Ewolucja ukªadu kwantowego

Informacje o wykªadzie ródªa Metody Symulacji w Nanotechnologii dr hab. Jan Iwaniszewski Zakªad Mechaniki Kwantowej Instytut Fizyki Uniwersytet Mikoªaja Kopernika semestr zimowy 03/4 tre± wykªadu opis ewolucji ukªadów kwantowych, zjawisko tunelowania, przepªyw ªadunków przez ukªady kropek kwantowych, metody numeryczne Warunki zaliczenia wykªad 6 h) wiczenia 6 h) opracowanie symulacji numerycznej problemów ewolucyjnych Literatura R. L. Libo, Wst p do mechaniki kwantowej, PWN 987, S. Brandt, H.. ahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN, 989 3 L. I. Schi, Mechanika kwantowa, PWN 977 4 http://www.zyka.umk.pl/ jiwanisz/ Symulacje PhET, University of Colorado Boulder - https://phet.colorado.edu/ QuVis, University of St Andrews - http://www.st-andrews.ac.uk/physics/quvis/ 3 Ewolucja ukªadu kwantowego Funkcja falowa B dziemy si zajmowa cz stk kwantow o masie m znajduj c sie w przestrzeni jednowymiarowej, tzn. jej poªo»enie jest okre±lone jedynie przez wspóªrz dn x. stan ukªadu kwantowego zespolona funkcja falowa Ψx, t) probabilistyczny sens funkcji falowej prawdopodobie«stwo znalezienia ukªadu w przedziale x, x + dx) w chwili czasu t Prob{x, x + dx}, t) = Px, t)dx = ψx, t) dx = ψx, t)ψ x, t)dx Px, t) = ψx, t) g sto± rozkªadu prawdopodobie«stwa prawdopodobie«stwo znalezienia ukªadu w przedziale Ω = x, x ) x x P Ω t) = Px, t)dx = Px, t)dx = ψx, t) dx Ω x x Operatory Wielko±ci zyczne opisywane s przez operatory oznaczane Â: operator poªo»enia ˆx = x operator p du ˆp = i x operator energii hamiltonian Ĥ = Ê k + Ê p = ˆp m + ˆV = m x + V x) warto± ±rednie operatora w stanie Ψx, t): Â = dx ψ x) Âx) ψx) = ψ Â ψ Ewolucja ukªadu kwantowego 4 Ewolucja ukªadu kwantowego 5 Ewolucja ukªadu kwantowego 6 Zagadnienie wªasne operatora Zagadnienie wªasne operatora p du Równanie Schrödingera Âϕ a x) = aϕ a x) a - warto± wªasna dyskretna lub ci gªa), ϕ a x) - funkcja wªasna Zbiór wszystkich funkcji wªasnych operatora tworzy baz w przestrzeni funkcji falowych { δa,b, dyskretne warto±ci wªasne; ϕ a ϕ b = δa b), ci gªe warto±ci wªasne. { a ψx) = c aϕ a x), da ca)ϕa x), dyskretne warto±ci wªasne; ci gªe warto±ci wªasne. Ewolucja ukªadu kwantowego 7 ˆpϕ k x) = i x ϕ kx) = k ϕ k x) warto± wªasna p du k ϕ k x) = π e ikx ψx) = dk ck) e ikx π ck) = ϕ k ψ = dk e ikx ψx). π W bazie funkcji wªasnych operatora p du funkcja falowa ψx) i wspóªczynniki rozwiniecia ck) tworz par transformat Fouriera. zd. Wykaza sªuszno± powy»szych wzorów. Ewolucja ukªadu kwantowego 8 Funkcja falowa dla problemu jednowymiarowego speªnia zale»ne od czasu równanie Schrödingera: i Ψx, t) = ĤΨx, t) t Je±li potencjaª V x) nie zale»y od czasu, to funkcj falow mo»na sfaktoryzowa Ψx, t) = χt)ϕx): Hϕx) = Eϕx) χt) = e iet/. zd. Wykaza,»e dla hamiltonianu niezale»nego od czau funkcje falow mo»na sfaktoryzowa. Ewolucja ukªadu kwantowego 9

