1 Zbiory i funkcje Prolog-zależności funkcyjne w naukach przyrodniczych Rozwój algebry i analiza matematycznej w 16 i 17 wieku: -opis zjawisk takich jak: ruch jednostajnie przyśpieszony; Droga s, jaką przemierzy kulka ołowiana upuszczona z wysokiej wieży po czasie t: s = gt2 2, gdzie g = 9,81 m s 2 ; eliptyczne trajektorie ruch planet; 1
opis zależności wychylenia wahadła od czasu przy małym kącie wychylenia- wykorzysując funkcje trygonometryczne- sinus lub cosinus. Czy można metody matematyczne z równym powodzeniem zastosować do opisu np. zależności pomiędzy temperaturą ciała a pulsem u zdrowych ludzi? 2
Przykład. W zbiorze normtemp.dat zapisano wyniki 130 pomiarów temperatury i pulsu u zdrowych osób. Dane te są przedstawione graficznie na wykresie ("wykresie rozproszenia tych danych"). Do tej chmury punktów "dopasowano" prostą puls = 166.2847 + 2.4432 temp - wg. zasady najmiejszych kwadratów. Czy uzasadniony wniosek o istotności (statystycznej) tej zależności funkcyjnej? 3
97 98 99 100 60 65 70 75 80 85 90 temp puls 4
1.1 Program wykładu 1.1.1 Tematyka wykładów 1. Elementy analizy -pojęcie funkcji; pojęcie ciągu; ciągłość funkcji; pochodna funkcji; całka oznaczona z funkcji przedziałami ciągłej; całka nieoznaczona; twierdzenie Newtona-Leibniza; zastosowania twierdzenia Newtona-Leibniza w fizyce; całka niewłaściwa i definicja dystrybuanty rozkładu normalnego. 2. Elementy statystyki -pojęcie zmiennej losowej; rozkład zmiennej losowej; zmienne losowe dyskretne; zmienne losowe typu ciągłego; wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej; pojęcie populacji; losowa próba prosta; estymacja parametrów w rozkładzie normalnym; testowanie hipotez- porównanie średniej z "normą", porówanie średnich 2 populacji normalnych; analiza regresji. 5
3. Funkcje wielu zmiennych -pochodna cząstkowa, pochodna kierunkowa, całka wielokrotna, układy równań liniowych, pojęcie macierzy. 1.1.2 Polecana literatura Książka D. i M. Zakrzewskich [4] zawiera przystępny wykład pojęć: funkcji, ciągu, pochodnej. W części "Elementy statystyki" będę nawiązywał do sposobu wykładu zaprezentowanego w książce T. Bednarskiego [1]. Jako lekturę uzupełniającą można polecić podręcznik A. Łomnickiego [2]. Podczas wykładów będą prezentowane obliczenia i wykresy wykonane w środowisku R. Odpowiednie oprogramowanie jest dostępne pod adresem [3]. 6
1.1.3 Kolokwia i zaliczenie Ocena z zaliczenia będzie wystawiona w oparciu o: - punkty z kolokwiów (60 procent); - punkty za aktywność i "wejściówki" (20 procent). - prace zaliczeniowe (20 procent). Literatura [1] Bednarski, T. Elementy matematyki w naukach ekonomicznych. Oficyna ekonomiczna. Kraków 2004. [2] Łomnicki, A. Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników. PWN. Wraszawa 2003. 7
[3] The R Project for Statistical Computing. Strona WWW http://www.r-project.org/ [4] Zakrzewscy, D. i M. Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000. 8
2 Zbiory liczbowe N = {1, 2,...}- zbiór liczb naturalnych; Z = {..., 2, 2, 0, 1, 2,...}- zbiór liczb całkowitych; Q- zbiór liczb wymiernych: Q = { p q : p Z, q N } ; R- zbiór liczb rzeczywistych. Przykłady Liczby rzeczywiste, które nie są wymierne: 2, 3,.... Dla dowolnej liczby wymiernej s liczba rzeczywista 2 + s nie jest jest wymierna. 9
