ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji, tkże grupę obrotów krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez trnspozycje wspomninych wyżej mcierzy permutcji. Dl obydwu grup zbdno i przedyskutowno ich wzjemne relcje. Abstrct In this pper, there re presented two groups. The first one is permuttion group of Crtesin coordinte system xes represented by permuttion mtrix. The second one is group of Crtesin coordinte system rottions represented by trnsposition of bove mentioned permuttion mtrix. For these groups mutul reltions re considered nd discussed. WSTĘP Jedną z njwżniejszych struktur mtemtycznych jest grup. Grupę (G, ) definiuje się jko zbiór G wrz z dwurgumentowym dziłniem. Wymg się przy tym, by jednocześnie spełnione były nstępujące ksjomty [,,]: Grup zwier identycznościowy element e neutrlny względem opercji tki, że dl dowolnego f G zchodzi związek: f e = f = e f. Kżdemu elementowi f G odpowid odwrotny element f G tki, że f f = f f = e. Dl dowolnych elementów f, g, h G zchodzi prwo łączności: f (g h) = (f g) h. Wymg się tkże, by grup był zmknięt ze względu n dziłnie. Ozncz to, że dl dowolnych dwóch elementów f, g G zchodzi (f g) G. Przykłdem Dr hb. inż. Zenon Gnizdowski jest profesorem Wrszwskiej Wyższej Szkoły Informtyki. 7
Zenon GNIAZDOWSKI grupy skończonej może być zbiór symetrii pewnego obiektu geometrycznego wrz z opercją skłdni tych symetrii []. Bdnie symetrii pozwl zuwżyć pewne istotne włsności obiektu, czego n ogół nie dłoby się dostrzec n drodze smych tylko biernych obserwcji. Nrzędziem służącym do opisu symetrii jest włśnie grup. Innym przykłdem grupy skończonej może być zbiór wszystkich permutcji zbioru n-elementowego wrz z opercją skłdni permutcji [,]. Jeszcze innym przykłdem grupy tym rzem grupy ciągłej jest zbiór obrotów ukłdu odniesieni z opercją ich skłdni []. TRANSFORMACJE SKŁADOWYCH TENSORA Zkłd się istnienie prostokątnego ukłdu współrzędnych. Wielkości, które nie zleżą od ukłdu odniesieni są sklrmi. Sklrem jest np. ms lub tempertur. Sklr jest określony przez jedną liczbę i nosi nzwę tensor zerowego rzędu. W przeciwieństwie do sklrów, pewne inne wielkości definiuje się z uwzględnieniem kierunku np. siłę F = [F, F, F ], czy ntężenie pol elektrycznego E = [E, E, E ]. Te wielkości noszą nzwę wektorów. Dl ustlonego ukłdu współrzędnych, wektor jest cłkowicie określony przez podnie jego trzech skłdowych. Te skłdowe, to prostopdłe rzuty wektor n poszczególne osie ukłdu. Ujwni się to przez odpowiednie indeksy występujące w opisie skłdowych wektor. Wektor nzywny jest tkże tensorem rzędu pierwszego [4]. W zpisie tensor jego rząd objwi się liczbą indeksów. Stąd, sklr jest tensorem rzędu zerowego i m zero indeksów. Wektor będący tensorem rzędu pierwszego m jeden indeks. Tensory rzędów drugiego, trzeciego i czwrtego mją odpowiednio dw, trzy i cztery indeksy. Możn ztem powiedzieć, że tensor niezerowego rzędu jest złożoną wielkością, której skłdowe zleżą od ukłdu odniesieni. Przykłdem może być wektor n płszczyźnie (tensor rzędu pierwszego), który obserwowny w różnych ukłdch odniesieni zwsze Rys.. Zmin skłdowych wektor z obrotem ukłdu odniesieni: ) pierwotny ukłd odniesieni; b) obrócony ukłd odniesieni 8
