Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Przedmiot: Nr ćwiczenia: 1 Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Temat: Programowanie liniowe Cel ćwiczenia: Opanowanie umiejętności modelowania i rozwiązywania problemów decyzyjnych za pomocą programowania liniowego. Zadania szczegółowe: 1. Opracowanie modelu matematycznego zagadnienia optymalizacji liniowej. 2. Rozwiązanie sformułowanego zadania programowania liniowego za pomocą algorytmu Simplex z wykorzystaniem programu Explore LP. (Załączyć wydruk sformułowania problemu i końcowej tablicy Simplex. 3. Interpretacja rozwiązania i ocena jego przydatności z punktu widzenia procesu decyzyjnego. 4. Sformułowanie i rozwiązanie zadania dualnego do zadania programowania liniowego. 5. Interpretacja zadania dualnego i jego rozwiązania. ZADANIE 1/LP Pewna linia lotnicza ma do dyspozycji 4 typy samolotów, przy czym liczbę samolotów każdego typu podano w tabeli. te należy wykorzystać do przewozu pasażerów na 5 różnych liniach powietrznych. różnych typów mają różne charakterystyki techniczne i eksploatacyjne jak np. zasięg, zdolności transportowe, zużycie paliwa itd. Stąd koszty eksploatacji zależą tak od typu samolotu jak i od linii powietrznej, na której jest on eksploatowany. Koszty te dla i-tego samolotu na j-tej linii są znane i zostały podane w tabeli. Wielkość miesięcznego przewozu pasażerów jednym samolotem i-tego typu na j-tej linii wynosi a ij. Znana jest ponadto ogólna liczba b j (j=1,2,,m) pasażerów, których należy przewieźć w ciągu 1 miesiąca na j-tej linii. Należy dokonać przydziału samolotów do każdej z linii tak, aby przewieźć zadaną liczbę pasażerów przy minimalnych łącznych kosztach eksploatacji. Tabela 1. Koszty eksploatacji samolotów na poszczególnych trasach [zł/mc] (c ij ). 1 10 25 10 40 2 10 30 35 25 3 10 30 10 10 4 30 15 15 25 5 25 30 50 10 Liczba samolotów 3 9 6 9 Tabela 2. Możliwości przewozowe samolotów na poszczególnych trasach [osób/mc] (a ij ). Liczba pasażerów w miesiącu (b j ) 1 200 200 500 300 1000 2 700 250 300 200 500 3 450 300 400 400 700 4 400 300 200 300 1200 5 100 400 600 200 400 1/9

ZADANIE 2/LP Dieta pewnego egzotycznego zwierzęcia powinna zawierać co najmniej 520 g białka, 100 g cukru, 60 g tłuszczu, 317 g węglowodanów i 3 g soli mineralnych dziennie. Zwierzę można karmić czterema produktami, Zawartość składników odżywczych i cenę 1 kg każdego produktu podano w tabeli. Wyznaczyć skład diety zwierzęcia minimalizującej koszt. Tabela 1. Zawartość składników odżywczych w produktach [g/kg]. Produkt Składnik Produkt 1 Produkt 2 Produkt 3 Produkt 4 Białko 600 800 700 300 Cukier 150 80 100 200 Tłuszcz 60 100 50 70 Węglowodany 1 18 146 428 Sole mineralne 189 2 4 2 Cena [zł/kg] 100 150 120 85 ZADANIE 3/LP Zakład krawiecki szyje bluzy, spódnice, sukienki, kamizelki, spodnie i marynarki. Przy szyciu odzieży wykorzystuje się 4 zasoby: materiał, guziki, nici i siłę roboczą. Zapotrzebowanie na poszczególne zasoby przy produkcji odzieży i ich zapasy w magazynie oraz zysk ze sprzedaży poszczególnych wyrobów przedstawiono w tabeli. Ułożyć plan produkcji maksymalizujący zysk ze sprzedaży. Tabela 1. Zużycie zasobów do produkcji odzieży. Zasób Materiał Guziki Nici Siła robocza Składnik [mb/szt.] [szt./szt.] [mb/szt] [godz./szt.] Zysk [zł/szt.] Bluzy 2 7 