nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem zdarzenia B.

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Definicja Niech B Fbędziezdarzeniemlosowymdlaktórego P(B) >0. Dla dowolnego zdarzenia losowego A F definiujemy P(A B) = P(A B). P(B) Liczbę P(A B) interpretujemy jako prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A pod warunkiem, że zaszło zdarzenie B, a funkcję P( B) : F [0,1] nazywamy prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem zdarzenia B.

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Przykład(Monety) Rzucono dwukrotnie symetryczną monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów, jeśli: a) pierwsza moneta okazała się orłem, b) co najmniej jedna moneta była orłem.

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Przykład(Urny) Urnazawiera8kulczerwonychoraz4białe.Losujemyzniejdwie kule bez zwracania. Jaka jest szansa wylosowania dwóch kul czerwonych jeśli: a) Prawdopodobieństwo wylosowania każdej kuli jest takie samo. b)załóżmy,żewszystkiekuleczerwonemająwagę c,abiałe b. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli danego koloru zależy od stosunku wag kul danego koloru do wagi wszystkich kul aktualnie znajdujących się w urnie.

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Twierdzenie(Zasada mnożenia) Jeślizdarzenia A 1,A 2,...,A n spełniająwarunek to P(A 1 A 2... A n 1 ) >0, P(A 1... A n ) = P(A 1 )P(A 2 A 1 )... P(A n A 1... A n 1 ). Twierdzenie to uzasadnia metodę drzewek stosowaną przy rozwiązywaniu wieli zadań liczby przypisywane gałęziom są prawdopodobieństwami warunkowymi, a gdy poruszamy się wzdłuż gałęzi, to mnożymy te liczby.

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Przykład(Bombki) W firmie produkującej ozdoby choinkowe, okazało się, że 1/3 sprzedanych bombek miała kształt kulisty, a pozostałe miały inny kształt. Ponadto bombki kuliste były w dwóch kolorach: czerwonym i złotym, a bombki niekuliste tylko w kolorze czerwonym. Wśród klientów wybierających bombki kuliste aż 4/5 wybierało bombki złote. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, polegającego na wylosowaniu spośród sprzedanych bombek, bombki czerwonej.

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Twierdzenie(o prawdopodobieństwie całkowitym(zupełnym)) Niech A 1,A 2,...,A n będązdarzeniamilosowymispełniającymi następujące warunki: 1 A i A j =,dla i j, n 2 A i = Ω, i=1 3 P(A i ) >0dlakażdego i =1,2,...,n. Wówczas dla dowolnego zdarzenia A F zachodzi wzór: P(B) = n P(B A i )P(A i ). i=1

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Uwaga Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku rozbicia przeliczalnego.

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Przykład(Loteria) W loterii fantowej zorganizowanej na balu szansa wygranej jest równa p, przegranej q, a z prawdopodobieństwem r wyciągamy los gradalej.los gradalej wrzucamyzpowrotemdournyi dokonujemy ponownego losowania. Jakie jest prawdopodobieństwo wygranej?

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Twierdzenie(prawdopodobieństwo całkowite w przestrzeni warunkowej) Niech H 1,H 2,...,H n będązdarzeniamilosowymispełniającymi następujące warunki: 1 H i H j =,dla i j, n 2 H i = Ω i=1 Gdy P(B) >0,to P(A B) = n P(A B H i )P(H i B). i=1

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Twierdzenie(wzór Bayesa(1763)) Niech B,A 1,A 2,...,A n będązdarzeniamilosowymispełniającymi następujące warunki: 1 A i A j =,dla i j, n 2 A i = Ω, i=1 3 P(A i ) >0,dlakażdego i =1,2,...,n, 4 P(B) >0. Wówczasdladowolnego i =1,2,...,n,zachodzirówność P(A i B) = P(B A i) P(A i ). n P(B A i ) P(A i ) i=1

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Uwaga Twierdzenie jest prawdziwe również w przypadku rozbicia przeliczalnego. Wzór ten nazywany jest również wzorem na prawdopodobieństwo a posteriori(podoświadczeniu).prawdopodobieństwa P(A i ) nazywane są prawdopodobieństwami a priori(przed doświadczeniem).zdarzenia A 1,A 2,...,A n nazywanesą przyczynami, a zdarzenie A skutkiem. Z twierdzenia tego wynika, że można liczyć prawdopodobieństwa skutku, jeśli tylko znamy prawdopodobieństwa przyczyn oraz prawdopodobieństwa skutku przyczyn danej przyczynie.

