Całki potrójne Całki potrójne po prostopadłościanie. Całki potrójne po obszarach normalnych. Zamiana zmiennych w całkach potrójnych. Zastosowania całek potrójnych. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Całki potrójne str. 1/42
Podział prostopadłościanu Rozważmy prostopadłościanp określony w przestrzeni układu OXY Z nierównościami: P: axb cyd pzq oraz funkcję trzech zmiennychf(x,y,z) określoną i ograniczoną w tym prostopadłościanie. Podziałem prostopadłościanup nazywamy zbiór n złożony z prostopadłościanówp 1,P 2,...,P n, które całkowicie wypełniają P oraz mają parami rozłączne wnętrza (tzn.(intp i ) (intp j )=, dlai j). Całki potrójne str. 2/42
Oznaczenia w definicji całki po prostopadłościanie x k, y k, z k - wymiary prostopadłościanup k, gdzie 1kn; d k = ( x k ) 2 +( y k ) 2 +( z k ) 2 - długość przekątnej prostopadłościanup k, gdzie1kn; δ n =max 1kn d k - średnica podziału n ; A={A 1 (x 1,y 1,z 1 ),A 2(x 2,y 2,z 2 ),...,A n(x n,y n,z n )}, gdziea k (x k,y k,z k) P k dla1kn,a-zbiór punktów pośrednich podziału n. Całki potrójne str. 3/42
Suma całkowa funkcji po prostopadłościanie Niech funkcjaf będzie ograniczona na prostopadłościaniep oraz niech n będzie podziałem tego prostopadłościanu, aazbiorem punktów pośrednich. Suma całkowa funkcjif odpowiadajac a podziałowi n oraz punktom pośrednimanazywamy liczbę n k=1 f(x k,y k,z k) ( x k ) ( y k ) ( z k ). Całki potrójne str. 4/42
Całki potrójne po prostopadłościanie Niech funkcjaf będzie ograniczona na prostopadłościaniep. Całkę potrójna funkcjif po prostopadłościaniep definiujemy wzorem P f(x,y,z)dxdydz def = lim δn 0 n k=1 f(x k,y k,z k) ( x k ) ( y k ) ( z k ), o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału n prostopadłościanup ani od sposobu wyboru punktów pośrednicha. Mówimy wtedy, że funkcjaf jest całkowalna na prostopadłościaniep. Całki potrójne str. 5/42
Całka potrójna po prostopadłościanie Całkę potrójną z funkcjif po prostopadłościaniep oznaczamy też symbolem: P f(x,y,z)d. Całki potrójne str. 6/42
Twierdzenie o całkowalności funkcji ciagłych: Funkcja ciągła na prostopadłościanie jest na nim całkowalna. Twierdzenie o liniowości całki: Niech funkcjef ig będą całkowalne na prostopadłościaniep oraz niech α, β R. Wtedy P (αf(x,y,z)+βg(x,y,z))dxdydz=α P f(x,y,z)dxdydz+β P g(x,y,z)dxdydz. Całki potrójne str. 7/42
Twierdzenie o addytywności całki względem obszaru całkowania Jeżeli funkcjaf jest całkowalna na prostopadłościaniep, to dla dowolnego podziału tego prostopadłościanu na prostopadłościany P 1 ip 2 o rozłącznych wnętrzach zachodzi równość P f(x,y,z)dxdydz= f(x,y,z)dxdydz+ f(x,y,z)dxdydz. P 1 P 2 Całki potrójne str. 8/42
Twierdzenia o zamianie całki potrójnej na całkę iterowana Jeżeli funkcjaf jest całkowalna na prostopadłościanie P= a,b c,d p,q, to a,b c,d p,q f(x,y,z)dxdydz= b a d c q p f(x,y,z)dz dy dx. Całki potrójne str. 9/42
