O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a n, b są liczbami, a x, x 2,, x n są zmiennymi (niewiadomymi), nazywamy równaniem liniowym Rozważać będziemy układy równań liniowych postaci a x + a x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 (2) a m x + a m2 x 2 + + a mn x n = b m Sposoby rozwiązywania układów równań liniowych zamiana miejscami dwóch równań w układzie dodanie do jednego równania iloczynu liczby i innego równania pomnożenie równania stronami przez liczbę różną od zera Definicja Macierzą układu (2) nazywamy tablicę a a a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn utworzoną ze współczynników a ij, i {, m}, j {, n} Kolumną wyrazów wolnych nazywamy b b 2 b = b m ()
Macierzą rozszerzoną układu (2) nazywamy tablicę A m = a a a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn Układ równań (2) nazywamy jednorodnym, gdy wszystkie wyrazy wolne b i, i {,, m} są równe 0 W przeciwnym wypadku układ nazywamy niejednorodnym Metoda eliminacji Gaussa-Jordana Eliminacja w dół (a) Znajdujemy równanie, w którym pierwsza od lewej niewiadoma ma niezerowy współczynnik i ustawiamy je jako pierwsze równanie, (b) Mnożymy to równanie przez taki element, by rozważana niewiadoma miała współczynnik równy (jest to tzw jedynka wiodąca), b b 2 b m (c) Eliminujemy tę niewiadomą z wszystkich kolejnych równań, (d) Postępujemy analogicznie (powtarzając kroki (a)-(c)) z kolejnymi niewiadomymi; Wynikiem eliminacji w dół jest tzw układ zredukowany 2 Eliminacja w górę Rozpoczynając od ostatniego równania eliminujemy niewiadome z kolejnych równań Wynikiem eliminacji w górę jest tzw układ całkowicie zredukowany Przykłady 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = 2
2 2 5 8 4 3 2 3 5 W 4 :W 4 2W 8 7 0 4 0 2 3 0 0 0 0 2 0 0 4 W W 4 0 2 0 3 0 6 0 0 2 4 8 0 0 0 0 0 0 0 4 3 2 3 5 2 5 8 3 7 6 W 2 W 4 W 3 : 2 W 3 W 4 : 4 W 4 2 7 8 W 2 :W 2 3W 4 W 3 :W 3 W W 2 :W 2 4W W 3 :W 3 2W 0 0 2 3 0 4 0 0 0 0 0 W :W 8W 2 W 4 :W 4 W 3 0 4 0 2 3 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Otrzymujemy rozwiązanie: x = 3, y = 2, z = 3x 5y + 2z + 4t = 2 7x 4y + z + 3t = 5 5x + 7y 4z 6t = 3 0 0 3 2 0 0 2 0 3 2 5 8 6 W 3 :W 3 +2W 2 W 4 :W 4 4W 2 W :W +7W 3 W 2 :W 2 +W 3 3 7 8 W 4 :W 4 6W 3 3 (układ sprzeczny) x x 2 + 2x 5 + 3x 7 = 0 2x 2x 2 + x 3 + x 5 + 2x 6 + 4x 7 = 0 2x + 2x 2 x 3 + 2x 4 3x 5 4x 6 0x 7 = 0 x x 2 + x 3 x 4 + 4x 5 + 3x 6 + x 7 = 0 3