Zagadnienie wªasne hamiltonianu Funkcja falowa w bazie funkcji wªasnych Równanie na cz ± przestrzenn funkcji falowej to zagadnienie wªasne hamiltonianu Hϕ k x) = E k ϕ k x), gdzie ϕ k x) jest funkcj wªasn, a E k energia wªasn. Indeks k przyjmuje warto±ci dyskretne np. niesko«czona studnia potencjaªu, atom wodoru) lub ci gªe np. cz stka swobodna). Je»eli cz stka ma energi równ energii wªasnej hamiltonianu, to jej ewolucja opisana jest funkcj Ψx, t) = χt)ϕx) = ϕ k x)e ie k t owolne rozwi zanie zale»nego od czasu równania Schrödingera mo»na przedstawi w postaci kombinacji liniowej funkcji wªasnych: Ψx, t) = k c k ϕ k x)e ie k t. Wspóªczynniki c k mo»na wyznaczy np. z warunku pocz tkowego Ψx, t = 0) = k c k ϕ k x), c k = ϕ k Ψt = 0). Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej Ewolucja ukªadu kwantowego 0 Ewolucja ukªadu kwantowego Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej Fale pªaskie Ewolucja swobodnej paczki falowej la cz stki swobodnej V x) 0, wi c Ĥ = m x. Zagadnienie wªasne hamiltonianu ma rozwi zanie w postaci Hϕ k x) = d ϕ k x) = m dx E k ϕ k x), ϕ k x) = π e ikx, E k = k m. Rozwi zanie zale»nego od czasu równania Schrödingera to Ψx, t) = ck) e ikx e ie k t = ck)ψ k x, t), k π k ψ k x, t) = e ikx ω kt), ωk = E k / π Funkcja ψ k x, t) = π e ikx ω kt) ma tak sam zale»no± od zmiennych x i t, jak w zyce klasycznej np. w optyce) fala bie» ca rozchodz ca si w prawo dlaczego?) z pr dko±ci fazow v = ω k /k. Stan opisany funkcj ψ k x, t) ma dokªadnie okre±lony p d p = k. G sto± rozkªadu prawdopodobie«stwa znalezienia cz stki w punkcie x to P k x, t) ψ k x, t) = e ikx ω kt) = π π = const Cz stka nie jest nigdzie zlokalizowana poªo»enie cz stki nie jest okre±lone wªasno± nieklasyczna). Rzeczywista cz stka jest zlokalizowana w pewnym obszarze przestrzeni. Opisuje si j wprowadzaj c poj cie tzw. paczki falowej lub pakietu falowego funkcji falowej, która jest istotnie ró»na od zera w sko«czonym obszarze przestrzeni. Np. Np. pakiet gaussowski: { /b dla x [x0, x ψx, t = 0) = 0 + b], 0 dla x / [x 0, x 0 + b]. ψ G x, t = 0) = πa ) 4 P G x, t = 0) = ψ G x, 0) = e ikx e x 4a = Ne ikx e x 4a x e a πa Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 3 Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 4 Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 5 Ewolucja pakietu Gaussowskiego Ewolucja pakietu Gaussowskiego Wartosci ±rednie P G x, t = 0) = ψ G x, 0) = Rozwi zanie równania Schrödingera ma posta : x e a πa i t ψ G x, t) = m x ψ G x, t) ψ G x, t) = N e ikx ωt) e x bt)) 4a gt) gt) N = πa ), ω = k 4 m, bt) = k m t, γ = ma, gt) = + iγt, gt) = + γ t zd 3. Wyprowadzi powy»sze wzory dla ψ G x, t). Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 6 pakiet falowy P G x, t) = ψ G x, t) = x bt)) e a gt) πa gt) Pakiet falowy czastka) przesuwa z pr dko±ci v = bt)/t = k/m i poszerza delokalizuje) do szerokosci agt) = a + γ t. symulacja Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 7 informacja o wªasno±ciach ukªadu warto± ±rednia operatora Â: Â = dx ψ x) Âx) ψx) = ψ Â ψ odchylenie standardowe: Â = varâ) = Â Â Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 8

