Prasa Radio

Transkrypt

1 Zadanie 1. Firma Semator posiada trzy zakłady - Z1, Z2, Z3. Zakłady te mogą wytwarzać tę samą farbę W-1. Pomiędzy łącznym kosztem produkcji wytworzonej w zakładach Z1, Z2, Z3, a roczną wielkością produkcji tych zakładów zachodzi zależność K(x 1,x 2,x 3 ) = x x 2 + x 3 gdzie x 1, x 2, x 3 oznaczają odpowiednio wielkości rocznej produkcji farby W-1 w zakładach Z1, Z2, Z3 w tys. litrów. Firma planuje roczną wielkość produkcji farby W-1 w ilości 9000 litrów. Jakie ilości farby W-1 powinny produkować zakłady Z1, Z2, Z3 aby łączny koszt produkcji był minimalny? Zadanie 2. Przedsiębiorca postanowił unowocześnić linie produkcyjne: francuską, szwedzką oraz polską. W zależności od wysokości nakładów inwestycyjnych na unowocześnienie linii produkcyjnej danego typu, można osiągnąć różny wzrost zdolności produkcyjnych (w tonach). Dane dotyczące wzrostu zdolności w zależności od nakładów zestawiono w tabeli Nakłady w jp Linia francuska Linia szwedzka Linia polska Przedsiębiorca może otrzymać kredyt w wysokości co najwyżej 3 jp. W jaki sposób rozdzielić otrzymany kredyt, aby zakład osiągnął maksymalny wzrost zdolności produkcyjnych, jeśli założono, że na linię szwedzką należy przeznaczyć co najmniej 1 jp.? Zadanie 3. Firma zamierza prowadzić reklamę swojego nowego wyrobu w telewizji, radiu i prasie. Na reklamę można przeznaczyć co najwyżej 3 jp. Jaką kwotę należy przeznaczyć na reklamę i w jaki sposób rozdzielić pomiędzy wymienione kanały reklamowe, aby przyrost sprzedaży był maksymalny, jeśli założono, że na telewizję należy przeznaczyć co najmniej 1 jp.? Skuteczność reklamy, mierzona przyrostem sprzedaży w zależności od kanału reklamy, podaje tabela: Nakład w jp Telewizja Prasa Radio

2 Zadanie 4. Firma transportowa TRANSYS chce ustalić nową tras przejazdu swoich ciężarówek ze Słupska do Katowic. Na podstawie atlasu samochodowego ustalono kilka możliwych tras, oznaczając wybrane miasta przez które będą przejeżdżać ciężarówki cyframi od 1 do 9. Problem polega na znalezieniu najkrótszej drogi łączącej 1 z 9, pamiętając, że w mieście o numerze 5, ciężarówki zostawiają część towaru. Połączenia pomiędzy miastami zaznaczono na grafie, długości połączeń opisano na łukach Zadanie 5. Firma DOSTAWCA CUD chce opracować program produkcji wprowadzanego na rynek nowego wyrobu dla kolejnych trzech miesięcy. Po przeprowadzeniu akcji reklamowej oszacowano, że w ciągu następnych dwóch miesięcy popyt będzie stały i równy 4 jednostki, a w trzecim miesiącu zmaleje o jedną jednostkę. Czas przygotowania partii wyrobów jest na tyle mały, że produkcja wytworzona w miesiącu t=1,2 lub 3 może być od razu przeznaczona do sprzedaży (bez magazynowania). Koszty magazynowania wyrobów są jednakowe w ciągu trzech miesięcy i wynoszą 2 jp za jednostkę. Koszty produkcji K zależą od wielkości serii i wynoszą K(0) = 0, K(1) = 13, K(2) = 19, K(3) = 23, K(4) = 27, K(5) = 29. Uwaga: Pod koniec trzeciego miesiąca w magazynie mają pozostać 2 jednostki. Maksymalna liczba wyrobów, które może pomieścić magazyn jest równa 7. Podać plan produkcji na kolejne trzy miesiące, dla którego koszty będą najmniejsze.

