A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZYT 389 TORUŃ 2009

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XXXIX NAUKI HUMANISTYCZNO-SPOŁECZNE ZESZYT 389 TORUŃ 2009 Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki Marcin Fałdziński ZASTOSOWANIE ZMODYFIKOWANEJ METODY POT Z MODELAMI ZMIENNOŚCI DO OCENY RYZYKA INWESTYCJI NA RYNKU KAPITAŁOWYM Z a r y s r e ś c i. Celem arykułu jes prezenacja nowego podejścia mającego na celu połączenie modeli zmienności z meodą Peaks over Threshold (POT), wywodzącą się z eorii warości eksremalnych. Podejście o opiera się na możliwości szacowania eksremów na podsawie meody POT, naomias warości średnich na podsawie modeli zmienności. W pracy zasosowano meodę POT dla sóp zwrou indeksów rynków finansowych przefilrowanych za pomocą modeli GARCH oraz SV, kóre porównano z wynikami orzymanymi ylko za pomocą modeli GARCH i SV. S ł o w a k l u c z o w e: eoria warości eksremalnych, Peaks over Threshold, miary ryzyka.. WSTĘP Dokładne szacowanie ryzyka jes kluczem do dobrego zarządzania ryzykiem. To prose zdanie wydaje się banałem, ale samo zagadnienie esymacji ryzyka inwesycji na rynku kapiałowym nie jes prose i od dawna bardzo częso rozważane w lieraurze przedmiou. Obecna lieraura w ym zakresie jes bardzo obszerna, a wyniki badań częso są niejednoznaczne. Częso przyczyną upadków insyucji finansowych było niewłaściwe zarządzanie ryzykiem rynkowym. W związku z akim sanem rzeczy wiele insyucji i osób zaineresowało się echnikami ilościowymi pozwalającymi na oszacowanie możliwych sra. Ponieważ nie można całkowicie uniknąć ryzyka, należy poznać rządzące nim mechanizmy i nauczyć się nim zarządzać. W finansach fundamenalną zmienną jes sopa zwrou inwesycji, kóra jes szacowana przez inwesora. Isniejące podejścia do modelowania rozkładu zysków/sra porfela insrumenów finansowych można schemaycznie podzielić na rzy grupy: nieparameryczne meody symulacji hisorycznej, parameryczne meody opare na modelach zmienności (rodzina modeli GARCH ip.) i w końcu meody opare na eorii warości

238 MARCIN FAŁDZIŃSKI eksremalnych (EVT). W niniejszej pracy skupiono się na meodach oparych o modele zmienności i na meodzie Peaks over Threshold (POT) wywodzącej się z eorii warości eksremalnych (ang. Exreme Value Theory). Jednakże największą uwagę skupiono uaj na nowej propozycji połączenia wyżej wymienionych meod. 2. METODA POT I MODELE ZMIENNOŚCI Meoda Peaks over Threshold skupia uwagę na przekroczeniach powyżej zadanej wysokiej warości progowej u. Szczegółowy opis meody POT można znaleźć w pracach: Embrechs, Klüppelberg, Mikosch (2003), lub Osińska, Fałdziński (2007). Tuaj w skrócie przedsawione zosanie podejście McNeila i Freya (2000), kórzy połączyli modele zmienności i meodę POT. Na począek przyjmuje się, że X jes szeregiem czasowym reprezenującym dzienne obserwacje sóp zwrou insrumenu finansowego. Zakładamy, że dynamika procesu X jes dana nasępująco: X = μ + σ Z, () gdzie innowacje Z są białym szumem z zerową średnią, jednoskową wariancją i dysrybuaną rozkładu brzegowego FZ ( z ). Zakładamy, że μ jes oczekiwanym zwroem, a σ jes zmiennością sóp zwrou, gdzie obie są mierzalne w sosunku do zbioru informacji F w czasie. Aby zasosować procedurę esymacji dla procesu (), należy wybrać dynamiczny model warunkowej średniej i warunkowej wariancji. Wiele modeli zmienności zosało zaproponowanych w lieraurze ekonomerycznej, od modeli ARCH/GARCH przez ich różnorodne modyfikacje i uogólnienia, aż do modeli SV. McNeil i Frey zdefiniowali prose jednodniowe formy miar ryzyka w sosunku do procesu () jako: VaR ES = μ + + σ + VaR( Z) (2) q q = μ + + σ + ES( Z), (3) q q gdzie VaRq ( Z ) jes warością zagrożoną procesu Z, a ESq ( Z ) jes odpowiadającym oczekiwanym niedoborem. Meoda przez nich zaproponowana zakłada minimalne założenia co do rozkładu innowacji i skupia się na modelowaniu ogona rozkładu używając eorii warości eksremalnych. Ogólnie można powiedzieć, że używają dwueapowego podejścia, kóre może być przedsawione nasępująco:. Dopasowanie modelu z rodziny GARCH (ogólnie modelu zmienności) do szeregu sóp zwrou. Esymuje się μ + i σ + używając założonego modelu zmienności i oblicza się sandaryzowane reszy modelu. Oznacza o, że model en jes użyy do szacowania jednookresowych prognoz μ + i σ +.

