Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.

Transkrypt

1 Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa bywa skomplikowane. Przydatną wówczas jest tak zwana metoda drzew. Drzewem nazywamy graf ilustrujący przebieg doświadczenia losowego, na którym każdej krawędzi przyporządkowuje się prawdopodobieństwo. Reguła iloczynów. Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez jedną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanych krawędziom, z których składa się rozważana gałąź. Reguła sum. Prawdopodobieństwo danego zdarzenia opisanego przez kilka gałęzi drzewa jest równe sumie prawdopodobieństw otrzymanych według reguły iloczynów dla tych gałęzi.

2

3 Ćwiczenie 35. Mamy dwie torebki z cukierkami. W pierwszej jest 12 cukierków czekoladowych i 18 cukierków owocowych, w drugiej - 10 cukierków czekoladowych i 14 cukierków owocowych. Rzucamy dwa razy monetą. Jeżeli wypadną dwie reszki, to wyciągamy cukierek z pierwszej torebki, a w pozostałych przypadkach - z drugiej torebki. Zilustruj to doświadczenie drzewem i oblicz prawdopodobieństwo: zdarzenia A, że wylosowano cukierek czekoladowy z pierwszej torebki zdarzenia B, że wylosowano cukierek czekoladowy z drugiej torebki zdarzenia C, że wylosowano cukierek czekoladowy.

4 Ćwiczenie 36. Rzucamy dwa razy kostką sześcienną do gry. Oblicz prawdopodobieństwo: a) zdarzenia A polegającego na tym, że w drugim rzucie wypadło więcej niż cztery oczka, b) zdarzenia B polegającego na tym, że suma liczb oczek, które wypadły w obu rzutach, jest równa 7. Ćwiczenie 37. W Polsce na 1000 urodzeń rodzi się 520 chłopców. Pewna rodzina ma dwoje dzieci w różnym wieku. Narysuj drzewo i oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że w tej rodzinie: a) młodsze dziecko jest chłopcem, b) starsze dziecko jest chłopcem.

5 Przykład 31. Gra polega na rzucaniu sześcienną kostką do gry. Jeśli wypadnie 6 oczek, to wygrywamy l O złotych i możemy grać dalej, a jeśli wypadnie inna liczba oczek niż 6, to odpadamy z gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że jeżeli zagramy, wygramy 30 złotych. Ćwiczenie 38. W urnie znajdują się dwie kule czarne i trzy białe. Wyciągamy z urny po jednej kuli (bez zwracania), dopóki nie wyciągniemy kuli czarnej. Zbuduj drzewo ilustrujące to doświadczenie i oblicz prawdopodobieństwo: zdarzenia A, że kula czarna została wyciągnięta za drugim razem zdarzenia B, że kula czarna została wyciągnięta za trzecim razem zdarzenia C, że kula czarna została wyciągnięta za czwartym razem.

6 Przykład 33. W sklepie jest 100 żarówek, wśród których są 4 wadliwe. Klient kupił 3 żarówki. Podaj ilustrację tego doświadczenia w postaci drzewa oraz oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że dwie żarówki kupione przez klienta są wadliwe. Rozwiązanie. Oznaczamy literą D zdarzenie, że kupiona żarówka jest dobra, a literą U - zdarzenie, że żarówka jest wadliwa. Ćwiczenie 41. Uwzględniając warunki opisane w powyższym przykładzie, oblicz prawdopodobieństwo: a) zdarzenia B polegającego na tym, że wśród trzech kupionych żarówek jest jedna wadliwa, b) zdarzenia C polegającego na tym, że wszystkie kupione żarówki były dobre. Przykład 34. Z pudełka zawierającego cztery kule zielone i sześć kuł czerwonych losujemy kolejno dwa razy po jednej. Po pierwszym losowaniu zapisujemy kolor wylosowanej kuli oraz: a) wylosowaną kulę odkładamy na bok (losowanie bez zwracania), b) ponownie wrzucamy kulę do pudełka (losowanie ze zwracaniem). Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kuł tego samego koloru.

7 Ćwiczenie 42. Z pudełka zawierającego trzy kule białe, trzy kule czerwone i dwie kule zielone losujemy kolejno dwa razy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowano kulę białą i kulę czerwoną, gdy po pierwszym losowaniu wylosowaną kulę: a) odkładano na bok, b) ponownie wrzucano do pudełka. Ćwiczenie 43. Uwzględniając dane z przykładu 35., oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana osoba z badanej grupy ma piwne oczy.

8 dane dotyczące liczby błędnych rozwiązań ilustruje diagram obok. Nauczyciel zamierza wylosować jeden zeszyt z rozwiązaniami, a następnie z tego zeszytu sprawdzić rozwiązanie jednego losowo wybranego zadania. Oblicz prawdopodobieństwo, że w wybranym rozwiązaniu nie będzie błędu. Zadania utrwalające

9

10