Dr inż. Michał Chłędowski PODSAWY AUOMAYKI I ROBOYKI LABORAORIUM Ćw. S-II. CHARAKERYSYKI SKOKOWE ELEMENÓW AUOMAYKI Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z pojęciem charakerysyki skokowej h(), prakycznym sposobem jej orzymywania oraz możliwościami wykorzysania do idenyfikacji paramerów badanych elemenów. Dodakowym celem jes zapoznanie się z meodami symulacji działania elemenów auomayki, w ym przypadku poprzez graficzne przedsawianie charakerysyk skokowych wykorzysując programy Malab lub SciLab. Program ćwiczenia 1. Cześć doświadczalna Należy zarejesrować wykresy charakerysyk skokowych rzech ermopar: 1 ermopara ypu J (żelazo-konsanan) w osłonie, ermopara ypu J bez osłony, 3 ermopara lonicza (do pomiaru emperaury głowicy silnika loniczego).. Opracowanie wyników Dla każdej ermopary należy napisać G(s) wyznaczajśc uprzednio z orzymanych wykresów charakerysyk skokowych warości współczynników wysępujących w ych ransformaach, Narysować wykresy charakerysyk skokowych elemenów auomayki opisanych w/w ransformaami korzysając z dosępnego oprogramowania. Przeanalizować wpływ paramerów na przebieg h(). Podsawy eoreyczne Analiza i syneza układów serowania auomaycznego opiera się na wykorzysaniu charakerysyk dynamicznych. Charakerysyki e opisują zachowanie się układu serowania jako całości lub poszczególnych jego elemenów w sanach dynamicznych, j. podczas rwania procesów przejściowych. Rozróżniamy dwa rodzaje charakerysyk dynamicznych: 1) charakerysyki czasowe, 1
) charakerysyki częsoliwościowe. Charakerysyka czasowa Jes o przebieg w czasie odpowiedzi y() układu (elemenu) dynamicznego (rys..1) na określone wymuszenie x(), zwane ypowym wymuszeniem. Rys..1. Ilusracja definicji charakerysyki czasowej W celu badania właściwości dynamicznych elemenów należy rozwiązać równanie różniczkowe lub jakimś pośrednim sposobem przebadać jego rozwiązanie. Możliwe o jes pod warunkiem, że znana jes wielkość wejściowa x() jako funkcja czasu. W warunkach rzeczywisych przy pracy układu serowania wielkość wejściowa każdego elemenu jes właściwie przypadkową funkcją czasu. Dlaego do badania elemenów przyjmuje się kilka ypowych (sandardowych) sygnałów odzwierciedlających różne sany zbioru wejściowych sygnałów przypadkowych. Sygnały wejściowe nazywają się wymuszeniami, a sygnały wyjściowe powsające w wyniku ich oddziaływania - odpowiedzią na e wymuszenia. ypowe wymuszenia przed abela.1. abela.1. ypowe wymuszenia Lp. Nazwa Wykres 1 Skok jednoskowy (funkcja Heaviside'a) x() f() F(s) 1() 1 s 1 a a s a1() 1() Wymuszenie skokowe 3 Funkcja Diraca (wymuszenie impulsowe) 0 () 0 ( ) przy 0 przy 0 F(s) = 1 4 Wymuszenie narasajśce prędkości) liniowo (skok a 5 Wymuszenie paraboliczne (skok przyśpieszenia) a a s x a a a s3
Charakerysyki skokowe Najczęściej sosowanym wymuszeniem jes wymuszenie skokowe. Wymuszenie o osiąga skokowo w chwili = 0 warość a = cons i dalej pozosaje sałe. Znaczy o, że x() = a przy 0 i x() = 0 przy < 0. Częso dla funkcji skokowej używa się oznaczenia x =a 1 Funkcja 1() nazywa się jednoskową funkcją skokową lub króko skokiem jednoskowym. Jeśli ampliuda skoku jes różna od jedności i wynosi a, o akie wymuszenie nazywamy wymuszeniem skokowym (abela.1). Powsawanie skokowego sygnału wejściowego jes bardzo ypowe. W urządzeniach elekrycznych i elekromechanicznych sygnał skokowy oznacza przyłączenie napięcia sałego na wejście elemenu np. napięcia zasilania. W miernikach podanie na zaciski wejściowe mierzonej wielkości oznacza podanie wymuszenia skokowego. W rezulacie akiego wymuszenia miernik przejdzie do nowego sanu równowagi. Proces przechodzenia do nowego sanu równowagi przy wymuszeniu skokowym opisuje się