Zasosowanie zmodyfikowanej meody POT z modelami zmienności do oceny ryzyka 239 2. Używamy eorii warości eksremalnych, aby orzymać warości VaR( Z ) q i ES( Z ) q za pomocą meody Peaks over Threshold na podsawie sandaryzowanych resz modelu z punku. Warość zagrożona w eorii warości eksremalnych dla meody Peaks over Threshold jes równa: ˆ γ ˆ σ n VaR( α) = u + α, (4) ˆ γ N u gdzie α jes poziomem isoności, u jes warością progową, ˆ γ, ˆ σ są paramerami uogólnionego rozkładu Pareo (GPD), n jes liczbą obserwacji w szeregu, naomias N u jes liczbą eksremów. Z powodu wad warości zagrożonej powsała alernaywna miara ryzyka, kóra nazywana jes oczekiwanym niedoborem (Expeced Shorfall, ES), Arzner, Delbaen, Eber, Heah (997), Arzner Delbaen, Eber, Heah (999). Expeced Shorfall dla meody Peaks over Threshold jes wyrażona nasępująco: VaR( α) ˆ σ ˆ γu ES( α) = + (5) ˆ γ ˆ γ W lieraurze można spokać porównania modeli szacujących VaR i ES, gdzie zasosowano eorię warości eksremalnych np. (Brooks, Clare, Dalle Molle, Persand, 2005; Harmanzis, Miao, Chien, 2006; Kueser, Minik, Paolella, 2006; Osińska, Fałdziński, 2007; Fałdziński, 2008). We wszyskich pracach swierdzono, że EVT jes dobrą lub bardzo dobrą meodą szacowania miar ryzyka. Z przedsawionych rezulaów empirycznych w wyżej wymienionych pracach wynika, że modele zmienności z zasosowaniem eorii warości eksremalnych dokładniej szacują oczekiwane warości przyszłych sóp zwrou zwłaszcza w przypadku wydarzeń o niespoykanej skali (eksremów). W przeciwieńswie do modeli z EVT, sandardowe modele zmienności lepiej dopasowują się do warości średnich w finansowych szeregach czasowych. Dlaego eż nowe podejście opiera się na możliwości akiego połączenia, aby eksrema szacowane były na podsawie meody POT, naomias warości średnie na podsawie modeli zmienności. Połączenie o polega na próbie idenyfikacji eksremów w finansowych szeregach czasowych. Nowy podejście może zosać zapisane w nasępującej posaci: GARCH - POT μ+ + σ+ u N-GARCH -POT = (6) GARCH μ+ + σ+ < u Ten nowy hybrydowy model zmienności i meody POT opiera się na prognozie warunkowej zmienności σ + i warunkowej średniej μ +, oraz na warości pro-

240 MARCIN FAŁDZIŃSKI gowej u. Jeżeli suma prognoz μ + i σ + jes większa od warości progowej o sosujemy podejście McNeila i Freya, w przeciwnym wypadku mamy sandardowy model GARCH. Warość progowa u może być usalona z góry, bądź może być zmienna w czasie. Przełączanie zosało skonsruowane w aki sposób, aby idenyfikowało czy prognoza sopy zwrou szeregu czasowego jes warością eksremalną czy nie. Prognoza sóp zwrou ma bardzo ważne znaczenie, ponieważ im dokładniejsza prognoza, co do przyszłej warości szeregu czasowego, ym lepiej idenyfikowane są eksrema, co wiąże się z prawidłowym przełączaniem w podanej reprezenacji (6). Idea nowego podejścia w całej mierze polega na możliwości prognosycznej przyszłej warości sopy zwrou na podsawie danego modelu zmienności (w ym przypadku jes o model GARCH). 