiorców po 60 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: C = 20 18 30 21 21 13 19 16 Z powodu remontu, droga między drugim producentem a drugim odbiorcą jest całkowicie nieprzejezdna. Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego. Zadanie 19 Trzy autobusy muszą rozwieźć ludzi w trzy różne miejsca. Pojemności autobusów, liczbę osób mających znaleźć się w punktach docelowych oraz macierz kosztów jednostkowych (zł) podaje poniższa tabela: Miejsce 1 Miejsce 2 Miejsce 3 a Autobus 1 2,5 3,0 1,5 31 Autobus 2 1,2 1,3 3,0 30 Autobus 3 3,2 3,3 4,0 28 b 27 42 20 Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północnozachodniego. Zadanie 20 Dwa duże gospodarstwa rolne zaopatrują w buraki cukrowe cztery punkty skupu. W tym roku pierwsze gospodarstwo dostarczy 75 a drugie 60 ton buraków. Punkty skupu skłonne są przyjąć odpowiednio: 40, 30, 32, 29 ton buraków. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: 7
Punkt skupu 1 Punkt skupu 2 Punkt skupu 3 Punkt skupu 4 Gospodarstwo 1 2,5 2,3 2,7 2,3 Gospodarstwo 2 2,9 3,0 2,1 2,1 Na trasie z gospodarstwa 2 do trzeciego punktu skupu zorganizowano objazd, w związku z czym można na tej trasie przewieźć do 25 ton ładunku. Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego. Zadanie 21 Konserwy z trzech wojskowych magazynów mają trafić do trzech jednostek. Z magazynu pierwszego wyjedzie 20, z drugiego 30, a z trzeciego 24 tony konserw. Do jednostek ma trafić odpowiednio: 28, 26, 20 ton. Macierz jednostkowych kosztów przewozu (zł) jest następująca: C = 3 5 2 4 3 1 6 7 9 Trasa z magazynu 1 do jednostki 3 jest całkowicie nieprzejezdna Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północno-zachodniego. Zadanie 22 Producenci serialu A jak alabaster zamówili u dwóch dostawców elementy dekoracji, które tymczasowo mają znaleźć się w jednym z czterech magazynów wytwórni. Dostawca 1 może zapewnić 200 a drugi 180 kg owych elementów. W pierwszym magazynie ma się znaleźć 120, w drugim 60, w trzecim 130 a w czwartym 70 kg elementów. Z powodu koczowania licznej grupy fanów, trasa od pierwszego dostawcy do trzeciego magazynu jest nieprzejezdna. Macierz jednostkowych kosztów przewozu jest następująca: [ ] 11 15 13 18 C = 12 12 14 19 Opracować plan dostaw minimalizujący koszty transportu używając metody kąta północnozachodniego. Zadanie 23 W związku z oczekiwaną serią kontroli sanepidu właściciel zakładów mięsnych musi zabrać część wędlin z objętych kontrolą zakładów i zawieźć je do dwóch firm zajmujących się utylizacją. Pierwsza z nich jest w stanie przyjąć 16, a druga 17 ton wędlin. Z każdego zakładu należy usunąć po 11 ton wędlin. Na drodze z pierwszego zakładu do pierwszej firmy należy pokonać most, przez który na raz przejedzie tylko 5 ton wędliny. Macierz jednostkowych kosztów transportu jest następująca: 3 4 C = 4 5 3 6 Zadanie 24 Oszacuj parametry modelu uzależniającego zysk firmy (Y t ) w danym miesiącu (tys. zł) od ponoszonych nakładów inwestycyjnych (X t, tys. zł) wiedząc, że przyjęto następującą postać równania: Dysponujemy poniższymi danymi: Y t = α 0 + α 1 X t + ε t 8
