Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można też zapisywać w postaci n a ii x i + i<j a ij x i x j () Przyk lad 141 (a) Postacia ogólna formy kwadratowej jednej zmiennej jest wyrażenie ax 1, gdzie a R (b) Postacia ogólna formy kwadratowej dwóch zmiennych jest wyrażenie ax 1 + bx + cx 1x, gdzie a, b, c R (c) Postacia ogólna formy kwadratowej trzech zmiennych jest wyrażenie a 1 x 1 + a x + a 3x 3 + ax 1 x + bx 1 x 3 + cx x 3, gdzie a 1, a, a 3, a, b, c R Macierz A = a ij M n (R) nazywamy macierza formy (1), r(a) nazywamy rzedem formy (1), zaś det(a) nazywamy wyróżnikiem tej formy Z definicji formy kwadratowej wynika, że jej macierz A spe lnia warunek A = A T, czyli A jest macierza symetryczna Na odwrót, każda macierz symetryczna jest macierza pewnej formy kwadratowej Przyk lad 14 Macierza formy kwadratowej x 1 + x 3x 1x 3x 1 x 3 trzech zmiennych 1 3 3 x 1, x, x 3 jest A = 3 1 0 Zatem wyróżnik tej formy det(a) = ( 1) 3+1 ( 3 3 ) 0 0 3 3 1 0 = ( 3 ) ( ( 3 )) = 9 4 0, sk ad jej rzad wynosi 3 Na forme (1) możemy też patrzeć jak na funkcje n-zmiennych F : R n R dana wzorem n F (x 1,, x n ) = a ij x i x j, (3) gdyż funkcja F jest wyznaczona jednoznacznie przez wspó lczynniki a ij, bo a ij = 1 F (ε i + ε j ) F (ε i ) F (ε j ) dla wszystkich i, j {1,, n} 1

Utożsamiajac macierz a ze skalarem a R uzyskamy, że a 11 a 1 a 1n x 1 a x 1,, x n A x 1,, x n T = x 1,, x n 1 a a n = x n a n1 a n a nn a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n n n = x 1,, x i,, x n a i1 x 1 + a i x + + a in x n = x i a ij x j = j=1 a n1 x 1 + a n x + + x n n a ij x i x j = F (x 1,, x n ), a wi ec wzór (3) można zapisać w postaci: F (x 1,, x n ) = x 1,, x n A x 1,, x n T (4) Twierdzenie 143 Niech f bedzie automorfizmem przestrzeni liniowej R n posiadajacym w bazie kanonicznej macierz B i niech F bedzie forma n-zmiennych o macierzy A Wówczas F f też jest forma n-zmiennych i jej macierza jest B T A B Dowód Na mocy wzoru (4) (F f)(x 1,, x n ) = F (f(x 1,, x n )) = F (x 1 x n B T ) = x 1 x n B T A (x 1 x n B T ) T = x 1 x n (B T A B) x 1 x n T Wystarczy zatem pokazać, że macierz B T A B jest symetryczna Ale z w lasności transponowania macierzy (B T A B) T = B T A T (B T ) T = B T A B, gdyż macierz A jest symetryczna Definicja 144 Powiemy, że formy kwadratowe F i G, n-zmiennych sa równoważne, jeżeli istnieje automorfizm f przestrzeni R n taki, że G = F f Z twierdzenia 143 i ze stwierdzenia 1115 otrzymujemy od razu nastepuj ace Twierdzenie 145 Równoważne formy kwadratowe n-zmiennych maja takie same rzedy Twierdzenie 146 Relacja równoważności form kwadratowych jest relacja równoważności w rodzinie wszystkich form kwadratowych