Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p p)), 3. = ((p (q r)) ((p q) (p r)), 4. = (p q) ( p q), 5. = ( (p q)) (p q). Podaj iterpretację dwóch pierwszych tautologii. Uwaga: = φ ozacza, że φ jest tautologią. Zadaie 2 Pokaż, że jeśli Jaś umie matematykę i Jaś ie umie matematyki, to Jaś umie fizykę.. Sformułuj odpowiedią tautologię. 2. Podaj ie przykłady zastosowaia tej tautologii. Zadaie 3 Zapisz, stosując otację matematyczą, astępujące zdaia i formuły:. p jest liczbą pierwszą, 2. istieje ajmiejsza liczba aturala, 3. ie istieje ajwiększa liczba aturala, 4. ie istieje ajmiejsza liczba rzeczywista dodatia. Zadaie 4 Podaj iterpretację astępujących zdań. ( (0, ))( N)( < ), 2. ( R)( 2 0), 3. (, y R)( < y = y > y). Zadaie 5 Niech R(, y) ozacza, że " jest rodzicem y". Niech K() ozacza, że " jest kobietą". Zdefiiuj, korzystając z otacji matematyczej oraz predykatów R i K, astępujące predykaty:." jest dziadkiem y", 2." jest siostrą y", 3." jest bratem y", 4." jest ciotką y". Zadaie 6 Niech A = [0, 2] oraz B = [, 3). Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A. Zadaie 7 Niech A = {(, y) R 2 : 2 + y 2 } oraz B = {(, y) R 2 : 2 <, y < 3 2 }. Wyzacz zbiory A B, A B, A \ B oraz B \ A.
Zadaie 8 Odcikiem azywamy dowoly podzbiór A R taki, że Spróbuj opisać rodzię wszystkich odcików. ( a, b, c) (((a < b < c) (a A) (c A)) b a). 2 Liczby aturale, wymiere i rzeczywiste Zadaie 9 Uprość astępujące wyrażeia: 2 + 3 + 5, 2 + 2 3 + 2 5 Zadaie 0 Przypomij sobie dowód tego, że 2 / Q. Zadaie Pokaż, że jeśli q Q to 2 + q / Q. Zadaie 2 Niech a = 3.45926535897932385.... Dla N defiiujemy liczby a = a 0 0. Wyzacz pierwsze 0 wyrazów tego ciągu, tz. oblicz liczby a 0, a,..., a 9. Uwaga: ozacza część całkowitą liczby.. Zadaie 3 Pokaż, że dla dowolych liczb rzeczywistych oraz y mamy. ( + y)( y) = 2 y 2 2. ( + y) 2 = 2 + 2y + y 2 3. Z jakich własości liczb rzeczywistych korzystałaś/korzystałeś podczas dowodzeia tych wzorów? Zadaie 4 Dla jakich par liczb rzeczywistych i y zachodzi rówość ( + y) 2 = 2 + y 2? Zadaie 5 Pokaż, że zbiór liczb wymierych jest zamkięty a dodawaie, odejmowaie, możeie i dzieleie przez liczbę różą od 0. Zadaie 6 Pokaż metodą idukcji matematyczej, że + 2 +... + = 2( + ). Uwaga: Musisz rówież zać proste wyprowadzeie tego wzoru.. Zadaie 7 Pokaż, korzystając ze wzoru z poprzediego zadaia, że + 3 + 5 +... + (2 + ) = ( + ) 2. Zadaie 8 Pokaż metodą idukcji matematyczej, że 2 + 2 2 +... + 2 = 6( + )(2 + ). Zadaie 9 Wyzacz samodzielie sześć pierwszych wierszy trójkąta Pascala. Wypisz wzory a ( + y) dla = 0,, 2,..., 5. ( k ). Jak moża tę obserwację wykorzystać do wyzacza- Zadaie 20 Pokaż, że jeśli 0 < k to ( k ia wartości ( k)? ) = k Zadaie 2 Korzystając ze wzoru dwumiaowego Newtoa (a + b) = ( k=0 k) a a b k pokaż, że (. ) k=0 k = 2 ( 2. ) k=0 k ( ) k = 0. Zadaie 22 Narysuj wykres wartości ( ) 20 k dla k = 0,..., 20. Która z tych liczb jest