3 Zadanie 6. Trzy wyroby A, B i C produkowane są z tego samego surowca którego zapas 100 t powinien zostać całkowicie zużyty. Na 20 sztuk wyrobu A zużywa się 0,25 t surowca, na 1000 sztuk wyrobu B - 10 t, a na 1000 sztuk wyrobu C 1,5 t Ustalić wielkość produkcji tych wyrobów tak, aby zminimalizować funkcję kosztu jednostkowego określoną wzorem f(x,y,z) = 2x y 2 14y z gdzie x - liczba wyrobów A, y - liczba wyrobów B, z - liczba wyrobów C. Zadanie 7. Planowane są prace modernizacyjne w trzech kopalniach. Rezultatem tych prac ma być łącznie wzrost o t dziennego wydobycia. Koszty prac modernizacyjnych w zależności od planowanego wzrostu wydobycia w poszczególnych kopalniach (odpowiednio x, y, z) wyraża funkcja f(x,y) = x 2 + 2y 2 2y z Zaplanować wielkość przyrostu wydobycia dla poszczególnych kopalń tak, aby koszty prac modernizacyjnych były jak najniższe. Zadanie 8. Rozdzielić dzienną produkcję energii 100 MWh między dwie elektrownie tak, aby dzienne koszty zużycia paliwa opisane funkcją f(x,y,z) = 2( x+1) 2 + (y 3) 2 gdzie x - zużycie paliwa w elektrowni I, y - zużycie paliwa w elektrowni II, były najniższe. Wiadomo ponadto, że z 1 tony paliwa elektrownia I uzyskuje 5 MWh energii, a elektrownia II - 3 MWh. Zadanie 9. Z elektrociepłowni energia przesyłana jest do trzech zużywających ją zakładów produkcyjnych. Funkcja kosztów przesyłania energii do tych zakładów w zależności od wielkości przesyłu (x do zakładu I, y do zakładu II, z do zakładu III) dana jest wzorem f(x,y,z) = 5x 2-8x 7y + 7y z Rozdzielić dzienną produkcję energii 20 MWh pomiędzy zakłady tak, aby zminimalizować koszty przesyłu energii.

4 Zadanie 10. Przedsiębiorstwo korzysta z trzech bocznic - własnej, bocznicy huty i PKP. Koszty związane z przestojem wagonów wyraża następująca funkcja: f(x,y,z) = 0,25x 2 + 0,5y 2 +4x + 0,6z gdzie: x - czas trwania wyładunku na bocznicy własnej (w dniach), y - czas trwania wyładunku na bocznicy PKP, z - czas trwania wyładunku na bocznicy huty. Pociągi towarowe wożące surowiec do przedsiębiorstwa mają w swym składzie 200 wagonów. Dzienna zdolność przeładunkowa bocznicy własnej wynosi 20 wagonów, bocznicy huty - 10 wagonów i bocznicy PKP - 30 wagonów. Jak rozdzielić wagony między bocznice, aby koszt związany z przestojem był jak najmniejszy?. Zadanie 11. Przedsiębiorstwo produkuje dla własnych potrzeb wypełniacz w wydziałach produkcji pomocniczej. Wypełniacz ten wytwarzany jest w brykietach odpowiednio jedno-, dwu- i trzykilogramowych. Oszacowana funkcja kosztów wytwarzania wypełniacza ma postać f(x,y,z) = 0,25x 2 + 1,5x + y 2 + y + 2z gdzie: x liczba jednokilogramowych brykietów wypełniacza, y liczba dwukilogramowych brykietów wypełniacza, z liczba trzykilogramowych brykietów wypełniacza. Przedsiębiorstwo zużywa w procesie produkcji 2000 kg wypełniaczy. Ile powinny wynosić rozmiary produkcji wypełniaczy, aby koszty produkcji były jak najmniejsze? Zadanie 12. Trzy olejarnie o zdolnościach przerobowych 15, 20 i 10 ton ziarna dziennie, mają przerobić 2000 ton ziarna na olej. Straty oleju w ziarnie zależą od procesów technologicznych. Funkcja łączonych strat oleju w ziarnie (w kg) dla olejarni dana jest wzorem f(x,y,z) = 20x + 3y 2 4y + 30z gdzie: x, y, z - to czasy trwania kampanii odpowiednio w pierwszej, drugiej i trzeciej olejarni. Jak długo powinny trwać kampanie w olejarniach, aby straty oleju w ziarnie były minimalne?