Wartosci ±rednie Zasada nieoznaczono±ci Heisenberga poªo»enie ˆx = bt), ˆx = b t) + a gt) varˆx) = ˆx ˆx = a + γ t ) ˆx = a + γ t = a + 4m a 4 t ˆx ˆp = a + γ t ) 4a = + γ t = = + 4m a 4 t Zasada nieoznaczono±ci nieokre±lono±ci) Heisenberga Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego p d ˆp = i x = k, ˆp = k + 4a varˆp) = 4a ˆp = a ˆx ˆp nie jest mo»liwe jednoczesne wyznaczenie z dowoln dokªadno±ci zarówno poªo»enia jak i p du cz stki kwantowej zd 4. Porówna zasad nieoznaczono±ci Heisenberga dla pakietu gaussowskiego z wzorami charakteryzuj cymi dokªadno± numerycznych transformat Fouriera. Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 9 Ewolucja swobodnej cz stki kwantowej 0 Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego Przypomnienie Ruch w polu potencjaªu ograniczaj cego np. niesko«czona studnia potencjaªu i Ψx, t) = ĤΨx, t) t Ĥ = ˆp + V x) = m m x + V x) Hϕ k x) = E k ϕ k x) Je±li dla x ± zachodzi V x), to potencjaª ogranicza ruch cz stki nie jest ona swobodna, lecz porusza si w ograniczonym obszarze odbijaj c si od granic obszaru. np. prostok tna studnia potecjaªu ϕ n x) = A sin nπ/l x), E n x) = π ml n z: S. Brandt, H.. ahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN, 989 ϕ k x) funkcja wªasna, E k energia wªasna. Ψx, t) = k c k ϕ k x)e ie k t. Ψx, t = 0) = k c k ϕ k x), c k = ϕ k Ψt = 0). Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 3 Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 4 Ruch w polu potencjaªu ograniczaj cego Oscylator harmoniczny pakiet w ski Oscylator harmoniczny pakiet szeroki np. oscylator harmoniczny V x) = k/ x z: S. Brandt, H.. ahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN, 989 z: S. Brandt, H.. ahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN, 989 Pakiet gaussowski dla t = 0 pozostaje gaussowski przez caªy czas. Oscyluj periodycznie w czasie parametry pakietu odpowiadaj ce za poªo»enie maksimum i szeroko± rozkªadu prawdopod. Ψx, t). Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 5 Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 6 Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 7

Oscylator harmoniczny pakiet koherentny Ruch w polu potencjaªu nieograniczaj cego z: S. Brandt, H.. ahmen, Mechanika kwantowa w obrazach, PWN, 989 Je±li dla x zachodzi V x) V R < lub dla x zachodzi V x) V L <, to w granicy x lub w granicy x cz stka zachowuje si jak cz stka swobodna. Rozpraszanie na potencjale potencjaª o prostok tnych ksztaªtach jam i barier zd 5. Pokaza,»e w czasie ewolucji w polu potencjaªu harmonicznego pakiet gaussowski jest zachowany uzyska wzory na zale»no±c parametrów od czasu). w punktach x i skoki potencjaªu impulsy "kopni cia") siªy F x) = U x) = δx x i ) Ewolucja w polu potencjaªu ograniczaj cego 8 Rozpraszanie na potencjale 9 Rozpraszanie na potencjale 30 prostok tna bariera potencjaªu