ajwiększa? Uogólij to spostrzeżeie dla ciągu liczb ( ( k) )k=,..., dla dowolego. Wskazówka: Możesz, p., skorzystać z fukcji KOMBINACJE programu Ecel. Zadaie 23 Za pomocą wyszukiwarki Google arysuj wykresy różych fukcji kwadratowych (p. wprowadź w pasku zapytań wyrażeie 2 5 + ). Zapozaj się z likami umieszczoymi a stroie http:// ki.pwr.edu.pl/studeciolietools.php. Spróbuj arysować wykresy fukcji kwadratowych za pomocą serwisu Wolfram Alpha. 2
Zadaie 24 Wyzacz astępujące zbiory:. A = { R : 2 3 + 2 > 0}, 2. B = { R : 2 4 + 3 0}, 3. C = { R : 2 4 + 3 0}, 4. D = { R : 2 4 + 3 > 0}. Zadaie 25 Podaj ograiczeia dole i góre astępujących zbiorów:. { + : N} 2. (0, ) (3, 4]. 3. [0, ] \ Q * Zadaie 26 Sformułuj samodzielie pojęcie kresu dolego podzbioru A zbioru liczb rzeczywistych - ozaczmy go przez if(a). Pokaż, że if(a) = sup( A), gdzie A = { a : a A}. Wywioskuj z tego, że każdy ograiczoy z dołu podzbiór R ma kres doly. * Zadaie 27 Niech A = { 0 : 2 < 2}. Pokaż, że sup(a) 2 = 2 (czyli, że sup(a) = 2). Zadaie 28 Korzystając z tego, że si 2 () + cos 2 () = pokaż, że si() + 2 cos() 5 dla każdego R. Wskazówka: Skorzystaj z ierówości Cauchy ego. Zadaie 29 Pokaż, że dla dowolego ciągu liczb a,... a zachodzi ierówość a +... + a a 2 +... + a2. 3 Ciagi Zadaie 30 Pokaż, że ciąg ( ) jest ograiczoy. Zadaie 3 Oblicz graice astępujących ciągów:. a = 3+ +2, a = 2 + 2 +3, 2. b = 22 ++3 2 +3+, b = 32 ++5 2 ++, 3. c = 3 ++3 2 +3+3, c = 3 +2+2 2 +2+, 4. d = 22 ++3 5 +3+2, d = 2 ++3 3 + 2 +. Zadaie 32 Dlaczego ciąg a = ( ) + ie jest zbieży? Zadaie 33 Dlaczego ciąg a = ( 2) ie jest zbieży? Zadaie 34 Bezpośredio z defiicji graicy ciągu pokaż, że lim +2 =. Zadaie 35 Oblicz graice ciągów. a = +( ) 2+, 2. b = +, 3. c = 2 +. Zadaie 36 Pokaż, że ze zbieżości ciągu (a ) wyika zbieżość ciągu ( a ). Czy prawdziwe jest twierdzeie odwrote? Zadaie 37 Ustalmy liczbę a. Wyzacz graicę ciągu a = a. Zadaie 38 Pokaż, że jeśli a < to lim ( + a +... + a ) = a. 3
Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a + q + q 2 +... + q. Zadaie 39 Niech a 0 = oraz a + = 3 + a 2.. Pokaż, stosując metodę idukcji matematyczej, że a a < 6 dla każdego. 2. Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący 3. Wyzacz graicę tego ciągu. Zadaie 40 Niech a 0 = oraz a + = 2 (a + 4). Pokaż, że ciąg (a ) jest rosący i ograiczoy oraz zajdź jego graicę. Zadaie 4 Oblicz graicę lim ( 2 + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru (a + b)(a b) = a 2 b 2.. Zadaie 42 Oblicz graicę astępujących ciągów. a = ( + )3+, 2. b = ( )2+, 3. c = ( + )2, 4. d = ( + )+, 5. e = ( + 2 ). Zadaie 43 Oblicz astępujące graice: lim 5 +, lim 3 + 2. Zadaie 44 Załóżmy, że 0 a b. Wyzacz graicę ciągu a + b. Zadaie 45 Załóżmy, że lim a = 0. Pokaż, że wtedy lim a = 0. Zadaie 46 Oblicz lim ( + ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru a b = (a 2 b 2 )/(a + b). Zadaie 47 Korzystając z twierdzeia o trzech ciągach wyzacz graice astępujących ciągów:. a = 2 + + 2 + +... + 2 + 2. b = + 2 3. c = 3 +4 4 +5. Zadaie 48 Niech H = + 2 + 3 +... +. Pokaż, że lim H =. Wskazówka: Pokaż ajpierw, że ciąg (H ) jest rosący. Przyjrzyj się astępie takiemu pogrupowaiu: H 8 = + 2 + ( 3 + 4 ) + ( 5 + 6 + 7 + 8 ). Zapisz w podoby sposób H 6. Spróbuj oszacować od dołu każdy z pogrupowaych składików. 