5 Zadanie 13. Dany jest obiekt, będący zespołem urządzeń U1, U2, U3 połączonych równolegle (awaria układu jest równoważna awarii wszystkich urządzeń). Poniżej przedstawiono macierz P=(p ij ), gdzie p ij jest prawdopodobieństwem tego, że jeśli na remont i- tego urządzenia przeznaczono j jednostek pieniężnych, to nie ulegnie ono awarii. 0 jp 1 jp 2 jp 3 jp 4jp U1 0,2 0,2 0,4 0,6 0,7 U2 0,1 0,3 0,5 0,6 0,8 U3 0,2 0,3 0,4 0,6 0,8 Przedsiębiorstwo przeznaczyło 4 jp na remont całego obiektu. Określić optymalny przydział środków maksymalizujący prawdopodobieństwo braku awarii całego obiektu po dokonaniu remontu poszczególnych urządzeń. Uwaga: Urządzenia ulegają awariom niezależnie. Zadanie 14. W zakładzie KONPOL należy zaplanować produkcję na najbliższe trzy lata. Jeśli przez i oznaczymy numer roku (i=1,2,3), to s i jest wielkością posiadanego przez zakład funduszu na początku tego roku. Środki te mogą zostać rozdzielone do realizacji dwóch różnych rodzajów produkcji. Ich podział na y i i s i y i wiąże się z: (1) uzyskaniem zysku w wielkościach y 2 i i 5(s i y i ), dla i = 1,2,3 (2) redukcją funduszy, które mogą być rozdzielone do wielkości s i+1 = 0,5y i + 0,9(s i y i ) wraz z końcem roku dla i = 1,2. Fundusze te odliczane są z zysku. Przyjmując s 1 =5 wyznaczyć zmienne y 1, y 2, y 3 maksymalizujące sumaryczny zysk zakładu w ciągu całego trzyletniego okresu. Zadanie 15. Agencja planuje w pewnym kraju telewizyjną kampanię nowego produktu. Cel ten realizowany jest za pomocą trzech stacji telewizyjnych. Szacuje się, że jeśli j jest numerem stacji, to przeznaczenie na reklamę funduszu y j jp przyniesie dochód R j (y j ) jednostek pieniężnych. Agencja zakłada, że łączna liczba nadanych reklam ma być nie większa niż 50. Dodatkowo wiadomo, że przeznaczenie w stacji j-tej y j jp gwarantuje nadanie przez tę stację dokładnie K j (y j ) reklam. Ile łącznie należy przeznaczyć jednostek pieniężnych na reklamę, aby spełnić założenia agencji i zmaksymalizować wynikające z kampanii korzyści jeśli: K j (y j ) = y j, j=1,2,3 R 1 (y 1 ) = 2y 1 +14, R 2 (y 2 ) = y 2 2 y 2 +1,

6 R 3 (y 3 ) = 5y 3, y 1, y 2, y 3 - liczby całkowite. Zadanie 16. Agencja planuje w pewnym kraju telewizyjną kampanię nowego produktu. Cel ten realizowany jest za pomocą trzech stacji telewizyjnych. Szacuje się, że jeśli j jest numerem stacji, to przeznaczenie na reklamę funduszu y j jp przyniesie dochód R j (y j ) jednostek pieniężnych. Agencja zakłada, że łączna liczba nadanych reklam ma być nie większa niż 50. Dodatkowo wiadomo, że przeznaczenie w stacji j-tej y j jp gwarantuje nadanie przez tę stację dokładnie K j (y j ) reklam. Ile łącznie należy przeznaczyć jednostek pieniężnych na reklamę, aby spełnić założenia agencji i zmaksymalizować wynikające z kampanii korzyści, jeśli K j (y j ) = y j, j=1,2,3 Wiadomo, że w stacji numer 3 należy nadać co najmniej 10 reklam. jp R 1 (y 1 ) R 2 (y 2 ) R 3 (y 3 ) Zadanie 17. Trzy zakłady B1,B2,B3 firmy POLBUD wytwarzają ten sam produkt. Badania rynku wykazały, że można będzie sprzedać co najmniej sztuk tego produktu w ciągu roku. Roczną wielkość produkcji w każdym z zakładów, a także koszty ponoszone w związku z produkcją podano w tabelce Wielkość produkcji Koszty w B1 Koszty w B2 Koszty w B

