Obligacje indeksowane do inflacji

Szkoła Główa Hadlowa w Warszawie Studium Dyplomowe Kieruek: Fiase i Bakowo Piotr urawski Nr Albumu: 2400 Obligacje ideksowae do iflacji Praca magisterska apisaa w Katedrze Skarbowoci pod kierukiem aukowym Prof. dr hab. Adrzeja Sławiskiego Warszawa 2005

2

Spis treci. WSTP... 4 2. KONSTRUKCJA OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI... 7 2. MODEL KANADYJSKI NA PRZYKŁADZIE OBLIGACJI IZ086... 7 2.2 MODEL BRYTYJSKI... 2.3 OPÓNIENIE INDEKSACJI... 3 3. ANALIZA OBLIGACJI STAŁOKUPONOWYCH... 4 3. RÓWNANIE WYCENY OBLIGACJI... 4 3.2 BADANIE STÓP ZWROTU Z OBLIGACJI STAŁOKUPONOWEJ... 7 3.3 DURACJA OBLIGACJI STAŁOKUPONOWYCH... 8 3.4 STRUKTURA TERMINOWA STÓP PROCENTOWYCH... 20 3.4. Implikowaa krzywa stóp termiowych... 24 3.4.2 Krzywa stóp zerokupoowych... 25 3.4.3 Przyszłe krzywe stóp zerokupoowych... 26 3.4.4 Teoria oczekiwa... 26 3.5 MODELOWANIE KRZYWYCH DOCHODOWOCI... 27 3.6 FUNKCJE BAZOWE... 30 3.6. Fukcje sklejae wielomiaowe... 30 3.6.2 Fukcje sklejae wykładicze... 3 3.6.3 B-Splie... 32 3.7 MODELE UPROSZCZONE... 33 4. PODSTAWOWA ANALIZA OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI... 37 4. ANALIZA W PRZESTRZENI REALNEJ... 37 4.2 ANALIZA W PRZESTRZENI NOMINALNEJ... 39 4.3 WARTO PROGOWA INFLACJI... 4 5. ZALETY OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI... 43 5. EMITENCI OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI... 43 5.2 NABYWCY OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI... 48 5.3. OBLIGACJE INDEKSOWANE DO INFLACJI Z PUNKTU WIDZENIA WŁ ADZ MONETARNYCH.. 5 6. RYNKI OBLIGACJI INDEKSOWANYCH DO INFLACJI W WYBRANYCH KRAJACH.... 59 7. BADANIE EMPIRYCZNE... 6 7. ANALIZA DYNAMIKI DŁ UGOTERMINOWEJ... 6 7.2 ANALIZA DYNAMIKI KRÓTKOTERMINOWEJ... 63 7.2. Bayesia Averagig of Classical Estimates (BACE) Metodologia... 64 7.2.2 Zastosowaie BACE dla iflacji progowej... 67 7.3 WYNIKI... 68 8. BIBLIOGRAFIA... 7 ZAŁCZNIK A. WYNIKI BADANIA EMPIRYCZNEGO... 75 3

. Wstp Wpływ iflacji a realy zwrot z długotermiowych iwestycji fiasowych jest zaczcy. Ju prosta, podr czikowa aaliza wartoci pieidza w czasie przedstawioa w tabeli wskazuje, e awet iewielka z pozoru róica w poziomie iflacji moe, przy załoeiu długich termiów do zapadaloci, prowadzi do bardzo wyraej róicy w realej wartoci kapitału a koiec okresu. Dla redich poziomów iflacji 2% i 5% w horyzocie 30 lat realy spadek wartoci pieidza a koiec okresu wyosi odpowiedio 45% i 77%. Z pewoci ludziom gromadzcym rodki w fuduszach emerytalych ie jest wszystko jedo jak real warto za 30 lat 2 b dzie miał zgromadzoy przez ich kapitał, poiewa od tego zaley poziom kosumpcji, który b d w staie osig w przyszłoci. Tabela. Wpływ iflacji a real warto pieidza redia wysoko poziomu iflacji w okresie 30 lat Warto abywcza PLN po 30 latach wyraoa w PLN z pocztku okresu 2% 0,5520 PLN 5% 0,233 PLN 0% 0,0573 PLN Opracowaie włase Dost pe a mi dzyarodowych rykach fiasowych stałokupoowe obligacje (ag. fixed icome bods) skarbowe ie daj moliwoci zabezpieczeia si przed iespodziewaym wzrostem iflacji w okresie do wykupu istrumetu. Kostrukcja wi kszoci obligacji przewiduje wypłacaie przez emiteta abywcy obligacji stałej kwoty (kupou) w ustaloych odst pach czasu i wartoci omialej (ag. face value) w momecie zapadaloci obligacji 3. Wzrostowi iflacji ie towarzyszy w takim przypadku wzrost wartoci omialych wypłat z obligacji. Jeeli iflacja w termiie do zapadaloci iespodziewaie wzrasta - spada realy zwrot z iwestycji w obligacje stałokupoowe. Przyspieszeie dyamiki ce jest wtedy rówowae ze zmiejszeiem wartoci realych wypłat z istrumetu w przyszłoci. Mi dzy iymi w celu zabezpieczeia iwestorów przed egatywym wpływem wzrostu ce skostruowao istrumety dłue powizae ze zmiaami wskaika iflacji (ag. W tym przypadku chodzi o redi geometrycz a ie zwykł redi arytmetycz. 2 Okres 30 lat został tutaj przykładowo, rozwaaia maj aalogicz posta dla kadego iego przedziału czasu. Jedak im krótszy jest okres tym wpływ iflacji a real warto pieidz jest miejszy. 3 Podstawowe wiadomoci dotyczce obligacji stałokupoowych moa zale w podr cziku: Joaa Utki, Obligacje i ich portfele. Wycea, wraliwo, strategie, Oficya Wydawicza Szkoła Główa Hadlowa, Czerwiec 2005. Detale kostrukcji obligacji stałokupoowych opisae s w prospektach emisyjych dost pych m.i. a stroach iteretowych polskiego Miisterstwa Fiasów. 4