O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI pozostje tym smym wektorem. Z obrotem ukłdu odniesieni zminie ulegją jego skłdowe (rzuty n osie ukłdu odniesieni). Wektor n płszczyźnie opisny jest dwom skłdowymi. Jeżeli obrócić ukłd odniesieni, to zmienią się długości rzutów tego wektor n nowe osie ukłdu odniesieni. W ten sposób ten sm wektor jest opisny przez inny zbiór skłdowych. N Rys. widć, że wektor nie uleg zminie, ntomist zmieniją się jego skłdowe.. Obrót ukłdu współrzędnych Rozwż się obrót ukłdu współrzędnych, bez zminy jego początku orz bez zminy jednostek miry wzdłuż wszystkich osi. Przyjmuje się oznczenie X, X, X dl ukłdu przed obrotem, orz X ʹ, X ʹ, X ʹ dl ukłdu po obrocie. Tb.. Tbelk cosinusów kierunkowych pomiędzy osimi przed obrotem i po obrocie osie przed obrotem X X X osie po obrocie X ʹ X ʹ X ʹ Tbelk cosinusów kierunkowych pomiędzy osimi przed obrotem, osimi po obrocie jest przedstwion w Tb.. Pierwszy indeks przy odnosi się do osi ukłdu po obrocie, drugi zś do osi przed obrotem. W ten sposób ij jest cosinusem kąt pomiędzy osią X iʹ osią X j... Przykłd Zwyczjowo, zmist oznczeni X, X, X, dl ukłdu przed obrotem, przyjmuje się oznczenie X, Y, Z, zś dl ukłdu po obrocie X ʹ, X ʹ, X ʹ przyjmuje się oznczenie Xʹ, Yʹ, Z. N Rys. pokzno obrót krtezjńskiego ukłdu współrzędnych o kąt φ wokół osi Z. Kąty między osimi ukłdu odniesieni są przedstwione w Tb.. Kątom tym odpowidją cosinusy kierunkowe, które są zwrte w Tb.. Korzystjąc z wzorów redukcyjnych, powyższą tbelkę cosinusów kierunkowych możn sprowdzić do postci mcierzy opisującej obrót ukłdu odniesieni wokół osi Z o kąt φ. Mcierz tę możn oznczyć jko R(Z, φ): () 9
Zenon GNIAZDOWSKI Anlogicznie, możn przedstwić mcierze obrotu wokół pozostłych osi. Rys.. Obrót krtezjńskiego ukłdu odniesieni wokół osi Z o kąt φ Tb.. Kąty między osimi ukłdu odniesieni przed obrotem i po obrocie osie po obrocie Xʹ Yʹ Zʹ osie przed obrotem X Y Z φ π π ϕ π π + ϕ φ π π Tb.. Cosinusy kierunkowe kątów między osimi ukłdu odniesieni przed obrotem i po obrocie osie po obrocie Xʹ ( ) cos ϕ Yʹ Zʹ osie przed obrotem X Y Z π cos + ϕ π cos π cos ϕ π cos π cos cos ( ϕ ) π cos cos(). Włsności mcierzy trnsformcji Mcierz obrotu jest mcierzą kwdrtową o rozmirze. Oznczjąc ją przez otrzymuje się: =. ()
O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Jej skłdniki są od siebie wzjemnie zleżne. Kżdy wiersz w mcierzy () przedstwi trzy cosinusy kierunkowe prostej w odniesieniu do ortogonlnych osi X, Y, Z, stąd dl i-tej osi: k= =. () ik Kżd pr różnych wierszy w mcierzy () przedstwi cosinusy kierunkowe dwóch wzjemnie prostopdłych linii prostych. Dltego, z włsności iloczynu sklrnego dl wierszy i, j tkich, że i j: k = ik jk = dl i W formie skróconej, obydwie zleżności () i (4) możn zpisć: gdzie δ ij jest deltą Kronecker: ik jk = k = ij j. (4) δ, (5) dl i = j δ ij =. (6) dl i j. Wykonując mnożenie T przez i korzystjąc z (5), otrzymuje się mcierz jednostkową: T =. (7) Poniewż mcierz jednostkow powstje w wyniku mnożeni dwóch mcierzy odwrotnych, stąd: T =. (8) Dodtkowo, dl wyzncznik mcierzy obrotu zchodzi dodtkow zleżność: det() = ±. (9) Gdy obrót prowdzi do zminy prwoskrętności ukłdu odniesieni n jego lewoskrętność, wyzncznik jest równy, w przypdku brku tkiej zminy jego wrtość jest równ jedności [4].. Prw trnsformcji tensorów Jeżeli znny jest zbiór elementów skłdowych wektor przed trnsformcją, tkże znn jest trnsformcj, to możn znleźć zbiór skłdowych opisujących