Okres 1 2 3 4 5 6 7 8 Y t 7 7 8 8 8 9 8 9 X t 3 3 3 4 5 5 4 5 Zbadaj istotność parametrów (t α = 2,45) oraz wyznacz i zinterpretuj współczynnik determinacji. Oceń znak przy parametrze α 1. Zadanie 25 Oszacuj parametry modelu uzależniającego przeciętne spożycie ziemniaków (Y t, kg) od ich ceny (X t, zł) wiedząc, że przyjęto następującą postać równania: Dysponujemy poniższymi danymi: Y t = α 0 + α 1 X t + ε t Okres 1 2 3 4 5 6 7 8 Y t 2 2 3 3 3 4 3 4 X t 1 1 1 2 3 3 2 3 Zbadaj istotność parametrów (t α = 2,45) oraz wyznacz i zinterpretuj współczynnik determinacji. Oceń znak przy parametrze α 1. Zadanie 26 Oszacuj parametry modelu uzależniającego przeciętny popyt na pewne dobro (Y i, tys. zł) od dochodu w przeliczeniu na osobę w ośmiu regionach kraju (X i, 10 2 zł) w danym miesiącu wiedząc, że przyjęto następującą postać równania: Dysponujemy poniższymi danymi: Y i = α 0 + α 1 X i + ε i Okres 1 2 3 4 5 6 7 8 Y i 3 3 3 4 5 5 6 7 X i 2 5 5 6 8 8 10 12 Zbadaj istotność parametrów (t α = 2,45) oraz wyznacz i zinterpretuj współczynnik determinacji. Oceń znak przy parametrze α 1. Zadanie 27 Oszacuj parametry modelu uzależniającego średni giełdowy kurs firmy (Y t zł) w danym miesiącu od osiąganych zysków (Y t, tys. zł) wiedząc, że przyjęto następującą postać równania: Dysponujemy poniższymi danymi: Y t = α 0 + α 1 X t + ε t Okres 1 2 3 4 5 6 7 Y t 3 2 3 4 5 5 6 X t 2 3 2 3 3 3 5 9
Na podstawie testu istotności parametrów (t α = 2,57) oraz współczynnika determinacji odpowiedz na pytanie: czy przyjęcie danej postaci modelu było zasadne? Oceń znak przy parametrze α 1. Zadanie 28 Oszacuj parametry modelu uzależniającego wartość popytu na żelki (Yt, tys. zł) od ceny 1 kg żelatyny spożywczej (Xt, zł) wiedząc, że przyjęto następującą postać równania: Dysponujemy poniższymi danymi: Y t = α 0 + α 1 X t + ε t Okres 1 2 3 4 5 6 7 Y t 10 10 11 15 11 11 16 X t 4 3 4 2 3 3 2 Zbadaj istotność parametrów (t α = 2,57) oraz wyznacz i zinterpretuj współczynnik determinacji. Oceń znak przy parametrze α 1. Zadanie 29 Oszacuj parametry modelu uzależniającego roczne przychody miejskiego zakładu komunikacji (Y t mln zł) w danym roku od liczby obsługiwanych linii autobusowych (Y t ) wiedząc, że przyjęto następującą postać równania: Y t = α 0 + α 1 X t + ε t Dysponujemy poniższymi danymi: Okres 1 2 3 4 5 6 7 Y t 3 2 3 4 5 5 6 X t 20 30 20 30 30 30 30 Na podstawie testu istotności parametrów (t α = 2,57) oraz współczynnika determinacji odpowiedz na pytanie: czy przyjęcie danej postaci modelu było zasadne? Oceń znak przy parametrze α 1. Zadanie 30 Oszacuj parametry modelu uzależniającego popyt na piwo pewnego browaru (Y t, tys. hl) w zależności od ceny butelki tego piwa (X 1t, zł) oraz ceny butelki piwa największego konkurenta (Y t, zł) wiedząc, że przyjęto następującą postać równania: Y t = α 0 + α 1 X 1t + α 2 X 2t + ε t Dysponujemy poniższymi danymi: 16 8 6 X T X = 8 13 5, (X T X) 1 = 6 5 12 0,098 0,049 0,028... 