130 25 110 Spódnice 1 2 80 10 40 Sukienki 2 4 150 15 100 Kamizelki 1 4 80 5 50 Spodnie 2 2 100 15 70 Marynarki 3 12 200 30 170 Zapas 500 500 2000 1000 ZADANIE 4/LP Przedsiębiorstwo może produkować pięć wyrobów: A, B, C, D, E przy użyciu, między innymi czterech limitowanych środków produkcji. Limit siły roboczej wynosi 800 jednostek, limit energii elektrycznej wynosi 40 000 kwh, limit surowca wynosi 300 t, a limit emitowanych zanieczyszczeń wynosi 100 t. Podana tabela zawiera nakłady limitowanych środków produkcji na jednostki poszczególnych wyrobów oraz ceny wyrobów. Tabela 1. A B C D E jednostka Energia el. 100 150 100 500 300 kwh Surowiec 4 5 1 4 2 t Siła robocza 2 1 4 5 3 godz. Zanieczyszczenia 20 10 40 20 30 t Cena 8 4 7 9 3 zł Na podstawie tych danych sformułować program wyboru asortymentu produkcji przynoszący maksymalny przychód. 2/9

ZADANIE 5/LP Właściciel ciężarówki może przewieźć z miejscowości A do B cukier, mąkę, kaszę, ryż i chipsy. W ciężarówce mieści się towar o objętości co najwyżej 7000 litrów i wadze co najwyżej 5 ton. 1 kg cukru zajmuje objętość 0,8 litra, 1 kg mąki 1,5 litry, kaszy 1,6 litra, ryżu 2 litry, natomiast 1 kg chipsów zajmuje objętość 4 litrów. Zysk od przewozu poszczególnych towarów jest następujący: za 1 kg cukru 0,1 zł, za 1 kg mąki 0,4 zł, za 1 kg kaszy 0,2 zł, za 1 kg ryżu 0,5 zł, za 1 kg chipsów 0,3 zł. Jakie ilości poszczególnych towarów powinien załadować właściciel ciężarówki aby zmaksymalizować swój zysk? ZADANIE 6/LP Do produkcji opakowań potrzebny jest karton i folia aluminiowa, zszywki i naklejki, przy czym dostępnych jest pięć metod produkcji (A, B, C, D i E). Zużycie zasobów w poszczególnych technologiach, dostępność zasobów w magazynie i zyskowność poszczególnych metod podano w tabeli. Maksymalna dzienna produkcja każdą metodą wynosi 200 opakowań. Jaki plan produkcji należy przyjąć, aby zysk z przedsięwzięcia był największy? Tabela 1. Zużycie zasobów przy produkcji różnymi metodami Zasób Karton Folia Zszywki Naklejki Metoda [m 2 /szt.] [m 2 /szt.] [szt./szt.] [szt./szt.] Zysk [zł/szt.] A 2 7 13 25 11 B 1 2 8 10 4 C 2 4 15 15 10 D 1 4 8 5 5 E 2 2 10 15 7 Zapas 400 300 10 200 ZADANIE 7/LP Dane są 4 maszyny, których fundusz efektywny czasu pracy podano w tabeli. Za pomocą tych maszyn należy zrealizować zadany program produkcji 5 wyrobów. Produkcja każdego wyrobu może być podzielona w dowolny sposób pomiędzy maszyny. Wydajność godzinowa maszyn zależy od tego który wyrób jest produkowany na danej maszynie. Poszczególne wartości również podano w tabeli. Wydajność a ij [szt/godz.] równa zero oznacza, że wyrób i nie może być produkowany na maszynie j. Należy przydzielić zadania produkcyjne do maszyn tak, aby łączny koszt realizacji programu produkcyjnego był minimalny. Tabela 1. Koszt produkcji wyrobu i na maszynie j [zł/szt] (c ij ). Maszyny M1 M2 M3 M4 1 10 25 10 40 2 10 30 35 25 3 10 30 10 10 4 30 15 15 25 5 25 30 50 10 Fundusz maszyny [godz./mc] 3000 9000 6000 9000 Tabela 2. Wydajność poszczególnych maszyn zależnie od wyrobów [szt/godz.] (a ij ). Maszyny Produkcja w miesiącu (b j ) 1 200 200 500 300 1000 2 700 250 300 200 500 3 450 300 400 400 700 4 400 300 200 300 1200 5 100 400 600 200 400 3/9