strumienie cz stek kwantowych i Ψx, t) = HΨx, t) x Ψx, t) = exp iet/ )ϕx) d m dx ϕx)+v x)ϕx) = Eϕx) cz stki o energii E docieraj ce do bariery potencjaªu z lewej strony, cz stki odbite od bariery potencjaªu odbiegaj ce na lewo) 3 cz stki przechodz ce przez barier potencjaªu odbiegaj ce na prawo) obszar I: x < 0 ϕ I x) = Ae ikx + Be ikx k = me/ superpozycja funkcji falowych cz stki padaj cej z lewej strony i cz stki odbiegaj cej na lewo obszar II: 0 < x < a E > V 0 ϕ II x) = Fe iαx + Ge iαx, α = me V 0 )/ 0 < E < V 0 ϕ II x) = Fe βx + Ge βx, β = mv 0 E)/ obszar III: a < x ϕ III x) = Ce ikx + e ikx k = me/ superpozycja funkcji falowych cz stki odbiegaj cej na prawo i cz stki padaj cej z prawej strony warunki brzegowe na granicach obszarów 'zszywanie' funkcji falowych ci gªo± funkcji falowej i jej pochodnej ϕx g ) = ϕx + g ), ϕ x g ) = ϕ x + g ) dla x g = 0 Ae ik 0 + Be ik 0 = Fe iα 0 + Ge iα 0 ikae ik 0 ikbe ik 0 = iαfe iα 0 iαge iα 0 dla x g = a Fe iα a + Ge iα a = Ce ik a + e ik a iαfe iα a iαge iα a = ikce ik a ike ik a Rozpraszanie na potencjale 3 Rozpraszanie na potencjale 3 Rozpraszanie na potencjale 33 zapis macierzowy ) ) A F N = N, B G ) ) F C N 3 = N 4 G ) A = N B N N 3 N 4 ) ) M M C M M ) ) C C = M = wspóªczynniki odbicia R i przej±cia T R = B A, T = C A [ E > V 0 : T = + V 0 sin αa) 4EE V 0 ) [ 0 < E < V 0 : T = + V 0 sinh βa) 4EV 0 E) ] ] Ewolucja przez stany rezonansowe tunelowanie Rozpraszanie na potencjale 34 Rozpraszanie na potencjale 35 Ewolucja przez stany rezonansowe 36

Stany zlokalizowane studnia niesko«czona studnia sko«czona R = ma V 0 Energie wªasne dane sa formuª E n = π n 8ma. Poniewa» ±ciany studni sa niesko«czenie wysokie, to wszystkie stany wªasne sa zlokalizowane cz stka nie mo»e 'uciec'). graczne wyznaczanie energii stanów zwi zanych punkty przeci cia dwóch rodzin krzywych π Je»eli N R π N + ) to w studni znajduje si N + poziomów. Podwójna bariera potencjaªu W ukªadzie takim pojawiaj si stany zwi zane energie E z < 0) oraz rezonansowe E r > 0) b d - ce ±ladem po stanach w niesko«czonej studni. Sa to stany o sko«czonym czasie»ycia metastabilne) - cz stka przygotowana w takim stanie, zlokalizowana w obszarze podwójnej bariery potencjaªu, po pewnym czasie opusci j i oddali si od niej. Problem: jak cz stka kwantowa pokonuje taki ukªad, gdy jej energia E jest: ró»na od energii stanu rezonansowego jest prawie) równa energii stanu rezonansowego E E r Podwójna bariera potencjaªu Je±li na ukªad pada strumie«cz stek opisywany fal pªask e ikx podobnie jak dla pojedynczej bariery potencjaªu), to wspóªczynnik transmisji równy jest T = { + [ η cosk a) sinhκc) + εη sink a) coshκc)...... ηε sink a) ] } gdzie: k = me/, k = me + V 0 )/, κ = mv E)/ ) ) ε = κ k k, η = κ κ k + k c = b a κ ) ) ε = κ k, η = κ k κ + k k κ Ewolucja przez stany rezonansowe 37 Ewolucja przez stany rezonansowe 38 Ewolucja przez stany rezonansowe 39 Podwójna bariera potencjaªu Metoda Cranka-Nicolson i ψ = Hψ ψt + ) = e i