Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
|
|
- Mateusz Olejnik
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
2 . Elementy rachunku prawdopodobieństwa.. Kombinatoryka Permutacje bez powtórzeń Niech A = {a,..., a n }. Permutacją bez powtórzeń n-elementowego zbioru A (lub permutacją bez powtórzeń n różnych elementów) nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, w którym każdy element zbioru A występuje dokładnie jeden raz. Liczba wszystkich możliwych permutacji bez powtórzeń n-elementowego zbioru wynosi: Wariacje bez powtórzeń P n = n! Niech A = {a,..., a n }. Każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z k różnych elementów zbioru A (k n) nazywamy k-wyrazową wariacją bez powtórzeń z n-elementowego zbioru A. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń n-elementowego zbioru wyraża się wzorem: Wariacje z powtórzeniami V k n = n! = n(n ) (n k + ) (n k)! Niech A = {a,..., a n }. Każdy k-wyrazowy ciąg (mogących się powtarzać) elementów zbioru A (k n) nazywamy k-wyrazową wariacją z powtórzeniami z n-elementowego zbioru A. Liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami n-elementowego zbioru wyraża się wzorem: Kombinacje W k n = n k Niech A = {a,..., a n }. Każdy k-elementowy (k n) podzbiór zbioru A nazywamy k-elementową kombinacją n-elementowego zbioru A. Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji n-elementowego zbioru wyraża się równością: Trójkąt Pascala C k n = ( ) n = k n! k!(n k)! ( 0 ( 0) ) ( 0 ) ( ) ( ) ( ( 0 ) 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 0 3) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ( 0 3 4) 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ( ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ) ( 6 ( ) 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( ) 60
3 Dwumian Newtona (a + b) n = (a b) n = n k=0 n k=0 ( ) n a k b n k k ) ( ) k ( n k a k b n k.. Przestrzeń zdarzeń elementarnych i σ-ciało zdarzeń Niech A będzie doświadczeniem (eksperymentem lub obserwacją). Doświadczenie A nazywamy losowym, jeżeli pomimo sprecyzowania warunków, w których jest ono realizowane nie jesteśmy w stanie przewidzieć jego wyniku. W każdym doświadczeniu losowym możemy wyróżnić najprostsze, nierozkładalne zdarzenia (wyniki doświadczenia). Zdarzenia te nazywamy elementarnymi. Zdarzenie elementarne w rachunku prawdopodobieństwa jest pojęciem pierwotnym. Zdarzenia elementarne mają następujące własności: dane zdarzenie elementarne może zajść lub nie zajść; jedno ze zdarzeń elementarnych na pewno zajdzie; zajście jednego zdarzenia elementarnego wyklucza zajście innego zdarzenia (w tym samym doświadczeniu). Z każdym doświadczeniem losowym związany jest zbiór odpowiadających mu zdarzeń elementarnych, który nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczamy przez Ω. Przestrzeń Ω może być zbiorem skończonym, przeliczalnym albo nieprzeliczalnym. Przykład.. Dla rzutu monetą przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = {O, R}, dla rzutu kostką do gry Ω = {,, 3, 4, 5, 6}. W zagadnieniach praktycznych najczęściej interesujące są nie pojedyncze zdarzenia elementarne rozpatrywanego doświadczenia A, lecz ich zbiory, czyli podzbiory przestrzeni Ω. Każdy taki podzbiór, gdy przestrzeń Ω jest skończona albo przeliczalna, nazywamy zdarzeniem losowym. Gdy przestrzeń Ω jest nieprzeliczalna, wtedy z różnych względów nie każdy jej podzbiór przyjmuje się jako zdarzenie losowe. Spośród wszystkich jej podzbiorów wyróżnia się pewną klasę Σ podzbiorów zwaną σ-ciałem zdarzeń i tylko elementy tej klasy nazywamy zdarzeniami losowymi. Definicja.. σ-ciałem zdarzeń przestrzeni Ω nazywamy klasę (rodzinę) Σ jej podzbiorów spełniającą następujące warunki: ) Ω Σ, Ω; ) A Σ Ω\A Σ; 3) A, A,..., A n,... Σ n= A n Σ. W przypadku, gdy przestrzeń Ω jest skończona lub przeliczalna, wówczas Σ = P(Ω), gdzie P(Ω) = {A : A Ω}. Przykład.3. Dla rzutu monetą Σ = {, {O}, {R}, Ω }. Dla rzutu symetryczną kostką do gry 6