0,116 0,024...... 0,107, X T y = 160 94 53 y T y = α T X T y + 5 Zbadaj istotność parametrów (t α = 2,16) oraz wyznacz i zinterpretuj współczynnik determinacji. Oceń znak przy parametrze α 2. 10
Zadanie 31 Oszacuj parametry modelu uzależniającego wartość produkcji firmy (Y t ) w danym miesiącu (tys. zł) od majątku trwałego (X 1t, tys. zł) oraz zatrudnienia (X 2t, tys. osób) wiedząc, że przyjęto następującą postać równania: Y t = α 0 + α 1 X 1t + α 2 X 2t + ε t Dysponujemy poniższymi danymi: 30 21 12 X T X = 21 25 20, (X T X) 1 = 12 5 46 0,086 0,084 0,014... 0,142 0,04...... 0,036, X T y = 150 73 40 y T y = α T X T y + 10 Zbadaj istotność parametrów (t α = 2,05) oraz wyznacz i zinterpretuj współczynnik determinacji. Oceń znak przy parametrze α 1. Zadanie 32 Oszacuj parametry modelu uzależniającego dzienną sprzedaż okolicznościowych pocztówek w pewnym kurorcie w piętnastu punktach sprzedaży (Y i, szt.) od liczby dostępnych w danym punkcie wzorów (X i, szt.) wiedząc, że przyjęto następującą postać równania: Y i = α 0 + α 1 X 1i + α 2 U11 i + ε i Punkt nr 11 oferował wyjątkowo mało wzorów pocztówek, dlatego wprowadzono dla niego zmienną zero-jedynkową. Dysponujemy poniższymi danymi: 0,231 0,095 0,014 100 (X T X) 1 =... 0,095 0,015, X T y = 210, y T y = α T X T y + 50...... 0,027 90 Zbadaj istotność parametrów (t α = 2,36) oraz wyznacz i zinterpretuj współczynnik determinacji. Oceń znak przy parametrze α 1. Zadanie 33 Oszacuj parametry modelu uzależniającego nakład pewnego popularnego czasopisma (Y t, tys. egz.) w zależności od dochodu do dyspozycji (X 1t, zł) oraz ceny tego periodyku (X 2t, zł) wiedząc, że przyjęto następującą postać równania: Y t = α 0 + α 1 X 1t + α 2 X 2t + ε t Dysponujemy poniższymi danymi: 20 12 12 X T X = 12 26 21, (X T X) 1 = 12 21 55 0,07 0,029 0,004... 0,067 0,019...... 0,027, X T y = 100 210 90 y T y = α T X T y + 15 Zbadaj istotność parametrów (t α = 2,16) oraz wyznacz i zinterpretuj współczynnik determinacji. Oceń znak przy parametrze α 2. Zadanie 34 11
Oszacuj parametry modelu uzależniającego liczbę wadliwych wyrobów przypadających na jednego robotnika w pewnym zakładzie (Y i, szt.). Jako zmiennych objaśniających użyto danych odnośnie stażu dwudziestu robotników (x 1i, lata) oraz stopnia zużycia narzędzi mierzonego czasem jaki upłynął od ich zakupu (X 2i, lata). Przyjęto następującą postać równania: Y i = α 0 + α 1 X 1i + α 2 X 2i + ε i Dysponujemy poniższymi danymi: 0,062 0,016 0,007 (X T X) 1 =... 0,048 0,014, X T y =...... 