H ψt) = U )ψt) i H )ψt) V = 0, V 0 = 0, krzywe dla fali pªaskiej wzór teoretyczny) i pakietu Gaussowskiego o ró»nych szeroko±ciach s, pojawiaj si piki rezonansowe. Ewolucja przez stany rezonansowe 40 Metody numeryczne Metody numeryczne 4 e i H i H ) = + i H U ) = i = e H e i H = e i H U ) ) U ) wzór Cayle'ya + i H ) i H ) i H ) ψt + ) = U )ψt) = + i H ) i H ) ψt) metoda Cranka-Nicolson + i H ) ψt + ) = i H ) ψt) Metody numeryczne 4 Metoda Cranka-Nicolson ψt + ) = + i H ) i H ) ψt) + i H ) ψt + ) = i H ) ψt) ψt + ) ψt) = i ψt + ) + ψt) H Metody numeryczne 43 Metody z ró»nicami sko«czonymi siatka równoodlegªych punktów krok ε pierwsza pochodna f x) f x) = f x) = f x) = druga pochodna f x) f x) = f x + ε) f x) ε wzór progresywny) f x) f x ε) ε wzór wsteczny) f x + ε) f x ε) ε wzór centralny) f x + ε) f x) + f x ε) ε Metody numeryczne 44 Metoda Cranka-Nicolson = + i H, + i H = i H = ψt + ) = )ψt) = )ψt) H = m x + V x) Hψ = ψ n+ ψ n + ψ n + m ε V n ψ n ψ = ψ n + i ] [ ψ n+ ψ n + ψ n + m ε V n ψ n ψ n = σψ n + + σ + i ) V n ψ n σψ n+, σ = i 4mε jest macierz trójdiagonaln Metody numeryczne 45

Metoda rozszczepienia czasu time splitting) Ewolucja f x, t) = Lx, t; f )f x, t) t Lx, t) = g x + g 0x, t; f ) f x, t + h) = explx)h) f x, t), Lx, t; f ) nie zale»y od czasu [ ] t+h f x, t + h) = T exp Lx, s; f s)) f x, t), t Lx, t; f ) zale»y od czasu T - operator iloczynu chronologicznego) Wzór Bakera-Campbella-Hausdora f x, t + h) = exp [Lx)h] f x, t) ] = exp [g x h + g 0x)h f x, t) ] ] exp [g x h exp [g 0 x)h] f x, t) = exp [g h x F x, t) ] = exp [g h x dk exp ikx) F k, t) = dk exp ikx) exp g hk ) F k, t) fast Fourier transform) Kropki kwantowe expa + B) = expa) expb) exp [A, B]...) expa) expb) Metody numeryczne 46 Metody numeryczne 47 Kropki kwantowe 48 Tunelowanie 98 - rozpad j der atomowych, Gamov dioda tunelowa, Esaki, nagr. Nobla z I. Giaever, B.. Josephson, 973, za eksperymentalne prace nad tunelowaniem w póªprzewodnikach i nadprzewodnikach) skaningowy mikroskop tunelowy nagr. Nobla H. Rohrer, G. Binnig, 986) Kropki kwantowe 49 Kropki kwantowe 50 Kropki kwantowe 5 Kropki kwantowe 5 Kropki kwantowe 53 Kropki kwantowe 54

Co b dzie na pracowni? Kropki kwantowe 55 Kropki kwantowe 56 Pracownia 57 Program wicze«ewolucja paczki falowej evolucja swobodna V x) 0) pakietu gaussowskiego tunelowanie przez barier potencjaªu 3 tunelowanie przez podwójn barier potencjaªu program rozwi zujacy równanie Schrödingera zale»ne od czasu, ilustracja graczna ewolucji lm, obrazki poklatkowe,...) wyznaczenie prawdopodobie«stwa znalezienia ukªadu w wybranym obszarze analiza zale»no±ci czasowej prawdopodobie«stwa przej±cia i odbicia od bariery potencjaªu wyznaczenie wsólczynników odbicia i transmisji tunelowanie rezonansowe oszacowanie poªo»enia stanów rezonansowych wyznaczenie poªo»enia stanów rezonansowych z numerycznych warto±ci wsólczynnika tunelowania We wszystkich przypadkach porównywa wyniki numeryczne ze ±cisªymi. Pracownia 58