m 0 + m Temat: Badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda.

Transkrypt

1 msg M Temat: Badanie ruchu jednostajnie zmiennego przy pomocy maszyny Atwooda. Zagadnienia: prawa dynamiki Newtona, równania dynamiczne ruchu, siły tarcia, moment sił, moment bezwładności, opis kinematyczny ruchu jednostajnie zmiennego, przyspieszenie, prędkość i droga przemieszczenia. Koncepcja: Dwa jednakowe ciężarki połączone cienką, nierozciągliwą nitką, która jest przełożona przez swobodnie obracający się krążek. Jeśli do jednego z ciężarków dołożymy dodatkową masę (wystarczającą, by pokonać siły oporów ruchu krążka), to układ mas rozpocznie ruch przyspieszony, ze stałą wartością przyspieszenia. Możliwe jest zatem doświadczalne zbadanie zależności pomiędzy przebywaną drogą i czasem trwania ruchu jednostajnie zmiennego. O wartości przyspieszenia decyduje masa dodatkowego ciężarka. Zadania: A. Wyznaczanie zależności pomiędzy przebywaną drogą i czasem trwania ruchu jednostajnie zmiennego. Sprawdzenie poprawności modelu fizycznego. B. Wyznaczenie zależności przyspieszenia od masy dodatkowego ciężarka. Możliwość wyznaczenia momentu sił tarcia związanego z ruchem obrotowym krążka. Układ pomiarowy i procedura wykonania. 2R m 0 + m s Rys.1. Układ doświadczalny badania ruchu jednostajnie zmiennego pomiaru czasu przebycia zadanej drogi w ruchu ze stałym przyspieszeniem, zależnym od masy dodatkowej. m 0

2 msg M W zestawie doświadczalnym znajdują się dwa jednakowe ciężarki, każdy o masie =50 g, połączone cienką, nierozciągliwą nitką, z możliwością przewieszenia przez krążek obrotowy o promieniu =6,3 cm. Ponadto dysponujemy ciężarkami dodatkowymi o masach: ,10 g 3,47 g 5,00 g 5,55 g 6,57 g 8,10 g oraz przyrządem elektronicznym do pomiaru czasu i miarką milimetrową pozwalającą mierzyć drogę przebywaną przez układ ciężarków. Zadanie A A.1. Przekładamy nitkę łączącą ciężarki przez krawędź obrotowego krążka. Dobieramy odpowiednie położenie poziomej półki metalowej, która ogranicza ruch ciężarka opadającego, aby w ten sposób ustalić drogę, jaką przebędzie ciężarek obciążony dodatkową masą. Do doświadczenia wybieramy jeden z ciężarków dodatkowych. A.2. Drogę należy dobierać w przybliżeniu, jako wzrastającą o wartość ok. 10 cm. Dokładną wartość mierzymy jako odległość od miejsca startu ciężarka nieobciążonego (dolna krawędź ciężarka) do położenia górnego w chwili zatrzymania, bądź też mierząc analogiczną odległość dla ciężarka z masą dodatkową, od miejsca startu do miejsca zatrzymania. Mierzymy za każdym razem przemieszczenie dolnej krawędzi ciężarka. A.3. Dla kolejno wybieranych dróg wykonujemy pomiar czasu, w jakim ciężarek opadający pokona zadany odcinek drogi. Każdy pomiar czasu powtarzamy wielokrotnie tak, aby można było zarejestrować pięć wiarygodnych (pozbawionych błędu systematycznego) wyników, które posłużą do obliczenia wartości średniej, jako bardziej wiarygodnej. Wyniki rejestrujemy w tabeli: Pomiary dla ustalonej masy Wartość drogi s 0 = 0 = [cm] = g Pomiar czasu t np. pięciokrotny Wielokrotny pomiar czasu dla danej ; obliczenie czasu średniego [s] [s] = [s 2 ] A.4. W ramach opracowania sporządzamy wykres przedstawiający punkty pomiarowe zależności drogi od kwadratu czasu oraz metodą regresji liniowej wyznaczamy współczynnik kierunkowy dla przewidzianej teorią zależności (5, 6), zgodnie z opisem w dalszej części instrukcji (Rys.3.). Obliczamy wartość przyspieszenia dla badanego ruchu oraz dokonujemy oszacowania niepewności standardowej i rozszerzonej, dla otrzymanego wyniku.

