Deska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski

Transkrypt

1 a schemat Bernoulliego Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski XV Festiwal Nauki, 21 września 2011r.

2 a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p) Załóżmy, że n jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią, a p jest liczbą z przedziału (0, 1). Próbą Bernoulliego nazywamy eksperyment losowy o dwóch możliwych wynikach, interpretowanych jako sukces i porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, prawdopodobieństwo porażki to q = 1 p. Schematem Bernoulliego B(n, p) nazywamy ciąg n niezależnych prób Bernoulliego.

3 a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p) Załóżmy, że n jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią, a p jest liczbą z przedziału (0, 1). Próbą Bernoulliego nazywamy eksperyment losowy o dwóch możliwych wynikach, interpretowanych jako sukces i porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, prawdopodobieństwo porażki to q = 1 p. Schematem Bernoulliego B(n, p) nazywamy ciąg n niezależnych prób Bernoulliego.

4 a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p) Załóżmy, że n jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią, a p jest liczbą z przedziału (0, 1). Próbą Bernoulliego nazywamy eksperyment losowy o dwóch możliwych wynikach, interpretowanych jako sukces i porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, prawdopodobieństwo porażki to q = 1 p. Schematem Bernoulliego B(n, p) nazywamy ciąg n niezależnych prób Bernoulliego.

5 a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p) Załóżmy, że n jest ustaloną liczbą całkowitą dodatnią, a p jest liczbą z przedziału (0, 1). Próbą Bernoulliego nazywamy eksperyment losowy o dwóch możliwych wynikach, interpretowanych jako sukces i porażka. Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi p, prawdopodobieństwo porażki to q = 1 p. Schematem Bernoulliego B(n, p) nazywamy ciąg n niezależnych prób Bernoulliego.

6 a schemat Bernoulliego Przykład - schematu Bernoulliego B(100, 1/3) Rzucamy 100 razy monetą, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi 1/3. Próbą Bernoulliego jest pojedynczy rzut monetą. Sukcesem jest wypadnięcie orła, porażką - wypadnięcie reszki. Jeśli zamienić miejscami sukces i porażkę, to otrzymujemy schemat Bernoulliego B(100, 2/3). Ważna dygresja: spodziewamy się, że liczba wyrzuconych orłów będzie się wahać w okolicach 100/3 =

7 a schemat Bernoulliego Przykład - schematu Bernoulliego B(100, 1/3) Rzucamy 100 razy monetą, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi 1/3. Próbą Bernoulliego jest pojedynczy rzut monetą. Sukcesem jest wypadnięcie orła, porażką - wypadnięcie reszki. Jeśli zamienić miejscami sukces i porażkę, to otrzymujemy schemat Bernoulliego B(100, 2/3). Ważna dygresja: spodziewamy się, że liczba wyrzuconych orłów będzie się wahać w okolicach 100/3 =

8 a schemat Bernoulliego Przykład - schematu Bernoulliego B(100, 1/3) Rzucamy 100 razy monetą, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi 1/3. Próbą Bernoulliego jest pojedynczy rzut monetą. Sukcesem jest wypadnięcie orła, porażką - wypadnięcie reszki. Jeśli zamienić miejscami sukces i porażkę, to otrzymujemy schemat Bernoulliego B(100, 2/3). Ważna dygresja: spodziewamy się, że liczba wyrzuconych orłów będzie się wahać w okolicach 100/3 =

9 a schemat Bernoulliego Przykład - schematu Bernoulliego B(100, 1/3) Rzucamy 100 razy monetą, dla której prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi 1/3. Próbą Bernoulliego jest pojedynczy rzut monetą. Sukcesem jest wypadnięcie orła, porażką - wypadnięcie reszki. Jeśli zamienić miejscami sukces i porażkę, to otrzymujemy schemat Bernoulliego B(100, 2/3). Ważna dygresja: spodziewamy się, że liczba wyrzuconych orłów będzie się wahać w okolicach 100/3 =

10 a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.

11 a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.

12 a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.

13 a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.

14 a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.

15 a schemat Bernoulliego Sformułowanie problemu Odtąd zakładamy, że p = 1/2. Rozważmy schemat Bernoulliego B(n, 1/2). Niech P k =prawdopodobieństwo tego, że łącznie otrzymaliśmy k sukcesów, k = 0, 1, 2,..., n. Oczywiście P 0, P 1, P 2,..., P n > 0 oraz P 0 + P 1 + P P n = 1. Dokładniej, P k = ( ) n 1 k 2 n. Cel: zbadać zachowanie ciągu (P k ) dla dużych n.