Definicja 1 Przedziałem otwartym (a, b) nazywamy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych x spełniajacych podwójna nierówność a < x < b: Definicja 2 Zbiór nazywamy przedziałem domkniętym. (a, b) = {x R : a < x < b}. [a, b] = {x R : a x b}. Definicja 3 Otoczeniem o promieniu r > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór O(x 0, r) = (x 0 r, x 0 + r). Zbiór O(x 0, ε) nazywany jest często "epsilonowym otoczeniem punktu x 0 ". Definicja 4 Sasiedztwem o promieniu r > 0 punktu x 0 R nazywamy zbiór S(x 0, r) = (x 0 r, x 0 ) (x 0, x 0 + r). 10
2.1 Pewne użyteczne tożsamości 2.1.1 Potęgi sumy Dla dowolnych a, b R spełnione są równości: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 n ( ) n (a + b) n = a n k b k, gdzie k k=0 ( ) n k = n! k!(n k)!. Uwaga. Ostatnia tożsamość (wzór Newtona) może być zapisana bez użycia symbolu sumy "Σ" w następujący sposób: ( ) ( ) ( ) n n n (a + b) n = a n b 0 +... + a n k b k +... + a 0 b n. (1) 0 k n Bardzo przystępnie wzór Newtona (1) jest wyjaśniony w 23.5 książki 11
Zakrzewskich [1]. Informacje nt. symbolu sumy można znaleźć w Dodatku w [?]. 2.1.2 Suma potęg n poczatkowych liczb naturalnych 1 + 2 +... + n = n(n + 1), 2 1 2 + 2 2 +... + n 2 = n(n + 1)(2n + 1), 6 1 3 + 2 3 +... + n 3 = n2 (n + 1) 2. 4 dla sum 4-tych, 5-tych itd. poteg n początkowych liczb naturalnych można znaleźć analogiczne tożsamości por. stronę WWW [?]. 12
3 Funkcje 3.1 Podstawowe pojęcia Definicja 5 (funkcji) Funkcja określona na zbiorze X R o wartościach w zbiorze Y R nazywamy przyporzadkowanie każdemu elementowi x X dokładnie jednego elementu y Y. Funkcję taka oznaczamy f : X Y. Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f(x). Definicja 6 (dziedziny i przeciwdziedziny) Niech f : X Y. Wtedy zbiór X nazywamy dziedzina funcji f i oznaczamy przez D f, a zbiór Y nazywamy zbiorem wartości funkcji f i oznaczamy przez W f. Jeżeli dany jest tylko wzór określajacy funkcję, to zbiór tych elementów z R, dla których wzór ten ma sens, nazywamy dziedzina naturalna funkcji. Definicja 7 (równości funkcji) Mówimy, że dwie funkcje sa sobie równe, jeśli: 13
(i) ich dziedziny sa sobie równe; (ii) dla wszystkich elementów (wspólnej) dziedziny przybieraja równe wartości. Przykłady. (i) funkcje f(x) = 1 + x, g(x) = 1 x2 1 x nie są sobie równeponieważ ich dziedziny naturalne D f i D g nie są sobie równe. (ii) funkcje f(x) = x 2 i g(x) = x 4 są sobie równe. Definicja 8 (wykresu funkcji) Wykresem funkcji f : X Y nazywamy zbiór par uporzadkowanych (x, f(x)) utworzony dla wszystkich x X. Przykład. Dla funkcji f : [ 1, 1] R określonej wzorem f(x) = 1 x 2 wykresem jest "górna połówka okręgu" o środku w początku układu współrzędnych i o promieniu 1 (por. Rys. 2). 14
sqrt(1 x^2) 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 15 x
3.2 Definicje podstawowych funkcji elementarnych W książce Zakrzewskich [1] można znaleźć definicje podstawowych funkcji elementarnych: funkcji liniowej ( 2.3), wielomianu ( 4.1), potęgi ( 6.1), funkcji wykładniczej i wielomianowej, ( 6.1), funkcji trygonometrycznych ( 7.1). 16
Do podstawowych funkcji elementarnych zaliczamy także funkcje cyklometryczne (arc sin, arc cos, itd.). 3.3 Własności funkcji Definicja 9 (funkcji parzystej) Funkcja f : X Y jest parzysta, jeśli ( x X oraz f( x) = f(x)). x X Interpretacja geometryczna: funkcja jest parzysta, gdy oś Oy jest osia symetrii jej wykresu. Definicja 10 (funkcji nieparzystej) Funkcja f : X Y jest nieparzysta, jeśli ( x X oraz f( x) = f(x)). x X 17