3 msg M A.5. Dysponując wartością przyspieszenia w badanym ruchu jednostajnym, na wykresie przedstawiającym wyniki pomiarów drogi i czasu trwania ruchu wykreślamy wartości funkcji dopasowania, zgodnie z przewidzianym teorią równaniem kinematycznym ruchu jednostajnie zmiennego (7), jak to pokazano w opracowaniu na Rys.4. A.6. Opracowanie możemy uzupełnić oszacowaniem wartości t momentu sił tarcia na osi obrotowego krążka. W tym celu należy posłużyć się formułą (1), oraz do obliczeń wykorzystać wyznaczoną wartość przyspieszenia oraz znaną wartość wykorzystanej w doświadczeniu masy dodatkowej, a ponadto przyjąć promień krążka =6,3 cm, masę efektywną ciężarków i bloczka e 140 g oraz wartość standardową przyspieszenia ziemskiego = 9,8106 m s -2. Zadanie B B.1. Przekładamy nitkę łączącą ciężarki przez krawędź obrotowego krążka. Dobieramy odpowiednie położenie poziomej półki metalowej, która ogranicza ruch ciężarka opadającego, aby w ten sposób ustalić drogę, jaką będzie pokonywał ciężarek obciążony dodatkową masą. W doświadczeniu ustalamy wartość drogi wybierając ją z przedziału: 60 cm 100 cm B.2. Dokładną wartość mierzymy jako odległość od miejsca startu ciężarka nieobciążonego (dolna krawędź ciężarka) do położenia górnego w chwili zatrzymania, bądź też mierząc analogiczną odległość dla ciężarka z masą dodatkową, od miejsca startu do miejsca zatrzymania. Mierzymy przemieszczenie dolnej krawędzi ciężarka. B.3. Dla kolejnych mas dodatkowych dokonujemy pomiaru czasu, w jakim ciężarek opadający pokona zadany odcinek drogi. Każdy pomiar czasu powtarzamy wielokrotnie tak, aby można było zarejestrować pięć wiarygodnych (pozbawionych błędu systematycznego) wyników, które posłużą do obliczenia wartości średniej, jako bardziej wiarygodnej. Wyniki rejestrujemy w tabeli: Pomiary dla ustalonej drogi z przedziału: 60 cm 100 cm Wartość drogi =... Pomiar czasu t np. pięciokrotny ciężarek dodatk. 1 1 [g] Wielokrotny pomiar czasu dla danej ; obliczenie czasu średniego [s] [s] = 2 2 [cm s -2 ]

4 msg M B.4. W ramach opracowania, w oparciu o obliczony czas średni oraz znaną drogę, obliczamy wartość przyspieszenia = 2 % dla każdego z ciężarków dodatkowych. B.5. Dysponując wartościami przyspieszeń w badanym ruchu jednostajnym, na wykresie przedstawiamy wyniki pomiarów przyspieszenia w zależności od masy. Na tym samym wykresie wykreślamy liniową funkcję dopasowania, zgodnie z wyznaczonymi metodą regresji liniowej parametrami prostej. Funkcję dopasowania ekstrapolujemy dla malejących wartości masy, aż do otrzymania na wykresie wartości zerowej przyspieszenia (przecięcie osi odciętych), jak to pokazano w opracowaniu na Rys.5. B.6. Znane wartości parametrów regresji dla linii prostej dopasowania pozwalają na wyznaczenie, zgodnie z wzorami (10 13), wartości t momentu sił tarcia na osi krążka obrotowego. Ponadto, obliczyć należy niepewność standardową &( t ), a następnie niepewność rozszerzoną dla otrzymanego wyniku, z odpowiednim współczynnikiem rozszerzenia ) * przy poziomie ufności + 95%. Do obliczeń przyjąć promień krążka = 6,3 cm oraz wartość standardową przyspieszenia ziemskiego = 9,8106 m s -2. B.7. Opracowanie możemy uzupełnić oszacowaniem wartości e masy efektywnej dla układu ciężarków i krążka obrotowego. W tym celu wystarczy posłużyć się formułą (11), oraz do obliczeń wykorzystać wyznaczoną wartość współczynnika kierunkowego prostej oraz wartość standardową przyspieszenia ziemskiego = 9,8106 m s -2. Dodatek Współczynniki rozszerzenia -. dla różnych ilości / stopni swobody oraz poziomu ufności. = 01, 21% / ,97 4,53 3,31 2,87 2,65 2,52 2,43 2,37 2,32 2,28 2,13 2,05 2,00

