TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

Transkrypt

1 TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

2 Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o sumie zerowej wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym wierzchołku końcowym funkcja wypłaty ( 1, 2,, n ) spełnia warunek i=1..n i = 0. Innymi słowy: gra o sumie zerowej jest systemem zamkniętym, tzn. jeśli ktokolwiek coś wygra, ktoś inny musi stracić. W przypadku gier dwuosobowych będziemy podawali tylko pierwszą współrzędną 1 i będziemy traktowali ją jako wypłatę (formalnie wypłata drugiego gracza jest wówczas równa - 1 ).

3 O parach strategii w równowadze Twierdzenie Niech ( 1, 1 ) i ( 3, 3 ) będą dwiema parami strategii w równowadze dwuosobowej gry o sumie zerowej. Wówczas: ( 1, 3 ) i ( 3, 1 ) są też parami strategii w równowadze, ( 1, 1 ) = ( 3, 3 ) = ( 1, 3 ) = ( 3, 1 ). G. Owen, Teoria Gier Gracz II Gracz I

4 Punkty siodłowe a punkt równowagi Twierdzenie Para strategii ( 1,io, 2,jo ) jest w równowadze wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadający jej element (wypłata) a io,jo macierzy A=[a i,j ] i=1,..,m,j=1,..,n jest jednocześnie największy w swojej kolumnie i najmniejszy w swoim wierszu, tzn. a io,jo = max i=1,2,,m a i,jo = min j=1,2,,n a io,j. Uwaga Każda gra dwuosobowa o sumie zerowej, która posiada punkt siodłowy (punkt o którym mowa w powyższym twierdzeniu) posiada rozwiązanie, tzn. punkt równowagi.

5 Gra dwuosobowa o sumie zerowej z punktem siodłowym Poniższa gra posiada punkt siodłowy, a zatem ma rozwiązanie. Gracz I Gracz II str 1 str 2 str 3 str str str Jej rozwiązaniem jest para strategii czystych (str 2, str 2).

6 Twierdzenie o minmax (punkty siodłowe) Twierdzenie Jeżeli a io,jo jest punktem siodłowym macierzy A=[a i,j ] i=1,..,m,j=1,..,n, to max i=1,2,,m min j=1,2,,n a i,j = min i=1,2,,n max j=1,2,,m a i,j. II str 1 str 2 str 3 I str min 1 max Jeżeli max i=1,2,,m min j=1,2,,n a i,j =min i=1,2,,n max j=1,2,,m a i,j = a io,jo, to a io,jo jest punktem siodłowym macierzy A=[a i,j ] i=1,..,m,j=1,..,n. str str max min 2

7 Gra bez punktów siodłowych Gracz I gra strategią 1 aby wygrać nie mniej niż dwie jednostki: v I = max i {min j a i,j } (dolna wygrana gracza I). Gracz II gra strategią 2 aby stracić nie więcej niż trzy jednostki: v II = min j {max i a i,j } (górna przegrana gracza II). Oczywiście zachodzi: v I v II (w przypadku gdy jest punkt siodłowy v I = v II ). Jak zatem szukać rozwiązania gdy? II I str 1 str 2 str str A zatem: 2 v I v II 3.

8 Strategie mieszane Strategią mieszaną gracza nazywamy rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze jego n-strategii czystych, tzn. jest to taki wektor x=(x 1,x 2,,x n ), że dla i =1,2,,n oraz x i 0, i=1..n x n = 1. Jeżeli A=[a i,j ] i=1,2,,m,j=1,2,,n jest grą macierzową, to oczekiwaną wypłatą będzie lub w języku macierzowym A(x,y) = i=1..m i=1..n x i a i,j y j A(x,y) = xay T dla x X oraz y Y, gdzie X i Y, to zbiory wszystkich możliwych strategii, odpowiednio, graczy I i II.

9 Strategie mieszane (minmax) Dolną oczekiwaną wygraną gracza I nazywamy liczbę v(x) = min y Y xay T (przy założeniu, że użyje on strategii x). Ponieważ xay T jest średnią ważoną oczekiwanych wypłat gracza I jego strategii x przeciw strategiom czystym gracza II, więc v(x) = min j=1,2,,n xa.j, gdzie A.,j, to j-ta kolumna macierzy A. Ponieważ gracz I maksymalizuje swoje zyski, to ostatecznie jego dolna wygrana to liczba Górną oczekiwaną przegraną gracza II nazywamy liczbę v I = max x X v(x) = max x X min j=1,2,,n xa.j. v(y) = max x X xay T (przy założeniu, że użyje on strategii y). W języku strategii czystych gracza I mamy zatem v(y) = max i=1,2,, xa i., gdzie A.i,., to i-ty wiersz macierzy A. Ostatecznie, górna przegrana gracza II, to liczba Oczywiście łatwo pokazać, że v II =min y Y v(y) =min y Y max i=1,2,,m xa.j. v I v II.

10 Twierdzenie minmax (J. von Neumann, O. Morgensternem) Twierdzenie Jeżeli A = [a i,j ] i=1,2,,m,j=1,2,,n jest grą dwuosobową o sumie zerowej oraz i v I = max x X min j=1,2,,n xa.j v II = min y Y max i=1,2,,m xa i., są odpowiednio, dolną wygraną gracza I i górną przegraną gracza II (X,Y odpowiednio, zbiory strategii mieszanych graczy I i II), to G. Owen, Teoria Gier v I =v II. Innymi słowy: Każda gra dwuosobowa o sumie zerowej ma rozwiązanie w strategiach mieszanych, przy czym twierdzenie nie mówi jak je dobrać.