4 Σ = {, {}, {}, {3}, {4}, {5}, {6}, {, }, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {, 6}, {, 3}, {, 4}, {, 5}, {, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {,, 3}, {,, 4}, {,, 5}, {,, 6}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 3, 6}, {, 4, 5}, {, 4, 6}, {, 5, 6}, {, 3, 4}, {, 3, 5}, {, 3, 6}, {, 4, 5}, {, 4, 6}, {, 5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6}, {4, 5, 6}, {,, 3, 4}, {,, 3, 5}, {,, 3, 6}, {,, 4, 5}, {,, 4, 6}, {,, 5, 6}, {, 3, 4, 5}, {, 3, 4, 6}, {, 3, 5, 6}, {, 4, 5, 6}, {, 3, 4, 5}, {, 3, 4, 6}, {, 3, 5, 6}, {, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}, {,, 3, 4, 5}, {,, 3, 4, 6}, {,, 3, 5, 6}, {,, 4, 5, 6}, {, 3, 4, 5, 6}, {, 3, 4, 5, 6}, Ω }. Na zdarzeniach wykonuje się analogiczne działania jak na zbiorach. Zbiór Ω nazywamy zdarzeniem pewnym, natomiast zbiór zdarzeniem niemożliwym. Niech A, B Σ, wówczas: A B = {ω Σ : ω A ω B} nazywamy alternatywą (sumą) zdarzeń A, B; A B = {ω Σ : ω A ω B} nazywamy koniunkcją (iloczynem) zdarzeń A, B; A \ B = {ω Σ : ω A ω / B} nazywamy różnicą zdarzeń A, B; A = Ω \ A lub A = Ω \ A nazywamy zdarzeniem przeciwnym do A; Jeżeli A B, to mówimy, że zdarzenie A pociąga za sobą zdarzenie B..3. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Przypuśćmy, że liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa n (n < ). Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe, to prawdopodobieństwo zdarzenia losowego A jest ilorazem zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu i liczby wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli: P (A) = k n, gdzie k liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa odznacza się szczególną prostotą i jest intuicyjnie zrozumiała. Pomimo tych zalet nie może ona służyć do obliczania prawdopodobieństwa dowolnego zdarzenia losowego. Wadami tej definicji są: błąd idem per idem w definicji użyte jest słowo definiowane; mówiąc o zdarzeniach jednakowo możliwych mamy na myśli zdarzenia jednakowo prawdopodobne; przestrzeń zdarzeń elementarnych i zbiór zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A muszą być zbiorami skończonymi, co nie zawsze ma miejsce w praktyce; przestrzeń zdarzeń elementarnych i zbiór zdarzeń elementarnych muszą być znane..4. Geometryczna definicja prawdopodobieństwa Załóżmy, że przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω = [a, b], a interesujące nas zdarzenie polega na losowym wyborze punktu ze zbioru [c, d] Ω. Losowość wyboru oznacza, że wybory punktów z różnych części odcinka Ω są jednakowo możliwe. Prawdopodobieństwo zdarzenia A obliczymy wówczas ze wzoru: P (A) = d c b a. Ogólnie możemy stwierdzić, że jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych jest zbiorem o znanej mierze (długości, polu, objętości), to prawdopodobieństwa losowego wyboru punktu ze zbioru A Ω jest ilorazem miar: P (A) = m(a) m(ω). Prawdopodobieństwo określone przez powyższy wzór nazywamy prawdopodobieństwem geometrycznym. 6
5 .5. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Niech Ω przestrzeń zdarzeń elementarnych, Σ σ-algebra zdarzeń na Ω. Funkcję P : Σ R + nazywamy funkcją prawdopodobieństwa, jeśli spełnia następujące warunki: ) P (Ω) = ; ) Jeżeli A, A,..., A n,... Σ, A i A j = dla dowolnych i, j N (i j), to: Własności prawdopodobieństwa:. P ( ) = 0;. A, B Σ, A B P (A) P (B); 3. A, B Σ, A B P (B \ A) = P (B) P (A); 4. P (A) + P (A ) = ; ( ) P A n = P (A n ). n= n= 5. A, B Σ, P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). Definicja.4. Trójkę (Ω, Σ, P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną..6. Schemat Bernoulliego Wykonujemy n niezależnych doświadczeń, czyli takich, że przebieg każdego z nich nie zależy od przebiegu innych i od kolejności, w jakiej doświadczenia te wykonujemy. Przy każdym z tych doświadczeń możemy uzyskać wynik pomyślny, czyli sukces, albo wynik niepomyślny, czyli porażkę. Niech prawdopodobieństwo sukcesu dla każdego z tych doświadczeń będzie równe p, a prawdopodobieństwo porażki q = p. Wówczas prawdopodobieństwo, że w liczbie n niezależnych doświadczeń otrzymamy k sukcesów wyraża się wzorem: P n (k) = ( ) n p k q n k. k Wzór ten nazywamy wzorem Bernoulliego, a opisany powyżej schemat schematem Bernoulliego..7. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń Niech (Ω, Σ, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Definicja.5. Jeśli B Σ, P (B) > 0, to prawdopodobieństwem warunkowym pod warunkiem B dowolnego zdarzenia A Σ nazywamy liczbę P (A B) określoną następującą równością: P (A B) = P (A B). P (B) Definicja.6. Mówimy, że zdarzenia A, B Σ są niezależne, gdy P (A B) = P (A)P (B)..8. Prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa Twierdzenie.7 (wzór na prawdopodobieństwo całkowite). Jeżeli (Ω, Σ, P ) jest przestrzenią probabilistyczną oraz A,..., A n Σ spełniają warunki: (a) P (A i ) > 0 dla dowolnego i =,..., n, 63
6 (b) A i A j = dla dowolnych i, j =,..., n, i j, n (c) A i = Ω, i= to dla każdego B Σ zachodzi równość: n P (B) = P (B A i )P (A i ). i= Twierdzenie.8 (wzór Bayesa). Jeżeli B jest dowolnym zdarzeniem o prawdopodobieństwie dodatnim, tzn. P (B) > 0, zdarzenia A,..., A n zaś spełniają warunki (a) (c) z twierdzenia.7, to dla dowolnego k =,..., n zachodzi równość: P (A k B) = P (B A k)p (A k ) P (B) = P (B A k)p (A k ). n P (B A i )P (A i ) i=.9. Zadania. Egzaminator przygotował 0 pytań, z których zdający losuje 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uczeń dobrze odpowie na 3 pytania, jeżeli umie odpowiedzieć na połowę pytań?. Z urny, w której jest 3 kul białych i 7 czarnych losujemy kule: a) ze zwrotem, b) bez zwrotu. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że obie kule będą białe. 3. Z grupy studenckiej liczącej 30 osób, w tym 0 chłopców wybrano delegację złożoną z 5 osób, przy czym rozważano różne możliwości liczby chłopców i dziewcząt w delegacji, w każdym razie liczby różne od zera. Obliczyć prawdopodobieństwo, że do delegacji będą wybrane najwyżej 3 dziewczyny. 4. Z talii złożonej z 5 kart losujemy jedną. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest damą lub królem. 5. Rzucamy kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie uzyskano liczbę oczek podzielną przez trzy lub pięć? 6. Spośród liczb 5, 6, 7, 8, 9 losujemy kolejno dwie bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest nie większa od 3? 7. W przetargu bierze udział 5 firm. Prawdopodobieństwo tego, że wygra firma A jest równe 0,5, natomiast, że wygra firma B wynosi 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przetarg wygra firma A lub B? 8. Wykonujemy jeden rzut kostką sześcienną do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do zdarzenia polegającego na tym, że otrzymaliśmy jedno lub trzy oczka? 9. Z cyfr,,..., 9 losujemy bez zwracania trzy cyfry x, y, z i tworzymy liczbę trzycyfrową xyz. Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy liczbę mniejszą od Na dziesięciu klockach wyrzeźbiono litery: a, a, k, s, s, t, t, t, y, y. Bawiąc się nimi dziecko układa je w rząd. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przypadkowo złoży ono słowo statystyka.. Wybieramy losowo punkt (x, y) z kwadratu [0, ] [0, ]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jego współrzędne będą spełniały nierówność y < x? 64
7 . Na koło o promieniu R losowo rzucono punkt. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że punkt trafi do wnętrza: a) kwadratu wpisanego w koło, b) trójkąta równobocznego wpisanego w koło. Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu w daną część koła jest proporcjonalne do pola tej części i nie zależy od jej położenia w kole. 3. Na odcinku OA o długości L na osi liczbowej OX losowo wybrano punkt B. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że mniejszy z odcinków OB i BA będzie miał długość większą niż 3L. Zakładamy, że prawdopodobieństwo trafienia punktu na odcinek jest proporcjonalne do długości odcinka i nie zależy od jego położenia na osi liczbowej OX. 4. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy losowo punkty: jeden na lewo, a drugi na prawo od środka odcinka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między wybranymi punktami jest mniejsza niż 3 a? 5. Wewnątrz danego odcinka o długości a obieramy na chybił trafił dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że odległość między punktami jest mniejsza niż 3 a? 6. Parę liczb (b, c) wybrano losowo z prostokąta [0, ] [0, 4]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x + bx + c = 0 są rzeczywiste? 7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwiastki równania x +bx+c = 0 są rzeczywiste, jeśli liczby b i c zostały wybrane losowo z przedziału [0, ]? 8. Parę liczb (a, b) wybrano losowo z prostokąta [, ]. Obliczyć prawdopodobieństwo, że równanie ax + bx + = 0 ma: a) pierwiastki rzeczywiste, b) pierwiastki równe, c) pierwiastki rzeczywiste dodatnie. 9. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt kwadratu { x <, y < } jest punktem leżącym wewnątrz okręgu x + y =? 0. Dziesięciu wyborowych strzelców celuje do lecącego samolotu. Prawdopodobieństwo trafienia samolotu dla każdego z nich jest stałe i wynosi p. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że samolot zostanie trafiony.. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie 3 razy przy rzucie 5 razy monetą symetryczną?. Prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A w każdym doświadczeniu jest równe 0,. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w ciągu 9 niezależnych doświadczeń zdarzenie A zajdzie 6 razy w dowolnej kolejności. 3. Prawdopodobieństwo trafienia do tarczy w pojedynczym strzale wynosi 0,5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 6 strzałów będą trafione? 4. Badania wskazują, że prawdopodobieństwo wystąpienia powikłań po zabiegu przetaczania krwi wynosi 0,. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na 0 chorych powikłania pojawią się u: a) co najmniej chorego, b) co najwyżej chorego, c) od do 5 chorych? 65
8 5. Prawdopodobieństwo wystąpienie pewnej choroby genetycznej wynosi w pewnej populacji 0, 0 u jednego osobnika. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 5 osób chore będą: a) 4 osoby, b) co najmniej osoba, c) lub 3 osoby? 6. Na czerniaka choruje % liści klonu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 0 liści będą: a) 4 chore, b) co najmniej chore, c) co najwyżej chory? 7. Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca jest równe 0,49. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 6 noworodków będzie 4 chłopców? 8. Ile co najmniej razy należy rzucić kostką do gry, aby można było oczekiwać z prawdopodobieństwem mniejszym, niż 3, że ani raz nie wypadnie 6 oczek? 9. Małżeństwo, kobieta i mężczyzna, posiadają po jednym allelu warunkującym anemię sierpowatą i po jednym allelu normalnym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród czwórki ich dzieci: a) co najmniej będzie heterozygotami, b) żadne nie będzie homozygotą? 30. Prawdopodobieństwo wystąpienia pewnej choroby genetycznej wynosi w populacji 0, 00. Ile co najmniej osób należy wylosować z populacji, aby mieć pewność większą, niż 90%, że jest wśród nich przynajmniej jedna osoba chora? 3. Rzucamy trzykrotnie symetryczną monetą. Niech zdarzenie A polega na tym, że wypadła co najmniej jedna reszka, a zdarzenie B, że wypadły same reszki. Znaleźć P (A B) oraz P (A B). 3. W urnie znajduje się 6 kul czarnych i 4 białe. Wyciągamy losowo dwa razy po jednej kuli: a) ze zwrotem kuli do urny po pierwszym wyjęciu, b) bez zwrotu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że druga wylosowana kula będzie biała, jeśli wiadomo, że pierwsza wylosowana była biała. 33. Z liczb, 3, 5, 30 losujemy jedną liczbę. Sprawdzić, czy zdarzenia: A wylosowana liczba jest podzielna przez, B wylosowana liczba jest podzielna przez 3 są niezależne. 34. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie suma wyrzuconych oczek równa się 8, zaś B zdarzenie w pierwszym rzucie wypadło 6 oczek. Ustalić, czy zdarzenia A i B są niezależne. 35. Z talii 5 kart wyciągamy losowo jedną. Czy zdarzenia: A wyciągnięcie asa, B wyciągnięcie karty koloru czerwonego są niezależne? 36. Prawdopodobieństwo, że cena pewnego towaru pójdzie jutro w górę wynosi 0,3, a prawdopodo- 66