Zenon GNIAZDOWSKI wektor w nowym ukłdzie współrzędnych. Poniewż skłdowe elementy wektor zleżą od ukłdu odniesieni, to tkże skłdniki tensor rzędu drugiego, trzeciego i czwrtego tkże zleżą od ukłdu odniesieni. Aby rozwiązć problem zminy skłdowych tensor ze zminą ukłdu odniesieni, njpierw potrzeb opisć trnsformcję ukłdu odniesieni, potem trnsformcję dnego tensor. Tb. 4. Prw trnsformcji tensorów Rząd tensor Nowe skłdowe wyrżone przez stre Uwg φʹ = φ Sklr T ' i = T ' ij = T ' ijk = lmn 4 T ' ijkl = mnop kl im j il T ik jn ij jm jl ko j T kn kl T lp lmn T mnop Wektor W pewnym krtezjńskim ukłdzie odniesieni rozwż się wektor T = [T, T, T ] T. Jeżeli ukłd odniesieni zostnie poddny trnsformcji opisnej mcierzą (), to nowy ukłd współrzędnych będzie mił osie Xʹ, Yʹ, Zʹ. W tym nowym ukłdzie, wektor T będzie postrzegny jko wektor Tʹ z nowymi współrzędnymi Tʹ = [T ʹ, T ʹ, T ʹ] T. Zmin skłdowych wektor po trnsformcji jest opisn nstępującym równniem: T ' = T. () i j= W Tb. 4 przedstwiono prw trnsformcji tensorów począwszy od tensor rzędu zerowego (sklr) ż do tensor czwrtego rzędu [4]..4 Skłdnie trnsformcji Niekiedy istnieje potrzeb znlezieni elementów skłdowych tensor, w przypdku wielokrotnych obrotów ukłdu odniesieni. W tym celu nleży znleźć wypdkową mcierz cosinusów kierunkowych, wynikjącą z nkłdni się kolejnych obrotów. Poniewż w wyrżeniu n skłdowe obróconego wektor bezpośrednio występuje mcierz cosinusów kierunkowych, to dokonując wielu kolejnych obrotów ij j
O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI wektor, możn znleźć mcierz wypdkową, któr jest jednocześnie mcierzą cosinusów kierunkowych dl wypdkowej zminy ukłdu współrzędnych. Prw stron równni () jest równowżn zwykłemu mnożeniu mcierzy kwdrtowej przez wektor x: xʹ = x. () Anlogicznie, jeżeli dlej obrcć ukłd odniesieni zgodnie z mcierzą obrotu b, to, wektor xʹ przejdzie w wektor xʹʹ zgodnie z zleżnością: xʹʹ = bxʹ. () Podstwijąc z xʹ prwą stronę ze wzoru (), otrzymuje się: xʹʹ = bx. () Korzystjąc z prw łączności dl mnożeni mcierzy możn npisć: xʹʹ = (b)x. (4) Jeżeli wypdkową mcierz obrotu oznczyć jko w, to odpowiednie wyrżenie m postć: xʹʹ = wx = (b)x. (5) Jk widć, złożenie dwóch kolejnych trnsformcji njpierw trnsformcji opisnej mcierzą, potem trnsformcji opisnej mcierzą b dje wypdkową mcierz trnsformcji w: w = b. (6) Powyższe rozumownie możn uogólnić n dowolną ilość obrotów. Dl trzech kolejnych obrotów opisnych mcierzmi njpierw, potem b, n końcu c, wypdkow mcierz obrotu m postć: w = cb. (7).5 Grup obrotów Możn zuwżyć, że dl obrotów ukłdu odniesieni są spełnione nstępujące wrunki: Pośród wszystkich obrotów, istnieje obrót neutrlny względem opercji skłdni obrotów. Jest to obrót o kąt zerowy (obrót identycznościowy), opisny mcierzą jednostkową; Dl kżdego obrotu istnieje obrót przeciwny (dopełnijący) tki, że złożenie dnego obrotu i obrotu do niego przeciwnego dje obrót identycznościowy. Mcierz obrotu przeciwnego jest mcierzą odwrotną do mcierzy dnego obrotu. Jest to jednocześnie trnspozycj dnej mcierzy obrotu (wzory 7 i 8);
