Topologia i podzbiory,
|
|
- Alojzy Kołodziejczyk
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Jest to tekst związny z odczytem wygłoszonym n XLV Szkole Mtemtyki Poglądowej, Co mi się podo, Jchrnk, sierpień 2010, z który utor otrzymł Medl Filc. Topologi i podziory, czyli histori jednego twierdzeni Michł ADAMASZEK, Coventry Zcznijmy od wyjśnieni tytułu. Będą ns interesowć przestrzenie topologiczne, których elementmi są podziory innych przestrzeni. Co to dokłdnie znczy? Większość przestrzeni topologicznych, z którymi chcieliyśmy mieć do czynieni, powstje z kilku podstwowych klocków, tkich jk odcinek I = [0, 1] czy okrąg S 1. Do udowy rdziej skomplikownych przestrzeni używmy opercji tkich jk produkt krtezjński X Y, przestrzeń ilorzow X/A czy rdziej ogóln przestrzeń ilorzow X/ ędąc wynikiem sklejeni punktów X w sposó opisny przez relcję. N przykłd okrąg powstje przez sklejenie końców odcink: S 1 = I/0 1. Nstępny przykłd motywuje potrzeę wprowdzeni innego typu konstrukcji. Mmy nczynie w ksztłcie pewnej przestrzeni X w nim dokłdnie n jednkowych, swoodnie poruszjących się cząstek gzu. Chcemy opisć przestrzeń wszystkich możliwych położeń tych cząstek. Mtemtycznie elementmi tej przestrzeni są n elementowe podziory C = {x 1,..., x n } przestrzeni X. Mówimy, że lisko ustlonego podzioru C są wszystkie podziory otrzymne przez młe poruszenie wszystkimi punktmi w C, oczywiście pod wrunkiem, że żdne dw punkty nie ulegną zderzeniu. Znczenie słow młe zleży tu od topologii w przestrzeni X. W ten intuicyjny sposó definiujemy młe otoczeni otwrte, więc ndjemy nszej rodzinie podziorów strukturę przestrzeni topologicznej. Przestrzenie tego typu nzyw się zwykle przestrzenimi konfigurcyjnymi. Ten konkretny egzemplrz możn zdefiniowć rdziej formlnie jko C n (X) = {(x 1,..., x n ) X n : x i x j }/Σ n, gdzie Σ n ozncz grupę n permutcji dziłjącą n współrzędnych. Po tym przykłdzie Czytelnik powinien podejść ze zrozumieniem do przestrzeni, którymi ędziemy się interesowć: P n (X) = przestrzeń co njwyżej n-elementowych, niepustych podziorów przestrzeni X. y 1 A ztem typowy element przestrzeni P n (X) wygląd tk smo, jk w C n (X), czyli jest ziorem złożonym z n różnych punktów w X, le dodtkowo mmy tkże wszystkie konfigurcje zdegenerowne, gdzie punktów jest mniej niż n. Młe otoczenie ustlonego podzioru P definiujemy podonie jk poprzednio, to znczy pozwlmy n młe przemieszczenie wszystkich elementów z P, tym rzem dopuszczjąc możliwość zderzeni i utworzeni konfigurcji o mniejszej liczności. Ozncz to, że zchodzi też zjwisko odwrotne, w którym jeden z punktów w konfigurcji zdegenerownej może zmienić się n kilk punktów leżących rdzo lisko niego. Zilustrujemy tę definicję n przykłdzie. Przestrzeń co njwyżej dwuelementowych podziorów odcink I możn zpisć nstępująco: 0 1 Rys. 1. P 2(I) x P 2 (I) = {(x, y) : 0 x y 1} poniewż kżdy 1- lu 2-elementowy podziór odcink możn jednozncznie reprezentowć przez prę uporządkowną. Sytucj t przedstwion jest n rysunku 1. Przestrzeń P 2 (I) jest więc topologicznie równowżn (fchowo: homeomorficzn) z domkniętym trójkątem. Podziorom jednoelementowym {x} odpowidją punkty postci (x, x). Widzimy, że młe otoczenie podzioru { 1 2 } zwier podziory postci {x, y} gdzie x i y są rdzo liskie 1 2 i niekoniecznie równe. 8