4 Graice i ciagłość Zadaie 49 Naszkicuj wykresy fukcji. f () = 2 si(), 2. f 2 () = 2 si(0), 3. f 3 () = 2 si(00), 4. f 4 () = 2 si(200). Zadaie 50 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = + 2 oraz g() = 2. Zadaie 5 Naszkicuj a wspólym wykresie wykresy fukcji f() = ( + 2 ) cos 2 (200) oraz g() = ( 2 ) cos 2 (200). 4
Zadaie 52 Niech f() = 2.. Wyzacz graice lim f(), lim f(), lim + f(), lim f(), lim + f(), lim f(). 2. Naszkicuj wykres tej fukcji. Zadaie 53 Niech sg() = : < 0 0 : = 0 : > 0. Pokaż, że fukcja sg ie jest ciągła w pukcie 0. 2. Wyzacz pukty ciągłości fukcji sg. Zadaie 54 Wyzacz pukty ciągłości stępujących fukcji. f () = sg(si()), 2. f 2 () = sg(cos()), 3. f 3 () = oraz 4. f 4 () =. Zadaie 55 Korzystając z Zadaia 37 pokaż, że dla dowolej liczby rzeczywistej a. istieje ciąg liczb wymierych (a ) taki, że lim a = a 2. istieje ciąg liczb iewymierych (b ) taki, że lim b = a Zadaie 56 Niech f() = Pokaż, że fukcja f ie jest ciągła w żadym pukcie. Wskazówka: Skorzystaj z zadaia 55. { : Q 0 : R \ Q Zadaie 57 Narysuj wykresy fukcji zadaych wzorami y =, y =, y = si( ), y = 2 si( ), y = si( ) oraz wyzacz ich graice w pukcie 0. Zadaie 58 Naszkicuj wykresy fukcji zadaych wzorami:. y = 2, 2. y = 2, 3. y = 2 2, 4. y = 3 2. Zadaie 59 Niech > 0. Naszkicuj wykres fukcji zadaej wzorem f() = ( ) ( ). Wskazówka: rozważ oddzielie przypadek parzystego i ieparzystego. Zadaie 60 Oblicz stępujące graice:. lim 0 si(a), 2. lim 2 3, 3. lim 3 2. Zadaie 6 Załóżmy, że fukcja f jest ciągła. Pokaż, że fukcja g() = f() jest rówież ciągła. Wskazówka: skorzystaj z tego, że złożeie fukcji ciągłych jest fukcją ciągłą. Zadaie 62 Oblicz graice wielomiau postaci w() = + a +... + a + a 0 w ieskończoości oraz w mius ieskończoości. Wskazówka: Rozważ oddzielie przypadek parzystego oraz ieparzystego. 5
Zadaie 63 Pokaż, że każdy wielomia stopia ieparzystego ma pierwiastek. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia oraz własości Darbou fukcji ciągłych. Zadaie 64 Załóżmy, że fukcje f i g są ciągłe. Niech h() = ma{f(), g()}. Pokaż, że h jest fukcją ciągłą. Zadaie 65 Załóżmy, że f : [0, ] [0, ] jest fukcją ciągłą. Pokaż, że istieje takie [0, ], że f() =. Wskazówka: Przyjrzyj się fukcji g() = f(). Zadaie 66 Niech f, q : R R będą fukcjami rosącymi. Pokaż, że złożeie f g jest fukcją rosącą. Zadaie 67 Naszkicuj wykresy fukcji f () = ( 2 ), f 2 () =, f 3 () = 2, f 4 () = e oraz f 5 () = 3. Zadaie 68 Naszkicuj wykresy fukcji f () = log 2 (), f 3() = log 2 (), f 4 () = log e () oraz f 5 () = log 3 (). Zadaie 