Po przekształceniach otrzymujemy: x = x 2 2x 5 3x 7 x 3 = 5x 5 2x 6 8x 7 x 4 = 3x 5 + x 6 2x 7 Niewiadome x, x 3, x 4 nazywamy niewiadomymi bazowymi, a niewiadome x 2, x 5, x 6, x 7 nazywamy parametrami (niewiadomymi, przez które wyznacza się niewiadome bazowe) Definicja Rzędem macierzy A nazywamy liczbę jedynek wiodących w dowolnej postaci zredukowanej macierzy A (Oznaczenie: r(a)) Uwaga Niech A będzie macierzą o m wierszach i n kolumnach Wówczas r(a) min{m, n} Twierdzenie Kroneckera-Capellego Niech A będzie macierzą układu równań liniowych, a A m będzie macierzą rozszerzoną tego układu Wówczas układ ten ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy r(a) = r(a m ) Sprawdzić działanie tego twierdzenia na przykładach,2,3 Działania na macierzach Oznaczenie Piszemy A M m,n (R), jeśli A jest macierzą o m wierszach, n kolumnach i współczynnikach ze zbioru R Dodawanie macierzy Niech A, B M m,n (R) a a a n a 2 a 22 a 2n, B = b b b n b 2 b 22 b 2n a m a m2 a mn b m b m2 b mn 4
Wówczas A + B M m,n (R) definiujemy następująco: A + B = a + b a + b a n + b n a 2 + b 2 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a m + b m a m2 + b m2 a mn + b mn Elementem neutralnym dodawania macierzy jest macierz zerowa 0 m,n M m,n (R) (o wszystkich współczynnikach równych zero) Mnożenie macierzy przez skalar Niech A M m,n (R), α R Wówczas αa M m,n (R) definiujemy następująco: α αa αa αa n αa 2 αa 22 αa 2n αa m αa m2 αa mn Mnożenie macierzy Niech A M m,n (R), B M n,k (R) Wówczas iloczyn AB M m,k (R) macierzy A i B definiujemy następująco: AB = a a a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn b b b k b 2 b 22 b 2k b n b n2 b nk = c c c k c 2 c 22 c 2k c m c m2 c mk gdzie Przykład 2 0 0 3 2 0 0 n c ij = a is b sj s= 5 0 2 2 3 = 2 8 6 5
Elementem neutralnym mnożenia macierzy jest macierz jednostkowa I 0 0 0 0 I = 0 0 A M m,n (R), I M n,n (R) A I = A Zauważmy, że mnożenie macierzy nie jest przemienne: Własności [ 0 0 ], B = [ 0 [ ] [ ] [ ] 0 0 AB = = 0 0 [ ] [ ] [ ] 0 B = 0 0 0 (aa) B = A (ab) = a(ab) dla a R, A M m,n (R), B M n,k (R) Rozdzielność mnożenia względem dodawania: A (B + C) = AB + AC dla A M m,n (R), B, C M n,k (R) (B + C) BA + CA dla B, C M m,n (R), A M n,k (R) Łączność mnożenia macierzy: A(BC) = (AB)C dla A M m,n (R), B M n,k (R), C M k,l (R) Wyznaczniki macierzy Macierzą kwadratową stopnia n nazywamy macierz o n wierszach i n kolumnach Każdej macierzy kwadratowej możmy przyporządkować liczbę zwaną wyznacznikiem macierzy (oznaczenie: det A) ] 6
Jak obliczyć wyznacznik? Dla macierzy kwadratowej stopnia 2: a a a 2 a 22 = a a 22 a a 2 np [ 5 6 ] det 5 6 = 30 = 2 2 Dla macierzy kwadratowej stopnia 3 (reguła Sarrusa) a a a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 = a a 22 a 33 +a 2 a 32 a 3 +a 3 a a 23 a 3 a 22 a 3 a 23 a 32 a a 33 a a 2 Dopisujemy u dołu macierzy jej dwa pierwsze wiersze Dodajemy iloczyny współrzędnych znajdujących się na trzech przekątnych w kierunku, a następnie odejmujemy iloczyny współrzędnych znajdujących się na trzech przekątnych w kierunku np det 4 2 8 3 5 7 4 2 0 4 2 8 3 5 7 4 2 0 = 4 5 0+3 2 8+4 2 7 8 5 4 7 2 4 0 2 3 = = 0 + 48 + 56 60 56 0 = 3 Rozwinięcie Laplace a Regułę zaprezentujemy na przykładach: 2 0 2 3 0 0 4 2 0 0 3 Wybieramy kolumnę lub wiersz z największą ilością zer Niech będzie to ostatni wiersz 7