Zenon GNIAZDOWSKI Skłdnie obrotów jest opisne jko mnożenie mcierzy (wzory 6 i 7). Mnożenie mcierzy jest łączne, dltego opercj skłdni obrotów jest tkże opercją łączną; Złożenie dowolnych obrotów jest tkże obrotem (wzory 6 i 7). Wrunki te dowodzą, że dl obrotu ukłdu odniesieni spełnione są wszystkie ksjomty grupy, ztem: zbiór wszystkich obrotów ukłdu odniesieni jest grupą. Jest to tk zwn ciągł grup Liego []. PERMUTACJE Permutcj n-elementowego zbioru X jest to dowoln wzjemnie jednoznczn funkcj f : X X []. W dlszej części prcy, włsności permutcji będą przedstwine n przykłdch. Bez strty ogólności, przykłdy zostną ogrniczone do przypdku permutcji zbioru skłdjącego się z pięciu elementów: X = {,,,4,5}. Dl dnego zbioru X, przykłdem permutcji może być nstępując funkcj: f () = 5, f () =, f () =, f (4) =, f (5) = 4. Funkcję tę możn przedstwić w nstępujący sposób: 4 5 f =. (8) 5 4 Inny przykłd permutcji może wyglądć nstępująco: 4 5 g =. (9) 5 4 W zpisie (8) i (9), górny wiersz jest wierszem rgumentów funkcji, zś wiersz dolny wierszem wrtości tej funkcji. Zpis ten dl odróżnieni od innych sposobów przedstwini permutcji będzie dlej nzywny postcią normlną permutcji.. Skłdnie permutcji Permutcje możn skłdć. Złożenie dwóch permutcji jest tkże permutcją. Złożeniem przedstwionych wyżej permutcji f i g jest nstępując permutcj: f g = ( g() i ) f. () Skłdnie permutcji nzyw się tkże mnożeniem permutcji. Korzystjąc ze wzoru (), wynik złożeni permutcji f g m nstępującą postć: 4 5 f g =, () 4 5 4
O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI podobnie: 4 5 g f =. () 4 5 Z () i () widć, że w ogólności: f g g f, () to ozncz, że mnożenie permutcji nie jest opercj przemienną. Opercj t jest ntomist opercją łączną [,]: f (g h) = (f g) h. (4). Permutcj jednostkow W zbiorze permutcji istnieje permutcj e neutrln względem opercji mnożeni permutcji. Jest to tzw. permutcj jednostkow: f e = e f. (5) Dl zbioru pięcioelementowego jej postć jest nstępując:. Permutcj odwrotn 4 5 e =. (6) 4 5 Dl dowolnej permutcji n-elementowej f istnieje permutcj odwrotn f tk, że: f f = f f = e. (7) Jeżeli np. w permutcji (8) f () = 5, to w permutcji odwrotnej f (5) =, podobnie: f () = i f () =. W permutcji odwrotnej nstępuje zmin wrtości funkcji z jej rgumentmi. Osttecznie permutcj odwrotn do permutcji f opisnej zleżnością (8) m nstępującą postć:.4 Sposoby reprezentcji permutcji 4 5 f =. (8) 4 5 Przedstwiony sposób reprezentcji permutcji nie wyczerpuje wszystkich możliwości. Poz wspomninymi opisem normlnym istnieją inne formy reprezentcji permutcji. 5
Zenon GNIAZDOWSKI.4. Cykliczn postć permutcji Permutcję (8) możn tkże przedstwić, w postci cyklu. Dl rgumentu równego, wrtością funkcji f jest liczb 5. Dl rgumentu równego 5, wrtość funkcji f wynosi 4. Dl rgumentu równego cztery wrtość funkcji jest równ. Inczej mówiąc: przechodzi w 5, 5 przechodzi w 4, 4 przechodzi w. Tutj zmyk się cykl, gdyż znów przechodzi w 5. Używjąc zmist słow przechodzi strzłek, możn npisć: 5, 5 4 orz 4. Podobnie: orz. W skrócie permutcję f możn zpisć jko złożenie dwóch cykli: f = (,5,4)(,). (9) Permutcj jednostkow (6) w zpisie cyklicznym m postć: e = ()()()(4)(5). () Permutcj (8) odwrotn do permutcji f m cykle zwierjące identyczne elementy jk cykle w permutcji f, zś wewnątrz kżdego cyklu odwrócon jest kolejność elementów: f = (,4,5)(,). ().4. Grf permutcji Permutcję (8) przedstwioną