//4 Gry o sue zero - gry rozgrywae w strategach eszaych STRATEGIE IESZANE - OTYWACJA. ROZWAśY PRZYKŁAD: 5 DEFINICJA..6 Strategą eszaą π gracza P azyway kaŝdy rozkład prawdopodobeństwa określoy a zborze S ego strateg czystych. W grach acerzowych, w których zbory strateg czystych są skończoe, rozkłady prawdopodobeństwa ogą być utoŝsaae z wektora o eueych współrzędych suuących sę do edośc. RozwaŜy zate grę <A, B, >, w które gracz I a zaś gracz II a strateg czystych. Wtedy zbory A*, B* strateg eszaych graczy są astępuące A* { (, K, ) :,, K,, } B* { (, K, ) :,, K,, }
//4 Zachodzą waŝe relace: A A* oraz B B*, gdyŝ stratege czyste oŝey utoŝsaać z rozkłada skocetroway w edy pukce: (, K,,,, K,) a b (, K,,,, K,) PoewaŜ wypłaty graczy podae są za poocą ch fukc uŝyteczośc, a wybory strateg dokoywae przez graczy są od sebe ezaleŝe, zate łatwo oŝey rozszerzyć defce fukc wypłaty tak, by była określoa a cały zborze strateg eszaych. (, ) T ( a, b ) W przypadku gdy będzey chcel podkreślć, Ŝe gracz uŝywa strategę czystą, w fukc wypłaty będzey wpsywal edye e uer. Na przykład (, ) ozacza, Ŝe gracz I gra pewą strategę (eszaą lub e) atoast gracz drug gra swoą -tą strategę czystą, zate (, ) (, ) DEFINICJA.. Grę <C, D, U> azyway rozszerzee gry <A, B, V> eśl A C, B D oraz dla kaŝde pary strateg a A b B zachodz: V(a,b)U(a,b) Powey węc, Ŝe gra o sue zero w strategach eszaych est rozszerzee gry w strategach czystych
//4 Przykład (oblczae wypłat dla daych strategach eszaych). Wobec tego, Ŝe w owe grze <A*,B*,> oce zborów strateg są eprzelczale poawaą sę pewe probley. Zaczy od zapsu defc wartośc dole góre gry oraz strateg bezpeczeństwa graczy. Zgode z ogólą defcą * * są stratega bezpeczeństwa gracz (I II), gdy : f ( *,) axf (, ) sup (,*) sup (, ) Lczby w supf (, ) w f sup (, ) ozaczaą wartość dolą górą dla gry <A*,B*,> Poawaą sę waŝe pytaa. Jake?
//4 KILKA WAśNYCH FAKTÓW. LEAT.. Dla kaŝde strateg B*: oraz dla kaŝde strateg A*: sup (,) ax (, ) f (,) (, ) TWIERDZENIE.. Dla dowole gry acerzowe <A*,B*,> prawdzwe są wzory w sup (, ) w f ax (, ) WNIOSEK.. Poędzy wartośca góry doly ger <A,B,> oraz <A*,B*,> zachodzą astępuące zwązk: v w w v KILKA KOLEJNYCH WAśNYCH FAKTÓW. TWIERDZENIE.. JeŜel gra <A*,B*,> a wartość oraz * A* * B* są stratega bezpeczeństwa graczy w te grze, to są oe w rówowadze WNIOSEK.. JeŜel w grze <A*,B*,> stratege * ' są stratega bezpeczeństwa gracza I, a stratege * ' są stratega bezpeczeństwa gracza II, to (*, )(*,')(',')(', * ) wszystke wskazae pary strateg są w rówowadze TWIERDZENIE.. JeŜel w grze <A*,B*,> stratege * A* * B* są w rówowadze to są oe teŝ stratega bezpeczeństwa graczy w te grze. WNIOSEK..4 W grze <A*,B*,> dowole pary puktów rówowag są zaee rówowaŝe. 4
//4 JESZCZE JEDEN WAśNY FAKT. TWIERDZENIE..4 JeŜel acerz a pukt sodłowy, to stratege czyste, są stratega bezpeczeństwa w grze <A*,B*,> I WRESZCIE NAJWAśNIEJSZY FAKT. TWIERDZENIE INIAKSOWE.. (VON NEUANN 98) ) KaŜda gra acerzowa <A*,B*,> a wartość ) ) v) KaŜdy z graczy a co ae edą strategę bezpeczeństwa Dowola para strateg bezpeczeństwa graczy est w rówowadze Dowola para strateg w rówowadze tworzoa est przez stratege bezpeczeństwa graczy v) Dowole dwe pary strateg w rówowadze są zaee rówowaŝe DEFINICJA.. Rozwązae gry acerzowe <A*,B*,> azyway trókę (*,*,w), gdze (*,*) to para strateg bezpeczeństwa graczy, a lczba w est wartoścą gry. TWIERDZENIE.. Rozwązae gry o sue zero e zaleŝy od wyboru fukc uzyteczosc dokoaego przez graczy. Zea sę edye - w oczywsty sposób - wartość gry. 5