(a) Skreślamy czwarty i pierwszą kolumnę (b) Liczymy wyznacznik powstałej macierzy stopnia 3 i mnożymy go przez wyraz znajdujący się na przecięciu czwartego wiersza i pierwszej kolumny (w naszym wypadku 2) oraz w potędze 4 + (c) Podobnie postępujemy z drugą, trzecią i czwartą kolumną (d) Sumujemy otrzymane liczby A M n,n (R) n det(a) = ( ) i+s a is det(a is ) i= rozwinięcie Laplace a dla kolumn n det(a) = ( ) i+s a si det(a si ) i= rozwinięcie Laplace a dla wierszy gdzie A is jest macierzą powstałą przez skreślenie i-tego wiersza i s-tej kolumny Rozwinięcie Laplace a względem czwartego wiersza: 2 0 2 3 0 0 4 2 0 0 3 +0 ( ) 4+3 = 2 ( ) 4+ = 2 2 2 3 0 0 2 0 3 0 4 2 0 3 0 4 +0 ( ) 4+2 + ( 3) ( ) 4+4 3 2 0 2 3 0 4 2 0 2 3 0 4 = 0 2 0 0 4 = = 2(2 ( )+3 4 ( )+ 0 0 ( ) 4 0 2 ( ) 3 0) 3( 3 4 + 2 0 + 0 2 0 3 0 4 2 2) = = 2( 2 + ) 3( 6) = 26 + 5 = 4 + 8
Rozwinięcie Laplace a względem drugiej kolumny: 0 5 2 2 0 3 2 3 3 0 7 = ( ) 2+ 3 7 = 5 0 4 0 6 5 4 0 6 0 0 4 3 0 0 0 4 3 = 4 ( ) 4+3 2 3 3 5 4 6 3 ( ) 4+4 2 3 3 7 5 4 0 = = 4(++5 5+8+54)+3(+05 5+56) = 4 6+3 68 = 888 Własności wyznacznika Niech a a a n a 2 a 22 a 2n M n,n(r) a n a n2 a nn Jeśli macierz A ma wiersz (kolumnę) złożony z samych zer, to det 0 2 Dla każdego c R i dla każdego j n mamy: det (Podobnie dla wierszy) a ca j a n a 2 ca 2j a 2n a n ca nj a nn = c det A 3 Jeśli macierze B, C M n,n (R) różnią się od macierzy A tylko j-tą kolumną i mają postać: B = a b j a n a 2 b 2j a 2n a n b nj a nn, C = to det C = det A + det B (podobnie dla wierszy) a a j + b j a n a 2 a 2j + b 2j a 2n a n a nj + b nj a nn
4 Jeśli macierz A ma dwie identyczne kolumny (wiersze), to det 0 5 Zamiana miejscami dwóch kolumn (wierszy) macierzy powoduje, że znak wyznacznika zmienia się na przeciwny 6 Jeśli jedna kolumna (wiersz) macierzy A jest wielokrotnością innej kolumny (wiersza), to det 0 7 Jeśli do jednej kolumny (wiersza) macierzy A dodamy wielokrotność innej kolumny (wiersza), to wyznacznik nie ulegnie zmianie 8 Jeśli A, B M n,n (R), to det(ab) = det A det B Zadania Obliczyć wyznacznik: 5 3 5 4 3 2 8 7 3 8 3 4 2 4 7 8 3 3 5 odpowiedź : 747 2 Obliczyć wyznacznik: 3456780345678202 34567803456782022 34567803456782020 3456780345678202 odpowiedź: 3 Oblicyć wyznacznik: 2005 2006 2007 2008 2006 2007 2005 2006 2005 2005 2005 2003 2005 2004 2002 2003 odpowiedź : 36088 4 Liczby 20604, 53227, 25755, 2027 i 28 są podzielne przez 7 Wykazać, że wyznacznik: 2 0 6 0 4 5 3 2 2 7 2 5 7 5 5 także jest podzielny przez 7 2 0 2 7 0 0 2 8 0