Teoria gier. wstęp Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Transkrypt

1 Teoria gier wstęp Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

2 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle, że każdy gracz zna reguły gry Teoria gier Zdzisław Dzedzej 2

3 Definicja O grze mówimy, gdy w opisie są: Wyszczególnieni uczestnicy (gracze) Opisane możliwości postępowania każdego gracza (strategie) Opisy dostępnej graczom informacji Określone cele, do których dążą gracze (preferencje), zwykle przedstawiane jako funkcje wypłat Teoria gier Zdzisław Dzedzej 3

4 Wynik gry jest określony przez strategie wybrane przez poszczególnych graczy. Zwykle każdemu wynikowi przypisujemy zestaw (wektor) wypłat w postaci liczbowej Teoria gier Zdzisław Dzedzej 4

5 Postać ekstensywna gry Często przebieg gry może być wieloetapowy: decyzje w danym etapie określają stan w następnym, zaś po ostatnim etapie znane są wyniki (np. szachy czy warcaby). Wygodnym sposobem prezentacji jest wtedy drzewo gry Teoria gier Zdzisław Dzedzej 5

6 Postać rozwinięta (ekstensywna) gry W 1 a b W 2 W 3 Gracz I wykonuje ruch Gracz II wykonuje ruch (f 1,f 2 ) (e 1,e 2 ) (d 1,d 2 ) (c 1,c 2 ) wypłaty Teoria gier Zdzisław Dzedzej 6

7 Drzewo gry Strzałki oznaczają posunięcia (decyzje) graczy Wierzchołek początkowy (nie dochodzi strzałka) Wierzchołki końcowe (nie wychodzi strzałka). Do każdego wierzchołka dochodzi co najwyżej jedna strzałka Droga to ciąg następujących po sobie strzałek Do każdego wierzchołka dochodzi tylko jedna droga od początku gry (historia). W danym wierzchołku ( nie końcowym) tylko jeden gracz podejmuje decyzję. Strategia to kompletny plan działania danego gracza Teoria gier Zdzisław Dzedzej 7

8 Informacja Zbiór wierzchołków, w którym gracz podejmuje decyzję, nazywamy zbiorem informacyjnym. Jeżeli wszystkie zbiory informacyjne są jednoelementowe, to gra jest z pełną (doskonałą) informacją. W przeciwnym wypadku mamy do czynienia z grą z niepełną informacją Teoria gier Zdzisław Dzedzej 8

9 Przykład 1 a I b c II d e f g (1,1) (1,3) (2,2) (0,2) Gra z pełną informacją Teoria gier Zdzisław Dzedzej 9

10 Przykład 1 Strategie gracza I: 1. a b 2.a c Strategie gracza II: i. b d, c f ii. b d, c g iii.b e, c f iv.b e, c g Teoria gier Zdzisław Dzedzej 10

11 Przykład 2 Każdy z dwóch graczy wybiera jedną stronę monety, ale wybierają jednocześnie. Jeżeli obaj wybrali orła/reszkę, to wygrywa I gracz, w przeciwnym wypadku wygrywa gracz II o a r I b o r o c r II d e f g (1,-1) (-1,1) (-1,1) (1,-1) Teoria gier Zdzisław Dzedzej 11

12 Przykład 2 Strategie gracza I: 1. a b 2.a c Strategie gracza II: {b, c} o {b, c} r Gra z niepełną informacją. Zbiór {b, c}, to zbiór informacyjny dla gracza II Teoria gier Zdzisław Dzedzej 12

13 Definicja Strategia i-tego gracza, to kompletny plan działania uwzględniający wszystkie możliwe sytuacje. ( 2 s, s,..., s ) S n i 1 - profile strategii, i I s i S i Teoria gier Zdzisław Dzedzej 13

14 Definicja Niech I = {1, 2,, n} oznacza zbiór graczy, S i zbiór strategii i-tego gracza, f : i i I gracza. S i R - funkcja wypłaty i-tego ( I,{ S i },{ f } I Postać i I i i nazywamy postacią normalną (strategiczną) gry. ) Teoria gier Zdzisław Dzedzej 14

15 Przykład 3 a I b c II d e f g (1,1) (1,3) (2,2) (0,2) Postać rozwinięta gry z przykładu 1 (i) (ii) (iii) (iv) (1) (1,1) (1,1) (1,3) (1,3) Postać normalna tej gry (2) (2,2) (0,2) (2,2) (0,2) Teoria gier Zdzisław Dzedzej 15

16 Definicja Jeżeli c s S S i i n 1 f i ( s) c, to grę Γ nazywamy grą o stałej sumie. Dwuosobowa gra o sumie 0 nazywa się grą antagonistyczną. Gdy zbiory strategii są skończone, funkcję wypłat można podać w postaci macierzy. Stąd nazwa gra macierzowa Teoria gier Zdzisław Dzedzej 16