Interpretacja graficzna: funkcja jest nieparzysta, jeśli początek układu wspołrzędnych jest środkiem symetrii jej wykresu. Przykłady Funkcje f 1 (x) = cos x, f 2 (x) = cos x + x 2 są parzyste; funkcje f 3 (x) = sin x, f 4 (x) = 2x 3 są nieparzyste. Definicja 11 (funkcji okresowej) Funkcja f : X R jest okresowa, jeśli (x ± T X oraz f(x + T ) = f(x)). T >0 x X Liczbę T nazywamy okresem funkcji f. Jeżeli istnieje najmniejszy okres funkcji f, to nazywamy go okresem podstawowym. Przykład. Funkcje trygonometryczne sinus i kosinus są funkcjami okresowymi. Ich okres podstawowy jest równy 2π (por. Wykres 3). 18
1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 sin cos 19
Definicja 12 Zbiór A R będziemy nazywać: (i) ograniczonym z dołu, jeśli istnieje dla niego ograniczenie dolne, tj. jeśli m x. m R x A (ii) ograniczonym z góry, jeśli istnieje dla niego ograniczenie górne, tj. jeśli M x. M R x A (iii) ograniczonym, jeśli jest ograniczony z góry i z dołu Definicja 13 (funkcji ograniczonej) Funkcja f jest na zbiorze A D f : (i) ograniczona z dołu, jeśli jej zbiór wartości jest ograniczony z dołu: m f(x); m R x A (ii) ograniczona z góry, jeśli jej zbiór wartości jest ograniczony z góry; (iii) ograniczona, jeśli jest zarówno ograniczona z dołu jak i z góry. 20
Przykłady. (i) Funkcja f(x) = 1 x na zbiorze (0, ) jest ograniczona z dołu, ale nie jest ograniczona z góry; (ii) funkcja g(x) = x 2 jest ograniczona na zbiorze [1, 2]. Definicja 14 (funkcji rosnacej) Funkcja f jest rosnaca na zbiorze A D f, jeśli [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) < f(x 2 ))] x 1,x 2 A Definicja 15 (funkcji malejacej) Funkcja f jest malejaca na zbiorze A D f, jeśli [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) > f(x 2 ))] x 1,x 2 A Przykłady (i) Funkcja f(x) = x 2 jest rosnąca na [0, ); (ii) funkcja g(x) = 1 1+2x 2 jest malejąca. 21
Definicja 16 (funkcji niemalejacej) Funkcja f jest niemalejaca na zbiorze A D f, jeśli [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) f(x 2 ))] x 1,x 2 A Definicja 17 (funkcji nierosnacej) Funkcja f jest nierosnaca na zbiorze A D f, jeśli [(x 1 < x 2 ) = (f(x 1 ) f(x 2 ))]. x 1,x 2 A Przykłady (i) Funkcja stała f tożsamościowo równa 3, tj. f(x) 3 na R, jest funkcją zarówno niemalejącą jak i nierosnącą; (ii) funkcja g(x) = x 2 x jest niemalejąca na R; (iii) funkcja g jest nierosnąca na [0, ). 22
Definicja 18 (funkcji monotonicznej) Funkcja f jest monotoniczna na zbiorze A D f, jeśli jest nierosnaca lub niemalejaca na tym zbiorze; funkcję f nazywamy ściśle monotoniczna, jeśli jest malejaca lub rosnaca na tym zbiorze. 23
Złożenie funkcji Definicja 19 Niech X, Y, Y 1, Z będa podzbiorami R, Y 1 Y oraz niech f : X Y, g : Y 1 Z. Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję (g f): X Z określona wzorem: (g f)(x) = g(f(x)) dla x R. 24
Przykłady. (i) Dla f(x) = 2x + 1 i g(x) = 2x (dziedziny D f i D g są równe R) złożenie g f będzie równe funkcji h(x) = 4x + 2, D h = R. (ii) funkcja h(x) = sin(x 2 ) może być wyrażona jako złożenie funkcji f(x) = x 2 i g(x) = sin(x) : h(x) = (g f)(x), D h = R; (iii) złożenie h(x) = g f(x) funkcji g(x) = log 2 (x), gdzie dziedzina D g jest równa zbiorowi liczb dodatnich i f(x) = 2 x, D f = R, jest równa funkcji identycznościowej: h(x) = (g f)(x) = x, D h = R. Uwaga Funkcja g(x) = log 2 (x) jest funkcją odwrotną do funkcji f(x) = 2 x. Krótkie omówienie tego faktu można znaleźć w [1] str. 116 i 117. 25