rozwiązaniem równania różniczkowego przy x() = a 1(). Proces en czyli odpowiedź skokowa (lub charakerysyka skokowa) - o odpowiedź elemenu lub układu na skokowe wymuszenie wejściowe. ransformaa Laplace'a wymuszenia skokowego ma posać: 1 a L [a 1 ]=a =. s s Odpowiedzi skokowe podsawowych elemenów auomayki Odpowiedzią y() na wymuszenie x() nazywamy przebieg w czasie wielkości wyjściowej y nasępujący po wprowadzeniu sygnału wejściowego x(). Z definicji ransmiancji m m Y s bm s b m 1 s 1... b o M s G s = = = X s a n s n b n 1 s n 1... a o N s mamy Y s =G s X s = M s X s. N s Ogólnie, odpowiedź y() jes oryginałem ransformay Y(s) Odpowiedź skokowa układu lub elemenu - jes o odpowiedź na funkcję skokową x() = a 1(). Charakeryzuje ona przejście układu z jednego sanu równowagi lub sanu usalonego do drugiego. Jeśli równanie liniowe układu słuszne jes dla małych odchyleń, o wielkość a funkcji skokowej powinna być mała. Dla układów liniowych zwykle przyjmuje się a = 1. Odpowiedź układu na jednoskowe wymuszenie skokowe przyjęo oznaczać jako h(). W celu określenia odpowiedzi skokowej układu lub elemenu liniowego należy rozwiązać równanie niejednorodne układu (parz równanie 1.1 w ćw. 1) przy założeniu, że na wejście podamy wymuszenie skokowe x() = 1(). Wówczas za y() możemy podsawić h() i orzymamy n an n 1 d h d h d h dh +a n 1 n 1 +...+a +a 1 +a o h= n d1() d 1() d m 1() bo 1()+b1 +b +...+b m m Rozwiązanie równania (.1) jes równoważne określeniu oryginału ransmiancji 3 (.1)
1 M s 1 H s =G s = s N s s skąd n h = L 1 [H s ]=c o ci e s (.) i i =1 gdzie: c o= M 0 bo = N 0 a o si - pierwiaski równania charakerysycznego. Wyrażenie (.) jes słuszne ylko wedy, gdy wielomian N(s) nie ma pierwiasków wielokronych ani pierwiaska równego zero. Odpowiedź skokowa h(), charakeryzująca proces usalania wielkości wyjściowej przy n skokowej zmianie wielkości wejściowej składa się z dwóch składowych: co i ci e s i. Druga i=1 składowa przedsawia sobą całkę równania jednorodnego (.1), zn. składową przejściową procesu usalania. Składowa a jes nazywana uchybem dynamicznym. W układzie lub elemencie sabilnym składowa przejściowa dąży do zera z upływem czasu, zn. że n lim c i e s =0 i (.3) i =1 Składowa c o= M 0 bo = o szczególne rozwiązanie równania niejednorodnego N 0 a o (.1), zn. usalona warość wielkości wyjściowej. Do ej warości wielkość wyjściowa dąży w miarę zanikania składowej przejściowej czyli uchybu dynamicznego. Rys..3. Przykładowe charakerysyki skokowe 4
Odpowiedź skokowa w ogólnym przypadku (rys..3) charakeryzuje się czasem regulacji r, wielkością przekroczeń Δh1, Δh i ich liczbą. Δh1 nazywa się przeregulowaniem. Czas regulacji o czas, po upływie kórego odpowiedź skokowa pozosaje w granicach 0.95 co < h() < 1.05 co. Prakycznie można uważać, że w czasie r wielkość wyjściowa osiąga swoją warość usaloną. eoreyczny czas usalania w układzie liniowym dąży do nieskończoności zgodnie z wyrażeniem (.3). Przeregulowanie - o przekroczenie przez wielkość wyjściową swojej warości usalonej w procesie usalania. Przeregulowania zwykle są określane jako odchylenia procenowe od warości co i w ej posaci oznaczane jako χ. Rozparzymy odpowiedzi skokowe podsawowych członów przyjmując wymuszenie skokowe o ampliudzie równej a ( x()=a1()). Człon wzmacniający Odpowiedź skokowa członu wzmacniającego h =k a 1 przedsawia sobą funkcją skokową zwiększoną k razy w sosunku do wejściowej. Człon o sałym opóźnieniu τ Odpowiedź skokowa będzie funkcją skokową przesunięą wzdłuż osi czasu o wielkość τ, zn. h =k 1 a 1 Rys..4. Charakerysyka skokowa członu wzmacniającego (proporcjonalnego) i członu wzmacniającego z opóźnieniem Człon inercyjny ransmiancja i wzór na charakerysykę skokową elemenu inercyjnego I-go rzędu mają posać s k s = ; x s 1 k =ka 1 e s 1 s G s = y h = L 1 [ ] Odpowiedź skokową członu można orzymać niejednorodnego opisującego człon inercyjny (.5). dh h =k a 1 (.4) akże z rozwiązania równania (.5) Odpowiedź skokowa posiada dwie składowe: ka i - ka e-/. Druga składowa o całka 5