5 msg M Teoria i wyniki pomiarów. W prowadzonym doświadczeniu można się przekonać, że do tego, aby rozpoczął się ruch układu ciężarków nie wystarczy dodanie dowolnej masy dodatkowej, czyli nie wystarcza warunek, by wartość siły 4 > 4. Konieczne jest by wartość wypadkowego momentu sił (związanego z siłami ciężkości) dla krążka (4 4 ) = była większa od momentu sił tarcia t na osi krążka. m 0 F 0 F 2R m 0 + m Rys.2. Układ mas poruszających się pod działaniem sił s Przyjmując szereg upraszczających założeń (pominięcie siły oporu ruchu w powietrzu, zaniedbanie rozciągliwości nitki i jej poślizgu na bloczku oraz nieuwzględnianie masy nitki i założenie stałego momentu sił tarcia) otrzymuje się z równań dynamicznych ruchu rozwiązanie dla stałego przyspieszenia układu mas: = t e + = 9 e t e : 91 + ;< : e gdzie wprowadzono oznaczenia: t - moment sił tarcia na osi bloczka; - promień bloczka; = - moment bezwładności bloczka; - przyspieszenie ziemskie; - masa każdego z dwóch ciężarków; - masa dodatkowego ciężarka; e - masa efektywna ciężarków i bloczka (1) e = 2 + = (2) W doświadczeniu masy ciężarków m 0 = 50 g oraz masa efektywna e 140 g, co przy masie ciężarka dodatkowego 8 g oznacza, < 0,06, (3) gdzie pierwsza z nierówności jest warunkiem zaistnienia ruchu, gdyż wtedy dopiero ciężarek dodatkowy powoduje wystąpienie na bloczku takiego momentu sił, który przewyższa statyczny moment sił tarcia wytworzony na osi krążka. Druga nierówność wynika z ograniczenia wartości masy dodatkowego ciężarka, co z kolei ogranicza maksymalną wartość przyspieszenia w badanym ruchu, aby czas ruchu nie był zbyt krótki. Zadanie A polega na sprawdzeniu oczekiwanej zależności pomiędzy drogą przebywaną w ruchu jednostajnie zmiennym (ze stałym przyspieszeniem) a czasem trwania ruchu. Zgodnie z modelem fizycznym wynikającym z zastosowania praw Newtona do ruchu brył i zgodnie z przyjętymi uproszczeniami, przyspieszenie w rozważanym układzie jest stałe przy ustalonej wartości masy dodatkowej m i można obliczyć jego przewidywaną wartość za pomocą wzoru (1). W konsekwencji tego, rozwiązania równań ruchu prowadzą do następującej zależności przebywanej drogi s od czasu t trwania ruchu (przy braku prędkości początkowej): = (4)

6 msg M Dysponujemy zatem modelem fizycznym zjawiska, w którym zmierzone wartości przebywanych odległości s powinny być liniowo zależne od kwadratu czasu t 2 trwania ruchu. Aby przeanalizować zgodność tego modelu z wynikami pomiarów, można zbadać przewidywaną zależność liniową: jeśli =, = FG HIIIIIJ = + K (5) Jeśli przyjmiemy, że spełniony musi być warunek b = 0 równoważny założeniu zerowej wartości = 0 dla odległości początkowej, to wynikające z modelu fizycznego równanie upraszcza się do postaci: =, gdzie = (6) 2 Systematyczne niedoszacowanie, bądź przeszacowanie mierzonych odległości s wiązałoby się z koniecznością przyjęcia wartości drogi początkowej 0 różnej od zera, a tym samym stałej K 0. Badanie zależności drogi y = s od kwadratu czasu x = t 2 trwania ruchu = Współczynnik kierunkowy Współczynnik korelacji Niepewność standardowa prostej = PR< PR< P P P PR< P P S = T PR< P T PR< P &() = U V = S W 1 S X 2 Przy wyznaczaniu parametru a zależności liniowej można posłużyć się funkcjami dostępnymi w kalkulatorze z obsługą statystyki dwóch zmiennych, albo np. wbudowaną funkcją REGLINP w arkuszu kalkulacyjnym typu MS Excel (instrukcja w pkt. - dla prostej y=a x funkcja REGLINP(znane_Y;znane_X;0;1). s [cm] Wykres wyników pomiaru badania zależności liniowej pomiędzy drogą s i kwadratem czasu t 2 w ruchu jednostajnie zmiennym y = 3,002 x r² = 0, t 2 [s 2 ] Rys.3. Na wykresie przedstawiono punkty pomiarowe zależności drogi od kwadratu czasu w celu sprawdzenia przewidzianej teorią zależności (4,5 i 6) oraz wprowadzono wykres lini prostej regresji liniowej dla danych wartości pomiarów.