jko złożenie dwóch cykli możn przedstwić w formie grfu skłdjącego się z dwóch cykli. N Rys. pokzno postć tego grfu. Anlogicznie, n Rys. b pokzno grf permutcji identycznościowej (6), zś n Rys. c grf permutcji (8), odwrotnej do permutcji f. Możn zuwżyć, że grfy permutcji f i jej odwrotności różnią się tylko zwrotem strzłek w łukch tworzących cykle. ) b) c) Rys.. Grfy permutcji: ) permutcj (8); b) permutcj identycznościow (6); c) permutcj (8) odwrotn do permutcji (8) Do nrysowni grfów korzystno z progrmu yed Grph Editor ver..4.., pobrnego ze strony: http://www.yworks.com 6
7 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI.4. Mcierz permutcji Grf permutcji może być jednozncznie reprezentowny w postci mcierzy sąsiedztw. Ze względu n tę jednoznczność, w dlszej części niniejszej prcy mcierz sąsiedztw grfu permutcji będzie nzywn mcierzą permutcji. Dl ustleni uwgi, dl dnej permutcji x jej mcierz będzie dlej oznczn jko mt(x) lub wielką literą X. I tk, dl permutcji (8), mcierz zbudown w oprciu o grf przedstwiony n Rys., m nstępującą postć:, ) ( = = F f mt () nlogicznie, dl (9) mcierz permutcji m postć:. ) ( = G = g mt () Wynik mnożeni mcierzy () przez mcierz () jest nstępujący:, F G = (4) nlogicznie, w drugą stronę:. = G F (5)
Zenon GNIAZDOWSKI W wyniku mnożeń (4) orz (5) otrzymno mcierze permutcji odpowiednio () i (). Wynik stąd wniosek, że mnożenie permutcji możn zstąpić odpowiednim mnożeniem mcierzy: orz: ( g() i ) G F f g = f, (6) ( f () i ) F G g f = g. (7) Mcierz permutcji identycznościowej (6) jest mcierzą jednostkową: mt(e) = E = I (8) Dl grfu permutcji (8) odwrotnej do f odpowiedni mcierz m postć: mt ( f ) =. Porównując () z (9) możn zuwżyć, że: mt(f ) = (mt(f )) T = F T. (4) Wynik to z fktu, że grfy permutcji dnej orz permutcji odwrotnej mją łuki skierowne przeciwnie, co przejwi się we wzjemnej trnspozycji ich mcierzy sąsiedztw. Jeżeli mcierze () i (9) zostną przez siebie pomnożone, to w wyniku otrzymuje się mcierz jednostkową: F T F = I. (4) Stąd wynik wniosek, że trnspozycj mcierzy permutcji f, będąc mcierzą permutcji odwrotnej jest odwrotnością mcierzy permutcji f: F T = F. (4).5 Włsności mcierzy permutcji Mcierz permutcji zbioru n-elementowego jest zero-jedynkową kwdrtową mcierzą, któr w kżdym wierszu i kżdej kolumnie zwier dokłdnie jedną jedynkę. Poz włsnością (4), zchodzą tkże inne włsności. I tk, dl i-tego wiersz możn zpisć: k (9) F ik F ik =. (4) 8
O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Tymczsem, dl wierszy różnych prmi: Fik F jk = dl i j (44) k włsności (4) i (44) możn skrótowo zpisć: F ik F jk = δ ij, (45) k gdzie δ ij jest deltą Kronecker (6). Dodtkowo, dl wyzncznik mcierzy permutcji zchodzi zleżność: det(f) = ±. (46) Dl permutcji przystej wyzncznik jest dodtni, dl permutcji nieprzystej ujemny..6 Grup permutcji Dl zbioru permutcji wrz z opercją ich skłdni, spełnione nstępujące wrunki: W zbiorze permutcji istnieje permutcj identycznościow, neutrln względem opercji mnożeni permutcji; Dl kżdej permutcji f istnieje permutcj odwrotn f ; Skłdnie permutcji jest opercją łączną; Zbiór permutcji jest zmknięty ze względu n opercję mnożeni permutcji: dl dowolnych dwóch permutcji f i g ich złożenie jest tkże permutcją. Ozncz to, że zbiór permutcji wrz z opercją ich skłdni jest grupą [,]. 