46 FOTON 3, ato O ciężarkach na bloczku z uwzględnienie asy nici Mariusz Tarnopolski Student fizyki IF UJ Rozważy klasyczne zadanie szkolne z dwoa ciężarkai zawieszonyi na nici przerzuconej przez bloczek, zilustrowane na rysunku a. Taki układ jest nazywany spadkownicą (lub aszyną) Atwooda i został skonstruowany w 784 roku przez George a Atwooda cele wykonania eksperyentu weryfikującego prawa ruchu jednostajnie przyspieszonego. Obecnie aszyna Atwooda jest używana do celów dydaktycznych, deonstrujących ruchy przyspieszone z przyspieszenie dowolnie niejszy od przyspieszenia zieskiego g. Cele zadania jest obliczenie przyspieszenia ciężarków. W najprostszy przypadku, gdy asa bloczka =, łatwo znaleźć odpowiedź postaci a g, () gdzie założyliśy bez straty ogólności, że. W nieco rozbudowanej sytuacji, gdy ay niezerową asę bloczka, trzeba uwzględnić również fakt, że a on oent bezwładności I r, gdzie r jest proienie bloczka. Wtedy niewiele trudniejszy do znalezienia rozwiązanie tego zadania jest a g. () Kierując oś Ox w dół oraz uieszczając jej początek na wysokości środka bloczka, położenie ciężarka o w zależności od czasu znajdziey ze znanego wzoru opisującego ruch jednostajnie przyspieszony: x t at, (3) gdzie to początkowe położenie. Jak będzie jednak wyglądało zachowanie takiego układu, jeśli asa liny będzie niezerowa? Spadkownica Atwooda, 95 r. (źródło:wikipedia)
FOTON 3, ato 47 Wtedy siły napięcia liny przyłożone w punkcie zaczepienia ciężarka i w iejscu, gdzie lina odrywa się od bloczka, nie są takie sae (rys. b). Siła napięcia N jest wywołana siłą grawitacji działającą na asę, zaś siła napięcia N na asę ciężarka oraz asę liny o długości. Analogicznie będzie dla ciężarka o asie. May więc cztery różne siły napięcia liny, a nie dwie, jak w przypadku liny nieważkiej. Znajdźy więc najpierw równania ruchu układu as,, i. Rys. a. Siły napięcia dla liny nieważkiej Rys. b. Siły napięcia dla liny o niezerowej asie Niech nasza lina a całkowitą długość. Składa się na nią sua długości poszczególnych odcinków: r. (4) Oczywiście jest zależne od i vice versa: r '. (5) Nazwijy ' długością zredukowaną liny. Przyjijy również, że gęstość liniowa liny jest stała. Podziely nasz układ na pięć podukładów: dwa ciężarki, dwie liny i bloczek. Na ocy drugiej zasady dynaiki Newtona równania ruchu dla ciężarków i bloczka są takie sae jak dla przypadku nieważkiej liny: g N a, (6)
48 FOTON 3, ato N3 g a, (7) r N N4 I r ;, (8) a r, (9) gdzie I jest oente bezwładności krążka o proieniu r zaś jest jego przyspieszenie kątowy. Przyjując N N oraz N3 N4 dostaniey, po rozwiązaniu powyższego układu równań, uproszczony wzór na przyspieszenie postaci () dla liny nieważkiej. Jednakże w naszy przypadku usiy zapisać jeszcze dwa równania ruchu: po jedny dla każdej liny. Są one następujące: N N g a, () N N g a, () 4 3 gdzie i jest asą odpowiedniego kawałka liny. Możey teraz rozwiązać układ równań (6) (), żeby znaleźć wartość przyspieszenia a. Z równań (6), (7), () i () wyznaczay siły napięcia liny, wstawiay tak obliczone wartości do (8) oraz korzystay z (9), żeby wyeliinować r. Wyrażenie, jakie ostatecznie otrzyujey, jest następujące: a ' ' g. () Jeśli podstawiy w ty iejscu =, to otrzyay wzór na przyspieszenie (), czyli nasze rozwiązanie