7 Zaplanować roczną produkcję w taki sposób, aby zminimalizować jej łączny koszt wiedząc, że w zakładzie B2 należy produkować nie mniej niż 5000 sztuk. Zadanie 18. Trzy zakłady B1,B2,B3 (własność firmy KOLMAD ) wytwarzają ten sam produkt. Jeśli przez x i oznaczymy wielkość rocznej produkcji w zakładzie B i, to funkcja określająca łączną roczną wielkość kosztów produkcji w tych zakładach ma następującą postać f(x 1,x 2,x 3 ) = x x x 2 + x 3 Badania rynku wykazują, że zapotrzebowanie na produkt wytwarzany przez wspomniane zakłady będzie równy co najmniej 5 jednostek. Zaplanować rozkład rocznej produkcji w zakładach firmy KOLMAD minimalizując łączne, roczne koszty. Zadanie 19. Przedsiębiorca Zenon Kula, może otrzymać kredyt inwestycyjny w wysokości co najwyżej 6 jp oraz halę produkcyjną w Murckach, postanowił zainstalować nowoczesne linie do wyrobu makaronu M-1, M-2, M-3. W zależności od wysokości nakładów inwestycyjnych przeznaczonych na zainstalowanie linii produkcyjnej danego typu, można osiągnąć różne dobowe zdolności produkcyjne zestawione w tablicy Nakłady [w jp] M M M Pan Zenon Kula musi więc w tym przypadku podjąć decyzję dotyczącą wielkości zaciągniętego kredytu oraz podziału kredytu pomiędzy poszczególne programy inwestycyjne tak, aby zakład osiągnął maksymalną, dobową zdolność produkcyjną. Zadanie 20. Firma transportowa Autokam, ustalając nowe trasy przejazdu swych ciężarówek z Polski do Hiszpanii, podzieliła całą trasę na pięć etapów. W każdym z etapów wyznaczono po kilka miast, przez które przejeżdżać będą ciężarówki. Problem polega na znalezieniu najkrótszej drogi przejazdu pomiędzy Polską (1) a Austrią (9). Odległości drogowe pomiędzy miastami zaznaczono na rysunku

8 Zadanie 21. Grupa ratunkowa, której siedzibą jest miejscowość 1 ma pod swoją opieką kilkanaście wiosek położonych w obszarze górzystym. Jedynymi drogami w tym rejonie jest sieć dróg lokalnych o nawierzchni szutrowej. Podczas akcji ratunkowych liczy się często każda minuta, dlatego też podczas poprzednich akcji zmierzono czasy przejazdu między wioskami. Zebrane dane przedstawione zostały w tablicy. Posługując się informacjami o czasach przejazdu wyznacz najszybsze trasy z 1 do wiosek będących pod opieką grupy. Odcinek Czas przejazdu Odcinek Czas przejazdu z 1 do 2 17 z 1 do 3 21 z 1 do 4 13 z 2 do 3 25 z 2 do 5 16 z 2 do 7 10 z 3 do 6 20 z 3 do 8 10 z 4 do 1 15 z 4 do 3 12 z 4 do 6 19 z 4 do 9 10 z 5 do 7 9 z 5 do 8 18 z 6 do 8 17 z 6 do 9 21 z 7 do 8 14 z 7 do z 8 do 9 8 z 8 do z 8 do z 9 do z 9 do z 10 do 12 9 z 11 do 12 9 Zadanie 22. Prywatna firma przewozowa ma zaplanować przebieg linii autobusowej z Krakowa (1) do Paryża (9) tak, aby zapewnić jej największą frekwencję. Badania rynku wykazały, że frekwencja na danej linii zależy w bezpośredni sposób od atrakcyjności trasy przejazdu. Na rysunku przedstawiono możliwe warianty przebiegu trasy wraz ze spodziewaną liczbą pasażerów na każdym z etapów

