Teoria Estymacji. Do Powyżej

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Teoria Estymacji. Do Powyżej"

Teodor Klimek
6 lat temu
Przeglądów:

1 Teoria Estymacji Zad.1. W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie próbę 25 pracowników. Staż pracy (w latach) tych pracowników w 1996 roku był następujący: 37; 34; 0*; 5; 17; 17; 0*; 2; 24; 33; 4; 0*; 5, 32, 3; 19; 24; 6; 8; 26; 24; 29; 9; 29; 2. Jeśli wiadomo, że w badanym przedsiębiorstwie rozkład stażu pracy jest normalny: a) Oszacować punktowo i przedziałowo (współczynnik ufności 0,95) średni staż pracy pracowników badanego przedsiębiorstwa. b) Oszacować przedziałowo (współczynnik ufności 0,98) odchylenie standardowe stażu pracy. c) Zbadać, czy wylosowana próba jest wystarczająca, aby oszacować nieznany średni staż pracy, przy założeniu, ze długość przedziału ufności nie przekroczy 4 lat, a współczynnik ufności będzie na poziomie 0,99. d) Sprawdzić, czy mamy podstawy do uogólnienia otrzymanego w punkcie a) przedziału ufności na populację pracowników zatrudnionych w badanym przedsiębiorstwie. *) staż krótszy niż 1 rok. Zad.2. W pewnym przedsiębiorstwie produkcyjnym wylosowano niezależnie 150 pracowników i zbadano dla nich przeciętne miesięczne wynagrodzenie brutto. Wyniki przedstawiono za pomocą szeregu rozdzielczego: Płace [zł] Liczba pracowników Do Powyżej Wiadomo ponadto, że najniższa płaca brutto w tej próbie wynosiła 400zł, natomiast fundusz płac dla 10 pracowników zarabiających co najmniej 1100zł wynosił 13000zł.Oszacować punktowo i przedziałowo (współczynnik ufności 0,95): a) Przeciętną miesięczną płacę brutto w badanym przedsiębiorstwie; b) Odsetek pracowników przedsiębiorstwa, którzy zarobili miesięcznie powyżej 90zł brutto; c) Czy próba jest wystarczająca, aby oszacować odsetek z punktu b), przy założeniu, że długość przedziału ufności nie przekroczy 4%. Zad.3. Z populacji mężczyzn wylosowano niezależnie 200 osób i uzyskano dla nich przeciętną wagę oraz odchylenie standardowe odpowiednio na poziomie 72,5 kg oraz 8,5 kg. Wiadomo, że waga mężczyzn ma rozkład normalny. Oszacować przedziałowo: a) przeciętną wagę mężczyzn w populacji generalnej (poziom ufności równy 0,99);

2 b) odchylenie standardowe wagi mężczyzn w populacji generalnej (poziom ufności równy 0,97). c) Czy precyzja oszacowania pozwala na uogólnienie uzyskanych wyników na cała populację generalną? Jeżeli nie, to ilu należy dolosować do próby mężczyzn, aby poprawić precyzję oszacowania wariancji do 5%? Zad. 4. Ilu studentów I roku Wydziału Ekonomii należy wylosować niezależnie do próby, aby przy współczynniku ufności 0,98 oszacować odsetek osób, które wybrały kierunek studiów głównie ze względu na swoje zainteresowania, jeżeli wśród 250 studentów 180 osób uważa, że zainteresowania były głównym powodem wyboru przez nich kierunku studiów. Przy szacowaniu tego odsetka osób nie chcemy pomylić się o więcej niż 5%. Zad. 5. Aby oszacować wartość oczekiwaną średniego spalania pewnego typu silników przeprowadzono badania na 12 pojazdach samochodowych, w których zainstalowano te silniki i otrzymano następujące średnie spalania benzyny (w l/100 km): 7,3; 7,4; 6,5; 8,0; ; 6,6. Oszacować wartość oczekiwaną średniego spalania oraz błąd tego oszacowania na wybranym przez siebie poziomie ufności. Podać odpowiednie założenia oraz samodzielnie uzupełnić brakujące dane liczbowe. Zad. 6. Wysokość stypendiów ma rozkład normalny. Ilu studentów należy wylosować niezależnie od próby, aby przy współczynniku ufności 0,98, zbudować przedział ufności o rozpiętości co najwyżej 100 zł dla średniego stypendium pobieranego przez nich, jeżeli wiadomo, że odchylenie standardowe wielkości stypendium wynosi 180 zł. Jak zmieni się ta liczba, gdy zwiększymy współczynnik ufności? Zad. 7. Aby ocenić jakość partii towaru wybrano losowo 140 sztuk i okazało się, że 6 miało pewne braki. Na poziomie ufności 0,9 ocenić, jaki procent całej populacji stanowią produkty uszkodzone? Zad. 8. * (5 pkt) Jak liczna powinna być próba losowa, aby spełnione były jednocześnie następujące dwa warunki dla wyników badania: - precyzja oszacowania średniego rocznego spożycia napojów gazowanych wśród mieszkańców Krakowa mierzona maksymalnym błędem szacunku nie przekroczyła 0,5 litra, jeśli z badań wstępnych wynika, że wariancja średniego spożycia napojów kształtuje się na poziomie 15,5, - precyzja oszacowania frakcji pijących napoje gazowane nie przekroczyła 4%.