Definicja Prawdopodobieństwo całkowite Wzór Bayesa Przykład(daltonizm) Spośród mężczyzn 5%, a spośród kobiet 0,25% jest daltonistami. Wybrana losowo osoba okazała się daltonistą(zakładamy, że szanse trafienia na mężczyznę i kobietę są takie same). Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mężczyzna?

Definicja Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi jeśli P(A B) = P(A)P(B). Jeśli powyższy warunek nie zachodzi zdarzenia nazywamy zależnymi. Jest to pojęcie kluczowe w rachunku prawdopodobieństwa, które odróżnia go od teorii miary. Naturalnym jest stwierdzenie, że zdarzenia są niezależne jeśli wiedza o zajściu jednego nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego. Oznacza to, że P(A B) = P(A) o ile P(B) > 0. Powyższa definicja została zmodyfikowana aby dopuścić P(B) =0.

Uwaga Zdarzeniarozłączne AiBsąniezależnewtedyitylkowtedy,gdy P(A) =0lub P(B) =0. Przykład(elektron) Elektronemitowanyjestwlosowejchwili τprzedziału [0,T].Dla ustalonej chwili t niech A będzie zdarzeniem, że emisja nastąpi po chwili t,abzdarzeniem,żeemisjanastąpiprzedchwila T t. Czy zdarzenia A, B są niezależne? Twierdzenie Jeżeli zdarzenia A i B są niezależne, to niezależne są również pary zdarzeń: A i B, AiB oraz A i B.

Definicja Zdarzenia A 1,A 2,A n nazywamywzajemnieniezależnymi (niezależnymi), gdy P(A i1 A i2... A ik ) = P(A i1 )...P(A ik ), dla1 i 1 < i 2 <... < i k n, k =2,3,...,n. Zdarzenia A 1,A 2,A n sązatemniezależne,jeżeli prawdopodobieństwo koniunkcji każdej liczby tych zdarzeń (różnych) jest równe iloczynowi prawdopodobieństw tych zdarzeń. Żebysprawdzićniezależnośćnależysprawdzić2 n n 1równości.

Uwaga Dla n 3 z niezależności parami, nie wynika ich niezależność. Przykład(cztery kule) W urnie są cztery kule niebieska, zielona, czerwona oraz niebiesko-zielono-czerwona. Zbadać niezależność zdarzeń polegających na wyciągnięciu kul danego koloru.

Rozważa się również nieskończone ciągi zdarzeń niezależnych. Definicja Zdarzenia A 1,A 2,...nazywamyniezależnymi,gdydlakażdego n zdarzenia A 1,A 2,...,A n sąniezależne.

Przykład(doświadczenie dwuetapowe) Rozpatrzmy doświadczenie dwuetapowe polegające na tym, że najpierw rzucamy monetą, a następnie kostką sześcienną. Zbudować model probabilistyczny tego doświadczenia. W powyższym przykładzie są w zasadzie dwa doświadczenia losowe, ale traktowane łącznie. Ω jest przestrzenią zdarzeń elementarnych dla całego dwuetapowego doświadczenia. Można jednak skonstruować modele dla każdego etapu z osobna. W tym przykładzie określenie prawdopodobieństw od razu na przestrzeni Ω nie nastręcza trudności, jednak w ogólności łatwiej jest rozpatrywać doświadczenia wieloetapowo.