9 Zadanie 23. Producent prętów stalowych otrzymuje zamówienia na pręty o ośmiu średnicach, ponumerowanych od 1 do 6. Odbiorcy wyrażają zgodę na ewentualne zastąpienie prętów o zamawianej średnicy prętami o średnicy większej. Znane są koszty stałe związane z przestrajaniem urządzeń i rozpoczęciem produkcji prętów o poszczególnych średnicach, niezależne od skali produkcji, oraz koszty jednostkowe poszczególnych rodzajów asortymentów, które rosną wraz ze zwiększaniem się średnicy prętów. Wartości liczbowe podano w tablicy. Określić, jakie ilości prętów poszczególnych rodzajów powinien wytwarzać producent, by zminimalizować swe koszty i jednocześnie zrealizować zamówienia klientów. Numer Średnicy Średnica (mm) Wielkość zamówienia (tys. szt.) Koszty stałe (tys. zł) 22,5 23,6 24,8 26,0 27,1 28,3 Koszty jednostkowe (tys. zł) 0,5 0,6 0,7 0,9 1,0 1,2 Zadanie 24. Pewna firma kupuje i sprzedaje te same artykuły i w związku z tym potrzebuje dużo miejsca do ich składowania. Firma ta posiada w jednym magazynie pomieszczenie na 500 sztuk danego wyrobu. Piętnastego dnia miesiąca może po podanych niżej cenach zamówić dostawy, które są realizowane pierwszego dnia następnego miesiąca. W każdym miesiącu firma może sprzedać tyle sztuk wyrobów, ile wynosi cały zapas magazynowy, również po podanych niżej cenach. W przypadku gdy rozpoczyna ona rok z zapasem magazynowym w wysokości 200 sztuk, powstaje pytanie, ile powinna miesięcznie kupować i sprzedawać, by maksymalizować swój roczny zysk (zysk = kwota uzyskana ze sprzedaży minus kwota wydana na zakup). Ceny zakupu i sprzedaży przedstawiono w tablicy. Cena zakupu Cena sprzedaży

10 15 stycznia lutego marca kwietnia maja 160 styczeń 165 luty 165 marzec 185 kwiecień 175 maj 170 Zadanie 25. Stwierdzono, że pomiędzy wartością produkcji a trzema jej substytucyjnymi czynnikami A, B, C zachodzi zależność P(x 1,x 2,x 3 ) = x 1x 2 x 3 gdzie x 1, x 2, x 3 oznaczają odpowiednio wielkości zużywanych czynników A, B, C. Koszt zużycia jednostki czynnika A, B i C wynosi odpowiednio k 1 = 1, k 2 = 2, k 3 = 1 Określić optymalne zużycie odpowiednich czynników produkcji, przyjmując za kryterium optymalności wartość produkcji przy założeniu, że koszt zużycia wymienionych czynników wynosi 4000 jednostek pieniężnych. Zadanie 26. Należy dostarczać 7 jednostek nowego produktu na rynek. W tym celu należy uruchomić produkcję tego produktu w odpowiedniej liczbie spośród trzech wytypowanych zakładów (istniejących lub specjalnie do tego celu wybudowanych). Dla i = 1, 2, 3 oznaczamy: a i - maksymalna ilość produktu, jaka może być wytworzona w i-tym zakładzie, d i - koszt stały uruchomienia produkcji w i-tym zakładzie, c i - bieżący koszt wytworzenia jednostki produktu w i-tym zakładzie. Odpowiednie dane są podane w tablicy. i a i d i c i

11 Zadanie 27. Stosując zasady programowania dynamicznego, należy w przedsięwzięciu przedstawionym na rysunku znaleźć najdłuższą drogą między punktami 1 i Etap 1 Etap 2 Etap 3 Etap 4 Etap 5 Zadanie 28. Stosując zasadę programowania dynamicznego znaleźć najtańszą trasę z 1 do 8,

12 Zadanie 29. Inwestor ma możliwość zainwestowania zł. W tablicy podano listę dostępnych możliwości inwestycyjnych oraz dostępne informacje o tych inwestycjach. Określić optymalny sposób alokacji posiadanych środków przez inwestora. Możliwość inwestycyjna Koszt jednostkowy (w zł) Dostępność (w tysiącach sztuk) Oczekiwany zysk na jednostce (w zł) Akcja ,4 Akcja ,5 Akcja ,45 Akcja ,35 Zadanie 30. Dysponujemy pewnym zasobem początkowym w ilości 1 jednostki. Zasób ten można kierować w całości lub części na jeden z dwóch celów. Skierowanie x jednostek zasobu na I cel w ciągu jednego okresu przynosi zysk f 1 (x) = 5 + 3x x 2 powodując jego 20-procentowe zużycie. Skierowanie y jednostek zasobu na II cel w ciągu jednego okresu przynosi zysk f 2 (y) = 5 + 2y y 2 i nie powoduje zużycia tego zasobu. Jakie wielkości zasobu należy kierować w trzech kolejnych okresach na oba cele, aby łączny zysk uzyskany w tych okresach był maksymalny? Zadanie 31. Zakład produkcyjny winien pokryć zapotrzebowanie na pewien produkt w ciągu 6 pierwszych miesięcy pewnego roku. Zapotrzebowanie na produkt w każdym miesiącu wynosi 3 jednostki.

