MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

Podobne dokumenty
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

CIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Materiał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2016/2017 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

Klasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013

Katalog wymagań programowych z matematyki od absolwenta II klasy (poziom rozszerzony).

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 poziom podstawowy. Liczba punktów Wyznaczenie pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli: x.

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Egzaminy. na wyższe uczelnie zadania

Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres rozszerzony)

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Tematy zadań 2 razy 33 przykładowe zadania maturalne. Matura podstawowa

I. Podzielność liczb całkowitych

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Materiał powtarzany w II etapie. II 4. Ciągi

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Poradnik maturzysty matematyka

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Wymagania kl. 2. Zakres podstawowy i rozszerzony. Uczeń:

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

a jest równa S 2 2 n 1 kn, był rosnący ), gdzie an ... , x4

K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

KURS MATURA PODSTAWOWA

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

Zadania - powtórzenie do egzaminu dojrzałoci

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

MACIERZE STOCHASTYCZNE

Przeczytaj, zanim zaczniesz rozwiązywać

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

Definicja interpolacji

Kolorowanie Dywanu Sierpińskiego. Andrzej Szablewski, Radosław Peszkowski

Kongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Ciągi liczbowe wykład 3

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

MATEMATYKA ZBIÓR ZADAŃ MATURALNYCH. Lata Poziom podstawowy. Uzupełnienie Zadania z sesji poprawkowej z sierpnia 2019 r.

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Przykładowy arkusz z rozwiązaniami. Arkusz II poziom rozszerzony

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11

1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.

PRZYKŁADY ZADAŃ MATURALNYCH Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STANDARDY DLA WYBRANYCH TREŚCI PROGRAMOWYCH Z POZIOMU PODSTAWOWEGO I ROZSZERZONEGO

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

ZADANIA ZAMKNIETE W zadaniach 1-25 wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawna

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

3. Funkcje elementarne

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Konspekt lekcji (Kółko matematyczne, kółko przedsiębiorczości)

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania

Tytuł zajęć: Funkcja liniowa zajęcia dodatkowe dla gimnazjalistów Nauczyciel prowadzący: Beata Bąkała

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

EGZAMIN MATURALNY 2012 MATEMATYKA

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Transkrypt:

MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0

Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość (z umerem obszaru stadardów) II Wykorzystywaie i iterpretowaie reprezetacji II Wykorzystywaie i iterpretowaie reprezetacji III Modelowaie matematycze III Modelowaie matematycze III Modelowaie matematycze Uczeń: Sprawdzaa czyość (z umerem stadardu) rozwiązuje proste rówaia i ierówości z wartością bezwzględą (er) stosuje wzór a logarytm potęgi i wzór a zamiaę podstawy logarytmu (br) rozwiązuje rówaia i ierówości z parametrem, przeprowadza dyskusję i wyciąga z iej wioski (br) rozwiązuje rówaia i ierówości wielomiaowe (cr) rozwiązuje ierówości kwadratowe z parametrem, przeprowadza dyskusję i wyciąga z iej wioski (br) Maksymala liczba puktów 6 V Rozumowaie i argumetacja stosuje wzory Viète a (ar) 7 IV Użycie i tworzeie strategii wyzacza związki miarowe w bryłach obrotowych z zastosowaiem trygoometrii (9b) 8 IV Użycie i tworzeie strategii stosuje wzór a sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetyczego (c) 9 IV Użycie i tworzeie strategii wykouje dzieleie wielomiau przez dwumia x a; stosuje twierdzeie o reszcie z dzieleia wielomiau przez dwumia x a (br) 0 III Modelowaie matematycze wykorzystuje własości prawdopodobieństwa i stosuje twierdzeie zae jako klasycza defiicja prawdopodobieństwa do obliczaia prawdopodobieństw zdarzeń (0d) IV Użycie i tworzeie strategii V Rozumowaie i argumetacja stosuje wzory a -ty wyraz i sumę początkowych wyrazów ciągu arytmetyczego i ciągu geometryczego, rówież umieszczoe w kotekście praktyczym (c) rozwiązuje zadaia dotyczące wzajemego położeia prostej i okręgu a płaszczyźie kartezjańskiej (8bR) 6 0 Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo

UWAGA OGÓLNA Schemat oceiaia zadań otwartych Matematyka Poziom rozszerzoy Za prawidłowe rozwiązaie każdego z zadań ią metodą iż przewidziaa w schemacie puktowaia ależy przyzać zdającemu maksymalą liczbę puktów Za częściowe rozwiązaie zadaia ią metodą iż przewidziaa w schemacie rozwiązaia ależy przyzać zdającemu liczbę puktów adekwatą do wykoaych czyości Zadaie (0 ) Rozwiąż rówaie x + x = Rozwiązaie, w którym postęp jest wprawdzie iewielki, ale koieczy a drodze do Przekształceie daego rówaia do postaci: x + x = x + x = i uzasadieie, że rozwiązaiem drugiego rówaia jest zbiór pusty pukty Zastosowaie defiicji bezwzględej wartości do zapisaia x oraz x bez użycia symbolu modułu: x dla x 0 x dla x x = oraz x = x dla x < 0 + x dla x > Zapisaie rówaia x + x = w postaci: ( ;0) x x + x = x 0; x + x = ( ) x ; + x ( x) + + = pukty pukty Wyzaczeie zbioru rozwiązań rówaia: x 0; Zadaie (0 ) log log 7 + log0,0 9 Oblicz wartość wyrażeia Wykorzystaie wzoru a zamiaę podstaw logarytmów do zapisaia daego wyrażeia w postaci log 7 log 9 log + log log 0,0 Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo 0

Matematyka Poziom rozszerzoy Wykorzystaie defiicji logarytmu do zapisaia daego wyrażeia w postaci log log7 log9 pukty pukty Wykorzystaie twierdzeń o logarytmach do zapisaia daego wyrażeia w postaci log log log pukty log Obliczeie wartości wyrażeia: = Zadaie (0 ) m x x+ 8 Dae jest rówaie m Ile rozwiązań ma to rówaie w zależości od parametru m? = z iewiadomą x i parametrem ( 0) m m x m+ = m 6 Przekształceie daego rówaia do postaci ( ) m m 0 Rozróżieie przypadków ( ) m = oraz ( ) pukty pukty Określeie liczby rozwiązań rówaia x( m+ ) = m 6 w zależości od wartości parametru m: dla m = dae rówaie ma ieskończeie wiele rozwiązań, dla m m 0 dae rówaie ma dokładie jedo rozwiązaie Zadaie (0 ) pukty Liczby a, b, c, d ( a< b< c< d) są kolejymi dodatimi liczbami całkowitymi Wykaż, że wielomia W opisay wzorem W ( x) = ax bx cx + d ma trzy pierwiastki W x = ax a + x a + x + a +, gdzie a jest liczbą Zapisaie wielomiau W w postaci ( ) ( ) ( ) całkowitą dodatią 0 Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo

Matematyka Poziom rozszerzoy Zauważeie i zapisaie, że liczba jest pierwiastkiem wielomiau W Na przykład: W = 0 zapisaie, że ( ) Zapisaie wielomiau W w postaci W ( x) ( x )( ax x a ) = pukty pukty pukty Obliczeie wyróżika trójmiau ax x a i uzasadieie, że wielomia W ma trzy pierwiastki, bo wyróżik trójmiau jest dodati dla dodatiej liczby całkowitej a i liczba ie jest pierwiastkiem tego trójmiau Zadaie (0 ) m Daa jest ierówość < z iewiadomą x i parametrem m Wyzacz wszystkie wartości x + m, dla których rozwiązaiem tej ierówości jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych Przekształceie ierówości do postaci m< x + pukty Przekształceie ierówości m< x + i zapisaie waruku, dla którego jej rozwiązaiem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych pukty pukty Wyzaczeie wszystkich wartości m, dla których rozwiązaiem ierówości są wszystkie liczby rzeczywiste: m < Zadaie 6 (0 ) Wykaż, że jeżeli rówaie x + bx + c = 0 ma dwa pierwiastki takie, że odwrotość jedego z ich jest rówa iloczyowi drugiego i liczby, to do wykresu fukcji f opisaej wzorem f ( x) = x + bx + c ależy pukt P = 0, Zapisaie waruku wyikającego z treści zadaia i przekształceie go do postaci x x = xx = Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo 0

Zastosowaie wzoru Viète a do wyzaczeia współczyika c: c = Matematyka Poziom rozszerzoy pukty pukty Wykazaie, że do wykresu fukcji f ależy pukt Zadaie 7 (0 ) P = 0, f = : ( 0) pukty Trójkąt o bokach długości, i 6 obraca się wokół ajdłuższego boku Oblicz objętość powstałej bryły Obliczeie cosiusa kąta α leżącego aprzeciw ajdłuższego boku: 6 = 6 + cosα, stąd cosα = 8 7 Obliczeie siusa α: siα = 8 Obliczeie h wysokości trójkąta poprowadzoej do ajdłuższego boku z rówaia: P trójkąta = 7 7 = 6 h Stąd h = ( pukt) 8 Zauważeie, że bryła powstała przez obrót trójkąta jest sumą dwóch stożków, każdego 7 o podstawie będącej kołem o promieiu długości h = i wysokościach odpowiedio rówych x oraz 6 x ( pukt) pukty puktów Obliczeie objętości powstałej bryły: 7 7 7 7 V = π x+ π ( 6 x ) = π 6= π 8 Zadaie 8 (0 ) Day jest ciąg ( a ), w którym wyraz ( a = + ( + ) + ( + ) + + ) Oblicz ajmiejszy wyraz ciągu ( a ) od 0 a jest sumą kolejych liczb aturalych od do, który jest większy 6 0 Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo

Matematyka Poziom rozszerzoy Zauważeie i zapisaie, że każdy wyraz ciągu ( ) aturalych, począwszy od a jest sumą + składików kolejych liczb pukty Obliczeie sumy + składików kolejych liczb aturalych, począwszy od : S= ( + ) = a pukty Zapisaie ierówości, za pomocą której moża obliczyć, który wyraz ciągu ( a ) jest większy od 0, czyli ( ) 0 + > i N, oraz przekształceie jej do postaci + > 0 Wyzaczeie ajmiejszego, dla którego a > 0, czyli = 7 Obliczeie a 7 = 09 ( pukt) ( pukt) puktów Zadaie 9 (0 ) Day jest wielomia W opisay wzorem W ( x) = x + ax + bx + cx + 0 Liczba jest pierwiastkiem wielomiau W i reszta z dzieleia wielomiau W przez trójmia x x jest rówa x + 6 Wyzacz współczyiki a, b, c wielomiau W Zapisaie wielomiau W w postaci ( ) ( )( ) W x = P x x x x+ 6 Obliczeie pierwiastków trójmiau x x x x : =, = pukty Zauważeie, że W( ) W( ) W( ) Ułożeie układu rówań = 7 i = i = 0 ( pukt) a+ b c+ 0 = 7 8+ 7a+ 9b+ c+ 0 = ( pukt) 6 + 8a+ b+ c+ 0 = 0 Rozwiązaie układu: a=, b=, c = 8 puktów Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo 0 7

Matematyka Poziom rozszerzoy Zadaie 0 (0 ) W pojemiku są kule białe, kule zieloe i kul czarych Z pojemika losujemy rówocześie kule Prawdopodobieństwo, że ie wylosujemy kuli białej jest rówe 6 Oblicz Podaie liczby elemetów zbioru zdarzeń elemetarych w zależości od iewiadomej: Ω = 7 + ( ) Podaie A, gdzie A ozacza zdarzeie ie wylosowao kuli białej : A + ( ) ( + )( + ) Zapisaie P( A) : P( A) = 7+ 6+ ( )( ) ( + )( + ) 6 Rozwiązaie rówaia =, N 7 + 6 + ( )( ) + : = 6 = pukty pukty Zadaie (0 6) Suma trzech pierwszych wyrazów ciągu geometryczego jest rówa 6 Te trzy liczby są rówież pierwszym, drugim i siódmym wyrazem ciągu arytmetyczego Podaj wzory a -te wyrazy tych ciągów Zapisaie aalizy zadaia Na przykład: ( ) a ciąg geometryczy: a+ a + a = 6 oraz q iloraz tego ciągu b ciąg arytmetyczy: b+ b + b7 = 6 oraz r różica tego ciągu ( ) a pierwszy wyraz tych ciągów a aq aq + + = 6 ( ) ( ) a+ a+ r + a+ 6r = 6 Zapisaie związku między ciągami w postaci układu rówań: a + aq + aq = 6 a + ( a + r) + ( a + 6r) = 6 aq = a + r pukty 8 0 Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo

Matematyka Poziom rozszerzoy układu rówań (zalezieie obydwu rozwiązań układu): q = a = 0 ( pukt) lub q = a = ( pukt) r = 0 r = 8 puktów Gdy a = 0, q =, 0 r =, to ciągi ( a ) i ( ) b są ciągami stałymi i a 6 puktów = b = 0 ( pukt) Gdy a =, q =, r = 8, to a = 0,, b = 8 6 ( pukt) Zadaie (0 ) Day jest okrąg o rówaiu ( x ) + ( y ) = Wykaż, że stycze do tego okręgu przechodzące przez początek układu współrzędych są prostopadłe Zapisaie układu rówań, za pomocą którego moża wyzaczyć rówaia styczych: ( x ) + ( y ) = y = mx Zapisaie rówaia kwadratowego, wyikającego z układu rówań: m + x + m 6 x+ = 0 ( ) ( ) pukty Obliczeie wyróżika rówaia ( ) ( ) m + x + m 6 x+ = 0 i zapisaie waruku wyikającego z faktu, że układ ma mieć dokładie jedo rozwiązaie: ( m m ) = 8 i = 0 ( pukt) Wyzaczeie wartości m spełiających te waruki: m =, m = ( pukt) pukty pukty Wykazaie, że proste o rówaiach y = x oraz y = x są prostopadłe: m m = Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo 0 9