0,023 100 50 200, y T y = α T X T y + 50 Zbadaj istotność parametrów (t α = 2,11) oraz wyznacz i zinterpretuj współczynnik determinacji. Oceń znak przy parametrze α 1. Zadanie 35 Oszacowano parametry dwóch alternatywnych modeli wydobycia węgla: (1) Y t = 2 + 0,7P W t + 0,5E t R 2 = 0,98 (e1t e 1t 1 ) 2 = 184 e 1t = [ 2 1 2 3 4 2 0 0 1 3 1 2 5 0 2 ] T (2) ln Y t = 0,5 0,1 ln P W t + 0,02 ln E t R 2 = 0,93 (e2t e 2t 1 ) 2 = 3,15 e 2t = [ 0,3 0 0,5 0,3 0 0,3 0,2 0,1 0,8 0 0,2 0,1 0,2 0,6 0,2 ] T Y t wydobycie węgla w roku t [mln ton], P W t cena 1 tony węgla w roku t [zł], E t wartość produkcji sektora energetycznego w roku t [mln zł]. Wybrać lepszy z modeli. Przeprowadzić dla niego badanie występowania autokorelacji oraz zinterpretować parametr opisujący wpływ ceny węgla. (d L = 1,22 d U = 1,70) Zadanie 36 Oszacowano parametry dwóch alternatywnych modeli opisujących kształtowanie się popytu na usługi rozrywkowe o charakterze masowym: (1) UR t = 7 + 0,2P t 1 + P t R 2 = 0,95 (e1t e 1t 1 ) 2 = 184 e 1t = [ 2 1 2 3 4 2 0 0 1 3 1 2 5 0 2 ] T (2) ln UR t = 0,2 0,11 ln P t 1 + 0,06 ln P t R 2 = 0,98 (e2t e 2t 1 ) 2 = 3,15 e 2t = [ 0,3 0 0,5 0,3 0 0,3 0,2 0,1 0,8 0 0,2 0,1 0,2 0,6 0,2 ] T UR t - wartość wpływów z imprez masowych w roku t [mln zł], P t - wielkość nakładów na promocję w roku t [mln zł]. Wybrać lepszy z modeli. Przeprowadzić dla niego badanie występowania autokorelacji oraz zinterpretować parametr opisujący wpływ nakładów na promocję w roku bieżącym. (d L = 1,22 d U = 1,70) Zadanie 37 Dla modelu opisującego wartość miesięcznego spożycia nabiału w gospodarstwach domowych (y t, tys. zł) w zależności od przeciętnego dochodu na głowę (x t, zł) otrzymano następujące wyniki: ln y t = 0,5 + 0,6 ln x t e 2 t = 26 12
(e t e t 1 ) 2 = [ 1 4 2 1 2 0 1 1 2 3 1 0 1 1 ] T Zinterpretuj parametr przy zmiennej x t. Zbadaj występowanie autokorelacji. (d L = 0,988 d U = 1,55) Zadanie 38 Dla modelu opisującego miesięczną ilość kupowanych nowych aut (y t, tys. szt.) w zależności od sumy płac w sektorze prywatnym (x t, tys. zł) otrzymano następujące wyniki: y t = 15 + x t (et e t 1 ) 2 = 33 e t = [ 1 1 2 1 2 0 0 1 0 2 1 0 0 1 2 ] T Zinterpretuj parametr przy zmiennej x t. Zbadaj występowanie autokorelacji. (d L = 0,988 d U = 1,55) Zadanie 39 Oszacowano parametry modelu opisującego popyt na pewne dobro (Y t ) w zależności od dochodu (X t ): ln Y t = 2,1 + 0,45 ln X t e 2 t = 3,08 (e t e t 1 ) 2 = [ 0,8 0,6 0,2 0,6 0,1 0,5 0,9 0,8 0,2 0,1 0,3 0,4 0,6 0,3 ] T Zinterpretuj parametr przy zmiennej x t. Zbadaj występowanie autokorelacji. (d L = 1,38 d U = 1,75) Zadanie 40 Uzupełnij brakujące liczby: 2... 1 1. ˆα = 3 1...... 5 3 5 3 1 2. ˆα =... 1...... 5 3 10... 30 2 3... = = 10 140...... 22 32 Zadanie 41 Do estymacji pewnego modelu wykorzystano dane miesięczne z lat 2000-2002. Otrzymano następujące wyniki: α 0 = 2, α 1 = 5, ȳ = 10, y T y = α T X T y + 20 x 1t y t = 700 Wyznacz i zinterpretuj współczynnik determinacji. Zadanie 42 Wiedząc, że szacowane PKB za lata 1990-2003 miało średnią wartość równą 140 mln zł uzupełnij:... 20 23 0,02 0,13 0,14...... X T X =... 20 15, ˆα = 0,13 0,34 0,22 390 =......... 10 0,14 0,22 0,11 350... 13