2 Znim przejdziemy do dlszych przykłdów, zoserwujmy jeszcze dwie proste włsności zchodzące dl dowolnej przestrzeni X: P 1 (X) = X X = P 1 (X) P 2 (X) P 3 (X)... Możemy terz precyzyjnie wyjśnić, dokąd zmierz ten rtykuł. Nszym celem jest jk njlepsze zrozumienie przestrzeni P 3 (S 1 ) złożonej z co njwyżej 3 elementowych podziorów okręgu. Czy jest on topologicznie równowżn z jkąś znną przestrzenią? N rozgrzewkę zdjmy przestrzeń P 2 (S 1 ). Poniewż okrąg powstje z odcink przez utożsmienie końców (S 1 = I 1), więc tkże przestrzeń P 2 (S 1 ) powstje z P 2 (I) poprzez utożsmienie wszystkich wystąpień punktów 0 i 1. Mmy ztem Rys. 2. P 2(S 1 ) P 2 (S 1 ) = P 2 (I)/(0, x) (x, 1). Sprwdźmy, jk to utożsmienie wpływ n trójkąt z rysunku 1. Punkty (0, x) leżą n lewym, (x, 1) n górnym oku trójkąt, ztem musimy skleić te dw oki zgodnie z kierunkiem strzłek n rysunku 2. Możn to zroić eksperymentlnie, zwijjąc lewy ok w okrąg i nwijjąc n niego górny ok (pmiętjmy, że wszystkie trzy wierzchołki trójkąt, (0, 0), (0, 1) i (1, 1), reprezentują terz ten sm podziór {0}). Poniewż nie jest od rzu jsne, co wychodzi, postąpimy inczej, według przepisu z rysunku 3. Rozcinmy trójkąt wzdłuż linii przerywnej i rozsuwmy powstłe części, pmiętjąc, że w rzeczywistości przerywne krwędzie są sklejone wzdłuż strzłek podpisnych. Nstępnie sklejmy trójkąty wzdłuż krwędzi i widzimy już, że mmy do czynieni ze wstęgą Möius oiektem powstłym z psk ppieru poprzez sklejenie ze zminą orientcji pry przeciwległych krwędzi. Udowodniliśmy więc nstępujące twierdzenie. Rys. 3. P 2 (S 1 ) jest wstęgą Möius Twierdzenie. Przestrzeń co njwyżej dwuelementowych podziorów okręgu, P 2 (S 1 ), jest topologicznie równowżn ze wstęgą Möius. Przestrzeń podziorów jednoelementowych P 1 (S 1 ) jest w niej zwrt jko okrąg rzegowy wstęgi. Ay otrzymć drugie z powyższych stwierdzeń wystrczy prześledzić położenie punktów (x, x) w czsie procedury rozcinni i sklejni. Dl rozrywki Czytelnik Wyrfinownego nszkicujemy inny rgument. Przez dw dne punkty n okręgu prowdzimy prostą (jeżeli punkt jest tylko jeden, rysujemy styczną w tym punkcie). Kierunek tej prostej wyzncz element w jednowymirowej przestrzeni rzutowej RP 1, topologicznie równowżnej z S 1. W ten sposó zdefiniowliśmy ciągłe odwzorownie P 2 (S 1 ) S 1. Przesuwjąc ustloną prostą równolegle widzimy, że włókno tego przeksztłceni (przeciworz dowolnego punktu) jest odcinkiem. Ztem przestrzeń P 2 (S 1 ) jest topologicznie równowżn z wiązką odcinków nd okręgiem. Są tylko dwie tkie wiązki: wlec S 1 I i włśnie wstęg Möius. Czytelnik, który dornął do tego etpu rozumowni, łtwo wyeliminuje pierwszą możliwość. 9
3 Po tej rozgrzewce rozwżmy przestrzenie złożone z trzech punktów. Zczniemy od odcink i jego trójelementowych podziorów P 3 (I). Kżdy 3-, 2- lu 1-elementowy podziór odcink możn zpisć w postci trójki uporządkownej, jednk w przypdku podziorów 2-elementowych {x, z} możn to zroić n dw sposoy (x, x, z) i (x, z, z), które musimy utożsmić. Mmy więc P 3 (I) = {(x, y, z) : 0 x y z 1}/(x, x, z) (x, z, z). C B A Rys. 4. P 3(I) D Ziór {(x, y, z) : 0 x y z 1} jest czworościnem o wierzchołkch A = (0, 0, 0), B = (0, 0, 1), C = (0, 1, 1), D = (1, 1, 1). Przestrzeń P 3 (I) powstje więc z tego czworościnu poprzez utożsmienie ściny ABD (punkty postci (x, x, z)) ze ściną ACD (punkty postci (x, z, z)) w tki sposó, że wierzchołek B przechodzi n C, krwędź AB n AC krwędź BD n CD, jk n rysunku 4. Efekt końcowy łtwo uzyskć, jeśli wyorzimy soie, że cły czworościn jest z gumy, po czym wierzchołek C orócimy wokół osi AD ż zcienione ściny nłożą się n sieie. Otrzymujemy ryłę wyglądjącą jk dw pełne stożki o wierzchołkch A i D, sklejone podstwmi. Topologicznie jest to zwykł kul. Przestrzeń podziorów jednoelementowych postci (x, x, x) jest w niej położon jko średnic AD. N mrginesie, rdziej zwnsowny Czytelnik może wywnioskowć stąd (jk?), że docelow przestrzeń P 3 (S 1 ) jest trójwymirową rozmitością (czyli kżdy jej punkt m otoczenie, które jest otwrtą kulą). Przestrzeń P 3 (S 1 ) możemy terz uzyskć utożsmijąc, jk poprzednio, punkty 0 i 1. Mmy ztem: C B D P 3 (S 1 ) = P 3 (I)/(0, y, z) (y, z, 1). Tk więc P 3 (S 1 ) powstje z czworościnu ABCD poprzez sklejenie ścin ABD i ACD (jk w P 3 (I)) orz dodtkowo ściny ABC (punkty postci (0, y, z)) ze ściną BCD (punkty postci (y, z, 1)) w tki sposó że krwędzie AB, BC, CA zostją sklejone, kolejno, z krwędzimi