3. TESTOWANIE WSTECZNE Bardzo ważnym zagadnieniem w przypadku miar ryzyka jes konieczność sprawdzania poprawności ich esymacji i jednocześnie wyboru najdokładniejszej meody ich szacowania. Do esowania wsecznego użyo rzech esów dwumianowych (ang. binomial ess): es liczby przekroczeń LR uc, es niezależności przekroczeń LRind K (Haas, 200), es niezależności przekroczeń LRindCH (Chrisoffersen, 998). Niesey przedsawione esy charakeryzują się słabą mocą, a w dodaku nie dają możliwości sworzenia rankingu modeli. Angelidis i Degiannakis (2006) przedsawili zmodyfikowaną funkcję sray Lopeza (999): Ψ, + y+ ES+ jeżeli nasąpi przekroczenie = 0 w przeciwnym przypadku ( y ) 2 + ES+ jeżeli nasąpi przekroczenie Ψ 2, + = (8) 0 w przeciwnym przypadku Aby ocenić, kóry model jes najlepszy, dla każdego oblicza się średni błąd absoluny (MAE) MAE = Ψ, T / T%, oraz średni błąd kwadraowy (MSE) T % = MSE = Ψ 2, % = / T%, gdzie T % jes liczbą wykonanych prognoz, a funkcja sray ( LF ) jes sumą ych błędów (Angelidis, Degiannakis, 2006). Jak możemy zobaczyć, przedsawiona funkcja sray mierzy ylko niedoszacowanie miary ryzyka. Możemy znaleźć przypadki, gdzie pewna miara ryzyka będzie miała pożądane warości esów dwumianowych, oraz bardzo małą warość funkcji sary LF, ale jej przeszacowanie będzie bardzo duże. Dlaego eż zaproponowano (7)

Zasosowanie zmodyfikowanej meody POT z modelami zmienności do oceny ryzyka 24 (Fałdziński, 2009), aby mierzyć również przeszacowanie miar ryzyka. Funkcja sray dla przeszacowania jes dana nasępująco: ES+ y+ jeżeli 0 < y+ < ES+ Φ, + = 0 jeżeli y + 0 (9) ( ES ) 2 + y+ jeżeli 0 < y+ < ES+ Φ 2, + = 0 jeżeli y + 0 (0) W ym wypadku również oblicza się średni błąd absoluny przeszacowania MAE over d = Φ = d, / d, jak również średni błąd kwadraowy przeszacowania T MSEover = Φ2, / d, gdzie d =, jeżeli 0 < y+ < ES+ = = i= 0 jeżeli y + 0 jes liczbą dodanich prognoz szeregu czasowego nie większych niż dana miara ryzyka. Podobnie jak wyżej uaj eż zosała skonsruowana funkcja sray przeszacowania OLF = MAEover + MSEover. 4. BADANIE EMPIRYCZNE Przedmioem badania było porównanie oszacowań warości zagrożonej i oczekiwanego niedoboru nowego podejścia z modelami zmienności. Porównanie polegało na wybraniu najlepszego modelu na podsawie funkcji sra: ej zaproponowanej przez Angelidisa i Degiannakisa (2006) LF, oraz funkcji sra przeszacowania OLF. Do symulacji wykorzysano model sochasycznej zmienności SV z rozkładem normalnym oraz model GARCH z rozkładami: normalnym i -Sudena. Paramery szacowane były za pomocą meody największej wiarygodności w przypadku modeli GARCH i meody quasinajwiększej wiarygodności w przypadku modelu SV. W badaniu użyo szeregów złożonych z 3000 logarymicznych sóp zwrou (dane dzienne: 07..994 3.0.2006), dla kórych szacowano 000 warości zagrożonych i oczekiwanych niedoborów. Do wyznaczenia ES dla modeli zmienności użyo meody zaproponowanej przez Dowda (2002). W badaniu użyo zmiennej w czasie warości progowej u, kóra wynikała z usalenia liczby eksremów na poziomie 0% całego szeregu czasowego. Na podsawie wyników badania (abela i 2) należy swierdzić, że wyniki esu liczby przekroczeń LR uc i esu niezależności przekroczeń LRind K są bardzo zróżnicowane i bardzo rudno jes podać ogólne wnioski. Można naomias powiedzieć, że liczba przekroczeń N jes zazwyczaj najmniejsza dla meody McNeila i Freya. Z drugiej srony najwięcej przekroczeń uzyskano dla samych modeli zmienności. Nowe podejście uaj przedsawione cechuje się średnią ilością przekroczeń w porównaniu do dwóch pozosałych.