9 bieństwo, że cena srebra pójdzie w górę wynosi 0,. Wiadomo ponadto, że w 6% przypadków obie ceny towaru i srebra idą w górę. Czy cena towaru i cena srebra są niezależne? 37. W magazynie znajdują się żarówki pochodzące z dwóch fabryk, przy czym 6% pochodzi z fabryki I. Wśród żarówek z fabryki I jest % wadliwych, a spośród żarówek z fabryki II % wadliwych. Z magazynu pobrano losowo jedną żarówkę, która okazała się wadliwa. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ta żarówka została wyprodukowana przez fabrykę II? 38. Wiadomo, że 55% mężczyzn i 70% kobiet nie zdaje egzaminu praktycznego na prawo jazdy za pierwszym razem. Wybrana losowo osoba nie zdała egzaminu. Zakładając, że liczba zdających egzamin kobiet i mężczyzn była taka sama, obliczyć jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wybraną osobą jest kobieta. 39. Dane są trzy urny. W pierwszej urnie są 3 kule białe i czarna, w drugiej 4 białe i czarne, w trzeciej białe i czarne. Zakładając, że wylosowanie kuli z każdej urny jest jednakowo prawdopodobne, obliczyć prawdopodobieństwo, że wylosowana kula, która okazała się koloru białego pochodzi z urny pierwszej. 40. Firma poszukująca złóż ropy naftowej zamówiła test sejsmiczny w celu ustalenia, czy jest prawdopodobne, że w pewnym rejonie wierceń znajdują się złoża. Znana jest wiarygodność testu: jeżeli w miejscu wiercenia ropa występuje, test wskazuje to w 85% przypadków, jeżeli ropy nie ma, test omyłkowo wykazuje jej występowanie w 0% przypadków. Firma poszukująca złóż jest przekonana, że prawdopodobieństwo wystąpienia ropy w badanym terenie wynosi 0,4. Jeżeli test wykazał występowanie ropy, jakie jest prawdopodobieństwo, że w badanym terenie ropa rzeczywiście występuje? 4. W zakładzie znajdują się maszyny typu A, B, C produkujące odpowiednio 5%, 3% i % braków. Z całej masy towarowej wybieramy losowo jedną sztukę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a) jest ona brakiem, b) pochodzi od B, jeśli nie okazała się brakiem? 4. Pewna drużyna futbolowa rozgrywa 70% meczów po południu, a 30% późnym wieczorem. Wiadomo ponadto, że wygrywa 50% meczów popołudniowych i 90% wieczornych. Drużyna wygrała mecz. Jakie jest prawdopodobieństwo, że był to mecz grany późnym wieczorem? 43. Na 00 mężczyzn pięciu, a na 000 kobiet dwie nie rozróżniają kolorów. Z grupy, w której jest 3 razy więcej mężczyzn niż kobiet wylosowano jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana osoba a) jest daltonistą, b) jest kobietą, jeśli jest daltonistą, c) jest mężczyzną, jeśli nie jest daltonistą? 44. Na egzaminie z matematyki 40% stanowią zadania z algebry, 30% zadania z geometrii, natomiast pozostałe to zadania z rachunku prawdopodobieństwa. Wśród tych zadań łatwe stanowią odpowiednio: %, %, i 3%. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że jeśli losowo wybrane zadanie jest trudne, to jest zadaniem z rachunku prawdopodobieństwa. 67
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoMatematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoZdarzenie losowe (zdarzenie)
Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Rachunek Prawdopodobieństwa Brian Wynne podał następującą typologię zagrożeń znanych i niewiadomych: 1. ryzyko to wiadome nam przyszłe zagrożenia,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowoLista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna
Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoP (A B) P (B) = 1/4 1/2 = 1 2. Zakładamy, że wszystkie układy dwójki dzieci: cc, cd, dc, dd są jednakowo prawdopodobne.