idex-liked). W przypadku obligacji ideksowaych do iflacji 4 kupoy liczoe s od zideksowaego wskaikiem iflacji omiału tak, e ich reala warto pozostaje stała w czasie. Pierwsze emisje istrumetów ideksowaych do iflacji były orgaizowae po 945 roku przez Izrael, Argety, Brazyli i Isladi 5, jedak dopiero rok 98, kiedy wyemitowao pierwsze obligacje ideksowae do iflacji w Wielkiej Brytaii, staowi cezur, uwaa za pocztek ryku obligacji ideksowaych do iflacji, który obserwujemy współczeie. Od połowy lat 90 a wiatowych rykach fiasowych widoczy jest dyamiczy wzrost zaiteresowaia obligacjami ideksowaymi do iflacji. Zaczya si je postrzega jako ow, autoomicz klas aktywów (ag. asset class). Rzdy kolejych pastw decyduj si a emisj takich istrumetów. W roku 2004 dołczyła do ich Polska, która po emisji obligacji ozaczoej azw skróco IZ086 stała si pierwszym emitetem obligacji ideksowaych do iflacji wród krajów Europy rodkowej i Wschodiej. Celem pracy jest dokoaie aalizy ryku obligacji ideksowaych do iflacji oraz zaprezetowaie podstawowych arz dzi umoliwiajcych aaliz tych istrumetów z puktu widzeia zarówo uczestików ryku jak i władz moetarych. W chwili obecej a polskim ryku wydawiczym ie ma dost pej adej pozycji, która traktowałaby całociowo o ryku obligacji ideksowaych do iflacji. Jedym z celów tej pracy jest wypełieie tej luki. Zaprezetowae w pracy wyiki s po cz ci rezultatem bada ad rykiem obligacji ideksowaych iflacji prowadzoych przeze mie w Narodowym Baku Polskim, gdzie pracuje a staowisku aalityka ryku obligacji skarbowych w Wydziale Aalizy Ryków Fiasowych. W NBP korzystałem z Bloomberg Professioal Termial skd pochodzi wi kszo aalizowaych w tej pracy daych. Opracowaa w NBP metodologia aalizy polskiego ryku obligacji ideksowaych do iflacji została przedyskutowaa z Miisterstwem Fiasów i jest spója ze stosowaymi tam metodami. Struktura poiszej pracy zakłada przedstawieie a pocztku podstawowych iformacji dotyczcych sposobów kostrukcji obligacji ideksowaych do iflacji. W kolejym rozdziale przypomiae zosta podstawowe arz dzia słuce do aalizy obligacji stałokupoowych. W czwartym rozdziale przedstawioy zostaie aparat słucy do aalizy i wycey obligacji ideksowaych do iflacji. Nast pie w rozdziale pitym aalizuj 4 W pracy uywa b dziemy wymieie termiów: obligacja ideksowaa do iflacji, obligacja iflacyja, obligacja ideksowaa. Wród cz sto spotykaych azw agielskich ajcz ciej pojawia si okreleie likers. 5 Por. Mark Deaco, Adrew Derry, Dariush Mirfedereski Iflatio-idexed Securities: Bods, Swaps ad Other Derivatives, 2d Editio, Wiley Fiace Jauary 2004, s. 5

zaczeie obligacji ideksowaych do iflacji dla emiteta, abywcy obligacji i władz moetarych. Tam gdzie istieje taka moliwo uwag przykładamy do aalizy uwarukowa dla polskich obligacji ideksowaych do iflacji. W rozdziale szóstym zaprezetoway zostaie sta ryku obligacji ideksowaych do iflacji a szeciu ajbardziej rozwii tych rykach. W rozdziale siódmym zaprezetowaa zostaie aaliza długo i krótkotermiowych zaleoci obserwowaych a ryku obligacji ideksowaych do iflacji. Moim autorskim wkładem do metodologii aalizy ryku obligacji ideksowaych do iflacji jest wykorzystaie do aalizy daych fiasowych metody Bayesowskiego Wywaaia Klasyczych Estymatorów 6 (ag. Bayesia Averagig of Classical Estimates). Pierwotie skostruowao j do aalizy determiatów wzrostu gospodarczego jedak z przedstawioych w tej pracy bada wyika, e metoda ta posiada odpowiedie własoci, które powoduj, e sprawdza si rówie przy aalizie stacjoarych daych fiasowych. 6 W tym miejscu chciałbym złoy szczególe podzi kowaie prof. Wojciechowi Charemzie, który przedstawił mi t metod. 6