Powyższe twierdzenie będzie prawdziwe także wtedy, gdy po prawej stronie równości napiszemy dowolna całkę iterowaną (jest sześć rodzajów całek iterowanych). Całkę iterowaną b a d możemy zapisywać umownie c q p f(x,y,z)dz dy dx b dx d dy q f(x,y,z)dz. a c p Podobną umowę możemy przyjąć dla pozostałych całek iterowanych. Całki potrójne str. 10/42
Przykład NiechP= 1,1 0,1 2,4. Oblicz P (2x y+3z)dxdydz. Całki potrójne str. 11/42
Całka potrójna po obszarach Niechf będzie funkcją ograniczoną na obszarze ograniczonym R 3 oraz niechp będzie dowolnym prostopadłościanem zawierającym obszar. Ponadto niechf oznacza rozszerzenie funkcjif nap określone wzorem: f (x,y,z) def = f(x,y,z), dla(x,y,z), 0, dla(x,y,z) P\. Całki potrójne str. 12/42
Całka potrójna po obszarach Całkę potrójna funkcjif po obszarze definiujemy wzorem: f(x,y,z)dxdydz def = f (x,y,z)dxdydz, P o ile całka po prawej stronie znaku równości istnieje. Mówimy wtedy, że funkcjaf jest całkowana w obszarze. Całka P f (x,y,z)dxdydz nie zależy od wyboru prostopadłościanu P. Całki potrójne str. 13/42
Obszary normalne wzgl. płaszczyzn układu współrzędnych 1 Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyznyxoy, jeżeli można go zapisać w postaci: ={(x,y,z): (x,y) D xy g(x,y)zh(x,y)}, gdzied xy jest obszarem normalnym na płaszczyźniexoy, a funkcjeg ihsą ciągłe nad xy, przy czymg(x,y)<h(x,y) dla punktów(x,y) należących do wnętrza obszarud xya. a Dxy - rzut obszaru na płaszczyznęxoy. Całki potrójne str. 14/42
Obszary normalne wzgl. płaszczyzn układu współrzędnych 2 Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyznyxoz, jeżeli można go zapisać w postaci: ={(x,y,z): (x,z) D xz p(x,z)yq(x,z)}, gdzied xz jest obszarem normalnym na płaszczyźniexoz, a funkcjepiq są ciągłe nad xz, przy czymp(x,z)<q(x,z) dla punktów(x,z) należących do wnętrza obszarud xza. a Dxz - rzut obszaru na płaszczyznęxoz. Całki potrójne str. 15/42
Obszary normalne wzgl. płaszczyzn układu współrzędnych 3 Obszar domknięty nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyznyyoz, jeżeli można go zapisać w postaci: ={(x,y,z): (y,z) D yz r(y,z)xs(y,z)}, gdzied yz jest obszarem normalnym na płaszczyźnieyoz, a funkcjer issą ciągłe nad yz, przy czymr(y,z)<s(y,z) dla punktów(y,z) należących do wnętrza obszarud yza. a Dyz - rzut obszaru na płaszczyznęyoz. Całki potrójne str. 16/42
Całki iterowane po obszarach normalnych Jeżeli funkcjaf jest ciągła na obszarze domkniętym ={(x,y,z): (x,y) D xy g(x,y)zh(x,y)} normalnym względem płaszczyznyxoy, gdzie funkcjeg ihsą ciągłe nad xy, to f(x,y,z)dxdydz= h(x,y) f(x,y,z)dz dxdy. D xy g(x,y) Całki potrójne str. 17/42
Całki iterowane po obszarach normalnych Prawdziwe są analogiczne wzory z całkami iterowanymi po obszarach normalnych względem pozostałych płaszczyzn układu. Jeżeli obszar normalny względem płaszczyznyxoy można zapisać w postaci: axb : g(x)y h(x) g(x,y)zh(x,y),. to zachodzi równość f(x,y,z)dxdydz= b a h(x) g(x) b dx h(x,y) g(x,y) h(x) dy f(x,y,z)dz dy dx h(x,y) f(x,y,z)dz. a g(x) g(x,y) Całki potrójne str. 18/42