ZADANIE 8/LP Pewna linia lotnicza ma do dyspozycji 4 typy samolotów, przy czym liczbę samolotów każdego typu podano w tabeli. te należy wykorzystać do przewozu pasażerów na 5 różnych liniach powietrznych. różnych typów mają różne charakterystyki techniczne i eksploatacyjne jak np. zasięg, zdolności transportowe, zużycie paliwa itd. Stąd koszty eksploatacji zależą tak od typu samolotu jak i od linii powietrznej, na której jest on eksploatowany. Koszty te dla i-tego samolotu na j-tej linii są znane i zostały podane w tabeli. Wielkość miesięcznego przewozu pasażerów jednym samolotem i-tego typu na j-tej linii wynosi a ij. Znana jest ponadto ogólna liczba b j (j=1,2,,m) pasażerów, których należy przewieźć w ciągu 1 miesiąca na j-tej linii. Należy dokonać przydziału samolotów do każdej z linii tak, aby przewieźć zadaną liczbę pasażerów przy minimalnych łącznych kosztach eksploatacji. Tabela 1. Koszty eksploatacji samolotów na poszczególnych trasach [zł/mc] (c ij ). 1 5 12 10 40 2 5 15 35 25 3 5 30 10 10 4 15 15 15 25 5 12 30 50 10 Liczba samolotów 3 9 6 9 Tabela 2. Możliwości przewozowe samolotów na poszczególnych trasach [osób/mc] (a ij ). Liczba pasażerów w miesiącu (b j ) 1 200 200 500 300 1000 2 700 250 300 200 500 3 450 300 400 400 700 4 400 300 200 300 1200 5 100 400 600 200 400 4/9

ZADANIE 9/LP Pewna linia lotnicza ma do dyspozycji 4 typy samolotów, przy czym liczbę samolotów każdego typu podano w tabeli. te należy wykorzystać do przewozu pasażerów na 5 różnych liniach powietrznych. różnych typów mają różne charakterystyki techniczne i eksploatacyjne jak np. zasięg, zdolności transportowe, zużycie paliwa itd. Stąd koszty eksploatacji zależą tak od typu samolotu jak i od linii powietrznej, na której jest on eksploatowany. Koszty te dla i-tego samolotu na j-tej linii są znane i zostały podane w tabeli. Wielkość miesięcznego przewozu pasażerów jednym samolotem i-tego typu na j-tej linii wynosi a ij. Znana jest ponadto ogólna liczba b j (j=1,2,,m) pasażerów, których należy przewieźć w ciągu 1 miesiąca na j-tej linii. Należy dokonać przydziału samolotów do każdej z linii tak, aby przewieźć zadaną liczbę pasażerów przy minimalnych łącznych kosztach eksploatacji. Tabela 1. Koszty eksploatacji samolotów na poszczególnych trasach [zł/mc] (c ij ). 1 5 12 5 20 2 5 15 18 12 3 5 15 5 5 4 15 7 7 12 5 12 15 25 5 Liczba samolotów 3 9 6 9 Tabela 2. Możliwości przewozowe samolotów na poszczególnych trasach [osób/mc] (a ij ). Liczba pasażerów w miesiącu (b j ) 1 100 100 250 150 500 2 350 125 150 100 250 3 225 150 200 200 350 4 200 150 100 150 600 5 50 200 300 100 200 ZADANIE 10/LP Zakład może produkowac 8 wyrobów: P 1, P 2, P 3, P 4, P 5, P 6, P 7, P 8, zużywając w tym celu 4 środki produkcji. Nakłady środków produkcji na jednostkę poszczególnych wyrobów praz ich zasoby, a także zysk jednostkowy podano w Tablicy 1. Należy wyznaczyć optymalny plan produkcji. Środki produkcji P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 P 6 P 7 P 8 Zasoby S 1 3 2 5 4 3 5 2 3 500 S 2 2 3 1 4 2 2 1 3 400 S 3 2 1 1 4 3 0 2 4 350 S 4 2 1 2 2 1 2 2 1 450 Zysk jednostkowy 1 2 1 3 4 5 3 2 5/9