BC, CD, DB, co zznczone zostło n rysunku 5. To drugie utożsmienie zncząco komplikuje sprwę. Nsze poprzednie techniki rozcinnie, sklejnie czy udownie modeli mogą okzć się niewystrczjące. A Rys. 5. P 3(S 1 ) W rzeczywistości odpowiedzi n pytnie czym jest P 3 (S 1 ) udzielili jko pierwsi Krol Borsuk ( ) i Roul Bott ( ). Tego pierwszego nie trze chy polskiemu Czytelnikowi specjlnie przedstwić. Dość powiedzieć, że we współczesnej mtemtyce jest on znny m.in. z definicji korozwłóknieni tkże z hipotezy Borsuk (Czy kżdy ziór wypukły w R d możn podzielić n d + 1 ziorów o mniejszych średnicch?), rozstrzygniętej negtywnie w roku 1993 orz z twierdzeni Borsuk-Ulm, którego populrne sformułownie stnowi, iż w kżdej chwili istnieją n powierzchni Ziemi dw punkty ntypodyczne w których pnuje t sm tempertur i ciśnienie. Z kolei mtemtyk węgierskiego pochodzeni Roul Bott ył jednym z czołowych przedstwicieli nowoczesnej topologii lgericznej, kojrzonym głównie ze słynnym, z początku zskkującym twierdzeniem o periodyczności dl grupy unitrnej, które okzło się wkrótce po udowodnieniu odegrć zsdniczą rolę w rodzącej się kurt K-teorii. 10
4 Histori odpowiedzi, jkiej udzielili Borsuk i Bott, jest równie ciekw, jk sm odpowiedź. W 1949 Borsuk opulikowł prcę [1], w której pokzł, że P 3 (S 1 ) jest topologicznie równowżn z produktem S 2 S 1 zwykłej sfery i okręgu. Trzy lt później w Fundment ukzł się prc Bott [2], mjąc formę listu do Borsuk i zczynjąc się od słów (oznczeni oryginlne): In your pper On the third symmetric potency of the circumference (...) you ssert tht the third symmetric potency of S (3) 1 of the circle S 1 is homeomorphic to the Crtesin product of S 1 nd the two sphere S 2. (...). But in fct the identifiction you hve mde is incorrect nd in consequence your finl conclusion (...) is flse. A quite simple nd short rgument shows tht S (3) 1 hs vnishing fundmentl group whence (...) S (3) 1 is simply connected lensespce, i.e. the three sphere S 3. A ztem prc Borsuk zwier łąd i prwidłow odpowiedź powinn rzmieć: Twierdzenie. Przestrzeń P 3 (S 1 ) jest topologicznie równowżn ze sferą trójwymirową S 3. Jeśli Czytelnik przechodzą cirki n smą myśl o trójwymirowej sferze, to njłtwiej ędzie myśleć o niej, przez nlogię z niżej-wymirowymi odpowiednikmi, jk o przestrzeni R 3 z dodtkowym punktem w nieskończoności. W tym miejscu Czytelnikowi nleży się wyjśnienie, Krolowi Borsukowi usprwiedliwienie. Otóż prc Borsuk, choć skomplikown, jest zsdniczo poprwn, łąd wkrdł się dopiero pod sm koniec rozumowni. Podkreśl to zresztą sm Bott, który poprwi tylko końcówkę dowodu Borsuk. Minowicie po dłuższych przeksztłcenich Borsuk dochodzi do wniosku, że interesując ns przestrzeń może yć otrzymn z dwóch pełnych torusów, których rzegi są w pewien sposó utożsmione. Prolem w tym, że w grę wchodzą dw możliwe sposoy sklejeni tkich torusów: południki jednego utożsmimy z południkmi lo z równoleżnikmi drugiego. W pierwszym przypdku otrzymujemy włśnie S 2 S 1 (co widć dość łtwo), w drugim S 3 (co już nieco trudniej). Czytelnik oeznny choć trochę z podstwowymi zklęcimi topologii lgericznej może smodzielnie sprwdzić, kto m rcję. Choć nsz opis P 3 (S 1 ) jko przestrzeni ilorzowej czworościnu ABCD jest trudny koncepcyjnie, jednk świetnie sprwdz się jko jej rozkłd komórkowy (rdzo ściśle: rozkłd jko -kompleks). Ndje się przez to do liczeni tkich niezmienników topologicznych jk grup podstwow i grupy homologii. Wyznczmy ztem, podonie jk zroił to Bott, grupę podstwową π 1 (P 3 (S 1 )) przestrzeni P 3 (S 1 ). Zcznijmy od szykiego przypomnieni (lu, jk kto woli, wprowdzeni) definicji. Grup podstwow przestrzeni X jest generown przez wszystkie pętle (funkcje ciągłe f : S 1 X) zczepione w wyróżnionym punkcie x 0 (to znczy f(1) = x 0 ). Dwie pętle f i g utożsmimy, jeśli jedną możn w sposó ciągły zdeformowć w