Przykład Niech będzie obszarem ograniczonym powierzchniami z=y 2 x 2,z=0,x=0,y=1iy=x. Oblicz (x 2 +y 2 )dxdydz. Całki potrójne str. 19/42
Przykład Niech będzie obszarem ograniczonym powierzchniamiz=y, z=0iy=1 x 2. Oblicz ydxdydz. Całki potrójne str. 20/42
Obszar regularny w przestrzeni Sumę skończonej liczby obszarów normalnych względem płaszczyzn układu o parami rozłącznych wnętrzach nazywamy obszarem regularnym w przestrzeni. Całki potrójne str. 21/42
Całka po obszarze regularnym Niech obszar regularny= 1 2... n oraz int i int j =, dlai joraz niech funkcjaf będzie całkowalna na. Wtedy f(x,y,z)dxdydz= + 1 f(x,y,z)dxdydz f(x,y,z)dxdydz+...+ f(x,y,z)dxdydz. 2 n Całki po obszarach regularnych mają te same własności co całki po prostopadłościanach, tzn. liniowość, addytywność względem obszaru całkowania. Całki potrójne str. 22/42
Wartość średnia funkcjif na obszarzeu Wartościa średnia funkcjif na obszarze nazywamy liczbę fśr := 1 f(x,y,z)dxdydz, gdzie oznacza objętość obszaru. Twierdzenie: Jeżeli funkcjaf jest ciągła na obszarze normalnym, to w tym obszarze istnieje punkt(x 0,y 0,z 0 ), taki że fśr =f(x 0,y 0,z 0 ). Całki potrójne str. 23/42
Przykłady Niech ={(x,y,z):0x1 0 y x 0 z x+y}. Oblicz wartość średnią funkcji f(x,y,z)=x+y+z. W punkcie(x,y,z) prostopadłościanu ={(x,y,z):0x1 0 y 2 0 z 3}. temperatura określona jest wzorem T(x,y,z)=ysinπx+z. Oblicz średnią temperaturę w tym prostopadłościanie. Całki potrójne str. 24/42
Współrzędne walcowe w całkach potrójnych Położenie punktua(x,y,z) w przestrzeni można opisać trójką liczb (ϕ,, h), gdzie: ϕ oznacza miara kąta między rzutem promienia wodzącego punktuana płaszczyznęxoy, a dodatnią częścią osiox, 0ϕ<2π lub π<ϕπ, oznacza odległość rzutu punktuana płaszczyznęxoy od początku układu współrzędnych,0 <, h oznacza odległość (dodatnia dlaz>0 i ujemną dlaz<0) punktu P od płaszczyzny XOY, < h <. Trójkę liczb(ϕ,, h) nazywamy współrzędnymi walcowymi punktu przestrzeni. Całki potrójne str. 25/42
Zależność między współrzędnymi walcowymi i kartezjańskimi W: x= cosϕ y= sinϕ z=h PrzekształcenieW, które każdemu punktowi(ϕ,,h) przyporządkowuje punkt(x,y,z) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem walcowym. Jakobian przekształcenia walcowegoj W =. Całki potrójne str. 26/42
Twierdzenie - współrzędne walcowe w całce potrójnej Niech obszarωwe współrzędnych walcowych będzie obszarem normalnym funkcjaf będzie ciągła na obszarze, który jest obrazem obszaruωprzy przekształceniu walcowym, tzn.=w(ω). Wtedy f(x,y,z)dxdydz= f( cosϕ, sinϕ,h) dhd dϕ. Ω Całki potrójne str. 27/42
Przykład Niech będzie obszarem ograniczonym paraboloidą z=9 x 2 y 2 i płaszczyznąz=0. Oblicz x 2 dxdydz. Całki potrójne str. 28/42
Przykład Niech będzie obszarem ograniczonym stożkiemz=2 x 2 +y 2 i płaszczyznąz=8. Oblicz (x 2 +y 2 )dxdydz. Całki potrójne str. 29/42