13 W każdym miesiącu zakład może uruchomić produkcję produktu. Uruchomienie produkcji pociąga za sobą koszt 13 tysięcy złotych. Zakład może wyprodukować w każdym miesiącu co najwyżej 5 jednostek produktu, przy czym wytwarzanie ułamków jednostki produktu jest niedopuszczalne. Wytworzenie pierwszej jednostki produktu kosztuje 3 tys.zł, drugiej - 2 tys.zł, zaś trzeciej i czwartej po 1 tys. zł. Produkowanie piątej jednostki wymaga uruchomienia dodatkowych urządzeń, a stąd koszt jej uruchomienia wynosi 4 tys. zł. Reasumując, funkcja f(x) kosztów produkcji x jednostek w danym miesiącu przyjmuje wartości podane w tablicy. x f(x) Zapotrzebowanie w każdym miesiącu może być pokrywane produktem wytworzonym w danym miesiącu lub w miesiącach poprzednich. W tym drugim przypadku zakład ponosi dodatkowy koszt magazynowania wynoszący 2 tys. zł. za jednostkę magazynową w ciągu miesiąca. Pojemność magazynu pozwala na magazynowanie co najwyżej 4 jednostek. Jakie ilości produktu należy wytwarzać, aby łączne koszty produkcji i magazynowania były jak najmniejsze, jeśli zapas na początku stycznia i w końcu czerwca ma wynosić 0 jednostek? Zadanie 32. Spółka handlowa może otworzyć pięć sklepów w trzech różnych miastach {K, L, M.}. Miesięczny dochód przedsiębiorstwa zależy od tego, ile sklepów zostało otwartych w każdym z miast. Zależność tę przestawia poniższa tabela. Ilość sklepów Miesięczny dochód przedsiębiorstwa w poszczególnych miastach n K v 1 (x 1 ) L v 2 (x 2 ) M. v 3 (x 3 )

14 Metodą programowania dynamicznego należy wyznaczyć takie rozwiązanie, które maksymalizuje dochód całej firmy w ciągu miesiąca. Zadanie 33. Przypuśćmy, że pewna firma może produkować ograniczoną liczbę jednostek przy normalnym zatrudnieniu i w ustawowym czasie pracy oraz dodatkową liczbę jednostek przy zatrudnieniu pracowników w godzinach nadliczbowych. Odpowiednie dane znajdują się w tablicy. Czas pracy Według umowy o pracę Godziny Nadliczbowe Koszty Jednostkowe Zdolności Produkcyjne Koszty Jednostkowe Zdolności Produkcyjne Styczeń Luty Marzec Kwiecień Maj Czerwie Wielkość popytu D t c Zmienność kosztów z okresu na okres wynika ze szczególnych warunków na rynku pracy jak również ze zmiennych cen surowców i materiałów. Załóżmy, że każda jednostka zapasów pozostałych na koniec danego okresu ma koszt składowania h t = 1 dla wszystkich okresów. Zaplanować taką strategię produkcji i składowanie zapasów w poszczególnych miesiącach, aby zminimalizować koszty. Zadanie 34. Dany jest obiekt, będący zespołem urządzeń U 1, U 2, U 3 połączonych szeregowo (awaria jednego z nich jest awarią całego układu). Poniżej przedstawiono macierz P. = [p ij ], gdzie p ij jest prawdopodobieństwem tego, że jeśli ne remont i-tego urządzenia przeznaczono j jednostek pieniężnych, to nie ulegnie ono awarii. 0 jp 1 jp 2 jp 3 jp 4 jp U