drugą, czyli istnieje cł rodzin pętli przechodzących w sposó ciągły z f do g. Fchowo mówimy, że tkie pętle są homotopijne. Elementmi grupy podstwowej π 1 (X) są ztem klsy równowżności relcji homotopii. Wszystko to rzmi rdzo nukowo, le jeśli dysponujemy rozkłdem komórkowym przestrzeni, to grupę podstwową możemy opisć rdzo łtwo. Po pierwsze, wystrczy ogrniczyć się do pętli tworzących jednowymirowy szkielet tego rozkłdu. W nszym przykłdzie mmy dwie tkie pętle, i (pmiętjmy, że skleiliśmy punkty A, B, C i D). Kżd ścin dwuwymirow ogrnicz, przez to trywilizuje, pewną pętlę tk pętl może yć ściągnięt do punktu, więc pętli trywilnej, poprzez deformcję prowdzącą cły czs po wyrnej ścinie. Z Rysunku 5 odczytujemy, że ścin ABD ( tkże ACD) m n swym rzegu pętlę 1 = 2 1, ścin ABC ( tkże BCD) ogrnicz pętlę 1 =. Woec tego w grupie π 1 (P 3 (S 1 )), generownej przez dw elementy,, zchodzą relcje 2 1 = 1 orz = 1, co zpisujemy π 1 (P 3 (S 1 )) =, = 1, 2 1 = 1. 11
5 Ztem = 1 orz = 2 = 1, więc t grup jest trywiln. To już wystrczy, y wykluczyć odpowiedź S 2 S 1, o grup podstwow tej osttniej przestrzeni to Z. Co więcej, Czytelnik Nowoczesny, który pondto sprwdził, że P 3 (S 1 ) jest rozmitością, już wie, że musi to yć sfer S 3. Jest to wniosek z Hipotezy Poincrégo w wymirze 3, jednego z siedmiu prolemów milenijnych, udowodnionej niedwno przez Grigorij Perelmn. Głosi on dokłdnie, że S 3 jest jedyną trójwymirową rozmitością o trywilnej grupie podstwowej. Woec tego poprwk Bott jest jk njrdziej słuszn. Zjmijmy się woec tego innym intrygującym pytniem. Wiemy już, że P 3 (S 1 ) jest sferą S 3, czyli przestrzenią trójwymirową R 3 uzwrconą jednym dodtkowym punktem. Znjduje się w niej podprzestrzeń P 1 (S 1 ) złożon z podziorów jednoelementowych. Pmiętmy jednk, że P 1 (S 1 ) = S 1 jest okręgiem, okrąg znurzony w R 3 to inczej węzeł. Jki to węzeł? Rys. 6. Trójlistnik Odpowiedź n to pytnie możn znleźć n przykłd w nowej prcy Jco Mostovoy [3]. Ay zchęcić Czytelnik do przeczytni tej krótkiej notki, powiedzmy tylko, że Mostovoy podje jwny, nlityczny wzór, który zdje równowżność pomiędzy przestrzenimi P 3 (S 1 ) i S 3. Mjąc tki wzór możn wyprowdzić równnie, które spełni w S 3 podziór P 1 (S 1 ). Podmy od rzu wynik. Otóż jeśli sferę S 3 utożsmimy ze ziorem {(u, w) C C : u 2 + w 2 = 1}, to podziór P 1 (S 1 ) spełni równnie u 3 = w 2. Po przesklowniu możn go też przedstwić przy pomocy prmetryzcji S 1 z (z 2, z 3 ) S 1 S 1 S 3, więc szukny przez ns węzeł jest położony n torusie S 1 S 1 w tki sposó, że oieg torus dwukrotnie w kierunku równoleżnikowym i trzykrotnie w kierunku południkowym, jk n rysunku 6. Tki węzeł nzyw się fchowo (2, 3)-węzłem torusowym (nlogicznie definiujemy (p, q)-węzły torusowe). Ten konkretny węzeł to njprostszy z nietrywilnych węzłów, zwny trójlistnikiem. Zmist reprodukowć tutj rgument Mostovoy, który Czytelnik może smodzielnie przenlizowć, podmy inny dowód twierdzeni o trójlistniku, w którym wykorzystmy to, czego nuczyliśmy się już o grupie podstwowej. Oliczymy minowicie grupę węzł. Jest to niezmiennik zdefiniowny dl dowolnego węzł K jko π 1 (S 3 \ K) czyli grup podstwow tego, co zostje po usunięciu węzł z przestrzeni. W nszym zdniu sferę S 3 reprezentuje czworościn ABCD z odpowiednimi utożsmienimi ścin (Rys. 5), interesujący ns węzeł K jest w nim zwrty jko ziór punktów postci (x, x, x), czyli odcinek = AD. Usunięcie węzł K w tym modelu poleg ztem n usunięciu odcink orz wierzchołków B i C (o reprezentują one ten sm punkt, co A i D). Ay otrzymć przestrzeń o porządnej tringulcji wygodniej ędzie usunąć węzeł K rzem z młym otwrtym otoczeniem. W nszym modelu relizujemy ten krok usuwjąc młą pryzmę wzdłuż odcink orz młe czworościenne czpeczki wokół wierzchołków B, C. Wreszcie nic nie stoi n przeszkodzie y poprzez ciągłą deformcję powiększyć te otoczeni i zstąpić słowo młe przez sięgjące ż do połowy krwędzi. Pozostnie wówczs rył z rysunku 7 ostrosłup o podstwie P RT Q i wierzchołku S. Utożsmieni w czworościnie ABCD przekłdją się n utożsmieni ścin i krwędzi tego ostrosłup zznczone n rysunku (proszę sprwdzić!). Kżd z jednowymirowych komórek,, c, d jest w wynikowej przestrzeni okręgiem, ztem stnowią one genertory grupy podstwowej π 1 (S 3 \ K). Tk jk poprzednio, wypiszemy relcje zchodzące w tej grupie: 12