69 Pokaż, że każda fukcja f : R R jest sumą fukcji parzystej i ieparzystej. Wskazówka: Rozważ fukcje h() = 2 (f() + f( )) oraz g() = 2 (f() f( )). Zadaie 70 Niech f() = si() oraz g() = 2.. Naszkicuj wykres fukcji f g. 2. Naszkicuj wykres fukcji g f. Zadaie 7 Naszkicuj wykres fukcji f() = 2 +. Sprawdź, że 2 + = ( )( + ) + 2. Korzystając z tego wzoru przedstaw fukcję f jako sumę fukcji liiowej oraz pewej prostej fukcji wymierej. 2. Korzystając z poprzediego puktu aszkicuj poowie wykres fukcji f. 3. Zapozaj się z pojęciem asymptoty ukośej. Zadaie 72 Podaj przykład ciągłej fukcji f : [0, ) [0, ] która ie osiąga wartości maksymalej. Zadaie 73 Pokaż przykład takiej fukcji ciągłej f : (0, ) R która ie jest ograiczoa z góry ai z dołu. Zadaie 74 Załóżmy, że f : R [0, ) jest ciągła, oraz, że lim f() = lim f() = 0. Pokaż, że istieje 0 R takie, że f( 0 ) = sup{f() : R}. 5 Pochode Zadaie 75 Oblicz pochode astępujących fukcji:. f() = 3 + 2 2 + 3 +, g() = 2 5 2 3 + 3 2 + 2. f() = + + 2 +... + 3. f() =, g() = 2 +, h() = 4. f() = ( 2 + 2 + )( 3 + 2 2 + ) 2 3 + 5. f() = ( + )/( ), g() = 2 ++ 3 6. f() = e, g() = 2 e, h() = 3 e. Wskazówka: (e ) = e. Zadaie 76 W jakich puktach fukcja f() = + + jest różiczkowala? Zadaie 77 Zajdź przykład ciągłej fukcji f : R R, która ie różiczkowala w ieskończoej liczbie puktów. Zadaie 78 W jakich przedziałach fukcje y = ( ) 2, y = e, y = 2 e są rosące? Zadaie 79 Zbadaj wykresy fukcji y = 2 e, y = 2 +, y = 2 2 ( )( 2). 6
Zadaie 80 Zajdź ekstrema fukcji y = (a ), y = (a ) 2. Zadaie 8 Pokaż, że jeśli fukcje f, g i h są różiczkowale w pukcie, to (f() g() h()) = f () g() h() + f() g () h() + f() g() h (). Zadaie 82 Zajdź pole ajwiększego prostokąta o bokach rówoległych do osi układu współrzędych wpisaego w elipsę o rówaiu 2 a + y2 2 b =. 2 Zadaie 83 Pokaż, że ze wszystkich prostokątów o ustaloym obwodzie kwadrat ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 84 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie i o ustaloej podstawie trójkąt róworamiey ma ajwiększą powierzchię. Zadaie 85 Pokaż, że ze wszystkich trójkątów o ustaloym obwodzie trójkąt rówoboczy ma ajwiększą powierzchię. Wskazówka: Skorzystaj z poprzediego zadaia. Zadaie 86 Niech f a,b () = { a + b 2 : < : Zajdź takie parametry a i b aby fukcja f a,b była różiczkowala w każdym pukcie. Zadaie 87 Oblicz pochode astępujących fukcji:. y = 3 3 +, 2. y = si( 2 ), 3. y = e 2, ( 2, 4. y = e 2 + ) 5. y = 2 si(), y = si(cos()), y = si(cos(si())) 6. y = ta 2 (), 7. y = l( 2 + ), y = log ta()) 8. y = l + 2, 9. y = arcsi(e ), y = arccos( 2 ) 0. y = arcta( 2 + ), y = arcta(e ) Zadaie 88 Zbadaj przebieg zmieości astępujących fukcji:. f() = 3 e. 2. f() = 3 3. f() = 2 l() 4. f() = 2 l ( 2 + ) + Zadaie 89 Dlaczego fukcja y = l jest ciągła? Podaj możliwie prosty argumet. Zadaie 90 Napisz rówaia styczych do podaych fukcji w podaych puktach:. f() = l( + e ), P = (0, f(0), 2. f() = + 2, P = (, f()). Zadaie 9 Korzystając z reguły d Hospitala oblicz astępujące graice l(e. lim +), 2. lim 0+ l(), 3. lim 0+. Wskazówka: skorzystaj z tego, że t = e l t dla dowolego t > 0, oraz, że fukcja f() = e jest ciągła. l 4. lim, 7