poprawnie redukuje się do przypadku prostszego. Chcey następnie znaleźć zależność drogi od czasu dla ciężarków poruszających się z powyższy przyspieszenie. Ostatni wzór wyprowadziliśy dla dowolnego położenia. Przyspieszenie a jest zate proporcjonalne do położenia; przyspieszenie w ogólności zaś jest drugą pochodną położenia po czasie. May więc następujące równanie różniczkowe: xx, (3) gdzie i są odpowiednio współczynnikie przy oraz wyraze wolny we wzorze (). Rozwiązanie tego równania jest poniższa funkcja: at at xt Ae B e, (4)
FOTON 3, ato 49 gdzie A i B to stałe całkowania. Można je wyznaczyć nakładając warunki początkowe, na przykład tak, by w chwili t ciężarek o asie był w położeniu x oraz by prędkość początkowa wynosiła zero. Dostajey z tego, że A B oraz A x. (5) Po wstawieniu do równania (4) rozpoznajey definicję cosinusa hiperbolicznego, co pozwala funkcję położenia zapisać w zwartej postaci jako cosh x t x a t. (6) Co się stanie, jeśli będziey chcieli przy użyciu wzoru (6) rozpatrzyć przypadek, gdy lina jest nieważka? Zauważy, że przyspieszenie a ożna zapisać jako funkcję hoograficzną: a D C, (7) E gdzie C, D i E są oznaczeniai na odpowiednie grupy stałych we wzorze (). Zate położenie = daje przyspieszenie stałe w czasie, co jest równoznaczne z przyjęcie we wzorze (3). Jeśli jednak wstawiy we wzorze na położenie (6), to ponieważ cosh x t x, czyli, dostaniey ciężarki nie będą się poruszać! Ta pozorna niespójność wynika z faktu, że inaczej rozwiązuje się równanie różniczkowe (3) jeśli α równa się zero, a inaczej gdy wielkość ta jest niezerowa. W pierwszy przypadku rozwiązanie sprowadza się do dwukrotnego całkowania, dzięki czeu uzyskujey, zgodnie z oczekiwaniai, położenie ciała w ruchu jednostajnie przyspieszony jako funkcję kwadratową czasu. W drugi przypadku jednak, żeby uzyskać rozwiązanie w postaci (4), założyliśy pewną forę rozwiązania tego równania. Nasze założenie było oparte na fakcie, że α nie była równa zero i nie obejowało zerowania się paraetru α. Jest to sytuacja analogiczna do rozwiązywania algebraicznego równania kwadratowego: ax bx c. W przypadku a równanie staje się liniowe, c o pierwiastku wynoszący x. Jeśli zaś w rozwiązaniach równania kwa- b b dratowego x day a, to otrzyay sybole nieoznaczone a b oraz, ponieważ wzory na pierwiastki równania kwadratowego są słuszne
5 FOTON 3, ato tylko dla przypadku a. Podobna sytuacja a iejsce z rozwiązanie równania (3). Wybierając etodę rozwiązywania dla przypadku nie pozwalay, żeby rozwiązanie iało postać funkcji kwadratowej, więc nie ożey się jej spodziewać w wyniku. Na rysunku zaieszczono wykresy dwóch zależności położenia ciężarka o asie : kwadratowej, uzyskanej przy założeniu, oraz hiperbolicznej dla przypadku. Wykresy zostały wykonane dla stosunku as : : : jak ::,5:,. Rys.. Zależności drogi od czasu przy spadku ciężarka zawieszonego na linie nieważkiej i o niezerowej asie Zgodnie z intuicją ciężarek w ruchu z niezerową asą liny porusza się szybciej niż gdyby lina była nieważka. Jednakże dla rzeczywistych wartości wszystkich paraetrów ta różnica jest dosyć niewielka, choć ierzalna. George Atwood w swy eksperyencie przyjął, że zarówno nić, jak i bloczek są nieważkie, co bynajniej nie przeszkodziło u uzyskać zadowalających wyników.