Zadanie 43 Do estymacji pewnego modelu wykorzystano dane miesięczne z lat 2000-2002. Otrzymano następujące wyniki: [ (X T X) 1 = 2 3 3 8 ] [, ˆα = Wyznacz statystyki t-studenta dla parametrów. 3 4 ], α T X T y = 420, y T y = 454 Zadanie 44 Oszacowano parametry liniowego modelu uzależniającego tygodniowy nakład pewnego czasopisma (Y t tys. egz.) od udziału wydatków na periodyki w całości wydatków gospodarstw domowych (X t %). Dla danych z 16 tygodni otrzymano równanie: Ŷ t = 33,48 + 2,33X t R 2 = 0,9 Obliczyć nakład czasopisma w 17 i 18 tygodniu wiedząc, że X 17 = 1,1 zaś X 18 = 1,05 Zadanie 45 Stoisko z pamiątkami w pewnym kurorcie ma w swojej ofercie m.in. okolicznościowe pocztówki. Na podstawie miesięcznych danych z okresu od stycznia do grudnia dotyczących wielkości sprzedaży (y t szt.) oszacowano model liniowy, w którym rolę zmiennej objaśniającej pełniła cena pocztówki (x t zł). W modelu wprowadzono zmienną zero-jedynkową dla lipca (U7 t )z uwagi na niezwykle wysoką sprzedaż w tym okresie. Otrzymano model: ŷ t = 19,51 5,45x t + 6,94U7 t R 2 = 0,91 Wyznaczyć prognozowaną wielkość sprzedaży pocztówek w styczniu, lutym i marcu następnego roku jeżeli mamy dane: x 13 = 1,5, x 14 = 1,3, x 15 = 1,2. Zadanie 46 Dla modelu o następujących parametrach (t = 1,..., T ): ŷ t = 90 + 15x 1t + 7x 2t Obliczyć prognozę w okresie T + 1 wiedząc, że x 1T +1 = 5, x 2T +1 = 3. Zadanie 47 Właściciel browaru o lokalnym zasięgu postanowił sprawdzić jak na wielkość sprzedaży (Y t tys. hl) produkowanego gatunku piwa wpływa średnia cena 1 butelki (P K t zł) u największego w regionie konkurenta. W tym celu zbudował model liniowy, w którym wykorzystał historyczne, kwartalne dane (16 obserwacji, poczynając od pierwszego kwartału): Ŷ t = 4,17 + 3,94P K t 0,24U1 t + 1,01U2 t + 8,65U3 t R 2 = 0,96 U1 t, U2 t i U3 t zmienne zero-jedynkowe odpowiednio dla kwartałów pierwszego, drugiego i trzeciego. Wyznaczyć prognozę sprzedaży na dwa kolejne kwartały wiedząc, że P K 17 = 2 a P K 18 = 2,5 Zadanie 48 Postanowiono przeanalizować poziom wydatków na dobra pierwszej potrzeby wśród mieszkańców wsi. W okresie od stycznia 2001 do listopada 2003. Do opisu wykorzystano funkcję trendu postaci: y t = 400 t 1 t + 2 R2 = 0,91 14
Wyznaczyć prognozy na okresy: grudzień 2003, styczeń 2004, luty 2004. Zadanie 49 Przeanalizowano miesięczną ilość sprzedawanych w ciągu roku biletów do prywatnego zoo. Na tej podstawie oszacowano parametry funkcji trendu postaci: y t = 837 + 86,4t 6,7t 2 R 2 = 0,95 y t = 152,9 180,4t + 76,8t 2 9,6t 3 + 0,4t 4 R 2 = 0,85 Dokonaj wyboru funkcji trendu, a następnie wykonaj prognozę na 3 pierwsze miesiące następnego roku. Zadanie 50 Na podstawie danych pochodzących z okresu od 1 kwartału 2003 do 2 kwartału 2005 oszacowano dwie następujące funkcje trendu (przez U oznaczono zmienne zero-jedynkowe mierzące odchylenie w danym kwartale w porównaniu do 4 kwartału): y t = 15,04 + 0,01t 0,02U1 t 5,1U2 t 5,09U3 t R 2 = 99,5% y t = 12,15 + 0,07t + 2,55U1 t 2,59U2 t R 2 = 60% Wybrać jedną z funkcji (wybór uzasadnić) a następnie wykonać przy jej pomocy prognozy na następujące okresy: 3 kwartał 2005, 1 kwartał 2006. 15