2. Kostrukcja obligacji ideksowaych do iflacji W odróieiu od obligacji stałokupoowych obligacje ideksowae do iflacji zabezpieczaj iwestora przed wpływem iflacji a realy zwrot z iwestycji. Wypłacae kupoy i warto omiala (ag. pricipal value) spłacaa przez emiteta w momecie zapadaloci papieru wartociowego s ideksowae tak, e ich reala warto jest stała. Procedura ideksacji moe by realizowae a dwa sposoby. Obydwie metody zosta omówioe w tym rozdziale. Pierwsza z ich została zapropoowaa przez Departamet Skarbu Wielkiej Brytaii w roku 98 i zalazła zastosowaie w wi kszoci wyemitowaych w tym kraju obligacji ideksowaych do iflacji. Alteratyw metod ideksacji przedstawił rzd Kaady, który pierwsze obligacje ideksowae do iflacji wyemitował w grudiu 99 roku. Dalej metodologie te b dziemy azywa odpowiedio brytyjsk i kaadyjsk. Metoda kaadyjska uzawaa jest za bardziej ituicyj od metody brytyjskiej i z tego powodu zalazła szerokie zastosowaie w wi kszoci krajów emitujcych obligacje iflacyje 7, w tym w Polsce. Z materiałów opublikowaych przez Departamet Skarbu Wielkiej Brytaii wyika, e wszystkie owe obligacje ideksowae do iflacji od lipca 2005 roku b d emitowae według modelu kaadyjskiego 8. Ozacza to de facto całkowit domiacj modelu kaadyjskiego w ieodległej przyszłoci. Prezetacje metodologii ideksacji rozpocziemy od bardziej ituicyjego modelu kaadyjskiego i jego aplikacji w przypadku polskiej obligacji ideksowaej do iflacji. W celu zachowaia spójoci, stosujemy ozaczeia i symbolik zgod z prospektem emisyjym obligacji ideksowaej do iflacji IZ086. 2. Model kaadyjski a przykładzie obligacji IZ086 9 Warto omiala (ag. pricipal value) jedej obligacji to 000 złotych. Warto ta przez cały okres do zapadaloci jest ideksowaa współczyikiem ideksacji kalkulowaym przez Miisterstwo Fiasów a bazie arastajcego wskaika miesiczego, który jest rówoway wskaikowi arastajcej iflacji w gospodarce, oraz bazowego wskaika referecyjego. Do obliczaia wartoci arastajcego wskaika miesiczego 7 W rozdziale 7 wskazujemy a kraje, które dokoały iewielkich modyfikacji w implemetacji modelu Kaadyjskiego 8 Por. Gurmider Bhachu, Mark Deaco 3M Lag Idex-liked Gilts, Uited Kigdom Debt Maagemet Office, kwiecie 2005 9 Podrozdział oparty jest a artykule: Piotr urawski, Obligacje ideksowae iflacj podstawowa aaliza, Ryek Termiowy r 3/2005 7

wykorzystywaa jest warto wskaika ce towarów i usług kosumpcyjych, który co miesic podaway jest do publiczej wiadomoci przez Główy Urzd Statystyczy. Narastajcy wskaik miesiczy dla wybraego miesica : W() rówy jest zaokrgloemu do pitego miejsca po przeciku wyikowi wyraeia: W ( ) = 00 Π( + CPI k= k ), () gdzie W() to arastajcy wskaik miesiczy dla miesica, atomiast CPI k to wielko wskaika iflacji m/m za miesic k. Miesicem bazowym dla którego k= jest lipiec 2003 roku. Wskaik bazowy referecyjy (W Bazowy ) dla obligacji IZ086 został obliczoy a bazie wyraeia: W Bazowy 23 = W ( a) + ( W ( b) W ( a)), (2) 3 gdzie a i b odosz si odpowiedio do maja i czerwca 2004 roku. Współczyik ideksacji, do którego ideksowaa jest warto omiala obligacji (ag. face value), jest fukcj wartoci arastajcego wskaika miesiczego oraz wskaika bazowego. Współczyik ideksacji a dzie d, miesica m majcego D di SI(d,D,m) liczoy jest w ast pujcy sposób: d W ( m 3) + ( W ( m 2) W ( m 3)) SI( d, D, m) = D. (3) W Bazowy Zaprezetoway powyej schemat, który odpowiada w sposób cisły azewictwu i symbolice z prospektu emisyjego, moe pocztkowo wyda si skomplikoway. Jedak jego rozszyfrowaie ie jest trude. Narastajcy wskaik miesiczy to po prostu arastajcy wskaik iflacji skostruoway ze złoeia poziomów iflacji miesic do miesica. Okresem bazowym jest lipiec 2003. Przykładowo jeeli arastajcy wskaik miesiczy obliczoy a stycze 2006 roku zgodie ze wzorem () b dzie miał warto 05,45324 ozacza to b dzie, e od pocztku lipca 2003 roku do koca styczia 2006 roku poziom ce artykułów kosumpcyjych i usług wzrósł w przyblieiu o 5,45%. 8