Tabela. Wyniki esowania wsecznego dla indeksu WIG20 i SP500 WIG20 poziom isoności 0,05 Model N LRuc LRind K. LRind Ch, MAE MSE LF Rank LF GARCH 80 6,5* 06,75* 0,0633 0,05345 0,04637 0,09982 GARCH TD 83 9,29* 06,48* 0,008 0,08763 0,428 0,209 5 AR-GARCH 74 0,63* 96,75* 0,4569 0,0497 0,04303 0,09274 0 AR-GARCH TD 78 4,20* 00,85* 0,537 0,0892 0,0548 0,8740 4 SV 47 0,93 55,70,328 0,0785 0,0026 0,028 3 GARCH-POT 66 4,98* 78,08 0,033 0,02968 0,0208 0,04986 4 GARCH-POT TD 69 6,830* 8,40 0,03 0,035 0,0244 0,05259 5 AR-GARCH-POT 7 8,260* 8,09 0,0004 0,0442 0,03207 0,07349 7 AR-GARCH-POT TD 7 8,260* 78,55 0,0004 0,0383 0,0225 0,05309 6 SV-POT 20 24,28* 48,90* 0,6688 0,00444 0,00249 0,00694 N-GARCH-POT 76 2,36* 90,97 0,0095 0,04559 0,03676 0,08235 8 N-GARCH-POT TD 80 6,5* 96,57 0,030 0,07349 0,0887 0,622 3 N-AR-GARCH-POT 72 9,022* 87,70 0,40 0,0464 0,03930 0,08572 9 N-AR-GARCH-POT TD 75,48* 90,94 0,0278 0,0736 0,0878 0,6097 2 N-SV-POT 32 7,776* 35,37 0,0006 0,0035 0,00589 0,0625 2 SP500 poziom isoności 0,05 Model N LRuc LRind K. LRind Ch. MAE MSE LF Rank LF GARCH 45 0,543 54,73 0,6907 0,0337 0,02408 0,05545 GARCH TD 5 0,020 60,56 0,676 0,05656 0,06954 0,260 5 AR-GARCH 38 3,293 52,75 0,650 0,02755 0,0295 0,04950 0 AR-GARCH TD 40 2,253 52,27 0,2803 0,04450 0,05528 0,09979 4 SV 36 4,553* 43,07 0,0792 0,00795 0,00228 0,0023 3 GARCH-POT 40 2,253 53,70 0,2803 0,0320 0,00625 0,0945 7 GARCH-POT TD 39 2,746 54,66* 0,29 0,0296 0,0068 0,094 6 AR-GARCH-POT 39 2,746 50,95 3,696 0,0295 0,0068 0,094 5 AR-GARCH-POT TD 37 3,895* 45,98 2,8468 0,0202 0,00556 0,0758 4 SV-POT 0 49,47* 59,02* 0,2022 0,003 0,00024 0,0056 N-GARCH-POT 44 0,788 52,43 0,595 0,02592 0,0758 0,0435 8 N-GARCH-POT TD 49 0,02 5,86,389 0,04273 0,04267 0,08540 2 N-AR-GARCH-POT 38 3,293 52,75 0,650 0,02525 0,0875 0,0440 9 N-AR-GARCH-POT TD 39 2,746 49,60 0,29 0,0403 0,04775 0,08806 3 N-SV-POT 34 6,042* 42,6 0,0239 0,00760 0,0022 0,0098 2 N jes liczbą przekroczeń, zn. kiedy sopa zwrou jes większa od VaR. Gwiazdką (*) oznaczono warości esów dwumianowych dla kórych odrzucono hipoezę zerową. N-AR-GARCH-POT w kolumnie model oznacza nową propozycję zasosowaną do modelu AR()-GARCH(,) z uwzględnieniem meody POT. TD oznacza zasosowanie rozkładu -sudena. Odpowiednio pozosałe skróy zosały skonsruowane. Źródło: obliczenia własne.