Odpowiedzi do zadań Zadanie 1 X A + 3X B max Stal: X A + 2X B 20000 Drewno: 2X A + X B 18000 Ruda: 2X A + 2X B 10000 X opt A Zadanie 2 X A 0, X B 0 = 0, Xopt B = 10000, f max = 30000 7R 1 + 14R 2 min Benzyna: 16R 1 + 48R 2 48000 Olej: 20R 1 + 10R 2 20000 Odpady: 24R 1 + 14R 2 76000 R 1 0, R 2 0 R opt 1 = 600, R opt 2 = 800, f min = 15400 Zadanie 6 100A + 120B max Przychód: 100A + 120B 24000 Czas: 3A + 2B 600 Min A: A 80 Max B: B 120 A 0, B 0 A opt = 120, B opt = 120, f max = 26400 Zadanie 7 Zadanie 8 X opt 1 = 4, X opt 2 = 2, f max = 24 X opt 1 = 0, X opt 2 = 10, f min = 100 Zadanie 3 150W D + 100W M max Pręty: 10W D + 8W M 2500 Tworzywo: W D + 0,5W M 200 Proporcja: W D 2W M 0 W opt D Zadanie 4 Zadanie 5 W D 0, W M 0 opt = 160, WM = 80, f max = 32000 2V + 3K min S1: 2V + 2K 10 S2: V + 2K 14 S3: 3V + 6K 18 V 0, K 0 V opt = 5, K opt = 0, f min = 10 60A + 50B max Glina: 1,5A + 2B 150 Farba: 0,2A + 0,3B 30 Min A: A 20 A 0, B 0 A opt = 100, B opt = 0, f max = 6000 16
Zadanie 9 34X 1 + 20X 2 + 50X 3 max Złoto: 3X 1 + 2X 2 + 3X 3 15 Srebro: 2X 1 + X 2 + 2X 3 20 Platyna: 2X 1 + 4X 3 30 X 1 0, X 2 0, X 3 0 34 20 50 0 0 0 Wartości Zmienne x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 zmiennych c B bazowe (kolie) (brosze) (kolczyki) (złoto) (srebro) (platyna) bazowych 50 x 3 1 2/3 1 2/3 0 0 5 0 s 2 0 1/3 0 2/3 1 0 10 0 s 3 2 8/3 0 4/3 0 1 10 j 16 13 1/3 0 16 2/3 0 0 250 Zadanie 10 250X 1 + 210X 2 + 300X 3 min Koszt: 250X 1 + 210X 2 + 300X 3 8000 Czas: 0,5X 1 + X 2 + X 3 200 Garbnik: 15X 1 + 14X 2 + 20X 3 350 X 1 0, X 2 0, X 3 0 250 210 300 0 0 0 M Wartości Zmienne x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 t 3 zmiennych c B bazowe (koszt) (czas, h) (garbnik) bazowych 0 s 1 25 0 0 1 0 15 15 2750 0 s 2 0,25 0,3 0 0 1 0,05 0,05 182,5 300 x 3 0,75 0,7 1 0 0 0,05 0,05 17,5 j 25 0 0 0 0 15 M + 15 5250 Zadanie 11 14X 1 + 10X 2 + 17X 3 max U1: 8X 1 + 2X 2 + 5X 3 3400 U2: 5X 1 + 5X 2 + 5X 3 2000 Czas: 5X 1 + 10X 2 + 6X 3 3000 X 1 0, X 2 0, X 3 0 17
14 10 17 0 0 0 Wartości Zmienne x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 zmiennych c B bazowe (A) (B) (C) (U1) (U2) (czas) bazowych 0 s 1 3 3 0 0 1 0 1400 17 x 3 1 1 1 0 0,2 0 400 0 s 3 1 4 0 0 1,2 1 600 j 3 7 0 0 3,4 0 6800 Zadanie 12 200X 1 + 180X 2 + 170X 3 min Pow.: X 1 + X 2 + X 3 1000 Dz1: X 1 510 Dz2: X 2 550 Dz3: X 3 530 X 1 0, X 2 0, X 3 0 200 180 170 0 0 0 0 M Wartości Zmienne x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 s 4 t 1 zmiennych c B