Wskaik bazowy referecyjy i współczyik ideksacji aley rozpatrywa łczie. Liczik prawej stroy rówaia (3) przypomia praw stro rówaia (2). Ta zaleo jest ieprzypadkowa. Współczyik ideksacji a dzie emisji obligacji IZ086 jest rówy jede, poiewa liczik wyraeia (3) jest rówoway prawej stroie wyraeia (2) dla 24 sierpia 2004 roku. Specyficza posta liczika prawej stroy rówaia (3) daje si łatwo wytłumaczy. Iteresujce as wskaiki iflacji publikowae s z cz stotliwoci miesi cz, wobec czego arastajcy wskaik iflacji (arastajcy wskaik miesiczy) moe by kostruoway wyłczie raz w miesicu i odzwierciedla wielkoci arosłej iflacji a koiec daego miesica. Iflacja jedak ie post puje skokowo. Twórcy współczyika ideksacji przyj li, e cey w gospodarce ros w sposób liiowy w kadym miesicu. Przy takich załoeiach moa stworzy liiow fukcj, która pozwala obliczy warto arosłej iflacji a kady dzie miesica. Tak fukcj jest właie liczik prawej stroy rówaia (3). ródłem wtpliwoci moe by ieuwzgl dieie we wzorze (3) poziomu iflacji za miesic m i m-. Wskaik ideksacji wydaje si by opóioy wzgl dem rzeczywistego poziomu iflacji o 2 miesice. Te zastrzeeia s słusze, aczkolwiek wyelimiowaie opóieia ie jest moliwe. Warto wskaika CPI (m/m) za miesic m publikowaa jest w połowie miesica m+, wobec czego ie jest oa zaa przez cały miesic m. Warto wskaika za miesic m- dost pa jest po upływie połowy miesica m, wi c jej zastosowaie w formule doprowadziłoby do iemooci oszacowywaia wskaika (3) przez pierwsz połow miesica m. Dyspoujc obliczoy współczyikiem ideksacji moa w prosty sposób okreli warto wypłacaego kupou: C t = N SI r, (4) gdzie C t to warto wypłacaego kupou w chwili t, N warto omiala obligacji (w przypadku obligacji IZ086 000 zł), SI t współczyik ideksacji a chwil t, r reala stopa zwrotu ustaloa przez miisterstwo fiasów w prospekcie emisyjym. W diu zapadaloci iwestor otrzymuje dodatkowo zideksowa warto omial: N t Z ( t) = N SI t, (5) gdzie N Z(t) to omiala warto wypłacaa w momecie zapadaloci w chwili t. Przykładowy schemat wypłat z obligacji ideksowaej do iflacji i dla porówaia z obligacji tradycyjej przedstawia tabela 2. Wartoci omialych przepływów ozaczoe s czerwoym kolorem. Dla obligacji stałokupoowych wartoci omiala wypłat s stałe w 9

czasie. W przypadku obligacji ideksowaej do iflacji wartoci omiale kolejych płatoci kupoowych ro tak, e ich warto reala pozostaje stała w czasie. Tabela 2. Schemat wypłat z obligacji ideksowaej do iflacji i z porówywalej obligacji stałokupoowej Lata CPI w daym roku Wskaik Ideksacji Obligacja ideksowaa Obligacja tradycyja Oprocetowaie reale w %: 3Oprocetowaie omiale w %: 4,5 Warto Warto reala omiala kupou Warto reala omiału (w złotych z pocztku okresu) Warto omiala kupou Warto reala kupou Warto omial a Warto reala omiału Warto omiala kupou 0,000 000,00 000 - - 000 000,00 - - 2%,020 020,00 000 30,60 30 000 980,39 45 44,2 2 2%,040 040,40 000 3,2 30 000 96,7 45 43,25 3 2%,06 06,2 000 3,84 30 000 942,32 45 42,40 4 %,072 07,82 000 32,5 30 000 932,99 45 4,98 5 5%,25 25,4 000 33,76 30 000 888,56 45 39,99 6 2%,48 47,92 000 34,44 30 000 87,4 45 39,20 7 2%,7 70,88 000 35,3 30 000 854,06 45 38,43 8 2%,94 94,30 000 35,83 30 000 837,3 45 37,68 9 2%,28 28,8 000 36,55 30 000 820,90 45 36,94 0 2%,243 242,54 000 37,28 30 000 804,80 45 36,22 2%,267 267,40 000 38,02 30 000 789,02 45 35,5 Opracowaie włase Kostrukcja wskaika ideksacji umoliwia jego wyliczeie a kady dzie trwaia obligacji. Jest to koiecze do obliczeia arosłych odsetek i tym samym przedstawieia tzw. cey brudej obligacji. Warto aleych odsetek to: O a a = N SI a r, (6) ACT gdzie: N - warto omiala jedaj obligacji (w przypadku IZ086 000 zł) SI a współczyik ideksacji obliczoy a dzie a zgodie ze wzorem (3) r ustaloe przez emiteta oprocetowaie papieru (w przypadku IZ086 3%) a rzeczywista liczba di od rozpocz cia okresu odsetkowego ACT rzeczywista liczba di w biecym okresie odsetkowym z wyłczeiem pierwszego i ostatiego dia okresu. Kostrukcja obligacji IZ086 uzaleia wysoko omialych wypłat z papieru w przyszłoci od poziomu iflacji. Jeeli iflacja (m/m) w kolejych miesicach jest wysoka, przekład si to a wzrost arastajcego wskaika miesi czego i tym samym wzrost współczyika ideksacji. Wysoki współczyik ideksacji ozacza wysokie wypłaty z obligacji w przyszłoci. Wielko omialych przepływów z obligacji ideksowaych do iflacji zaley od kształtowaia si dyamiki ce w przyszłoci. 0