//4 UWAGI NA TEAT DOWODU TWIERDZENIA INIAKSOWEGO. SCHEAT ROZWIĄZYWANIA GIER O SUIE ZEROWEJ. Krok. Trasforować acerz wypłat przez dodawae stałe tak, by wszystke e eleety były dodate : ' [ c] Krok. Dla tak otrzyae acerzy ' sforułować zadae prograu lowego - proble dualy: alzu fukce celu: przy warukach ograczaących: warukach brzegowych: Q(x) y y y K,, K,, Krok. Rozwązać powyŝsze zadae PL. Otrzyay optyale wartośc y,,y oraz alą wartość fukc Q, którą ozaczyy Q SCHEAT ROZWIĄZYWANIA GIER O SUIE ZEROWEJ. Krok 4. Oblczyć w', t. wartość gry zadae acerzą ' wykorzystuąc zwązek: w ' Q Krok 5. Oblczyć współrzęde *,,, strateg bezpeczeństwa gracza I podstawaąc: * w' y Krok 6. Oblczyć wartość gry zadae acerzą ako róŝcę w w'- c. 6
//4 SCHEAT ROZWIĄZYWANIA GIER O SUIE ZEROWEJ. Krok 7. Dla acerzy ' sforułować zadae prograu lowego- proble perwoty aksyalzu fukce celu: przy warukach ograczaących: warukach brzegowych: F(x) x x x K,, K,, Krok 8. Oblczyć współrzęde *,,, strateg bezpeczeństwa gracza II podstawaąc: * w' x Przykład: Rozwązae gry pułkowka Blotto 7
//4 8 Gra pułkowka Blotto - postać orala Ostatecze grę pułkowka Blotto zapsuey ako grę o sue zerowe <A,B,>, gdze Rozwązae gry pułkowka Blotto - sprowadzee do zadaa PL Scheat rozwązywaa ger o sue zerowe: Krok. Trasforować acerz wypłat przez dodawae stałe c, by wszystke e eleety były dodate 4 4 5 5 ] [ ' c PRZYPONIENIE Rozwązae gry acerzowe <A*,B*,> azyway trókę (*,*,w), gdze (*,*) to para strateg bezpeczeństwa graczy, a lczba w est wartoścą gry.
//4 5 ' Krok. Aby otrzyać strategę bezpeczeństwa (,,, 4 ) T pułkowka Blotto(gracza I) forułuey proble dualy zadaa PL określoy astępuąco: 4 4 alzu fukcę celu : Q(y, y, y, y 4 ) y y y y 4 Przy warukach ograczaących: 5 5y y y y 4 y 5y y y 4 y y 4y 4y 4 warukach brzegowych: y,,,,4 Krok. Uzyskuey rozwązae powyŝszego zadaa PL: y 7/48, y 7/48, y /6, y 4 Wartość ala fukc celu Q 5/6 Krok 4. Oblczay wartość gry zadae acerzą ' wykorzystuąc zwązek: 6 w ' Q 5 Krok 5. Oblczay współrzęde Blotto (gracza I) podstawaąc Otrzyuey : * * w' y * * * * 7 (,,, 4 ) (,,,) 5 5,,,4 strateg bezpeczeństwa Na przykład: * 6 7 5 48 7 5 9
//4 Krok 6. Oblczy wartość gry zadae acerzą odeuąc od wartośc w' stałą dodaą do eleetów te acerzy w kroku. Otrzyuey: w w' - c 6/5-6/5 Krok 7. Aby zaleźć strategę bezpeczeństwa gracza II forułuey w oparcu o acerz ' zadae prograu lowego - proble perwoty aksyalzu fukce celu : F(x, x, x ) x x x przy warukach ograczaących: 5x x x x 5x x x x 4x x x 4x 5 ' 5 4 4 warukach brzegowych: x,,,. Krok 8. Rozwązuey powyŝsze zadae PL otrzyuey: x /6, x /6, x /6. * Współrzęde,,,, strateg bezpeczeństwa Attl (gracz II) otrzyuey oŝąc zalezoą wcześe wartość w' przez współrzęde x,,,, optyalego rozwązaa zadaa perwotego. Uzyskuey stratege bezpeczeństwa gracza II: * * * * (,, ) (,, ) 5 5 5 7 Rozwązae gry: * (,,,), * (,, ), w6/5 5 5 5 5 5
//4 Uwag. Blotto Attla Rozwązae wers gry dla 4, Blotto Attla