4 RELACJA POMIĘDZY GRUPAMI OBROTÓW I PERMUTACJI Mcierz sąsiedztw grfu permutcji m włsności (45), (4) orz (46), identyczne jk włsności (5), (8) orz (9) mcierzy obrotu. Jeżeli rozwżć permutcję zbioru trzyelementowego, to tkże rozmir mcierzy będzie identyczny. Ozncz to, że kżd mcierz permutcji zbioru trzyelementowego jest jednocześnie mcierzą pewnego obrotu. W związku z tym możn zdć pytnie o wzjemne związki pomiędzy ukłdem odniesieni otrzymnym w wyniku permutcji jego osi, ukłdem otrzymnym w wyniku obrotu zdefiniownego mcierzą tej smej permutcji. Pojwi się jednk problem z różną interpretcją numerów wierszy orz kolumn w mcierzy permutcji i obrotu. Jedynk w i-tym wierszu i w j-tej kolumnie mcierzy permutcji ozncz, że w grfie istnieje łuk skierowny od węzł i do j. Ozncz to, że i-t oś ukłdu odniesieni w wyniku permutcji stł się osią j-tą: numery wierszy w mcierzy oznczją stre osie (przed permutcją), zś numery kolumn nowe 9
Zenon GNIAZDOWSKI osie (po permutcji). Tymczsem w mcierzy trnsformcji (zgodnie z Tb. ), numery wierszy oznczją osie nowe, zś numery kolumn oznczją osie stre. Aby to uzgodnić, nleży problem zmodyfikowć, formułując pytnie w nstępujący sposób: Jkie są wzjemne związki pomiędzy ukłdem odniesieni otrzymnym w wyniku permutcji jego osi, ukłdem otrzymnym w wyniku obrotu zdefiniownego trnspozycją mcierzy tej smej permutcji? 4. Permutcje osi ukłdu odniesieni Rozwż się permutcję osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni. Trzy osie możn opisć jko permutcje trzech liczb, i przypisnych odpowiednio osiom X, Y i Z. Zbiór -elementowy m!=6 permutcji, które są przedstwione w Tb. 5. Dl dnej permutcji opisnej w formie podstwowej i w formie cyklu nrysowno tkże jej grf orz przedstwiono mcierz sąsiedztw tego grfu, tkże wynik permutcji osi. W przedosttniej kolumnie pokzno wrtość wyzncznik mcierzy jko mirę przystości (równy ) lub nieprzystości (równy -) permutcji. Grf obrzuje, co się dzieje z osimi. Np. w wierszu 5 widć, że oś X stje się nową osią Z, zś oś Z nową osią X. Oś Y nie uleg zminie. Poniewż wyzncznik mcierzy równy jest -, ozncz to, że jest to permutcj nieprzyst. Przystość permutcji prowdzi do prwoskrętnego ukłd odniesieni, zś nieprzystość, do ukłdu lewoskrętnego. Tb. 5. Permutcje osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni L.p. Permutcj Permutcj w postci cyklu orz jej grf Mcierz permutcji Reprezentcj permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni Wyzncznik mcierzy permutcji Oznczenie. ()()() e (,,). 4
4 O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI. (,,) b 4. ()(,) - c 5. (,)() - d 6. (,)() - f 4. Obroty osi ukłdu odniesieni Rozwż się mcierze cosinusów kierunkowych opisujące obroty ukłdu odniesieni, otrzymne w wyniku trnspozycji mcierzy permutcji zbioru trzyelementowego. Mcierze te przedstwiono w drugiej kolumnie Tb. 6. Dl dnych mcierzy obrotu przedstwiono odpowidjącą im mcierz kątów pomiędzy osimi (kolumn trzeci). W kolumnie czwrtej przedstwiono skutki obrotu. W przedosttniej kolumnie pokzno wrtość wyzncznik mcierzy cosinusów kierunkowych. Przy dodtnim wyznczniku nie m zminy prwoskrętności ukłdu n jego lewoskrętność. Wyzncznik ujemny wskzuje te obroty, w wyniku których nstąpiło przejście od prwoskrętnego do lewoskrętnego ukłdu odniesieni.