Dla dwóch lub więcej eksperymentów losowych, które nie mają na siebie wpływu(są niezależne w potocznym sensie), a opisane są różnymi przestrzeniami probabilistycznymi, można zawsze stworzyć wspólną przestrzeń, w której zdarzenia związane z różnymi eksperymentami będą niezależne. Tę wspólną przestrzeń probabilistyczną nazywamy przestrzenią produktową lub iloczynem kartezjańskim przestrzeni.

Definicja Niech (Ω i,f i,p i ), i =1,2,...,nbędąprzestrzeniami probabilistycznymi odpowiadającymi doświadczeniom losowym. Ich iloczyn kartezjański definiujemy następująco: Ω n = Ω 1... Ω n = {(ω 1,...,ω n ) : ω i Ω i }, A n = {A 1... A n : A i F i } = {(ω i,...,ω n ) : ω i A i F}. Zbiór A n nazywamycylindremlubzbioremcylindrycznym. Niestety rodzina składająca się ze wszystkich możliwych cylindrów nie jest na ogół nawet algebrą. Dlatego musimy ją uzupełnić do algebry wszystkich skończonych sum rozłącznych cylindrów, a następniedonajmniejszej σ-algebry F (n)

Twierdzenie Dladowolnychprzestrzenizdarzeńelementarnych Ω 1,Ω 2,...,Ω n istniejedokładniejedenrozkładprawdopodobieństwa P (n) na F (n), dla którego zachodzi równość P (n) (A (n) ) = P 1 (A 1 ) P 2 (A 2 )... P n (A n ), dladowolnych A i F i, i =1,2,...,n.

Przykład(niezależność, a przestrzenie produktowe) Rozpatrzmy przypadek dwóch przestrzeni probabilistycznych (Ω 1,F 1,P 1 )oraz (Ω 2,F 2,P 2 ).Niech A 1 F 1, A 2 F 2.Czy zdarzenia A = A 1 Ω 2 oraz B = Ω 1 A 2 sąniezależneiloczynie kartezjańskim (Ω, F, P) tych przestrzeni.

Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Szczególnie ważnym przykładem przestrzeni produktowej jest przestrzeń powstała w wyniku wykonania ciągu niezależnych powtórzeń tego samego doświadczenia losowego o dwóch możliwych wynikach., które nazywamy umownie sukcesem(1) i porażką(0). Taki model probabilistyczny nazywamy schematem Bernoulliego, a poszczególne doświadczenia próbami Bernoulliego.

Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Przestrzeń zdarzeń elementarnych odpowiadająca jednemu doświadczeniumapostać Ω = {0,1}.Niech F =2 Ω oraz P({0}) =1 p = q, P({1}) = p, gdzie p (0, 1) jest prawdopodobieństwem sukcesu. Przestrzeń probabilistyczna odpowiadająca n niezależnym powtórzeniom tego doświadczeniatoprzestrzeń (Ω,F,P) = (Ω (n),f (n),p (n) ). Uwaga Często wygodne jest następujące przedstawienie P({i}) = p i (1 p) 1 i, i =0,1.

Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Twierdzenie Prawdopodobieństwo zajścia dokładnie k sukcesów w schemacie Bernoulliego n prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie p wynosi ( ) n P n,k = p k (1 p) n k. k Przykład(urny) Wurniejest Nkul,wśródktórych bjestbiałychoraz N b czarnych. Losujemy n razy po jednej kuli, zwracając ją za każdym razem. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania k kul białych?

Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Twierdzenie Najbardziej prawdopodobna liczba sukcesów w schemacie Bernoulliego z parametrami n i p jest dowolną liczbą całkowitą z przedziału [p(n+1) 1,p(n+1)]. Twierdzenie Niech0 k nbędzieustalonąliczbąsukcesówwschemacie Bernoulliegozparametrem n.prawdopodobieństwo P n,k jest największe dla p = k n.

Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Jeśli liczba doświadczeń n jest duża w schemacie Bernoulliego (n >100),aprawdopodobieństwosukcesujestmałe(p <0,1) można w bardzo dobry sposób przybliżać prawdopodobieństwa. Twierdzenie Niechliczby p n >0tworzątakiciąg,że lim n np n = λ >0.Wtedy lim n ( n )p kn(1 p n ) n k = e λλk k k!.

Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala jest nieco zmodyfikowanym zagadnieniem Bernoulliego. W schemacie Bernoulliego liczba doświadczeń jest z góry ustalona i wyznaczamy prawdopodobieństwo, że wśród tej liczby będzie dokładnie k sukcesów. W zagadnieniu Pascala problem polega na obliczeniu prawdopodobieństwa, że liczba prób Bernoulliego będzie równa n jeśli założymy, że próby przeprowadzamy tak długo, aż otrzymamyzgóryzadanaliczbęsukcesów k 1.

Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Twierdzenie Jeżeli przeprowadzamy doświadczenia według schematu Bernoulliego o stałym prawdopodobieństwie sukcesu w poszczególnym doświadczeniu równym p aż do uzyskania z góry ustalonej liczby k 1 sukcesów to prawdopodobieństwo, że liczba doświadczeń będzie równa n k, wyraża się wzorem ( ) n 1 P k,n = p k (1 p) n k. k 1

Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Przeprowadzamy n takich doświadczeń, że w każdym z nich możemyotrzymać króżnychwyników A 1,A 2,...,A k,przyczymw każdymdoświadczeniuprawdopodobieństwowyniku A i jeststałei równe p i, i =1,2,...,k,bezwzględunawynikpoprzedniego doświadczenia. Twierdzenie Prawdopodobieństwo, że na n doświadczeń przeprowadzonych wedługopisanegoschematuuzyskasięodpowiednio n i wyników typu A i wdowolnejkolejności,wyrażasięwzorem P n,n1,n 2,...,n k = n! n 1!n 2!...n k! pn 1 1 pn 2 2...pn k k, gdzie p 1 +p 2 +...p k =1oraz n 1 +n 2 +...n k = n.

Schemat Bernoulliego Zagadnienie Pascala Uogólniony schemat Bernoulliego Przykład(parzystość) Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania parzystej liczby sukcesów w ciągu n prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p?

Definicja Niech A 1,A 2,...będzieciągiemzdarzeń.Wtedy lim supa n = n lim inf n A n = n=1k=n n=1k=n nazywamy odpowiednio granicą górną i dolną tego ciągu zdarzeń. A k A k

Oczywiście reprezentują one zdarzenia. Pierwsze zdarzenie zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi nieskończenie wiele zdarzeńwciągu (A n ).Natomiastdrugiezachodziwtedyitylko wtedy,gdyzachodząprawiewszystkiezdarzenia A n (poza skończoną liczbą). Uwaga (lim supa n ) =liminf n n A n (lim inf A n) =limsupa n n n

Twierdzenie(Lemat Borela-Cantelliego) a) Jeśli P(A n ) <,to P(limsupA n ) =0 n=1 n b)jeślizdarzenia A 1,A 2,...sąniezależnei P(A n ) =,to P(lim supa n ) =1 n n=1 Punkt a) można sformułować w następujący sposób: P(lim inf n A n) =1, co oznacza, że prawdopodobieństwo zajścia skończonej liczby zdarzeń A n wynosi1.powyższylematjestczęstowykorzystywany przy badaniu własności zachodzących z prawdopodobieństwem 1. Dostarcza on informacji o prawdopodobieństwie zdarzeń zaszło nieskończeniewielezdarzeń A n.

Przykład(LBC1) Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w nieskończonym ciągu rzutów symetryczną monetą orzeł pojawi się skończenie wiele razy? Przykład(LBC2) Wykazać, że w nieskończonym ciągu prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p (0, 1) w pojedynczej próbie, ciąg PSSSP powtórzy się nieskończenie wiele razy.