jednorodnego równania (.5), zn. składowa przejściowa procesu usalania (uchyb dynamiczny). Jak widać, uchyb dynamiczny zmniejsza się z upływem czasu według zależności wykładniczej. Składowa ka jes rozwiązaniem szczególnym równania pełnego (.5). Przedsawia ona warość usaloną, do kórej dąży wielkość wyjściowa w miarę zanikania składowej przejściowej. Zauważmy, że rozwiązanie równania (.5) we współrzędnych h i jes funkcją wykładniczą. Na rys..5 przedsawiono krzywe h() dla rzech warości (1 < < 3 ). Jak widać z krzywych, czas rwania procesu przejściowego (usalenia wielkości wyjściowej) jes ym mniejszy, im mniejsza jes sała czasowa. Przy = 0 funkcja wykładnicza zamienia się w funkcją skokową ka1(), a człon inercyjny saje się członem wzmacniającym. Odpowiedź skokowa członu inercyjnego nie ma przeregulowania, a czas regulacji równy jes w przybliżeniu 3 4 sałym czasowym, zn. r =3 4. Rys..5. Odpowiedzi skokowe członu inercyjnego przy rożnych sałych czasowych Rys..6. Sposoby wyznaczania sałej czasowej z wykresu charakerysyki skokowej członu inercyjnego 6
Odpowiedź skokową elemenu inercyjnego (jak i innych) można orzymać eksperymenalnie przykładając na wejście rzeczywisego elemenu inercyjnego sygnał skokowy. Zarejesrowany przebieg zmian wielkości wyjściowej będzie właśnie odpowiedzią skokową. Z zapisu eksperymenalnego h() można określić paramery k i odpowiedzi skokowej. W celu określenia przeprowadza się syczną do h() przy = 0 (rys..6). Syczna a odcina na asympocie krzywej wykładniczej (prosa ka) sałą czasową. Jeżeli począek procesu na zapisie (oscylogramie) rudno jes usalić, o syczną można poprowadzić z dowolnego punku krzywej wykładniczej przenosząc w en punk począek układu współrzędnych. Człon całkujący Równanie członu ca_kującego przy wymuszeniu skokowym x() = a1() ma posać dy =ka 1 (.6) Odpowiedź skokowa opisana jes wzorem h = ka=ka 0 i przedsawia równanie linii prosej. Wielkość wyjściowa nieprzerwanie wzrasa liniowo przy sałej warości wielkości wejściowej. Jes o nauralne ponieważ człon en nie posiada równowagi saycznej. Pojęcie czasu regulacji nie ma uaj sensu. Człon drugiego rzędu Odpowiedź skokową orzymuje się jako rozwiązanie równania d h dh h =k 1 przy zerowych warunkach począkowych lub jako oryginał z wyrażenia 1 k 1 H s =G s =. s s s 1 s W zależności od warości ζ orzymujemy nasępujące przypadki i związane z nimi wyrażenia odpowiedzi skokowej: 1. ζ > 1, oba pierwiaski są liczbami ujemnymi rzeczywisymi (ypowy człon inercyjny drugiego rzędu) [ h =k 1 gdzie: r r r r e 1 e r r 1 r r 1 1 ] (.7) r 1= 1, r = 1.. ζ < 1, oba pierwiaski są liczbami zespolonymi sprzężonymi; w ym przypadku człon nazywa się oscylacyjnym a charakerysyka skokowa ma posać [ h =k 1 gdzie: r = 1, =arcg e r r. 7 sin r ] (.8)
3. ζ = 0 - przypadek kryyczny (oscylacje niegasnące) [ ] h =k 1 1 e (.9) W celu orzymania równania (.9) należy się posłużyć wzorem rozkładu funkcji wymiernej dla pierwiasków wielokronych lub szukać rozwiązania równania d h1 dh 1 h1 =0 (.10) w posaci h 1 =c 1 e c e gdzie c1 i c - sałe. Wyrażεnie (.9) orzymuje się akże drogą przekszałcenia granicznego z (.7) lub (.8) przy ζ 1. Przy ζ < 1 (pierwiaski zespolone sprzężone) proces przejściowy jes oscylacyjnie gasnący (jak na rys..3). Przy ζ > 1 proces jes aperiodyczny i przebiega bez oscylacji (jak krzywa na rys..3). Na rys..7 