Bryła sztywna Fizyka I (B+C) Wykład XXIII: Przypomnienie: statyka Moment bezwładności Prawa ruchu Energia ruchu obrotowego Porównanie ruchu obrotowego z ruchem postępowym
Przypomnienie Równowaga bryły sztywnej trwała obojętna chwiejna Nieznaczne (infintezymalne) wychylenie bryły z położenia równowagi powoduje: podniesienie środka masy, wzrost energii potencjalnej siła wypadkowa przywracajaca równowagę stała wysokość środka masy zmiana położenia równowagi obniżenie środka masy, zmniejszenie energii potencjalnej pojawienie się siły wypadkowej zwiększajacej wychylenie Typ równowagi zależy od zmiany położenia środka masy ( F = Ep) A.F.Żarnecki Wykład XXIII 1
Równowaga Statyka Zmiana położenia środka masy, przy wychyleniu z położenia równowagi, zależy od kształtu bryły, ale także od charakteru więzów. Np: równowaga kuli zależy od kształtu powierzchni na której leży równowaga trwała obojętna chwiejna A.F.Żarnecki Wykład XXIII 2
Obrót wokół ustalonej osi φ Prawa ruchu Pod wpływem momentu siły M: ε = d ω dt M = d L dt = d ω dt i m i r 2 i = ε I M ε = I = I - moment bezwładności względem wybranej osi. r m A.F.Żarnecki Wykład XXIII 3
Moment bezwładności Przyspieszenie katowe w ruchu bryły sztywnej zależy nie tylko od masy całkowitej, ale także od jej rozłożenia względem osi obrotu. Rozkład masy względem wybranej osi obrotu (najczęściej przechodzacej przez środek masy, ale nie koniecznie) opisuje moment bezwładności I = i m i r 2 i w przypadku ciagłego rozkładu masy - całka po objętości: I = Dla ciała jednorodnego (ρ = const = M V ): I = M V dv ρ r 2 dv r 2 = M dv r 2 dv = M r 2 gdzie r 2 - średni kwadrat odległości od osi obrotu A.F.Żarnecki Wykład XXIII 4
Moment bezwładności Stosunek momentu bezwładności do masy zależy od kształtu i rozmiarów ciała: Obręcz (pusta w środku) I M = r2 Obrót wokół osi symetrii wszystkie punkty równoodległe od osi: r 2 = r2 I = M r 2 Obrót wokół średnicy oś obrotu - oś X, średnica prostopadła do osi obrotu - oś Y x 2 + y 2 = r 2 i x 2 = y 2 r 2 = y2 = 1 2 r2 I = 1 2 M r2 A.F.Żarnecki Wykład XXIII 5
dr r r ds Koło Moment bezwładności (krażek - masa rozłożona po powierzchni) Obrót wokół osi symetrii Koło = suma wielu obręczy śrenia po powierzchni: r 2 = r 2 ds S = 1 πr 2 = 2π πr 2 1 4 r4 = 1 2 r2 I = 1 2 M r2 r 2 2πr dr Obrót wokół średnicy Dla każdej obręczy r 2 zmniejsza się 2 razy I = 1 4 M r2 A.F.Żarnecki Wykład XXIII 6
Moment bezwładności Prostokat (masa rozłożona po powierzchni) Obrót wokół osi prostopadłej, przechodzacej przez środek masy r 2 = (x 2 + y 2 ) ds S = 1 ab a 2 dx b 2 dy (x 2 + y 2 ) a 2 b 2 = 1 ab 1 12 (a3 b + ab 3 ) = 1 12 (a2 + b 2 ) I = 1 12 M (a2 + b 2 ) Obrót wokół osi równoległej, przechodzacej przez środek masy Wymiar wzdłuż osi obrotu przestaje być istotny pręt I = 1 12 M b2 = 1 12 M l2 A.F.Żarnecki Wykład XXIII 7