16 a schemat Bernoulliego Francis Galton Sir Francis Galton ( ) - angielski podróżnik, przyrodnik oraz wynalazca.

17 a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.

18 a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.

19 a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.

20 a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.

21 a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.

22 a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.

23 a schemat Bernoulliego Opis przyrządu Rysunek:.

24 a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) Weźmy deskę Galtona o n poziomach. Proces losowania przegrody, w której ostatecznie wyląduje kulka, składa się z n niezależnych kroków, związanych z pokonywaniem kolejnych poziomów. Zinterpretujmy ruch w lewo jako porażkę, ruch w prawo jako sukces. Wówczas numer komory do której wpadnie kulka to liczba sukcesów w schemacie B(n, 1/2).

25 a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) Weźmy deskę Galtona o n poziomach. Proces losowania przegrody, w której ostatecznie wyląduje kulka, składa się z n niezależnych kroków, związanych z pokonywaniem kolejnych poziomów. Zinterpretujmy ruch w lewo jako porażkę, ruch w prawo jako sukces. Wówczas numer komory do której wpadnie kulka to liczba sukcesów w schemacie B(n, 1/2).

26 a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) Weźmy deskę Galtona o n poziomach. Proces losowania przegrody, w której ostatecznie wyląduje kulka, składa się z n niezależnych kroków, związanych z pokonywaniem kolejnych poziomów. Zinterpretujmy ruch w lewo jako porażkę, ruch w prawo jako sukces. Wówczas numer komory do której wpadnie kulka to liczba sukcesów w schemacie B(n, 1/2).

27 a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) Weźmy deskę Galtona o n poziomach. Proces losowania przegrody, w której ostatecznie wyląduje kulka, składa się z n niezależnych kroków, związanych z pokonywaniem kolejnych poziomów. Zinterpretujmy ruch w lewo jako porażkę, ruch w prawo jako sukces. Wówczas numer komory do której wpadnie kulka to liczba sukcesów w schemacie B(n, 1/2).

28 a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) c.d. Przez deskę Galtona możemy przepuścić M kulek (M - duża liczba całkowita). Niech L k (M) - liczba kulek które wpadły do przegrody nr k.

29 a schemat Bernoulliego Związek ze schematem Bernoulliego B(n, 1/2) c.d. Przez deskę Galtona możemy przepuścić M kulek (M - duża liczba całkowita). Niech L k (M) - liczba kulek które wpadły do przegrody nr k.

30 a schemat Bernoulliego Przykład 1 Rysunek: M = 12 kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 5 poziomach: L 0 (12) = 1, L 1 (12) = 1, L 2 (12) = 3, itd.

31 a schemat Bernoulliego Przykład 1 - inaczej Rysunek: M = 12 kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 5 poziomach: L 0 (12) = 1, L 1 (12) = 1, L 2 (12) = 3, itd.

32 a schemat Bernoulliego Przykład 2 Rysunek: M = 1000 kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 5 poziomach: L 0 (1000) = 29, L 1 (1000) = 155, L 2 (1000) = 315, itd.

33 a schemat Bernoulliego Dalszych 5 przykładów 5 dodatkowych symulacji dla M = 1000 i n = 5: , , , , Z teoretycznego punktu widzenia, L k (M) M P k = ( ) n 1 k 2 n, w naszym przypadku ciąg P 0, P 1,..., P 5 to 0, , , , , ,

34 a schemat Bernoulliego Dalszych 5 przykładów 5 dodatkowych symulacji dla M = 1000 i n = 5: , , , , Z teoretycznego punktu widzenia, L k (M) M P k = ( ) n 1 k 2 n, w naszym przypadku ciąg P 0, P 1,..., P 5 to 0, , , , , ,

35 a schemat Bernoulliego Dalszych 5 przykładów 5 dodatkowych symulacji dla M = 1000 i n = 5: , , , , Z teoretycznego punktu widzenia, L k (M) M P k = ( ) n 1 k 2 n, w naszym przypadku ciąg P 0, P 1,..., P 5 to 0, , , , , ,

36 a schemat Bernoulliego Związek z rozkładem normalnym Załóżmy teraz, iż interesuje nas wygląd histogramów przy dużych wartościach n. Innymi słowy, co można powiedzieć o granicznym zachowaniu ciągu (P k ) n k=0 gdy n?