bazowe (łącznie) (dz. 1) (dz. 2) (dz. 3) bazowych 180 x 2 1 1 0 1 0 0 1 1 470 0 s 2 1 0 0 0 1 0 0 0 510 0 s 3 1 0 0 1 0 1 1 1 80 170 x 3 0 0 1 0 0 0 1 0 530 j 20 0 0 180 0 0 10 M 180 174 700 Zadanie 13 10X 1 + 20X 2 + 18X 3 max Frezarnia: X 1 + 5X 2 + 4X 3 200 Tokarnia: 2X 1 + 2X 2 + 3X 3 200 Montownia: X 1 + X 2 + 2X 3 300 X 1 0, X 2 0, X 3 0 10 20 18 0 0 0 Wartości Zmienne x 1 x 2 x 3 s 1 s 2 s 3 zmiennych c B bazowe (zębate) (drążki) (zamach.) (frez.) (tok.) (mont.) bazowych 20 x 2 0 1 5/8 1/4 1/8 0 25 10 x 1 1 0 7/8 1/4 5/8 0 75 0 s 3 0 0 1/2 0 1/2 1 200 j 0 0 3,25 2,5 3,75 0 1250 18
Zadanie 14 5 6 0 0 0 0 M M Wartości Zmienne X A X B s 1 s 2 s 3 s 4 t 2 t 3 zmiennych c B bazowe (czas) (prod.) (propor.) (woda) bazowych 0 s 1 0 6 1 5 0 0 5 0 23800 5 X A 1 0 0 1 0 0 1 0 1000 0 s 3 0 2 0 1 1 0 1 1 1000 0 s 4 0 0,15 0 0,1 0 1 0,15 0 0 j 0 6 0 5 0 0 5 M M 5000 19
Zadanie 15 Zadanie zamknięte. 3 2 20 X opt = 26 0 0, K min = 332 0 24 0 Jedyne rozwiązanie. 3 iteracje Zadanie 16 Zadanie otwarte. 50 0 150 0 X opt = 0 150 0 0, K min = 1100 50 150 0 20 Istnieją jeszcze dwa inne rozwiązania. 3 iteracje Zadanie 17 Zadanie otwarte. 10 0 10 0 0 X opt = 0 20 10 0 0, K min = 825 5 0 0 30 5 Jedyne rozwiązanie. 3 iteracje Zadanie 18 Zadanie otwarte. X opt = 50 0 0, K min = 2037 2 0 28 0 45 0 8 15 0 Jedyne rozwiązanie. 4 iteracje Zadanie 19 Zadanie zamknięte. 11 0 20 X opt = 16 14 0, K min = 187,3 0 28 0 Istnieje jeszcze jedno rozwiązanie. 3 iteracje Zadanie 20 Zadanie otwarte. [ ] X opt 38 30 7 0 0 =, K 2 0 25 29 4 min = 302,1 Jedyne rozwiązanie. 3 iteracje Zadanie 21 Zadanie zamknięte. 20 0 0 X opt = 0 10 20, K min = 270 8 16 0 Jedyne rozwiązanie. 3 iteracje Zadanie 22 Zadanie zamknięte. [ ] X opt 120 10 0 70 =, K 0 50 130 0 min = 5150 Istnieją jeszcze dwa rozwiązania. 3 iteracje Zadanie 23 Zadanie zamknięte. 0 11 X opt = 5 6, K min = 127 11 0 Istnieją jeszcze dwa rozwiązania. 4 iteracje Zadanie 24 [ ] 5,333, R 2 = 0,683, Se 2 = 0,211 0,667 Zadanie 25 [ 1,667 0,667 Zadanie 26 [ 1,3 0,457 Zadanie 27 [ 1 1 Zadanie 28 [ 19,5 2,5 Zadanie 29 [ 0,2 0,14 ], R 2 = 0,673, S 2 e = 0,218 ], R 2 = 0,912, S 2 e = 0,235 ], R 2 = 0,5, S 2 e = 1,2 ], R 2 = 0,722, S 2 e = 1,998 ], R 2 = 0,233, S 2 e = 1,84 Zadanie 30 9,59 1,792, R 2 = 0,903, Se 2 = 0,385 1,065 Zadanie 31 7,328 3,834, R 2 = 0,904, Se 2 = 0,37 0,62 20
Zadanie 32 1,89 9,1, R 2 = 0,967, Se 2 = 7,143 2,12 Zadanie 33 0,55 9,46, R 2 = 0,989, Se 2 = 0,882 1,96 Zadanie 34 4 2, R 2 = 0,898, Se 2 = 2,941 3,2 Zadanie 35 Model 1, d=2,24 Zadanie 36 Model 2, d=2,02 Zadanie 37 d=1,69 Zadanie 38 d=1,5 Zadanie 39 d=1,25 Zadanie 40 Y 17 = 36,04, Y 18 = 35,93 Zadanie 41 y 13 = 11,34, y 14 = 12,43, y 15 = 12,97 Zadanie 42 y T +1 = 186 Zadanie 43 Y 17 = 11,81, Y 18 = 15,03 Zadanie 44 y 36 = 368,42, y 37 = 369,23, y 38 = 370 Zadanie 45 y 13 = 827,9, y 14 = 733,4, y 15 = 625,5 Zadanie 46 y 11 = 10,06, y 13 = 15,15 21