Wykład Prawdopodobieństwo warunkowe Dwukrotny rzut symetryczną monetą Ω {OO, OR, RO, RR}. Zdarzenia: Awypadną dwa orły, Bw pierwszym rzucie orzeł. P (A) 1 4, 1. Jeżeli już wykonaliśmy pierwszy rzut i wiemy,
Bardziej szczegółowoZadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.
Zestaw 1. Zadanie. 1. Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy A.Einstein Czy zdarzenia polegające na wyciągnięciu z talii liczącej 52 karty dowolnej karty pik (zdarzenie A) i wyciągnięciu asa (zdarzenie B)
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu 13.03.2014 Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoStatystyka w analizie i planowaniu eksperymentu
5 marca 2011 Zasady 10 wyk ladów; egzamin pisemny; Literatura 1 A. Lomnicki Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników PWN 1999. 2 W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski Rachunek
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoProbabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska
Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:
Bardziej szczegółowoObliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.
Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.
Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka
Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI
IMIE I NAZWISKO PRAWDOPODOBIEŃSTWO PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. SUMA PUNKTÓW: 100 ZADANIE 1 (5 PKT) Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia A na każdej kostce wypadła
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoDODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b
DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 2 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowo( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).
KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowo04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,
04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Co powinienem umieć Umiejętności znam pojęcie zdarzenia elementarnego znam pojęcie doświadczenia losowego i potrafię
Bardziej szczegółowoZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI
ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA
Wydział: WiLiŚ, Transport, sem.2 dr Jolanta Dymkowska RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - POJĘCIA WSTĘPNE MATERIAŁY POMOCNICZE - TEORIA Przestrzeń probabilistyczna Modelem matematycznym (tj. teoretycznym, wyidealizowanym,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowo+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x
Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 1. Kombinatoryka
Laboratorium nr 1. Kombinatoryka 1. Spośród n różnych elementów wybieramy k elementów. Na ile sposobów możemy to uczynić? Wypisać wszystkie możliwe wybory w przypadku gdy n=3 i k=2. Wykonać obliczenia
Bardziej szczegółowo12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania
2. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania Zad.2.. Oblicz ile moŝna utworzyć z cyfr 0,, 2, liczb: a) dwucyfrowych, których cyfry mogą się powtarzać; b) trzycyfrowych o niepowtarzających się cyfrach;
Bardziej szczegółowoZ4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile sposobów można ją ułożyć zmieniając tylko kolejność pytań? ODP. Jest 6 możliwych sposobów.
PERMUTACJE Z1. Oblicz: Z2. Doprowadź do najprostszej postaci wyrażenia: Z3. Sprawdź czy prawdziwa jest równość: Dana równość jest prawdziwa. Z4. Ankieta złożona ma być z trzech pytań: A, B i C. Na ile
Bardziej szczegółowoNAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.
IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowo2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.
Literatura:. Jerzy Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania.. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla
Bardziej szczegółowo