Kaadyjska metodologia ideksowaia obligacji iflacyjych umoliwia uczestikom ryku skupieie si a realych wartociach przepływów. Kwotowaia rykowe podawae przez dealerów mi dzybakowych jak i rówie wszelkie cey ustalae a przetargach obligacji wyraae s w wartociach realych. W momecie faktyczych przepływów piei ych kwota zostaje przemooa przez współczyik ideksacji i ast puje jej uomialieie. W takim przypadku moa powiedzie, e cały hadel prowadzoy jest w przestrzei realej (ag. real space) 0. 2.2 Model brytyjski Tak jak cz sto zdarza si w praktyce, po tym jak zrozumiao, e co moa zrobi prosto wszyscy zastaawiaj si jak to moliwe, e kto próbował to robi iaczej. Brytyjskie obligacje ideksowae do iflacji (ag. idex-liked gilts) s dobrym przykładem a potwierdzeie takiej sytuacji. Ich kostrukcja jest miej ituicyja od zapropoowaej dziewi lat póiej przez kaadyjskie Miisterstwo Fiasów. Kupoy dla Brytyjskich obligacji ideksowaych do iflacji wypłacae s dwa razy w roku. Ich warto oblicza si ze wzoru: r N RPI m 8 C = t, (7) 2 RPI i 8 gdzie: C t omiala warto wypłaty kupoowej r - ustaloa przez Departamet Skarbu retowo reala N - warto omiala obligacji (ag. face value) RPI warto ideksu ce z miesica m miesic płatoci kupoowej i miesic emisji obligacji Aalogiczie obliczy moa warto spłaca w momecie zapadaloci obligacji (ag. redemptio value): 0 Wyraeie zaczerpi te z opracowaia Barclays Capitals Global Iflatio-Liked Products: A User Guide, Stycze 2004. Por. Formulae for Calculatig Gilt Prices from Yields (third editio), Uited Kigdom Debt Maagemet Office, 6 marzec 2005

RPI r 8 RV = N, (8) RPI i 8 gdzie: RV warto spłacaa w momecie zapadaloci N warto omiala obligacji RPI warto ideksu ce z miesica r miesic zapadaloci i miesic emisji obligacji W przypadku brytyjskich obligacji ideksowaych do iflacji kwotowae a ryku cey wyraoe s w wartociach omialych, iaczej i ma to miejsce w przypadku obligacji ideksowaych do iflacji zgodie z metodologi kaadyjsk. Kwotowae cey czyste obligacji 2 uwzgl diaj wzrost wskaika ce. W przypadku gospodarek z dodatim wskaikiem iflacji, a do takich aley z pewoci Wielka Brytaia, cea czysta obligacji ulega wzrostowi wraz z upływem czasu. Obliczeie wartoci arosłych odsetek dla obligacji brytyjskiej wymaga zajomoci ajbliszej płatoci kupoowej i std wyika a omiomiesi cze opóieie przy kostrukcji wskaika (kupoy płacoe s raz a 6 miesi cy plus dodatkowo 2 miesice opóieia zarezerwowao a publikacje daych dotyczcych wskaika ce). Jeeli zaa jest warto kupou wypłacaego w miesicu, moliwe jest obliczeie arosłych odsetek ze wzoru: a Oa, t = Ct, (9) ACT gdzie: C t wyzaczoa z rówaia (7) warto płatoci odsetkowej przypadajcej a miesic t a rzeczywista liczba di od rozpocz cia okresu odsetkowego ACT rzeczywista liczba di w biecym okresie odsetkowym Wzór (9) słucy do wyzaczaia arosłych odsetek, rói si od aalogiczego wzoru (6) dla systemu kaadyjskiego, jest jedak zblioy do wzoru słucego do kalkulacji arosłych odsetek dla obligacji stałokupoowych 3. 2 Cea czysta obligacji to cea ie uwzgl diajca arosłych odsetek. 3 Por. Krzysztof Jajuga i Teresa Jajuga, Iwestycje, Wydawictwo Naukowe PWE, Warszawa 200, str.50 2