4 Zenon GNIAZDOWSKI Tb. 6. Obroty ukłdu odniesieni L.p. Trnspozycj mcierzy permutcji jko mcierz cosinusów kierunkowych Kąty [stopnie] Reprezentcj trnsformcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni Wyzncznik mcierzy cosinusów Oznczenie. 9 9 9 9 9 9 e. 9 9 9 9 9 9. 9 9 9 9 9 9 b 4. 9 9 9 9 9 9 - c 5. 9 9 9 9 9 9 - d 6. 9 9 9 9 9 9 - f
O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI 4. Równowżność permutcji i obrotów N postwione wyżej pytnie dotyczące wzjemnego związku pomiędzy ukłdmi odniesieni otrzymnymi njpierw wyniku permutcji osi, potem w wyniku obrotu opisnego mcierzą będącą trnspozycją odpowiedniej mcierzy permutcji, odpowiedzi możn udzielić po nlizie wyników tych opercji przedstwionych w Tb. 5 orz Tb. 6. Pokzne tm wyniki wskzują, że w obydwu przypdkch uzyskno identyczne konfigurcje osi ukłdu odniesieni. Ozncz to, że relne skutki obydwu opercji są tożsme. Pozostje jeszcze sprwdzić, czy istnieją jkieś różnice lub podobieństw pomiędzy formlnym opisem obydwu opercji. W tym celu rozwż się skłdnie dwóch permutcji. Permutcj pierwsz oznczon jko, opisn jest mcierzą A. Permutcj drug oznczon jko b, opisn mcierzą B. N podstwie (6) orz (7), skłdnie obydwu permutcji możn opisć jko mnożenie mcierzy: b((i)) = b A B. (47) Z drugiej strony, rozwż się złożenie dwóch obrotów: njpierw obrotu odpowidjącego permutcji opisnego mcierzą A T, nstępnie obrotu odpowidjącego permutcji b opisnego mcierzą B T. N podstwie (6), wypdkowy obrót możn zpisć jko iloczyn B T A T. Tymczsem, poniewż mcierz obrotu jest trnspozycją mcierzy permutcji, to tkże trnspozycj wypdkowej mcierzy (47) skłdni dwóch permutcji powinn być mcierzą wypdkowego obrotu równowżnego złożeniu obrotów i b. Stąd tkże powinn zchodzić tożsmość: B T A T = (AB) T. (48) Poniewż n mocy prw lgebry liniowej tożsmość t jest prwdziw [5], dltego zchodzi nie tylko równowżność pomiędzy permutcją, obrotem opisnym trnspozycją mcierzy permutcji, lecz tki sm związek zchodzi pomiędzy złożeniem dwóch obrotów, obrotem opisnym jko trnspozycj mcierzy będącej mcierzą wypdkową złożeni tych permutcji. N rozwżny problem możn spojrzeć jeszcze inczej. Poniewż permutcje zbioru trzyelementowego wrz z opercją ich skłdni są grupą, to przyjmując oznczeni jk w osttniej kolumnie Tb. 5, możn zbudowć tbelkę dziłń dl tej grupy. Anlogicznie możn postąpić z obrotmi opisywnymi w Tb. 6. Przy oznczenich jk w osttnich kolumnch Tb. 5 i Tb. 6 otrzymuje się tbelkę dziłń wspólną dl obydwu grup, przestwioną w Tb. 7. Tbelk t pokzuje, że grup permutcji osi ukłdu odniesieni i grup obrotów ukłdu odniesieni opisnych jko trnspozycje Dodtkowo możn zuwżyć, że permutcje przyste (obroty niepowodujące zminy prwoskrętności ukłdu odniesieni) oznczone jko e, orz b, sme tworzą grupę będącą podgrupą omwinych tu permutcji (obrotów). 4
Zenon GNIAZDOWSKI mcierzy permutcji są wzjemnie izomorficzne. Izomorfizm ten wynik z twierdzeni Cyley [], mówiącego o tym, że kżd grup skończon (tu: rozwżn grup obrotów opisnych trnspozycją mcierzy permutcji) jest izomorficzn z podgrupą pewnej grupy permutcji (tu: grup permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni). Możn powiedzieć, że izomorfizm jest widoczny nie tylko n poziomie opercji mcierzowych, lecz tkże n poziomie tbelki dziłń dl grup (tb. Cyley). Obydw te uzsdnieni dotyczą strony formlnej zgdnieni. Jk widć równowżności ich formlnego opisu towrzyszy równowżność skutków obydwu opercji. Tb. 7. Tbelk dziłń dl grup z Tb. 5 i Tb. 6 5 DYSKUSJA e b c d f e e b c d f b e f c d b b e d f c c c d f e b d d f c b e f f c d b e W prcy przenlizowno włsności mcierzy opisującej obrót krtezjńskiego ukłdu odniesieni i mcierzy permutcji. Stwierdzono, że włsności te są identyczne, co ozncz, ze mcierz permutcji