3 Weryfikacja hipotez parametrycznych i nieparametrycznych Zad. 1. Producent twierdzi, że wadliwość partii wynosi p = 0,1. Z dużej populacji generalnej pobrano próbkę o liczebności n = 100 i stwierdzono występowanie w niej x = 15 wyrobów wadliwych. Na poziomie istotności α = 0,05 zweryfikować H 0 (p 0 = 0,1) przy hipotezie alternatywnej H 1 (p > p 0 ). Zad. 2. Badano liczbę niewykorzystanych dni urlopu wypoczynkowego przez pracowników urzędu pocztowego w Lublinie metodą reprezentatywną. Otrzymano następujące dane: 42, 72, 42, 55, 47, 43, 40, 58, 47, 54, 63, 15, 63, 10, 34, 14, 42, 53, 45, 59, 11, 54, 15, 40, 64. Na poziomie istotności 0,05 zbadać, czy otrzymana próba jest próbą losową? Zad. 3. Pracodawca przypuszcza, że liczba pracowników nieobecnych w różne dni tygodnia nie jest taka sama. W celu sprawdzenia swojego przypuszczenia obserwował, przez pewien okres, liczby pracowników nieobecnych w kolejnych dniach tygodnia. Wyniki obserwacji zawiera tabela: Dzień tygodnia Liczba nieobecnych Poniedziałek 200 Wtorek 160 Środa 140 Czwartek 140 Piątek 100 Zweryfikować przypuszczenie pracodawcy na poziomie istotności 0,05. Zad. 4. Automat ma produkować blaszki i nominalnej grubości 0,6 mm. Wylosowana próba 45 blaszek dała średnia 0,59 mm oraz wariancję z próby 0,05 mm 2. Czy na podstawie tych danych można twierdzić, że automat działa prawidłowo? Przyjąć, że rozkład zmiennej jest normalny, a współczynnik istotności wynosi 0,01. Zad. 5. * (5 pkt) Sklep ze sprzętem sportowym chce zaprognozować sprzedaż piłeczek do tenisa przed rozpoczęciem sezonu letniego. Zakłada się, że utarg z piłeczek ma rozkład normalny. Kierownictwo sklepu zleciło wylosowanie próby składającej się z 50 klientów sklepu i skierowaniu do nich zapytania, ile piłeczek zamierzają oni kupić w przyszłym sezonie. Z wylosowanej próby otrzymano wariancję deklarowanej liczby piłeczek rzędu 12,25. Jeśli wiadomo, że jedna piłeczka kosztuje 4 zł, zweryfikować odpowiednią hipotezę zakładającą, że przyszły utarg nie odchyli się od prognozowanego na podstawie próby więcej niż o 50 zł. Przyjąć α = 0,02.

4 Zad. 6. W celu skontrolowania frakcji zepsutych owoców dostarczonych przez pewnego rolnika zamierzono wylosować próbę 20 owoców. Podejrzewa się, że frakcja zepsutych owoców kształtuje się na poziomie 20%, a błąd odrzucenia hipotezy prawdziwej dopuszcza się nie większy niż 5%. Jaka liczba zepsutych owoców w próbie będzie uprawniała do odrzucenia hipotezy zerowej? Zad. 7. Na pewnym straganie warzywnym zbadano średnie ceny 6 produktów (w zł na jednostkę sprzedaży) w maju i czerwcu. Otrzymano następujące wyniki: Maj 1,80 1,00 0,55 4,60 3,20 0,20 Czerwiec 2,00 1,00 0,50 2,80 3,00 0,15 Czy można powiedzieć, że średnie ceny na tym straganie istotnie zmalały w ciągu tego okresu (α = 0,01, korelacja cen istotna statystycznie)? Zad. 8. W pewnym mieście wylosowano niezależnie 500 rodzin i zbadano miesięczne zużycie energii elektrycznej w każdej z nich. Otrzymano następujący rozkład Zużycie energii w kwh Liczba rodzin Na poziomie istotności 0,01 zweryfikuj hipotezę, że rozkład zużycia energii elektrycznej jest normalny. Zad. 9. W 500 osobowej grupie losowo dobranych osób przeprowadzono badanie mające na celu uzyskanie odpowiedzi na pytanie czy istnieje zależność między miejscem zamieszkania i preferencjami politycznymi. Wyniki przedstawiono w tabeli. Miejsce zamieszkania Preferencje polityczne SLD PO PIS Inne Miasto Wieś Na poziomie istotności α=0,05 za pomocą testu niezależności χ2 zweryfikować hipotezę, o braku związku między miejscem zamieszkania i preferencjami politycznymi Zad. 10 * (5 pkt) Poniższy szereg przedstawia wiek 20 pracowników zatrudnionych w OUP Lubartów w październiku 1994 roku wylosowanych jako reprezentantów do próby losowej. Należy zbadać na poziomie istotności 0,1 czy są podstawy do twierdzenia, że badanie zostało przeprowadzone w sposób nieprawidłowy. 37, 50, 54, 25, 35, 43, 36, 49, 25, 23, 28, 29, 51, 27, 26, 39, 42, 37, 42, 22.

5 Źródło zadań: Bąk I., Markowicz I., Mojsiewicz M., Wawrzyniak K.; Statystyka w zadaniach. Częśc II statystyka matematyczna; WNT, Warszawa 2001

Podobne dokumenty

ESTYMACJA PARAMETRYCZNA I WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH

ESTYMACJA PARAMETRYCZNA I WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH ZESTAW ZADAŃ ZALECANYCH DO PRZEROBIENIA PRZED PRZYSTĄPIENIEM DO EGZAMINU ZE STATYSTYKI 1 Oznaczenia: E estymacja, W weryfikacja, µ, σ, p, n