17 Przykład 4 Papier nożyce kamień p n k I p k p k p k II n n n (0,0) (-1,1) (1,-1) (1,-1) (0,0) (-1,1) (-1,1) (1,-1) (0,0) Teoria gier Zdzisław Dzedzej 17

18 Przykład 4 Papier nożyce kamień I p n k p (0,0) (1,-1) (-1,1) II n (-1,1) (0,0) (1,-1) k (1,-1) (-1,1) (0,0) Teoria gier Zdzisław Dzedzej 18

19 Przykład 5 Dwa koncerny samochodowe konkurują ze sobą na rynku pewnego kraju. Każdy z nich rozważa uruchomienie w lokalnej fabryce jednego z trzech modeli samochodów. W macierzy wypłat przedstawiono zyski koncernu A (straty koncernu B) przy produkcji poszczególnych samochodów, w zależności od decyzji podjętych przez koncerny Teoria gier Zdzisław Dzedzej 19

20 Przykład 5 B (II) model A (I) Teoria gier Zdzisław Dzedzej 20

21 Redukcja macierzy wypłat Poszukiwanie strategii zdominowanych a ij element macierzy wypłat i = 1,,m ; m ilość strategii Gracza I (ilość wierszy) j = 1,...,n ; n ilość strategii Gracza II (ilość kolumn) Teoria gier Zdzisław Dzedzej 21

22 Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza I Jeżeli dla danej pary strategii spełniony jest warunek dla wszystkich j: a kj a lj to strategia k jest zdominowana przez strategię l (strategia l jest strategią dominującą strategię k) Teoria gier Zdzisław Dzedzej 22

23 Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza I Strategie 1 i Dominacja nie występuje Teoria gier Zdzisław Dzedzej 23

24 Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza I Strategie 2 i Strategia 3 została zdominowana przez strategię Teoria gier Zdzisław Dzedzej 24

25 Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza II Jeżeli dla danej pary strategii spełniony jest warunek dla wszystkich i: a ik a il to strategia l jest zdominowana przez strategię k (strategia k jest strategią dominującą strategię l) Teoria gier Zdzisław Dzedzej 25

26 Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza II Strategie 1 i Dominacja nie występuje Teoria gier Zdzisław Dzedzej 26

27 Redukcja macierzy wypłat Strategia zdominowana dla gracza II Strategie 2 i Strategia 2 została zdominowana przez strategię Teoria gier Zdzisław Dzedzej 27

28 Redukcja macierzy wypłat Po usunięciu strategii zdominowanych: B (II) model 1 2 A (I) Teoria gier Zdzisław Dzedzej 28

29 Punkt siodłowy Definicja Punkt (x *, y * ) X Y nazywamy punktem siodłowym funkcji f: X Y R, gdy x X y Y Twierdzenie f ( x, y ) f ( x, y ) f ( x, y) Funkcja f: X Y R posiada punkty siodłowe <=> istnieją max inf f ( x, y) i min sup f ( x, y) x i są sobie równe Teoria gier Zdzisław Dzedzej 29 y y x

30 Punkt siodłowy Zatem punkt siodłowy istnieje, gdy Przykład max min a min max a i j II I Teoria gier Zdzisław Dzedzej 30 ij j i ij 2 5 6

31 Strategia mieszana W przypadku, gdy nie ma punktu siodłowego szukamy prawdopodobieństw z jakimi gracz wybiera postać strategii. Niech macierzą wypłat będzie macierz A nxm. Dla wiersza prawdopodobieństwa wyznaczamy rozwiązując równanie: k, l Zaś dla kolumny: k, l n j m m 1 i n a 1 kj a Teoria gier Zdzisław Dzedzej 31 p ik j q i j m i 1 n 1 a lj a il p q j i

32 Strategia mieszana Wtedy wartość gry jest równa: v( ) j m 1 a kj p j i n 1 a il q i k n, l m Przy czym, oczywiście: j m 1 n p j q i 1 i Teoria gier Zdzisław Dzedzej 32

33 Strategia mieszana Przykład II I Oczywiście Teoria gier Zdzisław Dzedzej 33

34 Strategia mieszana Wiersz: 2p 1 +4p 2 =3p 1 +1p 2, p 2 =1-p 1, zatem: 2p+4(1-p)=3p+(1-p), stąd p=¾ Kolumna: 2q+3(1-q)=4q+(1-q), stąd q=½ Podstawiając mamy v(γ)=2 ¾+4 ¼=2 ½+3 ½ =2½ Teoria gier Zdzisław Dzedzej 34

35 Strategia mieszana dla Wiersza 1/2I+1/2II (graj każdą z prawdopodobieństwem 0,5 Zapewnia wypłatę co najmniej 2,5 Strategia kolumny 3/4I+1/4II daje wypłatę wierszowi co najwyżej 2, Teoria gier Zdzisław Dzedzej 35