2.3 Opóieie ideksacji Cech wspól obydwu metodologii jest opóieie w ideksowaiu do iflacji. W przypadku modelu kaadyjskiego s to 2 miesice, a dla modelu brytyjskiego a 8 miesi cy opóieia. Jeeli iflacja zaczco wzroie w cigu 2 miesi cy (lub w przypadku brytyjskim w cigu 8 miesi cy) poprzedzajcych płato kupou bd wartoci omialej (ag. pricipal value) to te wzrost ie przełoy si a wzrost omialej wartoci wypłacaych rodków. W tym sesie obligacje ideksowae do iflacji ie zapewiaj pełego zabezpieczeia przed ryzykiem iflacyjym. W zwizku z krótszym opóieiem ideksacji stopie zabezpieczeia przed ryzykiem iflacyjym jest wi kszy w przypadku obligacji ideksowaych metod kaadyjsk. Warto jedak zwróci uwag a fakt, e strata arastajcej iflacji z okresu sprzed płatoci kupou jest rekompesowaa zyskaiem arastajcej iflacji z okresu poprzedzajcego przetarg obligacji. Przy wzgl die stabilych poziomach iflacji i wzgl die długich termiach do zapadaloci zaczeie opóieia ideksacji jest iezacze a co wskazuj w swojej pracy Barr i Campbell (996) oraz Wrase(997). 3

3. Aaliza obligacji stałokupoowych Metody wycey i aalizy obligacji ideksowaych do iflacji opieraj si a zaleociach zaych z ryku obligacji tradycyjych. W tym rozdziale dokoamy przegldu podstawowej teorii słucej do wycey i aalizy obligacji stałokupoowych. Zaprezetowae zosta rówie sposoby estymacji tzw. krzywej dochodowoci. Te iformacje staowi fudamet do budowy modelu wycey obligacji ideksowaych do iflacji. 3. Rówaie wycey obligacji Podstawowe pytaie przed jakim staje abywca obligacji dotyczy sposobu kalkulowaia faktyczej wartoci iwestycji. Przepływy piei e geerowae przez obligacj stałokupoow s zdefiiowae ju w momecie przetargu i ie ulegaj zmiaie. Iwestor abywajcy obligacj od samego pocztku wie dokładie kiedy otrzyma płatoci od emiteta obligacji, za rówie ich dokład warto. Jego zadaiem jest stwierdzeie (obliczeie) jak warto a da chwil maj dla iego strumieie piei e (ag. cash-flows), które otrzyma w przyszłoci. Załómy przykładowo, e chcemy ocei jaka jest dzisiejsza warto dla iwestora przepływu X, który bez ryzyka otrzyma za lat. Przyjmijmy, e zaa jest wymagaa przez iwestora stopa zwrotu dla daego okresu i ozaczmy j symolem z. Przy takich złoeiach bieca warto przepływu (ag. preset value) moe zosta obliczoa ze wzoru: X PV ( X ) =, (0) ( + z) gdzie PV(X) to warto bieca przepływu X za lat. W dalszej cz ci tekstu stop procetow z azywa b dziemy stop atychmiastow 4 (ag. spot rate) dla iwestycji o termiie zapadaloci lat. Obligacja stałokupoowa jest seri przyszłych przepływów kupoowych o zaej wartoci C w kolejych okresach, 2, 3..., i wartoci omialej N spłacaej w chwili zapadaloci obligacji po latach. Z racji tego, e w wi kszoci rozwii tych pastw wiata obligacje rzdowe postrzegae s jako pozbawioe ryzyka kredytowego moa przyj, e warto obligacji dla iwestora jest sum biecych wartoci wszystkich przepływów geerowaych przez obligacj. Zakładajc, e zae s stopy atychmiastowe dla wszystkich okresów z 4 Alteratywa azwa dla stopy atychmiastowej to stopy zerokupoowe. 4

przyszłoci, warto biec strumieia płatoci obligacji moa przedstawi, stosujc wzór (0) jako : P C C C N = + +... + +, () ( + z z ) 2 ) ( + z2 ) ( + z ) ( + gdzie P to cea obligacji, a z stopa atychmiastowa dla termiu zapadaloci lat. Rówaie () jest azwae w literaturze rówaiem wycey obligacji. 5 Opisuje oo zaleo pomi dzy stopami atychmiastowymi a ce obligacji. Stopy atychmiastowe (azywae wymieie stopami zerokupoowymi 6 ) mog ie by homogeicze mi dzy iwestorami. Ozacza to, e jeda obligacja moe mie ró warto dla róych iwestorów. W praktyce jedak moa przyj, e iwestor oferujcy ajwysz kwot, zakładajc racjoalo emiteta, zostaie a abywc obligacji. Rówaie () umoliwia wyce obligacji, ale tylko a dzie płatoci kupoowej. Jeeli iteresuje as cea obligacji w okresie pomi dzy płatociami kupoowymi, a jest to koiecza iformacja poiewa hadel obligacjami ma miejsce kadego powszediego dia tygodia (a ie tylko w diach płatoci kupoowej), wzór () aley zmodyfikowa. Jeeli ast puje zmiaa posiadacza obligacji w diu, który ie staowi daty płatoci odsetkowej, warto obligacji musi uwzgl dia arosłe odsetki. Narastajce odsetki (ag. accured iterest) w przypadku obligacji stałokupoowych oblicza si w ogólej postaci jako: O a t = 0 C, (2) T gdzie t 0 to czas od ostatiej płatoci odsetek, T to zdefiioway okres pomi dzy płatociami odsetkowymi, C to warto kupou. Jeeli zaa jest warto arosłych odsetek moa dokoa dekompozycji cey brudej obligacji (ag. dirty price) czyli cey, któr abywca obligacji płaci przy dokoywaiu trasakcji a warto arosłych odsetek i ce czyst (ag. clea price). 7 Na ryku kwotowae s cey czyste obligacji. W momecie zawieraia trasakcji doliczaa jest warto arosłych odsetek i taka kwota jest płacoa przez abywc obligacji. 5 Por. Jajuga Iwestycje s. 50 6 Por. Campbell (995) 7 Por. Jajuga s. 5 5