11 Przykład gry w strategiach mieszanych Poszukamy strategii mieszanych dla gracza I i gracza II w następującej grze. Niech (x 1,x 2 ) i (y 1,y 2 ) będą strategiami mieszanymi odpowiednio graczy I i II, tzn. x 1 +x 2 = 1, y 1 +y 2 = 1 oraz x 1, x 2, y 1, y 2 0. Wypłata gracza I (jeśli kolumna gra A): 4x 1 +x 2 Wypłata gracza I (jeśli kolumna gra B): 2x 1 +3x 2 A zatem: 4x 1 +x 2 = 2x 1 +3x 2 oraz x 1 +x 2 = 1, skąd x 1 = ½ oraz x 1 = ½. I II A: y 1 B: y 2 Strata gracza II (jeśli wiersz gra A): 4x 1 +2x 2 Strata gracza II (jeśli wiersz gra B): x 1 +3x 2 A zatem: 4x 1 +2x 2 = x 1 +3x 2 oraz y 1 +y 2 = 1, skąd y 1 = ¼ oraz y 2 = ¾. Strategia optymalna gracza I: (½ A,½ A) Strategia optymalna gracza I: (¼ A,¾ A) A: x B: x 2 1 3

12 Dominacje Mówimy, że i-ty wiersz macierzy A = [a ij ] i=1,2,,m,j=1,2,,n dominuje k-ty wiersz tej macierzy, jeśli oraz a ij a kj dla wszystkich j a ij > a kj dla co najmniej jednego j. Mówimy, że j-ta kolumna macierzy A = [a ij ] i=1,2,,m,j=1,2,,n dominuje l-tą kolumnę tej macierzy, jeśli oraz a ij a il dla wszystkich i a ij < a il dla co najmniej jednego i. Innymi słowy: Strategia czysta (reprezentowana przez odpowiedni wiersz lub kolumnę) dominuje inną strategię czystą, jeśli wybór pierwszej (dominującej) strategii jest co najmniej tak dobry, jak wybór drugiej (zdominowanej) strategii, a czasem nawet lepszy.

13 Gra ze strategiami dominującymi i zdominowanymi Twierdzenie Jeżeli A jest grą macierzową oraz wiersze i 1,i 2,,i k macierzy A są zdominowane, to gracz I ma strategię optymalną taką, że x i = x i = = x i = 0; 1 2 k ponadto każda strategia optymalna dla gry utworzonej z A przez usunięcie wierszy zdominowanych będzie również strategią optymalną gry A. G. Owen, Teoria Gier Podobne twierdzenie zachodzi dla dominacji kolumn. Innymi słowy: Zdominowane wiersze i kolumny z macierzy A mogą zostać usunięte, co pozwala rozegrać grę (dokładniej podgrę) o macierzy mniejszego rzędu.

14 Przykład redukcji gry do podgry wymiaru mniejszego k 2 k w 3 w k 2 k

15 Rozwiązanie gry 2x2 bez punktów siodłowych Twierdzenie Jeżeli A jest grą o macierzy 2x2 bez punktów siodłowych, to jej wartość i jedyne strategie optymalne x i y wyrażają się wzorami: x = JA*/JA*J t y = A*J t /JA*J t v = A / JA*J t, gdzie A* jest macierzą dołączoną macierzy A, A jest wyznacznikiem macierzy A, natomiast J jest wektorem postaci [1,1]. G. Owen, Teoria Gier A= A*= A =10 JA* = [2,2] A*J t = [1,3] JA*J t = 4 x = (1/2,1/1) y = (1/4,3/4) v=10/4=2,5

16 Gry o macierzach 2xn (analogicznie mx2) Rozważmy grę 2xn (podobnie można rozpatrywać grę mx2). Problem pierwszego gracza, to zmaksymalizowanie wielkości v(x)=min j {a 1,j x 1 +a 2,j x 2 }. 4 4 Przyjmując x 1 =1-x 2 otrzymujemy 3 3 v(x)=min j {(a 2,j -a 1,j )x 2 +a 1,j }. Musimy zatem maksymalizować minimum n funkcji liniowych G. Owen, Teoria Gier y x=(5/7,2/7) v=17/7 y=(0,5/7,2/7,0) 2 1

17 Rozwiązywanie gier metodą fikcyjnych założeń Przypuśćmy, że dwaj gracze rozgrywają pewną grę wielokrotnie. W każdej partii każdy gracz próbuje maksymalizować oczekiwaną wygraną przeciw empirycznemu rozkładowi strategii przeciwnika. Jeżeli gracz II użył swej j-tej strategii q j razy, gracz I wybierze i tak, aby zmaksymalizować wielkość j a i,j q j. Podobnie, jeśli gracz I zastosował p i razy swą strategię i-tą, to gracz II wybierze j tak, aby zminimalizować wielkość i a i,j p i. Oznaczymy teraz przez p i N liczbę oznaczającą ilokrotnie gracz I użył strategii i-tej w ciągu pierwszych N rozegranych partii i niech x i N = p in /N. Oczywiście x N = (x 1N, x 2N,, x mn ) jest strategią mieszaną gracza I. Zachodzi: Twierdzenie Granica każdego podciągu zbieżnego ciągu (x N ) jest strategią optymalną dla gracza I. G. Owen, Teoria Gier

18 DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ dr Robert Kowalczyk Wydział Matematyki i Informatyki UŁ