Tabela 2. Warości funkcji sray przeszacowania dla indeksu WIG20 i SP500 WIG20 poziom isoności 0,05 Model MAEo MSEo OLF MAEo ES MSEo Rank Rank OLF ES VaR VaR VaR ES VaR ES GARCH,66,622 2,788 2,67 5,279 7,446 3 7 GARCH TD,34,545 2,680 2,60 7,502 0, 4 AR-GARCH,26,765 2,980 2,223 5,555 7,778 7 9 AR-GARCH TD,70,642 2,82 2,66 7,756 0,46 4 5 SV,532 2,888 4,420 2,8 5,30 7,428 3 6 GARCH-POT,280,939 3,29,879 4,034 5,93 2 3 GARCH-POT TD,253,862 3,5,846 3,887 5,733 9 2 AR-GARCH-POT,25,867 3,8 2,06 4,757 6,87 0 4 AR-GARCH-POT TD,249,852 3,0,825 3,80 5,634 8 SV-POT 2,54 5,477 7,63 2,439 6,986 9,425 5 2 N-GARCH-POT,95,74 2,909 2,072 4,833 6,905 5 5 N-GARCH-POT TD,58,67 2,775 2,440 6,592 9,03 2 N-AR-GARCH-POT,25,875 3,26 2,205 5,474 7,679 8 N-AR-GARCH-POT TD,96,726 2,922 2,585 7,372 9,957 6 3 N-SV-POT,876 4,609 6,486 2,308 6,446 8,754 4 0 SP500 poziom isoności 0,05 Model MAEo MSEo OLF MAEo ES MSEo Rank Rank OLF ES VaR VaR VaR ES VaR ES GARCH 0,94 0,977,890,739 3,286 5,025 3 8 GARCH TD 0,887 0,920,807 2,00 4,727 6,827 3 AR-GARCH 0,977,03 2,080,87 3,562 5,379 AR-GARCH TD 0,95,052 2,003 2,66 5,003 7,68 5 5 SV,002,343 2,344,384 2,466 3,850 3 5 GARCH-POT 0,963,075 2,038,364 2,086 3,450 7 GARCH-POT TD 0,963,075 2,038,367 2,094 3,46 8 3 AR-GARCH-POT 0,965,085 2,050,364 2,089 3,453 9 2 AR-GARCH-POT TD 0,965,086 2,05,374 2,5 3,489 0 4 SV-POT,429 2,69 4,048,650 3,458 5,08 5 9 N-GARCH-POT 0,93 0,977,890,684 3,079 4,762 4 7 N-GARCH-POT TD 0,890 0,93,822,990 4,232 6,222 2 2 N-AR-GARCH-POT 0,977,07 2,084,792 3,453 5,245 2 0 N-AR-GARCH-POT TD 0,95,055 2,006 2,7 4,757 6,873 6 4 N-SV-POT,04,855 2,959,448 2,867 4,35 4 6 MAEo VaR, MSEo VaR i OLF VaR oznaczają odpowiednio średni błąd absoluny przeszacowania dla warości zagrożonej, średnio błąd kwadraowy przeszacowania dla VaR i funkcję sray przeszacowania dla VaR. Pozosałe oznaczenia są odpowiednie dla oczekiwanego niedoboru. Źródło: obliczenia własne.