15 U U Przedsiębiorstwo przeznaczyło 4 jp na remont całego obiektu. Określić optymalny przydział środków, maksymalizujący prawdopodobieństwo braku awarii całego obiektu po dokonaniu remontu poszczególnych urządzeń. Uwaga: Urządzenia ulegają awariom niezależnie. Zadanie 35. Towarzystwo dobroczynne Wspólny Fundusz zamierza wysłać 10 ochotników do ściągania datków z przedsiębiorstw, które mają swoją siedzibę w trzech wielkich biurowcach w centrum miasta. Prezes towarzystwa szacuje, że jeżeli skieruje y j ochotników do budynku j, to datki ogółem z tego wyniosą R j (y j ) setek dolarów, gdzie R j (0) = 0 oraz R 1 (1) = 5, R 2 (1) = 3, R 3 (1) = 20, R 1 (2) = 10, R 2 (2) = 6, R 3 (2) = 35, R 1 (3) = 15, R 2 (3) = 12, R 3 (3) = 45, R 1 (4) = 25, R 2 (4) = 18, R 3 (4) = 55, R 1 (5) = 35, R 2 (5) = 30, R 3 (5) = 60, R 1 (6) = 50, R 3 (6) = 65, R 1 (7) = 55. (Prezes wie, że dodatkowych datków nie osiągnie posyłając do budynku 1 więcej niż 7 ochotników, do budynku 2 więcej niż 5, a do budynku 3 więcej niż 6). Ilu ochotników należy wysłać do każdego z budynków? Sformułuj odpowiedni model programowania dynamicznego i wyznacz rozwiązanie optymalne. Zadanie 36. Dyrektor przedsiębiorstwa Polifarb Co. Musi zaplanować wielkość produkcji farb, mierzoną liczbą puszek, na każdy z następnych 9 miesięcy (N = 9). Polityka przedsiębiorstwa polega na podejmowaniu nowej produkcji w momencie, gdy wyczerpują się zapasy; gdy poziom zapasów spada do zera, dyrektor podejmuje decyzję o wielkości partii (mierzoną liczbą miesięcy, na które wystarcza podaż), którą należy wyprodukować.

16 Załóżmy, że miesięczny popyt na wytwarzany produkt jest wystarczająco stabilny i dla celów planowania produkcji może być traktowany jako stały w przyjętym horyzoncie planu. Do dalszych rozważań przyjmijmy, że miesięczny popyt jest równy 1000 puszek. Przypuśćmy, że produkcja zakładu i posiadane magazyny ograniczają dopuszczalne wielkości partii do wielkości wystarczającej na pokrycie popytu w skali od 1 do 6 miesięcy. Zyski R j, odpowiadające decyzji o produkcji partii, której wielkość pokryje popyt w ciągu j miesięcy, zawiera tablica. Produkcja partii odpowiadającej trzymiesięcznemu popytowi, tzn. liczącej 3000 puszek, przynosi zysk równy 17 tys. dolarów. Wielkość partii j Zysk Problem firmy Polifarb Co. (Wielkość partii jest wyrażona w jednostkach odpowiadających popytowi jednomiesięcznemu i równemu 1000 jednostek towaru; zysk wyrażony jest w 1000 dolarów). Jak powinien wyglądać plan produkcji farb w ciągu kolejnych miesięcy, przynoszący maksymalny zysk. Zadanie 37. Właściciel firmy handlowej Nabiał, Sery Co., Mr Little, powinien podzielić tygodniowy zapas jajek równy N między s sklepów. Z doświadczenia wie, że jeżeli przeznaczy y j jajek do sklepu j, to otrzyma zysk równy R j (y j ). Właściciel firmy przypuszcza, że w celu maksymalizacji zysku nie powinien przeznaczać wszystkich jajek do sprzedaży w jednym sklepie i stawia sobie za zadanie wyznaczenie optymalnego rozdziału posiadanych w magazynie jajek między wszystkie sklepy. Liczba skrzyń Zysk netto z jajkami y sklep 1 R 1 (y) sklep 2 R 2 (y) sklep 3 R 3 (y) sklep 4 R 4 (y) R j

17 Załóżmy, że właściciel firmy dysponuje N = 6 skrzyniami z jajkami, które chce podzielić między s = 4 sklepy (będziemy zakładać, że nie może dzielić zawartości skrzyni na różne sklepy). Zyski netto, jakie może otrzymać kierując odpowiednią liczbą skrzyń do każdego ze sklepów zawiera tablica. Zyski te są różne w różnych sklepach i zależą od wielkości popytu w każdym ze sklepów oraz od kosztów transportu i magazynowania. Określić optymalny rozdział skrzyń z jajkami do sklepów. Zadanie 38. Firma budowlana Domek inwestuje rocznie kilkanaście milionów dolarów w nieruchomości oraz w budowę centrów handlowych i dzielnic mieszkaniowych. Firma ma podjąć decyzję o zainwestowaniu nie więcej niż 10 mln dolarów w jedno lub więcej z trzech przedsięwzięć. Dane charakteryzujące te przedsięwzięcia zawiera tablica. Poziom Przedsięwzięcie 2 Przedsięwzięcie 3 Przedsięwzięcie 4 Inwestowania Y koszty I 2 (y) wartość R 2 (y) koszty I 3 (y) wartość R 3 (y) Koszty I 4 (y) wartość R 4 (y) Zauważmy, że każde z trzech przedsięwzięć może być realizowane na jednym z pięciu różnych poziomów inwestowania. Na przykład firma może zdecydować się na zainwestowanie 3, 5, 7, 8 lub 9 mln dolarów w przedsięwzięcie 2. Jeżeli wybór padnie na poziom 1, co oznacza zainwestowanie 3 mln dolarów w przedsięwzięcie 2, to obecną wartość przyszłych dochodów szacuje się na R 2 (1) = 0,8 mln dol. Natomiast, jeżeli wybrany zostanie