Moment bezwładności Sfera (masa rozłożona na powierzchni kuli) Obrót wokół osi symetrii x 2 + y 2 + z 2 = r 2 i x 2 = y 2 = z 2 r 2 = x2 + y 2 = 2 3 r2 I = 2 3 M r2 Kula (masa rozłożona objętościowo) Suma wielu sfer śrenia po objętości: r 2 = 23 r 2 dv V = = 1 4 3 πr3 2 3 r 2 4πr 2 dr 8 3 π 1 4 3 πr3 5 r5 = 2 5 r2 I = 2 5 M r2 A.F.Żarnecki Wykład XXIII 8
Moment bezwładności Twierdzenie o osiach równoległych Zazwyczaj liczymy moment bezwładności względem osi przechodz acej przez środek ciężkości S (wszystkie podane przykłady) Bryła może jednak wirować wokół dowolnej osi... Moment bezwładności względem osi równoległej 0, odległej o h od osi S: (XY: układ środka masy) r 2 io = (x i + h) 2 + y 2 i = h 2 + 2hx i + r 2 is I O = i m i r 2 io = h2 i m i + 2h i m i x i + i m i r 2 is I O = I S + M h 2 Twierdzenie Steinera A.F.Żarnecki Wykład XXIII 9
Prawa ruchu Równia pochyła Staczanie po równi pochyłej symetrycznej bryły (obręcz, walec, kula...) bez poślizgu: h l φ T r R Q Θ x x = r φ a = r ε Ruch postępowy (wzdłuż równi): ma = Q sin θ T Ruch obrotowy (względem środka masy): Eliminujac siłę tarcia: I ε = T r ma + Iε = mg sin θ r a = g sin θ 1 + I mr 2 Im większy moment bezwładności, tym wolniej stacza się ciało... A.F.Żarnecki Wykład XXIII 10
Prawa ruchu Równia pochyła Zagadnienie można rozwiazać w sposób równoważny korzystajac z chwilowej osi obrotu i twierdzenia Steinera h l φ R r T x Q Θ Równanie ruchu obrotowego względem chwilowej osi obrotu (linia styku bryły z równia): Z twierdzenia Steinera: Otrzymujemy: I o ε = Q sin θ r I o = I + m r 2 mg sin θ r2 a = r ε = I o = mr2 g sin θ mr 2 + I A.F.Żarnecki Wykład XXIII 11
Prawa ruchu Równia pochyła Rura Walec a = 1 2 g sin θ a = 2 3 g sin θ 1 3 A.F.Żarnecki Wykład XXIII 12
Prawa ruchu Wahadło fizyczne Równanie małych drgań bryły sztywnej, wokół osi obrotu O przechodzacej w odległości l od środka ciężkości S: I o ε = mg sin φ l ( I + ml 2 ) d 2 φ dt 2 mgl φ Częstość drgań (równanie oscylatora harmonicznego): ν = mgl I + ml 2 = g l(1 + I ml 2) l z = l(1 + I ml2) - długość zredukowana wahadła długość wahadła matematycznego o tej samej częstości A.F.Żarnecki Wykład XXIII 13
Prawa ruchu Wahadło fizyczne Równanie małych drgańwokół osi obrotu O: O φ m d M I o ε = Mdg sin φ m d 2 g sin φ ( Md 2 + 1 ) d 2 φ 3 md2 dt 2 (M + m 2 )dg φ Częstość drgań: ν = g l M + 1 2 m M + 1 3 m g l ( 1 + 1 12 m ) M l z = d M+1 3 m M+ 1 2 m d (1 1 6 mm ) - długość zredukowana wahadła (m M) A.F.Żarnecki Wykład XXIII 14