Współrzędne sferyczne w całkach potrójnych Położenie punktua(x,y,z) w przestrzeni można opisać trójką liczb (ϕ, ψ, ), gdzie: ϕ oznacza miara kąta między rzutem promienia wodzącego punktuana płaszczyznęxoy, a dodatnią częścią osiox, 0ϕ<2π lub π<ϕπ, ψ oznacza miara kąta między promieniem wodzącym punktua, płaszczyznąxoy, π 2 ψπ, 2 oznacza odległość punktuaod początku układu współrzędnych,0 <. Trójkę liczb(ϕ, ψ, ) nazywamy współrzędnymi sferycznymi punktu przestrzeni. Całki potrójne str. 30/42
Zależność między współrzędnymi sferycznymi i kartezjańskimi S: x= cosϕcosψ y= sinϕcosψ z= sinψ PrzekształcenieS, które każdemu punktowi(ϕ,ψ, ) przyporządkowuje punkt(x,y,z) określony powyższymi wzorami, nazywamy przekształceniem sferycznym. Jakobian przekształcenia sferycznegoj W = 2cosψ. Całki potrójne str. 31/42
Twierdzenie - współrzędne sferyczne w całce potrójnej Niech obszarωwe współrzędnych biegunowych będzie obszarem normalnym funkcjaf będzie ciągła na obszarze, który jest obrazem obszaruωprzy przekształceniu sferycznym, tzn.=s(ω). Wtedy f(x,y,z)dxdydz= Ω f( cosϕcosψ, sinϕcosψ, sinψ) 2 cosψd dψdϕ. Całki potrójne str. 32/42
Przykład Niech będzie obszarem ograniczonym półsfera z= 4 x 2 y 2 i płaszczyznąz=0. Oblicz z 2 x 2 +y 2 +z 2 dxdydz. Całki potrójne str. 33/42
Przykład Niech będzie obszarem ograniczonym powierzchnia z= 2 1 x 2 y 2 i płaszczyznąz= 1 2. Oblicz dxdydz x 2 +y 2 +z 2. Całki potrójne str. 34/42
Zastosowania całek potrójnych w geometrii Objętość obszaru Objętość obszaru R 3 wyraża się wzorem: = dxdydz. Całki potrójne str. 35/42
Zastosowania całek potrójnych w mechanice Masa obszaru Masa obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy wyraża się wzorem: M= (x,y,z)dxdydz. Całki potrójne str. 36/42
Momenty statyczne Momenty statyczne względem płaszczyzn układu współrzędnych obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy wyrażają się wzorami: MS xy = MS xz = MS yz = z (x, y, z)dxdydz, y (x, y, z)dxdydz, x (x, y, z)dxdydz. Całki potrójne str. 37/42
Współrzędne środka masy Współrzędne środka masy obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy wyrażają się wzorami: x C = MS yz M, y C= MS xz M, z C= MS xy M. Całki potrójne str. 38/42
Momenty bezwładności Momenty bezwładności względem osiox,oy,oz obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy wyrażają się wzorami: I x = (y 2 +z 2 ) (x,y,z)dxdydz, I y = I z = (x 2 +z 2 ) (x,y,z)dxdydz, (x 2 +y 2 ) (x,y,z)dxdydz. Całki potrójne str. 39/42
Moment bezwładności względem punktuo(0,0,0) Moment bezwładności względem punktuo(0,0,0) obszaru R 3 o gęstości objętościowej masy wyraża się wzorem: I O = (x 2 +y 2 +z 2 ) (x,y,z)dxdydz. Całki potrójne str. 40/42
Podsumowanie Całki potrójne po prostopadłościanie. Całki potrójne po obszarach normalnych. Wartość średnia funkcjif na obszarze. Współrzędne walcowe w całkach potrójnych. Współrzędne sferyczne w całkach podwójnych. Zastosowania całek potrójnych. Całki potrójne str. 41/42
Dziękuję za uwagę ;) Całki potrójne str. 42/42