6 B ścin górn RT S: cd 1 = 1, ścin przedni QT RP : 1 c 1 = 1, ścin lew SP R ( tkże prw QT S): cd = 1, R c d S C c d T ścin tyln SP Q: d 1 = 1. Z pierwszej relcji mmy c = 1 d, zś z drugiej = 1 c = 1 1 d = 2 d. Trzeci relcj przyjmuje postć 1 = cd = 2 d 1 dd = 2 d 3, A Rys. 7 P Q D ztem 2 = d 3. Osttni relcj okzuje się wynikć z poprzednich, o mmy: 1 = d 1 = 2 dd 1 = 2 d 2 d 1 = 2 dd 3 d 1 = 2 d 3 = 1. Osttecznie więc poszukiwn grup podstwow jest generown przez dw elementy, d z jedną relcją 2 = d 3 : π 1 (P 3 (S 1 ) \ P 1 (S 1 )) =, d 2 = d 3. T grup jest dorze znn. Jest to tk zwn grup wrkoczy o 3 psmch. Z pierwszych stron podręczników o teorii węzłów dowiemy się, że włśnie tką grupę m trójlistnik (ogólnie w grupie kżdego (p, q)-węzł torusowego zchodzi jedyn relcj x p = y q ). Czy stąd już wynik, że nsz węzeł jest trójlistnikiem? W ogólności sprw jest deliktn, poniewż dw różne węzły mogą mieć tkie sme grupy (znne są jwne przykłdy tkich pr). Tym rzem jednk mmy szczęście, poniewż trójlistnik, tkże kżdy (p, q)-węzeł torusowy, jest jednozncznie wyznczony przez swoją grupę, co pokzli w pełnej ogólności Burde i Zieschng. Twierdzenie jest ztem udowodnione. N tym kończy się t opowieść, w której rozcinliśmy i sklejliśmy dwuwymirowe powierzchnie, spotkliśmy wstęgę Möius, nuczyliśmy się oliczć grupę podstwową przestrzeni, skonstruowliśmy nietypowy model sfery S 3, zstosowliśmy Hipotezę Poincrégo, rysowliśmy węzły n torusie, n koniec poznliśmy i oliczyliśmy teoriogrupowy niezmiennik węzł. A wszystko to wzięło się z niepozornie wyglądjącego prolemu. N koniec podsumujmy nsze osiągnięci w postci twierdzeni. Twierdzenie (Borsuk-Bott-Czytelnik-Mostovoy). Przestrzeń co njwyżej trójelementowych podziorów okręgu, P 3 (S 1 ), jest topologicznie równowżn ze sferą trójwymirową S 3. Podprzestrzeń P 1 (S 1 ) jest w niej zwrt jko trójlistnik przestrzeń P 2 (S 1 ) jko wstęg Möius, której rzegiem jest ten trójlistnik. Apropos, jk wygląd wstęg Möius, której rzegiem jest trójlistnik? Podziękowni Artykuł powstł przy wsprciu Centre for Discrete Mthemtics nd its Applictions (EPSRC grnt EP/D063191/1). Litertur [1] K. Borsuk, On the third symmetric potency of the circumference, Fund. Mth. 36 (1949) , [2] R. Bott, On the third symmetric potency of S 1, Fund. Mth. 39 (1952) , [3] J. Mostovoy, Lttices in C nd Finite Susets of Circle, Amer. Mth. Monthly 111 (2004), no. 4,
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
Mteriły do wykłdu MATEMATYKA DYSKRETNA dl studiów zocznych cz. Progrm wykłdu: KOMBINATORYKA:. Notcj i podstwowe pojęci. Zlicznie funkcji. Permutcje. Podziory zioru. Podziory k-elementowe. Ziory z powtórzenimi
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoLaura Opalska. Klasa 1. Gimnazjum nr 1 z Oddziałami Integracyjnym i Sportowymi im. Bł. Salomei w Skale
Trójkąt Pscl od kuchni Kls 1 Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnym i Sportowymi im. Bł. Slomei w Skle ul. Ks.St.Połetk 32 32-043 Skł Gimnzjum nr 1 z Oddziłmi Integrcyjnymi i Sportowymi im. Bł. Slomei w
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc i scemt ocenini zdń otwrtc Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętc 4 7 9 0 4 7 9 0 D D D Scemt ocenini zdń otwrtc Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x x 0 Oliczm wróżnik i miejsc
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoWprowadzenie: Do czego służą wektory?