n-zmiennych Dowód Niech F, G, H bed a dowolnymi formami kwadratowymi n-zmiennych Ponieważ id R n jest automorfizmem przestrzeni R n oraz F = F id R n, wiec forma F jest równoważna formie F Za lóżmy, że forma F jest równoważna formie G Wtedy istnieje automorfizm f przestrzeni R n taki, że G = F f Ale wtedy f 1 też jest automorfizmem przestrzeni R n oraz F = G f 1, wiec forma G jest równoważna formie F Za lóżmy, że forma F jest równoważna formie G oraz forma G jest równoważna formie H Wtedy istnieja automorfizmy f, g przestrzeni R n takie, że G = F f i H = G g Zatem H = F (f g) Ale f g jest automorfizmem przestrzeni R n, wiec forma F jest równoważna formie H

Definicja 147 Forma kanoniczna n-zmiennych nazywamy forme postaci dla pewnych c 1, c,, c n R c 1 x 1 + c x + + c n x n, (5) Twierdzenie 148 Każda forma kwadratowa n-zmiennych jest równoważna pewnej formie kanonicznej n-zmiennych Dowód Zastosujemy indukcje wzgledem n Przeprowadzone przez nas rozumowanie nazywa sie metoda Lagrange a sprowadzania formy kwadratowej do postaci kanonicznej Dla n = 1 teza jest oczywista na mocy przyk ladu 141 (a) Niech n bedzie taka liczba naturalna wieksz a od 1, że każda forma kwadratowa (n 1)- zmiennych jest równoważna pewnej formie kanonicznej (n 1)-zmiennych Rozważmy dowolna forme F, n-zmiennych o macierzy A = a ij M n (R) Jeżeli a ij = 0 dla wszystkich i, j {1,, n}, to F jest forma kanoniczna Za lóżmy wiec dalej, że a kl 0 dla pewnych k, l {1,, n}, przy czym k l Możliwe sa teraz tylko dwa przypadki Przypadek 1 a ii = 0 dla wszystkich i = 1,, n Wtedy k < l oraz F (x 1,, x n ) = a ij x i x j = = i<j,i k,j l a ij x i x j + i<l,i k i<j a il x i x l + k<j,j l a kj x k x j + a kl x k x l Rozważmy przekszta lcenie liniowe f : R n R n dane wzorem f(x 1,, x k,, x l,, x n ) = x 1,, x k + x l,, x k x l,, x n k<j,j l Ponieważ f = id R n, wiec f jest automorfizmem przestrzeni R n Ponadto (F f)(x 1,, x n ) = F (x 1,, x k+x l,, x k x l x k x l,, x n ) = a ij x i x j + a il x i + i<j,i k,j l i<l,i k x k + x l x k + x l a kj x j +a kl xk x l Mamy tutaj cztery sk ladniki, przy czym w pierw- szych trzech sk ladnikach (bed acych sumami) nie wystapi x k Ponieważ a kl 0, wiec w otrzymanej formie kwadratowej (równoważnej formie F ), x k wyst api z niezerowym wspó lczynnikiem równym a kl W ten sposób dochodzimy do przypadku Przypadek a ss 0 dla pewnego s = 1,, n Bez zmniejszania ogólności rozważań możemy zak ladać, że s = n, gdyż dla s < n przy pomocy automorfizmu f przestrzeni R n danego wzorem f(x 1,, x s,, x n ) = x 1,, x n,, x s możemy forme F zastapić forma F f, w której wspó lczynnik przy x n jest równy a ss 0 Niech zatem dalej 0 Wtedy = F (x 1,, x n ) = n 1 a ij x i x j + a in x i x n + x n = ( ) a ij x i x j + x n + 1 n 1 ( a in x i 1 n 1 ) a in x i 3