Funkcje elementarne Definicja 20 Funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: (i) stałe, potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonometryczne, cyklometryczne; (ii) wszystkie funkcje które można otrzymać z funkcji wymienionych w (i) za pomoca skończonej liczby działań arytmetycznych oraz operacji złożenia (wielomiany funkcji wymierne) Przykłady. (i) Funkcja f(x) = x cos x + 1+x 1 x jest funkcją elementarną. (ii) funkcja zdefiniowana przez x, x 0, x = x x < 0, jest funkcją elementarną jest złożeniem h = g f funkcji f(x) = x 2 oraz g(x) = x. 26
Obliczanie wartości funkcji elementarnych i rysowanie ich wykresów przy użyciu pakietu R Pakiet statystyczny R: kalkulator graficzny lub zestaw tablic statystycznych może służyć do obliczania funkcji elementarnych oraz do szkicowania przebiegu tych funkcji 27
Obliczanie wartości funkcji elementarnych w R-rze Potęgę zapisujemy przy pomocy symbolu "^" wielomiany zapisujemy przy pomocy symboli +, oraz symbolu "^" Pierwiastek obliczamy przy pomocy funkcji sqrt(). Przykład wartość funkcji f(x) = x 3 x + 1 dla x = 1,2 można obliczyć wydając polecenie: >x=1.2; xˆ3-sqrt(x)+1 <Enter> 28
Funkcje trygonometryczne Wartości funkcji trygonometrycznych sinus, kosinus i tangens: procedury: sin(), cos() i tan(). Funkcje cyklometryczne arkus sinus, arkus kosinus i arkus tangens: procedury asin(), acos() i atan(). Przykład. Wartość funkcji f(x) = sin(x) + cos(cos(x)) dla x = 1 można obliczyć następująco: >x=1; sin(x)+cos(cos(x)) Wykresy wyżej omawianych funkcji elementarnych można wyświetlić na 29
ekranie monitora, a następnie zapisać do pliku odpowiedniego typu lub wydrukować, korzystając z procedury curve(), należącej do pakietu R. Przykład. Chcemy narysować wykres funkcji f(x) = cos (x 2 ) + 4, D f = ( 2, 2). W tym celu należy wydać polecenie "ze znaku zachęty >" w systemie R: >curve(cos(xˆ2)+4,-2,2) Rezultat jest przedstawiony na rys. 4. Mówiąc nie do końca ściśle, rys. 1 przedstawia wykres funkcji f(x) = cos (x 2 ) + 4 na odcinku [ 2, 2]. 30
cos(x^2) + 4 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 2 1 0 1 2 x Rysunek 4: Wykres funkcji f(x) = cos (x 2 ) + 4 31
Funkcje "trudne" Funkcja curve - użytecznym narzędziem do szkicowania wykresów funkcji, które są dostatecznie "gładkie" Np. szkicowanie wykresu funkcji f(x) = sin(1/x) na odcinku [0, 1] przy uzyciu procedury curve: >curve(sin(1/x),0,1) 32
sin(1/x) 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 33 x
da mizerny wynik. Lepsze wyniki osiągniemy wydając polecenie: >curve(sin(1/x),0,1,n=10001) Pewne funkcje nieelementarne Funkcja E : R Z przyporządkowująca liczbie rzeczywistej x jej część całkowitą: 34
nie jest elementarna. 1, dla 1 x < 0, E(x) = 0, dla 0 x < 1,. 2, dla 2 x < 1, 1, dla 1 x < 2, 2, dla 2 x < 3, Innym przykładem funkcji nieelementarnej jest tzw. funkcja Dirichleta: Definicja 21 Funkcja Dirichleta nazywamy funkcję D : R {0, 1}. 35
określona wzorem: D(x) = 1, x Q, 0, x / Q. Literatura [1] Zakrzewscy, D. i M. Repetytorium z matematyki. Wydawnictwo Szkolne PWN, Warszawa 2000. 36