244 MARCIN FAŁDZIŃSKI Tabela 3. Ranking funkcji sray LF dla indeksów Model WIG WIG20 SP500 DAX FTSE00 NIKKEI225 GARCH 0 9 0 GARCH TD 5 5 5 5 5 5 AR-GARCH 0 0 8 8 AR-GARCH TD 4 4 4 2 4 4 SV 3 3 3 3 3 3 GARCH-POT 6 4 7 5 4 7 GARCH-POT TD 7 5 6 4 5 4 AR-GARCH-POT 4 7 5 7 6 5 AR-GARCH-POT TD 5 6 4 6 7 6 SV-POT N-GARCH-POT 9 8 8 0 9 N-GARCH-POT TD 3 3 2 4 2 3 N-AR-GARCH-POT 8 9 9 0 9 8 N-AR-GARCH-POT TD 2 2 3 3 3 2 N-SV-POT 2 2 2 2 2 2 Źródło: obliczenia własne. Tabela 4. Ranking funkcji sray przeszacowania VaR dla indeksów Model WIG WIG20 SP500 DAX FTSE00 NIKKEI225 GARCH 3 3 3 4 8 GARCH TD 2 2 8 AR-GARCH 6 7 2 2 2 AR-GARCH TD 4 4 5 0 7 SV 3 3 3 3 3 3 GARCH-POT 0 2 7 7 4 4 GARCH-POT TD 8 9 8 8 3 AR-GARCH-POT 2 0 9 5 5 3 AR-GARCH-POT TD 9 8 0 6 6 2 SV-POT 5 5 5 5 5 5 N-GARCH-POT 5 5 4 3 7 9 N-GARCH-POT TD 2 2 2 5 N-AR-GARCH-POT 2 0 0 N-AR-GARCH-POT TD 7 6 6 9 9 6 N-SV-POT 4 4 4 4 4 4 Źródło: obliczenia własne. W przeciwieńswie do dwóch poprzednich esów, es niezależności przekroczeń LRindCH prawie zawsze wykazał nie odrzucenie hipoezy zerowej niezależnie od modelu. Porównując modele w ej samej klasie (np. SV, SV-POT

Zasosowanie zmodyfikowanej meody POT z modelami zmienności do oceny ryzyka 245 i N-SV-POT) na podsawie funkcji sray LF (abela 3) można powiedzieć, że nowe podejście plasuje się pomiędzy meodą McNeila i Freya, a sandardowymi modelami zmienności. Podobne wnioski można wydedukować na podsawie analizy funkcji sray przeszacowania OLF dla oczekiwanego niedoboru (abela 5). Oznacza o, że nowe podejście jes na yle dobre, na ile dany model zmienności jes w sanie opisywać finansowe szeregi czasowe. Dokładniej mówiąc, im prognoza warunkowej średniej i warunkowej wariancji z modelu zmienności jes dokładniejsza ym nowe podejście jes lepsze w sosunku po dwóch pozosałych. W przypadku funkcji sary przeszacowania dla warości zagrożonej, można zauważyć, że sandardowe modele zmienności są najlepsze. To nie powinno być zaskoczeniem, ponieważ VaR lepiej dopasowuje się do małych i średnich warości finansowych szeregów czasowych niż ES. Nowe podejście łączące modele zmienności i meodę POT ak jak poprzednio ukszałowało się pośrodku, chociaż należy nadmienić, że czasami było lepsze w porównaniu ze sandardowymi modelami zmienności. Tabela 5. Ranking funkcji sray przeszacowania ES dla indeksów Model WIG WIG20 SP500 DAX FTSE00 NIKKEI225 GARCH 8 7 8 8 0 8 GARCH TD 3 4 3 4 4 AR-GARCH 9 9 9 9 AR-GARCH TD 5 5 5 3 5 5 SV 5 6 5 2 5 5 GARCH-POT 3 3 4 2 4 GARCH-POT TD 2 3 3 2 AR-GARCH-POT 4 4 2 2 3 3 AR-GARCH-POT TD 2 4 4 SV-POT 0 2 9 5 7 N-GARCH-POT 7 5 7 5 8 6 N-GARCH-POT TD 2 2 7 2 3 N-AR-GARCH-POT 8 0 6 9 7 N-AR-GARCH-POT TD 4 3 4 0 3 2 N-SV-POT 6 0 6 4 6 0 Źródło: obliczenia własne. Ogólnie można swierdzić, że nowe podejście, kóre jes hybrydą sandardowych modeli zmienności i meody zaproponowanej przez McNeila i Freya uwidacznia problem prognozowania sóp zwrou finansowych szeregów czasowych za pomocą modeli GARCH i SV. Wyniki badania pokazały, że przedsawiona nowa meoda jes ak dokładna, jak dany model zmienności jes w sanie prognozować warości w szeregu czasowym. Przedsawiono uaj ważny problem, kórym jes możliwość idenyfikacji eksremów w prognozach szeregu