Niech g bedzie przekszta lceniem liniowym przestrzeni R n w siebie danym wzorem n 1 g(x 1,, x n 1, x n ) = x 1,, x n 1, x n 1 a in x i ) Wówczas Ker(g) = {θ}, wiec g jest automorfizmem przestrzeni R n Ponadto (F g)(x 1,, x n ) = x n + G(x 1,, x n 1 ), gdzie G jest forma (n 1)- zmiennych i G(x 1,, x n 1 ) = ( a ij x i x j 1 n 1 ) a in x i Z za lożenia indukcyjnego istnieje automorfizm h przestrzeni R n 1 taki, że (G h)(x 1,, x n 1 ) = c 1 x 1 + + c n 1x n 1 dla pewnych c 1,, c n 1 R Istnieja zatem funkcjona ly ϕ i : R n R dla i = 1,, n 1 takie, że h(x 1,, x n 1 ) = ϕ 1 (x 1,, x n 1 ),, ϕ n 1 (x 1,, x n 1 ) Niech t: R n R n bedzie odwzorowaniem danym wzorem t(x 1,, x n 1, x n ) = ϕ 1 (x 1,, x n 1 ),, ϕ n 1 (x 1,, x n 1 ), x n Wówczas t jest przekszta lceniem liniowym i Ker t = {θ}, czyli t jest automorfizmem przestrzeni R n Ponadto (F (g t))(x 1,, x n ) = c 1 x 1 + + c n 1x n 1 + x n Przyk lad 149 Przy pomocy metody Lagrange a sprowadzimy do postaci kanonicznej forme F (x 1, x, x 3, x 4 ) = x 1 x + x x 3 + x 3 x 4 + x 4 x 1 i znajdziemy automorfizm liniowy f przestrzeni R 4 taki, że F f jest forma kanoniczna Mamy tutaj przypadek 1, wiec f 1 (x 1, x, x 3, x 4 ) = x 1, x, x 3+x 4, x 3 x 4 Wtedy = x 1 x + x x 3 + x 4 (F f 1 )(x 1, x, x 3, x 4 ) = + x 3 + x 4 x3 x 4 + x 3 x 4 x 1 = = x 1 x + 1 x x 3 + 1 x 1x 3 + 1 4 x 3 1 4 x 4 + 1 x x 4 1 x 1x 4 = = x 1 x + 1 x x 3 + 1 x 1x 3 + 1 4 x 3 1 4 (x 4 x + x 1 ) + 1 4 (x x 1 ) = = 1 4 (x 4 x + x 1 ) + 1 4 x 1 + 1 4 x + 1 4 x 3 + 1 x 1x + 1 x 1x 3 + 1 x x 3 Stad f (x 1, x, x 3, x 4 ) = x 1, x, x 3, x 4 + x x 1 Zatem (F f 1 f )(x 1, x, x 3, x 4 ) = 1 4 x 4 + 1 4 x 1 + 1 4 x + 1 4 x 3 + 1 x 1x + 1 x 1x 3 + 1 x x 3 Teraz zajmiemy sie forma G 1 : G 1 (x 1, x, x 3 ) = 1 4 x 1 + 1 4 x + 1 4 x 3 + 1 x 1x + 1 x 1x 3 + 1 x x 3 = = 1 4 (x 3 + x 1 x 3 + x x 3 ) + 1 4 x 1 + 1 4 x + 1 x 1x = = 1 4 (x 3 + x 1 + x ) 1 4 (x 1 + x ) + 1 4 x 1 + 1 4 x + 1 x 1x = = 1 4 (x 3 + x 1 + x ) Stad h 1 (x 1, x, x 3 ) = x 1, x, x 1 x + x 3 oraz (G 1 h 1 )(x 1, x, x 3 ) = 1 4 x 3 f 3 (x 1, x, x 3, x 4 ) = x 1, x, x 3 x 1 x, x 4 oraz Zatem (F f 1 f f 3 )(x 1, x, x 3, x 4 ) = 1 4 x 3 1 4 x 4 4

Pozostaje zatem obliczyć f 1 f f 3 Ponieważ (f f 3 )(x 1, x, x 3, x 4 ) = = f (x 1, x, x 3 x 1 x, x 4 ) = x 1, x, x 3 x 1 x, x 4 +x x 1, wiec (f 1 f f 3 )(x 1, x, x 3, x 4 ) = f 1 (x 1, x, x 3 x 1 x, x 4 + x x 1 ) = x 1, x, x 1 + 1 x 3 + 1 x 4, x + 1 x 3 1 x 4 Zatem szukanym automorfizmem liniowym przestrzeni R 4 jest f(x 1, x, x 3, x 4 ) = x 1, x, x 1 + 1 x 3 + 1 x 4, x + 1 x 3 1 x 4 5