7 msg M Ocena otrzymanej wartości współczynnika korelacji pozwala na określenie skali zgodności z wynikami pomiarów modelu teoretycznego, wskazującego na zależność liniową drogi y = s od kwadratu czasu x = t 2 skala zgodności tym większa, im bliższy wartości 1 jest współczynnik korelacji (wartość r = 1 oznaczałaby idealną zależność liniową, tzn. punkty pomiaru ułożone ściśle wzdłuż jednej prostej). Obliczona wartość współczynnika kierunkowego pozwala na wyznaczenie przyspieszenia oraz oszacowanie niepewności standardowej i rozszerzonej tego pomiaru (przy p = 95,45% współczynnik rozszerzenia k p = 2,52 stosownie do liczby stopni swobody Y = X 1 = 6 w podanym przykładzie): = 2 &( ) = 2 &() Z( ) = ) * &( ) = 6,0041 cm s -2 &( ) = 0,07813 cm s -2 Z( ) = 0,1969 cm s -2 co pozwala podać wynik dla przyspieszenia w badanym ruchu jednostajnie zmiennym: = (6,00 ± 0,20) 10 ; m s -2. Dysponując wartością przyspieszenia w badanym ruchu jednostajnym możemy na wykresie (Rys.4.) przedstawiającym wyniki pomiarów drogi i czasu trwania ruchu wykreślić wartości funkcji dopasowania, zgodnie z przewidzianym teorią równaniem kinematycznym ruchu jednostajnie zmiennego: () = 1 2 (7) Wykres przedstawiający wyniki pomiarów (s, t) oraz funkcję teoretyczną s(t) drogi w zależności od czasu s( t) = a0 t 2 2 s [cm] t [s] Rys.4. Na wykresie przedstawiono zbiór punktów pomiarowych otrzymanych w doświadczeniu oraz wykreślono funkcję teoretyczną zależności drogi od czasu dla obliczonej wartości przyspieszenia w badanym ruchu jednostajnie zmiennym.

8 msg M Zadanie B wiąże się z wyznaczeniem zależności przyspieszenia od masy dodatkowego ciężarka oraz możliwością wyznaczenia momentu sił tarcia związanego z ruchem obrotowym krążka. Zależność przyspieszenia układu mas od masy dodatkowego ciężarka wyrażona wzorem (1) można wyrazić w postaci przybliżonej następująco: t 9 e = e : ]1 + _ t e e `, (8) e^ gdzie wzór przybliżony otrzymujemy po uwzględnieniu warunku określonego nierównościami (3), z których wynika a < 0,06, który to warunek będzie spełniony w przypadku wykonywania pomiarów dla ciężarków o masach 8 g (przy założeniu, że masa efektywna e 140 g). Badanie przyspieszenia układu mas na bloczku - Przyjmujemy, że ruch układu mas odbywa się ze stałym, zależnym od masy dodatkowej, przyspieszeniem () i można je opisać za pomocą przybliżonej zależności, która zgodnie ze wzorem (8) jest następująca: () a? a. (9) Wyniki pomiarów oraz obliczone wartości przyspieszeń pozwalają na doświadczalne przeanalizowanie zależności (), co uwidocznione zostało na wykresie Rys Przyspieszenie a 0 (m) w zależności od masy m ciężarka dodatkowego oraz prosta regresji liniowej pomiary Liniowy (pomiary) a 0 (m) = 6,5374 m - 13,296 a 30 0 [cm/s 2 ] m [g] Rys.5. Na wykresie przedstawiono zbiór punktów pomiarowych (, ) otrzymanych w doświadczeniu oraz wykreślono prostą regresji liniowej zgodnie z założonym modelem (9) zależności liniowej przyspieszenia () od masy dodatkowego ciężarka w badanym ruchu jednostajnie zmiennym.