przedsawiono przebiegi charakerysyk skokowych członu opisanego równaniem (.10) dla nasępujących danych: = 4, ζ = 0; 0,5; 1,;-0,07. Czyelnikowi pozosawimy dopasowanie poszczególnych krzywych do poszczególnych warości ζ. Rys..7. Charakerysyki skokowe członu o równaniu (.10) ermoelemen (ermopara) jako elemen auomayki Dwa przewody z różnych meali zespawane na jednym końcu worzą ermoelemen. Jeżeli spoina pomiarowa ma inną emperaurę nić wolne końce w ermoelemencie powsaje siła ermoelekryczna. Jeżeli emperaura wolnych końców jes sała i znana, warość powsającej siły ermoelekrycznej jes miarę emperaury spoiny pomiarowej. Czujniki ermoelekryczne zwane 8
poocznie ermoparami są elemenami pomiarowymi częso wykorzysywanymi w układach auomaycznej regulacji. Mierzą różnicę emperaur pomiędzy gorącym i zimnymi końcami ermopary. Wielkością wyjściową jes siła ermoelekryczna mierzona miliwolomierzem. Charakeryzują się dużym zakresem pomiarowym, dobrą liniowością charakerysyk i dokładnością. ermopary wykonywane są z różnymi ypami osłon, zależnie od środowiska i emperaury pracy. Osłony z żelaza, żeliwa i sali są sosowane do 350 C, mosiądz i sale nierdzewne do 800 C, specjalne sale żaroodporne do 100 C i osłony ceramiczne do 00 C. Coraz częściej sosowane są obecnie specjalne czujniki płaszczowe, w kórych ermoelemen w izolacji z lenku magnezu jes zaprasowany w osłonie salowej o średnicy 0.1 6 mm. Czujniki e mają bardzo małą bezwładność cieplną i dają się wyginać. W urządzeniach laboraoryjnych sosuje się częso ermoelemeny bez osłony. Przewody kompensacyjne służą do przedłużenia ermoelemenu od głowicy czujnika (zimnych końców), w kórej wysępują duże wahania emperaury do miejsca, w kórym urzymuje się sałą emperaurę odniesienia. Przewody kompensacyjne, zwłaszcza w zakresie 0 00 C, mają aką samą charakerysykę ermoelekryczną jak ermoelemen z kórym współpracują, ale są ańsze. Najczęściej sosowanym i najańszym układem ermomeru ermoelekrycznego jes układ odchyłowy. Schema akiego układu przedsawia rys..8. Jego wskazania są prawidłowe wówczas, gdy rezysancja obwodu zewnęrznego miernika jes równa warości znamionowej, podanej na mierniku. Warość ę dopasowuje się przez odpowiednie nasawienie rezysora wyrównawczego Rk. Rys..8. ermomer ermoelekryczny w układzie odchyłowym; ermoelemen, 1 spoina pomiarowa, przewody kompensacyjne, 3 wolne końce, 4 przewody łączeniowe, z - emperaura odniesienia (zimnych końców), g emperaura mierzona (złącza pomiarowego gorących końców), Rk - rezysor kompensacyjny, mv - miliwolomierz Właściwości dynamiczne ermoelemenu bez osłony lub w osłonie o małej bezwładności cieplnej (np. ermopary płaszczowe) opisuje się równaniem charakerysycznym dla elemenu inercyjnego I-go rzędu. W przypadku masywnej osłony konieczne jes uwzględnienie sałej czasowej obudowy, kóra w ym przypadku jes dominująca. Własności dynamiczne akiej ermopary opisuje się przy pomocy równania charakerysycznego dla elemenu inercyjnego II-go rzędu. W celu uproszczenia opisu częso sosuje się opis własności dynamicznych ermopary w obudowie w posaci opisu dla elemenu inercyjnego I-go rzędu z opóźnieniem. Przykładowe charakerysyki ermopar przedsawia rys..9. Krzywa 1 charakerysyczna jes dla ermopar o małej sałej czasowej (małej bezwładności np. dla ermopar płaszczowych lub ermopar bez osłony). Krzywa odpowiada charakerysyce skokowej ermopary w masywnej osłonie. Współczynnik wzmocnienia k określamy jako sosunek sygnału wyjściowego w sanie usalonym do ampliudy sygnału wejściowego. San usalony symbolizować będziemy znakiem 9