Energia Energia ruchu obrotowego Energia kinetyczna układu ciał: E k = E k + M V 2 CM 2 Bryła sztywna: energia wewnętrzna energia kinetyczna ruchu obrotowego E k = 1 2 i m i v 2 i = 1 2 i m i (r i ω) 2 = 1 2 ω2 I Ciało toczace się bez poślizgu: E k = mv2 2 v = ω r + Iω2 2 = mv2 2 ( 1 + I ) mr 2 m ( 1 + I mr 2 ) - efektywna masa bezwładna przy niezmienionej masie grawitacyjnej A.F.Żarnecki Wykład XXIII 15
Energia Równia pochyła h l φ R r T x Q Θ Prędkość jaka uzyska ciało staczajace się bez poślizgu z równi o wysokości h. Z zasady zachowania energii: mgh = 1 ( 2 mv2 1 + I ) mr 2 Przyspieszenie a = v t = v2 2l v = 2gh 1 + I mr 2 prędkość średnia v = 1 2 v = 2gh 2l ( 1 + I ) = mr 2 g sin θ 1 + I mr 2 A.F.Żarnecki Wykład XXIII 16
"! Energia Koło Maxwella Koło o promieniu R toczy się po osi o promieniu r. Jak w przypadku równi pochyłej θ = π 2 I r R a = g 1 + I mr 2 mg I = mr 2 a = g r 2 R 2 + r 2 g Przyspieszenie liniowe wielokrotnie mniejsze od przyspieszenia w spadku swobodnym... Energia potencjalna zamienia się głównie na energię ruchu obrotowego. A.F.Żarnecki Wykład XXIII 17
Energia Energia przy zmiennym momencie bezwładności Masy przesuwaja się z R = r 1 do R = r 2. I 2mR 2 Z zasady zachowania momentu pędu (układ izolowany): L 1 = ω 1 I 1 = ω 2 I 2 = L 2 Energia kinetyczna układu: E 2 = 1 2 ω2 2 I 2 = 1 2 ω 2 = ω 1 ( r1 r 2 ) 2 ω 2 ω 1 ω 2 1 I 1 = ( ) 2 r1 E 1 r 2 r 2 < r 1 energia kinetyczna rośnie kosztem pracy siły dośrodkowej (energii potencjalnej M) A.F.Żarnecki Wykład XXIII 18
).- -) #$ () *+ Uściślenie Prawa ruchu Rozważajac zagadnienie jednostajnie przyspieszonego ruchu obrotowego zakładaliśmy że moment siły jest stały i nie zależy od I. Jednak ciężarek też porusza się ruchem przyspieszonym: %'&,ma = Q N,Iε = rn Q - ciężar ciężarka, N - siła naprężenia nici. Eliminujac N = m(g a): Iε = r m(g rε) (I + mr 2 ) ε = mgr ε = mgr I + mr 2 = mgr I Bezwładność ciężarka efektywnie zwiększa moment bezwładności rotora: I = I + mr 2 Nigdy nie uzyskamy przyspieszenia większego niż ε max = g r A.F.Żarnecki Wykład XXIII 19
Porównanie Punkt materialny ruch postępowy Bryła sztywna ruch obrotowy (względem osi symetrii!) przesunięcie x kat obrotu φ prędkość v = d x dt prędkość katowa ω = d φ dt przyspieszenie a = d v dt przyspieszenie katowe ε = d ω dt masa m moment bezwładności I pęd p = m v moment pędu L = I ω układ izolowany p = const układ izolowany L = const A.F.Żarnecki Wykład XXIII 20
Porównanie Punkt materialny ruch postępowy Bryła sztywna ruch obrotowy (względem osi symetrii!) siła F moment siły M równania ruchu F = m a równania ruchu M = I ε praca W = d p dt = F F d x dl dt = M praca W = M d φ energia kinetyczna E k = 1 2 mv2 energia kinetyczna E k = 1 2 Iω2 Dla ruchu obrotowego względem ustalonej osi, pokrywajacej się z osia symetrii bryły!!! A.F.Żarnecki Wykład XXIII 21