9 msg M Z równania (9) wynika, że przyspieszenie różne od zera () 0 wystąpi tylko dla takich wartości masy dodatkowej, które są większe od wartości granicznej z, która zgodnie z (9) wyrażona jest formułą: z =?. (10) Równocześnie możliwe jest wyznaczenie metodą regresji liniowej współczynników, K prostej dopasowania do wyników pomiaru, zgodnie z oznaczeniami =, = Współczynnik korelacji: dvf@e HIIIJ = + K, gdzie = a, K =? a Parametry linii prostej (estymatory regresji liniowej): (11) X PR< P P PR< P PR< P S = TX PR< P ( PR< P ) TX PR< P ( PR< P = X PR< P P PR< P PR< P X PR< P ( PR< P ) K = X =1 X =1 X Niepewności standardowe: ) &() = U V = S W 1 S X 2 &(K) = U f = U W P PR< X Oszacowanie (przybliżone) estymatora współczynnika S(, K) korelacji parametrów i K regresji liniowej: S(, K) TX PR< P PR< P Przy wyznaczaniu parametrów zależności liniowej można posłużyć się funkcjami dostępnymi w kalkulatorze z obsługą statystyki dwóch zmiennych, albo np. wbudowaną funkcją REGLINP w arkuszu kalkulacyjnym typu MS Excel (instrukcja w pkt. - dla prostej y=a x + b funkcja REGLINP(znane_Y;znane_X;1;1). Wyznaczone w oparciu o wyniki pomiarów wartości współczynników i K pozwalają na obliczenie wartości masy granicznej z, zgodnie ze wzorem: z = K (12) W rezultacie, dla znanych wartości promienia krążka obrotowego, przyspieszenia ziemskiego oraz obliczonych wartości, K prostej, możemy wyznaczyć (za pomocą wzorów (10) i (12)) wartość momentu sił tarcia na osi krążka:? = K (13) oraz oszacować niepewność standardową &(? ) za pomocą wzoru, który przy zaniedbaniu niepewności związanych z wartościami i, ale z uwzględnieniem korelacji parametrów i K regresji, przyjmuje postać: &(? ) =? W_ &() ` + _ &(K) K ` 2 g_ &() ` _&(K) ` S(, K)g. (14) K

10 msg M Dla przykładowych danych pomiarowych, zilustrowanych na wykresie Rys.5., otrzymano następujące wartości liczbowe (ilość cyfr znaczących w wynikach dobrana tak, by zapewnić wystarczającą precyzję dalszych obliczeń): Współczynnik korelacji: S = 0,97546 Parametry linii prostej: = 6,5374 cm s -2 g -1 K = 13,2957 cm s -2 Niepewności standardowe: &() = 0,5184 cm s -2 g -1 &(K) = 2,8882 cm s -2 Współczynnik S(, K) korelacji parametrów i K : S(, K) 0,88206 Obliczone na podstawie wzorów (13) i (14) wartości momentu sił tarcia oraz niepewności standardowej (po uwzględnieniu = 6,3 cm oraz = 9,8106 m s -2 ):? = 1, ;h N m &(? ) = 0, ;h N m Warto tutaj podkreślić, że w tym przypadku pominięcie we wzorze (14) korelacji parametrów i K regresji liniowej prowadziłoby do radykalnego zawyżenia obliczanej wartości niepewności standardowej, bowiem powiększyłoby ją ok. trzykrotnie. Ostateczny wynik dla momentu sił tarcia? podajemy po obliczeniu niepewności rozszerzonej Z(? ) = ) * &(? ) ze współczynnikiem rozszerzenia ) * = 2,87 odpowiednim dla poziomu ufności + 95% oraz przy Y = X 2 = 4 stopniach swobody:? ± Z(? )? = (1,26 ± 0,29) 10 ;h N m Literatura H. Szydłowski Pracownia Fizyczna, PWN Warszawa 1973 i późn. J. Orear Fizyka, T.1 i 2, WNT Warszawa 1990 R.Resnick, D.Halliday, J.Walker Podstawy fizyki, Materiały pomocnicze dostępne w formie elektronicznej: o Instrukcje opisujące algorytm opracowania wyników pomiaru, o Jednostki, stałe fizyczne, liczby, o Metody oszacowania niepewności pomiaru. Opracowanie: M.Gajdek, Katedra Fizyki, PŚk