Oprócz uwzgl dieia wartoci arosłych odsetek przy kalkulacji wartoci obligacji a dzie, który ie jest diem płatoci odsetkowych, aley wprowadzi do rówaia () dodatkowe modyfikacje. Zmiaie ulega rozłoeie kolejych przepływów w czasie. Okres do pierwszej płatoci kupoowej ie jest bowiem w takim przypadku rówy ustaloemu przez emiteta okresowi płatoci odsetkowej i aley te fakt uwzgl di w kalkulacji. Po uwzgl dieiu arosłych odsetek i zmiay czasu do płatoci kupoowych mamy: P C c c c N + Oa = + +... + +, (3) t ( + z ) z ) t0 t t ( + zt ) t ( + zt ) ( + 0 t gdzie P C ozacza ce czyst obligacji, a t ozacza czas do -tej płatoci kupoowej. Warto w tym miejscu zwróci uwag a moliwy alteratywy sposób zapisu rówa (0)- (3). Przykładowo rówaie (0) moa przestawi w postaci: PV X = ( ) X = X z δ ( ( + ), (4) ) gdzie δ () to warto fukcji dyskotujcej dla termiu zapadaloci. Przedstawioa trasformacja pokazuje, e bieca warto kadego przepływu w przyszłoci moe by przedstawioa jako iloczy czyika dyskotujcego i wielkoci przyszłego przepływu. Wprowadzeie poj cia czyika dyskotujcego pozwala am zapisa rówaie (3) w owej przejrzystej postaci: P C a ( 2 t + N + O = δ t ) c + δ ( t ) c +... + δ ( t ) ( c ). (5) 6

3.2 Badaie stóp zwrotu z obligacji stałokupoowej Dług emitoway przez wi kszo rzdów rozwii tych pastw wiata postrzega si jako iezagrooy moliwoci bakructwa emiteta (ag. defalut risk). W zwizku z tym obligacje stałokupoowe przez ie emitowae geeruj przepływy, co do których wartoci i czasu iwestor moe mie teoretyczie całkowit pewo. Zajc rykowe cey obligacji skarbowych i struktur wypłat w przyszłoci, potecjaly abywca obligacji moe zbada poziom zwrotu, który osigie iwestujc w day papier wartociowy. 8 Najcz ciej stosowaym w praktyce wskaikiem wskazujcym a retowo obligacji stałokupoowej jest stopa zwrotu w okresie do wykupu (ag. yield to maturity / redemptio yield). Naley j iterpretowa jako wew trz stop zwrotu (ag. iteral rate of retur) z iwestycji w obligacje. Jest to stopa, dla której cea bruda obligacji stałokupoowej rówa jest zdyskotowaym po tej stopie przepływom z tej obligacji: P C + O a = + c c + ( + YTM ) +... + t0 t t t ( YTM ) ( + YTM ) ( + YTM ) c + N, (6) gdzie YTM to stopa zwrotu w okresie do wykupu. Wyzaczaie tej wartoci sprowadza si do rozwizaia rówaia (6) wzgl dem YTM. W praktyce rozwizaie moliwe jest poprzez zastosowaie umeryczych algorytmów iteracyje p. Newtho-Raphsoa 9. Dokłady opis tej jak i wielu iych algorytmów umeryczych zale moa w podr cziku pracowików Politechiki Warszawskiej Fortua, Macukow, Wsowski(998). Przyj cie załoeia o tym, e wszystkie przepływy piei e s dyskotowae t sam stop zwrotu jest rówowae załoeiu, e wszystkie przyszłe przepływy piei e b d mogły by reiwestowae, co w praktyce ie musi by prawd. Ryzyko reiwestycji (ag. reivestmet risk) powoduje, e iezae s stopy, przy których b dzie moa dokoa reiwestycji rodków w przyszłoci. Alteratyw metod badaia stopy dochodowoci w termiie do wykupu jest przedstawieie tzw. stopy płaskiej (ag. flat rate), któr moa obliczy jako: 8 Iwestor moe przeprowadzi proces odwroty do wycey i zajc ce obligacji zbada jej stop zwrotu 9 Por. Krupka, J., Morawski, R., Opalski, L. J. (999) Wst p do metod umeryczych, Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej 7