jest jednocześnie pewną mcierzą obrotu. Wobec tego pojwiło się pytnie, w jkim stopniu różnią się bądź są podobne ukłdy odniesieni otrzymne njpierw w wyniku permutcji osi, potem w wyniku obrotu opisnego mcierzą będącą trnspozycją odpowiedniej mcierzy permutcji. Dl znlezieni odpowiedzi n to pytnie, zbdno wszystkie permutcje osi (Tb. 5) orz odpowidjące im obroty (Tb. 6). W obydwu przypdkch uzyskno identyczne konfigurcje osi ukłdu odniesieni. W prcy pokzno tkże, że n poziomie opisu mtemtycznego zobserwown identyczność m swoje potwierdzenie zrówno w opisie lgebricznym jk i w opisie w postci tbelki dziłń dl grup (Tb. 7). W ten sposób stwierdzono, że odpowiedni grup permutcji jest izomorficzn z odpowiednią grupą obrotów. Powyższy izomorfizm jest wyjśniony przez twierdzenie Cyley. Dl zbioru n-elementowego, liczb różnych permutcji tego zbioru wynosi n!. Permutcje te są reprezentowne przez n! różnych mcierzy. Dl zbioru trzyelementowego liczb mcierzy reprezentujących permutcje redukuje się do sześciu. Mcierz permutcji m chrkter mcierzy relcyjnej, n zsdzie: zchodzi związek lub nie. 44
O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI W odniesieniu do wybrnych osi krtezjńskiego ukłdu współrzędnych możn to wyrzić w nstępujący sposób: oś i-t stje się osią j-tą lub nie. Tymczsem, mcierz obrotu m inną interpretcję. Zwier on cosinusy kątów między osimi. Wszystkich możliwych mcierzy obrotu jest nieskończenie wiele (continuum). W omwinym przypdku rozwż się tylko pewien skończony (sześcioelementowy) podzbiór tych mcierzy. Zbiory sześciu mcierzy kwdrtowych o rozmirze reprezentują zrówno permutcje zbioru trzyelementowego (problem dyskretny) jk i obrót krtezjńskiego ukłdu odniesieni (problem o chrkterze ciągłym). Mcierze w obydwu zbiorch z dokłdnością do trnspozycji są identyczne. Różn jest ich ntur. Te identyczne mcierze w wyniku permutcji orz odpowidjących im obrotów dją identyczne konfigurcje ukłdów odniesieni. Otwrte pozostje pytnie, dlczego pomimo różnej ntury, wspomnine mcierze wyrżją to smo? Dlczego efekt permutcji osi ukłdu odniesieni jest identyczny jk efekt obrotu ukłdu odniesieni opisnego trnspozycją mcierzy permutcji? Odpowiedź n to pytnie wykrcz poz zkres niniejszej prcy, rczej wymg kompetencji filozoficznych. Pod dyskusję możn poddć jeszcze jedno spojrzenie n bdny problem. Jest to spojrzenie od strony język. Opisny izomorfizm przedstwi formlną równowżność pomiędzy opisem permutcji i odpowiednich obrotów. Równowżność tę n poziomie język możn nzwć równowżnością syntktyczną. Tymczsem, zchodzi tkże równowżność skutków obydwu opercji (permutcji i obrotów), więc zchodzi zgodność tych opercji n poziomie treści język, czyli jego semntyki. Ztem możn powiedzieć, że twierdzenie Cyley wyjśni równowżność syntktyczną. Niestety, dl równowżności semntycznej brkuje wyjśnieni. Wygląd n to, że ten typ równowżność mógłby być wyjśniny n gruncie filozofii. Pojwi się tkże kolejne pytnie, dotyczące możliwości uogólnieni przedstwionych wyżej wyników n dowolny wymir przestrzeni. W prcy pokzno równowżność permutcji i odpowiednich obrotów dl przestrzeni trójwymirowej. Nleży postwić pytnie, czy tkże w przestrzeni pond trzywymirowej, pomiędzy permutcjmi odpowiednimi przeksztłcenimi ortogonlnej bzy, zchodzą stosowne równowżności? Powyższy problem wychodzi poz zkres niniejszej prcy, dltego powinien być osobno zbdny. Litertur. Gleichgewicht B.: Elementy lgebry bstrkcyjnej. PZWS, Wrszw 966. Ross K.A., Wright C.R.B.: Mtemtyk Dyskretn, PWN, Wrszw. Steen L. A., Red.: Mtemtyk współczesn. Dwnście esejów. WNT, Wrszw 98 4. Nye J. F.: Włsności fizyczne krysztłów w ujęciu tensorowym i mcierzowym, PWN, Wrszw 96 5. Kiełbsiński A., Schwetlick H.: Numeryczn lgebr liniow, WNT, Wrszw 99 45
46