ZADANIE 11/LP Racjonalna hodowla bydła wymaga dostarczenia rocznie każdej sztuce trzech składników odżywczych: A, B, C w następujących ilościach: składnika A co najmniej 1000 jednostek, składnika B co najmniej 800 jednostek, składnika C co najmniej 1150 jednostek, lecz nie więcej niż 1700 jednostek. Składniki te zawarte są w czterech paszach. W tablicy 1 podano zawartość każdego ze składników w 1 q pasz oraz ceny zakupu tych pasz. Jakie ilości poszczególnych pasz należy zakupic, aby roczne koszty wyżywienia bydła były możliwie najniższe, biorąc pod uwagę, że paszy 2 bydło powinno otrzymać rocznie nie mniej niż 20 q, a paszy 1 1,5 raza więcej niż paszy 3? Ponadto z rozeznania lokalnego rynku wiadomo, że nie będzie można otrzymać więcej niż 30 q paszy 3 na 1 sztukę bydła rocznie. Rodzaj paszy A Składniki B C Cena Pasza 1 50 20 10 1 800 Pasza 2 20 0 30 2 200 Pasza 3 30 20 10 1 300 Pasza 4 0 10 20 1 500 ZADANIE 12/LP Gospodarstwo rolne prowadzi hodowlę trzech ras tuczników: S1, S2, S3 i dysponuje określoną liczbą roboczogodzin R, określoną ilością każdej z trzech rodzajów pasz P1, P2 i P3 i zdolnościami produkcyjnymi dwóch maszyn M1 i M2 potrzebnych do przygotowania paszy. Niezbędne dane zawiera Określić optymalny plan produkcji żywca, wiedząc, że zysk wynosi odpowiednio: 3000, 4000 i 4000 zł z 1 kg przyrostu żywca. Środki Zużycie środków na 1kg przyrostu żywca Limity S1 S2 S3 środków R 10 8 8 80 000 000 P1 20 30 20 600 000 P2 10 20 30 600 000 P3 40 60 80 1 200 000 M1 3 3 2 300 000 M2 2 1 4 400 000 6/9

ZADANIE 13/LP W zakładzie doświadczalnym wyhodowano nową odmianę pszenicy, która daje wysokie plony z ha. Konieczne jest jednak stosowanie trzech nawozów: fosforowego, potasowego i naturalnego. Nawozy te zawierają 4 istotne składniki: A, B, C, D. Zawartość tych składników w 1 kg poszczególnych nawozów oraz minimalne ilości składników odżywczych, jakie powinny być dostarczone pszenicy w ciągu okresu wegetacji (na 1 ha) przedstawiono w Tablicy 1. Określić optymalną dawkę nawozów z punktu widzenia kosztów uprawy, jeśli ceny 1 kg poszczególnych nawozów kształtują się odpowiednio: 500 zł, 600 zł, 200 zł. Rozwiązać problem jeśli proporcja zużytych nawozów wynosi 1:0,5:4. Składniki Zawartość składników odżywczych w 1 kg nawozu fosforowy potasowy naturalny Minimalna ilość składnika A 6 2 26 96 B 40 4 20 160 C 3 20 60 120 D 18 12 13 169 ZADANIE 14/LP Żeliwo maszynowe (przeznaczone na odlewy) wytwarzane z trzech stopów powinno zawierać: nie więcej niż 14% węgla (C), nie więcej niż 8% krzemu (Si), nie mniej niż 25% manganu (Mn) i nie mniej niż 12% fosforu (P). Zawartości procentowe poszczególnych pierwiastków w stopach oraz ceny zakupu każdego z nich podano Tablicy 1. Należy zminimalizować koszt wytworzenia 500 000 ton żeliwa maszynowego. Stopy C Zawartość pierwiastków w 1 kg stopu Si Mn P Cena I 28 10 30 10 10 000 II 14 12 20 10 5 000 III 10 6 30 15 20 000 ZADANIE 15/LP Zakład produkujący puszki do konserw otrzymał surowiec w postaci dwóch rodzajów blachy: 21500 mb blachy o szerokości 1,5 mb i 14 000 mb blachy szerokości 1,8 mb. Z blachy wycinane są elementy: denka i ściany boczne. Stosowane sposoby rozkroju 1 mb blachy podaje Zmaksymalizować liczbę otrzymanych puszek, pamiętając, że każda z nich ma dwa denka i jedną ścianę boczną. W jakim stopniu zostanie wykorzystana blacha obydwu rodzajów? Sposoby rozkroju 1 mb blachy o szerokości 1,5 mb Sposoby rozkroju 1 mb blachy o szerokości 1,8 mb Elementy I II III I II III Denka 70 15 10 30 20 - Ściany boczne - 20 30 25 30 50 7/9