246 MARCIN FAŁDZIŃSKI czasowego. Z pewnością en problem nie zosał rozsrzygnięy, ale pokazana próba z pewnością może być wyjściem do dalszych analiz. LITERATURA Angelidis T., Degiannakis S. (2006), Backesing VaR Models: An Expeced Shorfall Approach, Working Papers, Universiy of Cree, Ahens Universiy of Economics and Business Arzner P., Delbaen F., Eber J. M., Heah D. (997), Thinking Coherenly, Risk, 0, 68 7 Arzner P., Delbaen F., Eber J.M., Heah D. (999), Coheren Measures of Risk, Mahemaical Finance, 9, 203 228 Brooks, C., Clare, A.D., Dalle Molle, J.W, Persand, G. (2006), A Comparison of Exreme Value Theory Approaches for Deermining Value a Risk, Journal of Empirical Finance, 2, 339 352 Chrisoffersen P.F. (998), Evaluaing Inerval Forecass, Inernaional Economic Review, 3, Dowd K. (2002), Measuring Marke Risk, John Wiley & Sons Ld., New York Embrechs P., Klüppelberg C., Mikosch T. (2003), Modelling Exremal Evens for Insurance and Finance, Springer, Berlin Fałdziński M. (2008), Model warunkowej zmienności warości eksremalnych, [w:] Zielinski Z. (red.), Współczesne rendy w ekonomerii, Wydawnicwo Wyższej Szkoły Informayki i Ekonomii, Olszyn Fałdziński M. (2009), Usefulness of he Specral Risk Measures wih Exreme Value Theory approach, Forecasing Financial Markes and Economic Decision-Making FindEcon, Łódź, submied Haas M. (200), New Mehods in Backesing, Financial Engineering Research Cener, Bonn Harmanzis, F.C., Miao L., Chien Y. (2006), Empirical Sudy of Value-a-Risk and Expeced Shorfall Models wih Heavy Tails, Journal of Risk Finance, 7, No.2, 7 26 Kueser, K., Minik, S., Paolella, M.S. (2006), Value-a-Risk Predicion: A Comparison of Alernaive Sraegies, Journal of Financial Economerics, 4, nr, 53 89 McNeil J.A., Frey F. (2000), Esimaion of Tail-Relaed Risk Measures for Heeroscedasic Financial Time Series: an Exreme Value Approach, Journal of Empirical Finance, 7, 27 300 Osińska M., Fałdziński M. (2007), Modele GARCH i SV z zasosowaniem eorii warości eksremalnych, nr X, [w:] Zielinski Z. (red.), Dynamiczne Modele Ekonomeryczne, UMK, Toruń, EVALUATION OF THE CAPITAL MARKET RISK WITH THE APPLICA- TION OF MODIFIED POT METHOD WITH VOLATILITY MODELS A b s r a c. The main aim of his paper is presenaion and empirical analysis of he new approach which combines volailiy models wih Peaks over Threshold mehod. The sandard volailiy models beer esimae medium size values of financial imes series. The new approach is based on possibiliy, ha exremes are esimaed using POT mehod, and medium values are esimaed using sandard volailiy models. The conribuion of his paper is analysis of he value-arisk and he expeced shorfall for his new approach. Financial risk model evaluaion of his risk measures is one of he key par of his paper. Condiional ail esimaes are obained by adjusing he uncondiional exreme value heory procedure wih he reurns filered by sandard volailiy models (McNeil, Frey, 2000). Addiionally, risk measures esimaes obained from volailiy models wih applicaion of EVT versus hose compued, using sandard volailiy models for financial ime series are compared. K e y w o r d s: exreme value heory, Peaks over Threshold, value-a-risk, expeced shorfall