37 a schemat Bernoulliego Związek z rozkładem normalnym Załóżmy teraz, iż interesuje nas wygląd histogramów przy dużych wartościach n. Innymi słowy, co można powiedzieć o granicznym zachowaniu ciągu (P k ) n k=0 gdy n?

38 a schemat Bernoulliego Przykład 1 Rysunek: Histogram M = kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 5 poziomach.

39 a schemat Bernoulliego Przykład 2 Rysunek: Histogram M = kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 15 poziomach.

40 a schemat Bernoulliego Przykład 3 Rysunek: Histogram M = kulek przepuszczonych przez deskę Galtona o n = 50 poziomach.

41 a schemat Bernoulliego Twierdzenie de Moivre a-laplace a (wersja symetryczna) Twierdzenie. Dla dowolnej liczby rzeczywistej x, ( ) n n n lim n 2 P liczba sukcesów w B(n, 1/2) = x = 1 2π e x2 /2.

42 a schemat Bernoulliego Gęstość standardowego rozkładu normalnego Rysunek: Funkcja g(x) = 1 2π e x 2 /2, gęstość standardowego rozkładu normalnego N(0, 1).

43 a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie Poprzednie twierdzenie można z grubsza zapisać w postaci ( ) n 2 liczba sukcesów n lim n 2 P x = 1 e x2 /2. n 2π { 1/ n jeśli w k-tej próbie porażka, Niech X k = 1/ n jeśli w k-tej próbie sukces. Wówczas 2 liczba sukcesów n n = X 1 + X X n, a zatem lim n n 2 P (X 1 + X X n x) = 1 2π e x2 /2.

44 a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie Poprzednie twierdzenie można z grubsza zapisać w postaci ( ) n 2 liczba sukcesów n lim n 2 P x = 1 e x2 /2. n 2π { 1/ n jeśli w k-tej próbie porażka, Niech X k = 1/ n jeśli w k-tej próbie sukces. Wówczas 2 liczba sukcesów n n = X 1 + X X n, a zatem lim n n 2 P (X 1 + X X n x) = 1 2π e x2 /2.

45 a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie Poprzednie twierdzenie można z grubsza zapisać w postaci ( ) n 2 liczba sukcesów n lim n 2 P x = 1 e x2 /2. n 2π { 1/ n jeśli w k-tej próbie porażka, Niech X k = 1/ n jeśli w k-tej próbie sukces. Wówczas 2 liczba sukcesów n n = X 1 + X X n, a zatem lim n n 2 P (X 1 + X X n x) = 1 2π e x2 /2.

46 a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie Poprzednie twierdzenie można z grubsza zapisać w postaci ( ) n 2 liczba sukcesów n lim n 2 P x = 1 e x2 /2. n 2π { 1/ n jeśli w k-tej próbie porażka, Niech X k = 1/ n jeśli w k-tej próbie sukces. Wówczas 2 liczba sukcesów n n = X 1 + X X n, a zatem lim n n 2 P (X 1 + X X n x) = 1 2π e x2 /2.

47 a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie c.d. Widzimy więc, że rozkład normalny pojawia się przy badaniu zachowania sum dużej liczby małych odchyleń. Fakt ten można znacznie uogólnić: można stosować do składników X k o różnych rozkładach. Stąd popularność rozkładu normalnego przy modelowaniu rozmaitych zagadnień.

48 a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie c.d. Widzimy więc, że rozkład normalny pojawia się przy badaniu zachowania sum dużej liczby małych odchyleń. Fakt ten można znacznie uogólnić: można stosować do składników X k o różnych rozkładach. Stąd popularność rozkładu normalnego przy modelowaniu rozmaitych zagadnień.

49 a schemat Bernoulliego Rozkład normalny a modelowanie c.d. Widzimy więc, że rozkład normalny pojawia się przy badaniu zachowania sum dużej liczby małych odchyleń. Fakt ten można znacznie uogólnić: można stosować do składników X k o różnych rozkładach. Stąd popularność rozkładu normalnego przy modelowaniu rozmaitych zagadnień.