Rys..9. Przykładowe charakerysyki skokowe ermopar nieskończoności. Współczynnik wzmocnie k wyznaczymy ze wzoru k= h ( ) [mv ]. a [ oc ] Inerpreacja fizyczna współczynnik wzmocnienia ermoelemenu pokazuje o ile wzrośnie warość sygnału wyjściowego (w ym przypadku napięcia) przy wzroście ampliudy sygnału wejściowego o jedną jednoskę (w ym przypadku o 1 sopień). ransmiancję ermopary 1 zapiszemy w posaci ransmiancji elemenu inercyjnego I-go sopnia czyli G1 ( s)= k 1+ 1 s ransmiancją ermopary można w sposób przybliżony zapisać nasępująco G (s )= 10 k e τ s. 1+ s
Prakyczna realizacja ćwiczenia Część doświadczalna Badaniu podlegać będą rzy ermopary: 1, i 3. Schema sanowiska do rejesracji charakerysyk skokowych ermopar przedsawiony jes na rys..10 a rzeczywisy wygląd prezenuje foo.1. Wymuszenie skokowe, kóre dla ermopar ma posać różnicy emperaur pomiędzy zimnymi i gorącym końcami ermopary, będziemy realizowali w nasępujący sposób: Rys..10. Schema sanowiska laboraoryjnego do rejesracji charakerysyk skokowych ermopar W kolbie znajdującej się w płaszczu grzewczym mamy wrzącą wodę. emperaurę wrzenia wody przyjmujemy równą 100 C. Zimne końce mają emperaurę równą emperaurze ooczenia. Warość emperaury ooczenia odczyujemy z ermomeru cieczowego wiszącego w laboraorium na filarze. Po energicznym zanurzeniu badanej ermopary do wrzącej wody będziemy przyjmowali, że podaliśmy na nią emperaurowe wymuszenie skokowe, kórego ampliuda wynosi 100 C emperaura ooczenia. Końce ermopary podłączymy do rejesraora X-. Sposób podłączenia, wskazane zakresy pomiarowe i ogólnie, obsługa echniczna rejesraora zosanie omówiona przez prowadzącego bezpośrednio przed realizacją ćwiczenia. Należy zarejesrować dwie pary charakerysyk (dwa razy po dwa wykresy). W jednym układzie współrzędnych należy zarejesrować charakerysyki skokowe ermopar 1 i. Są o ermopary wykonane z ej samej pary meali (Fe-Kons). Pierwsza jes w osłonie, druga - bez osłony. Należy porównać właściwości merologiczne ych ermopar i wyciągnąć wnioski. W drugim układzie współrzędnych należy zarejesrować wykresy charakerysyk skokowych ermopar 1 i 3. Mają one zbliżone właściwości cieplne (sałe czasowe) naomias inny współczynnik nachylenia charakerysyki. Poziom sygnału wyjściowego w sanie usalonym dla ych ermopar będzie inny. 11
Foo.1. Foografia sanowiska do rejesrowania charakerysyk skokowych Część obliczeniowa Cześć obliczeniowa w ym ćwiczeniu sprowadzać się będzie do dwóch zadań: 1. Idenyfikacji badanych ermopar jako elemenów auomayki, czyli napisania dla każdej z badanych ermopar ich ransmiancji operaorowych.. Sworzenia modeli ych ermopar i narysowanie wykresów charakerysyk skokowych uzyskanych na podsawie ych modeli. Ad. 1. Na podsawie charakerysyki skokowej ermopary 1 zapisanej w pierwszej parze wykresów oraz na podsawie charakerysyk skokowych ermopar i 3 zapisanych jako druga para wykresów można przypisać każdej ermoparze nasępujące posacie ransmiancji operaorowych: G1 (s)= k1 k k3 e τ s ;G (s)= ; G 3 (s)=. 1+ 1 s 1+ s 1+ 3 s Wykorzysując meody przedsawione na rys..6 i.9 należy określić liczbowe paramery badanych ermopar: k1, k, k3, 1,, 3, τ i napisać wyżej przedsawione ransmiancje operaorowe wsawiając wyznaczone paramery. Przeanalizować wykresy oraz ransmiancje operaorowe i wyciągnąć rozsądne wnioski. 1
Ad.. a część sprawozdania ma za zadanie poćwiczenie problemów symulacji elemenów auomayki z wykorzysaniem programu symulacyjnego: Malab lub SciLab. Zadanie sprowadza się do narysowania charakerysyk skokowych elemenów o ransmiancjach G1(s), G(s), G3(s). Można o zrobić na wiele sposobów. Jednym z nich jes poniższy schema, przy pomocy kórego zosały uzyskane wykresy na rys..7 z wykorzysaniem programu SciLab. Rys..11. Schema blokowy układu w programie SciLab (xcos) do rysowania charakerysyk skokowych 13