C FY =, (7) C P gdzie FY to stopa płaska, C warto kupou, P C to cea czysta obligacji. Miara ta okrela jaka jest wielko przychodu z obligacji. Uywa si jej w szczególoci do porówywaia obligacji i krótkich stóp a ryku piei ym. Róica to tzw. warto zagiedoa (ag. carry). Nabycie obligacji, dla której stopa płaska jest isza od krótkotermiowej stopy procetowej, i fiasowaie tej iwestycji właie a ryku krótkiej stopy procetowej prowadzi do pooszeia kosztów przez abywc obligacji. W długim termiie pocztkowe koszty b d rekompesowae wzrostem cey obligacji, która b dzie zbiega do wartoci omialej w momecie zapadaloci. Stopa płaska jest jedym z ajprostszych sposobów ocey opłacaloci iwestycji w obligacje. Niestety ie uwzgl dia wpływu efektu zmiay cey obligacji w termiie do zapadaloci (ag. pull to par effect). 3.3 Duracja obligacji stałokupoowych W wi kszoci przypadków publikowae iformacje dotyczce obligacji stałokupoowych sprawdzaj si do termiu zapadaloci i retowoci daej daego papieru. Te miary daj jedak ie wiele iformacji o strukturze wypłat z daej obligacji. Przykładowo jeeli mielibymy do czyieia z dwiema obligacjami z których jedak posiada wysoki a druga iski kupo, to pierwsza obligacja wi ksz cz zwrotu dostarczy w postaci płatoci kupoowych, które astpi przed termiem zapadaloci obligacji. Obligacja stałokupoowa o wyszym kupoie zapewia szybszy omialy zwrot z iwestycji od porówywalej obligacji z iskim kupoem i zblioej retowoci w termiie do zapadaloci (ag. yield to maturity). Wskaikiem, który jest w staie uchwyci t zaleo jest zapropooway przez Macaulay w 938 r. wskaik duracji, któr iterpretuje si jako redi czas spłaty strumieia odsetkowego. Dla wszystkich obligacji ta redia b dzie miejsza 20 od termiu zapadaloci obligacji w zwizku z tym, e przed spłat wartoci omialej dokoywae s płatoci kupoowe. Duracj, która bywa azywaa rówie czasem trwaia obligacji, liczy si zgodie ze wzorem: 20 Rówa w przypadku obligacji zerokupowych 8

m δ ( ti ) Citi + δ ( tm ) Rtm m i= Duracja = = m C δ ( ti ) Cit P + + Oa i= δ ( t ) C δ ( t ) R i= i i m i + δ ( t m ) Rt m, (8) gdzie δ t ) to warto czyika dyskotujcego dla i tej płatoci kupoowej przypadajcej ( i a momet t i. C i to warto i-tej płatoci kupoowej. R to warto omiala spłacaa w momecie zapadaloci. Kolej miar wykorzystywa powszechie przez uczestików ryku przy aalizie obligacji jest modyfikowaa duracja 2, któr kalkuluje si jako : Duracja MD =, (9) ( + y /00) gdzie MD to warto duracji zmodyfikowaej, y to dochodowo w termiie do wykupu. Wyraeie (9) jest rówowae 22 rówaiu: 00 p MD =. (20) C ( P + O ) y a Rówaie (20) wskazuje a zaleo pomi dzy ce obligacji, a kracow zmia retowoci (liczo jako dochodowo w termiie do wykupu). Stosuek zmiay cey obligacji wywołaej kracowo mał zmia retowoci jest rówy co do wartoci wskaikowi zmodyfikowaej duracji. Chocia teoretyczie rówaie (20) prawdziwe jest tylko dla kracowo małych zmia retowoci to w praktyce rykowej wykorzystuje si je take dla relatywie duych przyrostów. Korzysta si wtedy bezporedio z rówaia: gdzie C p jest zmia cey czystej obligacji, p 0,0 ( P + O ) y ( MD) (2) a y jest zmia retowoci papieru. 2 Por. Aderso i i (994) s.8 22 Por. Fage (986) 9

3.4 Struktura termiowa stóp procetowych Na ryku, a którym istieje wiele róych papierów dłuych wysoko stóp zwrotu zaley od termiu zapadaloci. Stopy procetowe dla ryku piei ego a wi kszoci ryków rói si od oprocetowaia długotermiowych obligacji skarbowych. Zaleo pomi dzy termiem zapadaloci a stop procetow azywaa jest struktur termiow stóp procetowych (ag. iterest rates term structure). Najprostszym arz dziem charakteryzujcym struktur termiow stóp procetowych jest wprowadzoa w podrozdziale 3. fukcja dyskotowa. Chocia z puktu widzeia obliczeiowego i praktyczego fukcja dyskotowa ma bardzo szerokie zastosowaie, to struktur termiow moa przedstawi w bardziej ituicyjej postaci. W tym podrozdziale zaprezetowae dwie alteratywe trasformacje fukcji dyskotowej: krzyw implikowaych stóp termiowych (ag. implied forward rate curve) i krzyw stóp atychmiastowych (ag. spot/zero-coupo yield curve). Warto podkreli, e trasformacja pomi dzy tymi wszystkimi krzywymi jest uikala, co ozacza, e majc dowol z tych krzywych moa j w sposób jedozaczy przetrasformowa a dowol ia. Mimo de facto rówej zawartoci iformacyjej kadej krzywej, co wyika z jedozaczoci trasformacji, poszczególym reprezetacjom moa ada odmiee iterpretacje, które ułatwiaj aaliz zaleoci a ryku obligacji. Na wykresie. przedstawioa została krzywa dyskotowa dla Polskiego ryku obligacji skarbowych a koca czerwca 2005 roku. Wykres 2. i 3. prezetuj odpowiedio implikowa krzyw stóp termiowych 3M oraz krzyw stóp zerokupoowych a te sam dzie. Dla porówaia a wykresach 4., 5. i 6. pokazae zostały te same krzywe dla 3 styczia 2005. 20