18 poziom inwestowania 5, co oznacza zainwestowanie 9 mln dol., to wartość przyszłych dochodów wzrośnie do R 2 (5) = 2,1 mln dol. Podobną interpretację można odnieść do dwu pozostałych przedsięwzięć. Określić optymalny plan inwestycji dla firmy Domek. Zadanie 39. W budynku zainstalowany jest hydrofor o pojemności zbiornika 10 m 3. Dobę podzielono na 5 okresów, w których następuje rozliczenie zużycia wody. Zapotrzebowanie na wodę w poszczególnych okresach jest następujące: T Zużycie wody w m W każdym z wyróżnionych okresów można uzupełnić zbiornik co najwyżej o 5 m 3. Koszty uzupełniania zależą od ilości uzupełnionej wody i od okresu. Są one przedstawione w tablicy. Ilość wody Koszt w okresie Zakłada się, że na początku pierwszego i końcu piątego okresu zbiornik musi zawierać 2 m 3 wody. Jak należy uzupełniać wodę w zbiorniku, aby koszt uzupełnienia był minimalny przy pełnym zaspokojeniu potrzeb? Zadanie 40. Działka ogrodnicza została podzielona na 4 części. Plony są uzależnione od dawki nawozu, jaki wysiejemy na każdej z części. W tablicy podano te zależności. Dawka nawozu Wartość plonów w zł w kg/część

19 Na każdą część należy przeznaczyć co najmniej 30 kg nawozu. Jak zużytkować 200 kg nawozu, aby wartość plonów była największa? Zadanie 41. Na wyprawę wysokogórską żywność pakowana jest w znormalizowane pojemniki. Istnieją 3 typy zestawów żywnościowych. Wagę i kaloryczność kazdego zestawu podaje tabela: Typ zestawu Waga w kg Kaloryczność w kcal A 1,5 8 B 2 11 C 2,5 15 Na wyprawę należy zabrać przynajmniej po 2 pojemniki z zestawem A i C. Ile każdego z zestawów powinien zabrać każdy z uczestników wyprawy, jeżeli waga żywności nie może przekroczyć 15 kg, a wartość kaloryczna ma być maksymalna? Zadanie 41. W przedsiębiorstwach P 1, P 2, P 3, P 4 opracowano perspektywiczne plany rozwoju, rozpatrując między innymi przyrost wartości produkcji w zależności od nakładów inwestycyjnych. Przewidywane zależności przedstawia tabela: Nakłady w mln Roczny przyrost wartości produkcji w mln zł zł Komentarz [MJB1]: P 1 P 2 P 3 P

20 Opracować wariant przydziału funduszów, gdy do podziału jest 100 mln zł. łącznie maksymalizując łączny przyrost wartości produkcji zakładów. Zadanie 42. Dana jest liczba R>0. Znaleźć takie liczby x, y, z 0, że x + y + z =R a ich iloczyn był maksymalny. Zadanie 43. Utworzyć czteroletni plan zatrudnienia pracowników w Zakładzie PONAMONA jeśli jedynym kryterium jest minimalizacja kosztów. Wiadomo, że minimalne zapotrzebowania b i na pracowników w kolejnych latach i = 1, 2, 3, 4 wynosi 6, 4, 8, 6 osób. Jeśli oznaczymy przez y i zatrudnienie w i-tym roku to koszty związane z zatrudnieniem y i b i pracowników ponad minimalne zakładane zapotrzebowanie wynoszą 3(y i b i ) (i = 1, 2, 3, 4). Koszty związane z zatrudnianiem i zwalnianiem pracowników można określić za pomocą funkcji K(y i y i-1 )= 4+ 2(y i y i-1 ) dla y i > y i-1 3 dla y i < y i-1.