Wprowdzenie: Do czego służą wektory? Mp połączeń smolotowych Isiget pokzuje skąd smoloty wyltują i dokąd doltują; pokzne jest to z pomocą strzłek strzłki te pokzują przemieszczenie: skąd dokąd jest dny
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoDZIAŁ 2. Figury geometryczne
1 kl. 6, Scenriusz lekcji Pole powierzchni bryły DZAŁ 2. Figury geometryczne Temt w podręczniku: Pole powierzchni bryły Temt jest przeznczony do relizcji podczs 2 godzin lekcyjnych. Zostł zplnowny jko
Bardziej szczegółowoAlgorytmy graficzne. Filtry wektorowe. Filtracja obrazów kolorowych
Algorytmy grficzne Filtry wektorowe. Filtrcj orzów kolorowych Filtrcj orzów kolorowych Metody filtrcji orzów kolorowych możn podzielić n dwie podstwowe klsy: Metody komponentowe (component-wise). Cechą
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowoZnajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej
Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?
INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowobezkontekstowa generujac X 010 0X0.
1. Npisz grmtyke ezkontekstow generujc jezyk : L 1 = { 0 i 10 j 10 p : i, j, p > 0, i + j = p } Odpowiedź. Grmtyk wygląd tk: Nieterminlem strtowym jest S. S 01X0 0S0 X 010 0X0. Nieterminl X generuje słow
Bardziej szczegółowoZadanie 5. Kratownica statycznie wyznaczalna.
dnie 5. Krtownic sttycznie wyznczln. Wyznczyć wrtości sił w prętch krtownicy sttycznie wyznczlnej przedstwionej n Rys.1: ). metodą nlitycznego równowżeni węzłów, ). metodą gricznego równowżeni węzłów;
Bardziej szczegółowoO RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI
ZESZYTY NAUKOWE 7-45 Zenon GNIAZDOWSKI O RELACJACH MIĘDZY GRUPĄ OBROTÓW, A GRUPĄ PERMUTACJI Streszczenie W prcy omówiono grupę permutcji osi krtezjńskiego ukłdu odniesieni reprezentowną przez mcierze permutcji,
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE. Są więc takie same. Trzeba jeszcze pokazać, że wynoszą one 2b, gdyż taka jest długość krawędzi dwudziestościanu.
ZADANIA OTWARTE ZADANIE 1 DWUDZIESTOŚCIAN FOREMNY Wiemy, że z trzech złotych prostokątów możn skonstruowć dwudziestościn foremny. Wystrczy wykzć, że długości boków trójkąt ABC n rysunku obok są równe.
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoGrażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH
Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 marca 2010 r. Część I Matematyka finansowa
Mtemtyk finnsow 15.0.010 r. Komisj Egzmincyjn dl Akturiuszy LII Egzmin dl Akturiuszy z 15 mrc 010 r. Część I Mtemtyk finnsow WERSJA TESTU A Imię i nzwisko osoy egzminownej:... Czs egzminu: 100 minut 1
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych
Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych i schemt ocenini zdń otwrtych Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 D D D Schemt ocenini zdń otwrtych Zdnie (pkt) Rozwiąż nierówność x + x+ 0
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w 1. Lizy,, spełniją wrunki: (1) ++ = 0, 1 () + + 1 + + 1 + = 1 4. Olizyć wrtość wyrżeni w = + + Rozwiąznie Stowrzyszenie n rzez Edukji Mtemtyznej Zestw 7 szkie rozwizń
Bardziej szczegółowo4.3. Przekształcenia automatów skończonych
4.3. Przeksztłceni utomtów skończonych Konstrukcj utomtu skończonego (niedeterministycznego) n podstwie wyrżeni regulrnego (lgorytm Thompson). Wejście: wyrżenie regulrne r nd lfetem T Wyjście : utomt skończony
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II TAK
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II TAK 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoWartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.
Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli
Bardziej szczegółowoPEWNIK DEDEKINDA i jego najprostsze konsekwencje
PEWNIK DEDEKINDA i jego njprostsze konsekwencje W rozdzile ósmym stwierdziliśmy, że z podnych tm pewników nie wynik istnienie pierwistków z liczb rzeczywistych. Uzupe lnimy terz liste pewników jeszcze
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową
Bardziej szczegółowoMetoda kropli wosku Renferta
Metod kropli wosku Renfert Metod Renfert zwn jest tkże techniką K+B. Jej podstwowym złożeniem jest dążenie do prwidłowego odtworzeni powierzchni żujących zęów ocznych podczs rtykulcji. Celem jest uzysknie
Bardziej szczegółowoPrzechadzka Bajtusia - omówienie zadania
Wprowdzenie Rozwiąznie Rozwiąznie wzorcowe Przechdzk Bjtusi - omówienie zdni Komisj Regulminow XVI Olimpidy Informtycznej 1 UMK Toruń 11 luty 2009 1 Niniejsz prezentcj zwier mteriły dostrczone przez Komitet
Bardziej szczegółowoProgramy współbieżne
Specyfikownie i weryfikownie Progrmy współieżne Mrek A. Bednrczyk, www.ipipn.gd.pl Litertur wiele prc dostępnych w Sieci np.: http://www.wikipedi.org/ Specyfikownie i weryfikcj progrmy współieżne PJP Prosty
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoPrzekształcenia automatów skończonych
Przeksztłceni utomtów skończonych Teori utomtów i języków formlnych Dr inŝ. Jnusz Mjewski Ktedr Informtyki Konstrukcj utomtu skończonego n podstwie wyrŝeni regulrnego (lgorytm Thompson) Wejście: wyrŝenie
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoWspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad
Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoLista 4 Deterministyczne i niedeterministyczne automaty
Uniwersytet Zielonogórski Instytut Sterowni i Systemów Informtycznych Teoretyczne Podstwy Informtyki List 4 Deterministyczne i niedeterministyczne utomty Wprowdzenie Automt skończony jest modelem mtemtycznym
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoAlgebra Boola i podstawy systemów liczbowych. Ćwiczenia z Teorii Układów Logicznych, dr inż. Ernest Jamro. 1. System dwójkowy reprezentacja binarna
lger Bool i podstwy systemów liczowych. Ćwiczeni z Teorii Ukłdów Logicznych, dr inż. Ernest Jmro. System dwójkowy reprezentcj inrn Ukłdy logiczne operują tylko n dwóch stnch ozncznymi jko zero (stn npięci
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania z matematyki wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy) Klasa II LO
I Postnowieni ogólne Przedmiotowy system ocenini z mtemtyki wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Kls II LO 1. Wrunkiem uzyskni pozytywnej oceny semestrlnej z mtemtyki jest: ) zliczenie
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia z geometrii płaszczyzny. Danuta Zaremba
Wybrne zgdnieni z geometrii płszczyzny Dnut Zremb Wstęp Publikcj t powstł z myślą o studentch, którzy chcą zdobyć uprwnieni do nuczni mtemtyki w szkole. Zwier on nieco podstwowych widomości z geometrii
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź
Bardziej szczegółowoWYZNACZNIKI. . Gdybyśmy rozważali układ dwóch równań liniowych, powiedzmy: Takie układy w matematyce nazywa się macierzami. Przyjmijmy definicję:
YZNACZNIKI Do opisu pewnh oiektów nie wstrz użć liz. ie n przkłd, że do opisni sił nleż użć wektor. Sił to przeież nie tlko wielkość le i jej punkt przłożeni, zwrot orz kierunek dziłni. Zte jedną lizą
Bardziej szczegółowoCzęść 2 7. METODA MIESZANA 1 7. METODA MIESZANA
Część 2 7. METODA MIESZANA 7. 7. METODA MIESZANA Metod mieszn poleg n jednoczesnym wykorzystniu metody sił i metody przemieszczeń przy rozwiązywniu ukłdów sttycznie niewyznczlnych. Nwiązuje on do twierdzeni
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki
Wymgni edukcyjne z mtemtyki LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCE Kls II Poniżej przedstwiony zostł podził wymgń edukcyjnych n poszczególne oceny. Wiedz i umiejętności konieczne do opnowni (K) to zgdnieni, które są
Bardziej szczegółowoSTYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI
STYLE. TWORZENIE SPISÓW TREŚCI Ćwiczenie 1 Tworzenie nowego stylu n bzie istniejącego 1. Formtujemy jeden kpit tekstu i zznczmy go (stnowi on wzorzec). 2. Wybiermy Nrzędzi główne, rozwijmy okno Style (lub
Bardziej szczegółowo4.6. Gramatyki regularne
4.6. Grmtyki regulrne G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie liniową, jeśli jej produkcje mją postć: ( i) U xv x T * U,V N ( ii) U x G = < N,T,P,Z > jest grmtyką prwostronnie regulrną, jeśli jej produkcje
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?
Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia
1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej
Bardziej szczegółowoPlanimetria czworokąty
Plnimetri czworokąty Emili Ruszczyk kl. II, I LO im. Stefn Żeromskiego w Ełku pod kierunkiem Grżyny iernot-lendo Klsyfikcj czworokątów zworokąty dzielą się n niewypukłe i wypukłe, wypukłe n trpezy i trpezoidy,
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY. Model odpowiedzi i schematy punktowania
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów orz oddziłów gimnzjlnych województw mzowieckiego w roku szkolnym 2018/2019 Model odpowiedzi i schemty punktowni Z kżde poprwne i pełne rozwiąznie, inne niż przewidzine
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowo4.2. Automat skończony
4.2. Automt skończony Przykłd: Rozwżmy język nd lfetem inrnym T = {0, } skłdjący się z łńcuchów zero-jedynkowych o tej włsności, że licz zer w kżdym łńcuchu jest przyst i licz jedynek w kżdym łńcuchu też
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
Mtemtyk Poziom podstwowy zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom podstwowy rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1 Uzsdnij, że pole romu o przekątnych p i q wyrż się wzorem P = 1 pq Rozwiąznie: Przyjmij
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp... 4
pis treści Wstęp... 4 Zdni mturlne......................................................... 5 1. Funkcj kwdrtow... 5. Wielominy... 7. Trygonometri... 9 4. Wrtość bezwzględn... 11 5. Plnimetri... 15 6.
Bardziej szczegółowoO PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH
DECYZJE nr 1 czerwiec 2004 37 O PEWNYCH MODELACH DECYZJI FINANSOWYCH Krzysztof Jjug Akdemi Ekonomiczn we Wrocłwiu Wprowdzenie modele teorii finnsów Teori finnsów, zwn również ekonomią finnsową, jest jednym
Bardziej szczegółowoOd lewej: piramida Chefrena, Wielki Sfinks, piramida Cheopsa.
1. Pirmidiotologi. W obfitej literturze przedmiotu podje się, że pirmid Ceops, lub też z ngielsk Wielk Pirmid (te Gret Pyrmid), zwier w swej konstrukcji pełną i szczegółową istorię rodzju ludzkiego od
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowoWektory [ ] Oczywiście wektor w przestrzeni trójwymiarowej wektor będzie miał trzy współrzędne. B (x B. , y B. α A (x A, y A ) to jest wektor
Wektor N fizce w szkole średniej spotkcie się z dwom tpmi wielkości fizcznch. Jedne z nich, np. ms, tempertur, łdunek elektrczn są opiswne przez jedną liczę; te nzwm wielkościmi sklrnmi, w skrócie - sklrmi.
Bardziej szczegółowoFizyka. Kurs przygotowawczy. na studia inżynierskie. mgr Kamila Haule
Fizyk Kurs przygotowwczy n studi inżynierskie mgr Kmil Hule Dzień 3 Lbortorium Pomir dlczego mierzymy? Pomir jest nieodłączną częścią nuki. Stopień znjomości rzeczy często wiąże się ze sposobem ich pomiru.
Bardziej szczegółowoZbiory rozmyte. Teoria i zastosowania we wnioskowaniu aproksymacyjnym
Zior rozmte Teori i zstosowni we wniosowniu prosmcjnm PODSTWOWE POJĘCI Motwcje Potrze opisni zjwis i pojęć wielozncznch i niepreczjnch użwnch swoodnie w jęzu nturlnm np. wso tempertur młod człowie średni
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA W SZTUCE. Maswerki gotyckie w Kolonii
GEOMETRIA W SZTUCE Mswerki gotyckie w Kolonii WSTĘP T oto broszurk jest dziełem uczniów trzeciej klsy Gimnzjum Przymierz Rodzin im. Jn Pwł II. Nsz grup, prowdzon przez prof. Wojciech Guzickiego i mgr
Bardziej szczegółowoKOMPENDIUM MATURZYSTY Matematyka poziom podstawowy
KOMPENDIUM MATURZYSTY Mtemtyk poziom podstwowy Publikcj dystrybuown bezpłtnie Dostępn n stronie: Kompendium do pobrni n stronie: SPIS TREŚCI. Potęgi i pierwistki... W tym:. Wykorzystnie wzorów;. Przeksztłcnie
Bardziej szczegółowoPlanimetria VII. Wymagania egzaminacyjne:
Wymagania egzaminacyjne: a) korzysta ze związków między kątem środkowym, kątem wpisanym i kątem między styczną a cięciwą okręgu, b) wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach, w tym umieszczonych
Bardziej szczegółowoZastosowanie multimetrów cyfrowych do pomiaru podstawowych wielkości elektrycznych
Zstosownie multimetrów cyfrowych do pomiru podstwowych wielkości elektrycznych Cel ćwiczeni Celem ćwiczeni jest zpoznnie się z możliwościmi pomirowymi współczesnych multimetrów cyfrowych orz sposobmi wykorzystni
Bardziej szczegółowoTwoje zdrowie -isamopoczucie
Twoje zdrowie -ismopoczucie Kidney Disese nd Qulity of Life (KDQOL-SF ) Poniższ nkiet zwier pytni dotyczące Pn/Pni opinii o włsnym zdrowiu. Informcje te pozwolą nm zorientowć się, jkie jest Pn/Pni smopoczucie
Bardziej szczegółowo5. Zadania tekstowe.
5. Zni tekstowe. Przykł. Kolrz połowę rogi pokonł ze śrenią prękością 0 km/, rugą połowę z prękością 50 km /. Wyzncz śrenią prękość kolrz n cłej trsie. nliz : pierwsz połow rogi rug połow rogi 0 km/ prękość
Bardziej szczegółowoPrace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)
Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.
Bardziej szczegółowo