5. lim (l ) 3, 6. lim ( 3 )2, 7. lim 0 arcta() Zadaie 92 Zbadaj przebieg zmieości astępujących fukcji:. y = e, 2. y = + 2, 3. y = ( )( 2). Zadaie 93 Który z puktów paraboli y = 2 leży ajbliżej prostej y 5 = 0? Wskazówka: Odległość puktu P = ( 0, y 0 ) od prostej o rówaiu a + by + c = 0 wyraża się wzorem. a 0 + by 0 + c a2 + b 2 Zadaie 94 Zajdź pole ajwiększego prostokąta o bokach rówoległych do osi układu współrzędych wpisaego w elipsę o rówaiu 2 a + y2 2 b =. 2 Zadaie 95 Oblicz pochode astępujących fukcji:. si(si()), si(si(si())) 2. si(cos(si())) Zadaie 96 Naszkicuj wykres fukcji y = arcsi(si()) dla [0, 0π]. Wyjaśij zaobserwowae zjawisko. Zadaie 97 Załóżmy, że f () = f() dla każdego R. Pokaż, że istieje taka stała C, że f() = C e. Wskazówka: Oblicz pochodą fukcji g() = f() e. 6 Całki Zadaie 98 Oblicz astępujące całki: 0 3 d, 0 d, π 0 si()d. Zadaie 99 Wyzacz, bez wykoywaia żadych obliczeń, astępujące całki: π/2 π/2 si()d. 3 d, ( + 5 )d, Zadaie 00 Niech G(c) = c 2 d.. Zakładając, że c > wyzacz G(c) 2. Oblicz lim G(c) 3. Podaj iterpretację otrzymaego wyiku. Zadaie 0 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez części, astępujące całki ieozaczoe:. cos()d, 2 cos()d, 3 cos()d 2. si()d, 2 si()d, 3 si()d 3. e d, 2 e d, 3 e d 4. l d, 2 l d, 3 l d Spróbuj samodzielie uogólić powyższe obliczeia. Zadaie 02 Wyzacz, stosując metodę całkowaia przez podstawieie, astępujące całki ieozaczoe:. si(3 + )d, + d, + 2 d (podstaw t = + 2 ), 2. +2 d, 2 d, 3 2 3. e 2 d 8
4. si(l )d (podstaw u = l, zastosuj dwukrotie całkowaie przez części) 5. ta d Zadaie 03 Wyzacz pole astępujących obszarów:. A = {(, y) R 2 : 0 2 y } 2. B = {(, y) R 2 : 0 π y si }, 3. C = {(, y) R 2 : y < e }. 4. Obszar ograiczoy parabolą o rówaiu y = 2 2 6 i osią OX Zadaie 04 Wyzacz pole elipsy zadaej rówaiem: 2 a 2 + y2 b 2 =. Zadaie 05 Załóżmy, że f jest fukcją różiczkowala oraz, że g jest fukcją ciągłą. Niech H() = f() a g(t)dt. Wyzacz H (). Wskazówka: Niech F () = g(t)dt. Zauważ, że H() = F (f()). a Zadaie 06 Oblicz astępujące całki ieozaczoe z fukcji wymierych:. 2+ 3+2 d 2. ( 2)(+5) d 2+3 3. ( 2)(+5) d 4. ( 2) d 2 5. ( 2 ) d. Wskazówka: Wyzacz takie liczby A, B i C, że ( 2 ) = A + 6. (+ 2 ) d. Wskazówka: Zastosuj podstawieie = ta(u). 2 7. + d, 2 (+ 2 ) d B + Zadaie 07 Rozważamy fukcję f() = 2 a odciku [0, ]. Rozważamy sumę dolą { s (f, 0, ) = if f() : k k + }. k=0 C ( ) 2.. Korzystając ze wzoru 2 + 2 2 +... + 2 = 6 ( )(2 + ) wyzacz zwartą postać wzoru a s (f, 0, ) 2. Oblicz lim s (f, 0, ) 3. Oblicz 0 2 d za pomocą całki ieozaczoej : ) Zadaie 08 Oblicz objętość torusa powstałego przez obrót koła 2 + (y a) 2 r 2. c.d.. Powodzeia, Jacek Cichoń 9