ZADANIE 16/LP Pewna firma produkcyjna ma do dyspozycji 4 typy maszyn, przy czym liczbę maszyn każdego typu podano w tabeli. Każda maszyna może pracować 40 godzin w ciągu tygodnia. Maszyny te należy wykorzystać do produkcji 5 różnych wyrobów. Maszyny różnych typów mają różne charakterystyki techniczne i eksploatacyjne jak np. wydajność, koszt przezbrojenia itd. Stąd koszty eksploatacji zależą tak od typu maszyny, jak i od wyrobu, który jest na niej wykonywany. Koszty te dla i-tej maszyny i j-tego wyrobu są znane i zostały podane w tabeli. Wielkość miesięcznej produkcji j-tego wyrobu na maszynie i-tej wynosi a ij. Znana jest ponadto ogólna liczba b j (j=1,2,,m) wyrobów typu j, które należy wyprodukować w ciągu 1 miesiąca. Należy dokonać przydziału maszyn do każdego z wyrobów tak, aby wykonać żądana liczbę wyrobów każdego typu przy minimalnych łącznych kosztach eksploatacji maszyn. Tabela 1. Koszty eksploatacji maszyn podczas produkcji poszczególnych wyrobów [zł/godz.] (c ij ). Maszyny 1 10 25 10 40 2 10 30 35 25 3 10 30 10 10 4 30 15 15 25 5 25 30 50 10 Liczba maszyn 3 9 6 9 Tabela 2. Możliwości produkcyjne maszyn w odniesieniu do wyrobów [szt/godz.] (a ij ). Maszyny Zapotrzebowanie na wyrób w tygodniu (b j ) 1 200 200 500 300 80000 2 700 250 300 200 56000 3 450 300 400 400 34000 4 400 300 200 300 48000 5 100 400 600 200 32000 8/9

ZADANIE 17/LP Firma posiada 4 typy autobusów, liczbę autobusów każdego typu podano w tabeli. Firma obsługuje 5 dalekobieżnych linii autobusowych. Autobusy różnych typów mają różne charakterystyki techniczne i eksploatacyjne jak np. liczba pasażerów, maksymalna prędkość, zużycie paliwa itd. Stąd koszty eksploatacji zależą tak od typu samolotu jak i od linii, na której jest on eksploatowany. Koszty te dla i-tego autobusu na j-tej linii są znane i zostały podane w tabeli. Wielkość miesięcznego przewozu pasażerów jednym autobusem i-tego typu na j-tej linii wynosi a ij. Znana jest ponadto ogólna liczba b j (j=1,2,,m) pasażerów, których należy przewieźć w ciągu 1 miesiąca na j-tej linii. Należy dokonać przydziału autobusów do każdej z linii tak, aby przewieźć zadaną liczbę pasażerów przy minimalnych łącznych kosztach eksploatacji. Tabela 1. Koszty eksploatacji autobusów na poszczególnych trasach [zł/mc] (c ij ). Autobusy Linie A1 A2 A3 A4 1 10 25 10 40 2 10 30 35 25 3 10 30 10 10 4 30 15 15 25 5 25 30 50 10 Liczba autobusów 8 10 10 18 Tabela 2. Możliwości przewozowe autobusów na poszczególnych trasach [osób/mc] (a ij ). Autobusy Liczba pasażerów A1 A2 A3 A4 Linie w miesiącu (b j ) 1 200 200 500 300 2000 2 700 250 300 200 1400 3 450 300 400 400 9000 4 400 300 200 300 4000 5 100 400 600 200 1000 ZADANIE 18/LP W pewnym zakładzie produkcyjnym z arkusza blachy o standardowych wymiarach wycina się trzy rodzaje elementów A, B, C. Można stosować pięć sposobów rozkroju jednego arkusza blachy. W Tablicy 1 podano liczbę elementów uzyskanych przy zastosowaniu poszczególnych sposobów rozkroju oraz zużycie blachy na każdy element. Ile razy zastosować możliwe sposoby rozkroju, aby otrzymać nie mniej niż 200 elementów A, 100 elementów typu B i 800 elementów C zużywając przy tym możliwie najmniej blachy. Tabela 1. Sposoby rozkroju. Elementy Sposoby rozkroju 1 arkusza Zużycie blachy na I II III IV V 1 element (w m 2 A 1 1 0 0 0 0,7 B 1 0 2 1 0 0,4 C 0 4 2 5 8 1,1 9/9