MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 44, s. 277-284, Gliwic 2012 ZASOSOWANIE ADAPACYJNYCH ELEMENÓW PRZEJŚCIOWYCH W PROBLEMACH POWŁOK ZDOMINOWANYCH GIĘNIE GRZEGORZ ZBOIŃSKI 1, MAGDALENA ZIELIŃSKA 2 1 Instytut Maszyn Przpływowych PAN w Gdańsku, Uniwrsytt Warmińsko-Mazurski w Olsztyni -mail: zboi@imp.gda.pl 2 Wydział Nauk chnicznych, Uniwrsytt Warmińsko-Mazurski Strszczni. Przntowan badania dotyczą stosowania adaptacyjnych lmntów przjściowych od lmntów powłokowych pirwszgo rzędu do lmntów bryłowych (lub hirarchicznych powłokowych). Poprzdni tsty numryczn dotyczyły płyt oraz powłok zdominowanych mmbranowo. utaj rozważano przypadk powłok zdominowanych giętni. Clm jst usunięci tzw. wwnętrznj warstwy brzgowj, pojawiającj się na granicy pomiędzy modlami podstawowymi i będącj skutkim braku ciągłości naprężń i/lub odkształcń na tjż granicy. 1. WSĘP Omawian w tj pracy wyniki dotyczą fragmntu badań nad hirarchicznym modlowanim i adaptacyjną analizą mtodą lmntów skończonych problmów struktur złożonych. Struktury taki cchuj złożoność opisu, wynikająca z zastosowania więcj niż jdngo modlu mchaniczngo, np. powłokowgo pirwszgo rzędu, powłokowych hirarchicznych, trójwymiarowj sprężystości, czy tż odpowidnich modli przjściowych. Źródłm dodatkowych komplikacji moż być takż złożoność kształtu struktury, przjawiająca się obcnością części gomtrycznych o różnym charaktrz (części bryłowych, grubo- i cinkościnnych oraz przjściowych). W przypadku ogólnym podział na części gomtryczn ni musi pokrywać się z obszarami opisanymi różnymi modlami mchanicznymi. Problmatykę tę omawiają prac [1, 2]. am tż zaproponowano zastosowani tzw. podjścia trójwymiarowgo, modlowania hirarchiczngo i adaptacyjnj mtody lmntów skończonych typu hp do analizy tgo typu zadań. Podstawowa trudność w modlowaniu strf przjściowych (obszarów opisanych modlami przjściowymi) wynika z faktu, iż dotychczasow adaptacyjn, bryłowo-powłokow (a takż powłokowo-powłokow) przjściow lmnty skończon [3, 4] gwarantują jdyni ciągłość pola przmiszczń na granicy pomiędzy modlm powłokowym pirwszgo rzędu i przjściowym oraz przjściowym i trójwymiarowym (lub hirarchicznym powłokowym). W przypadku pola odkształcń jgo ciągłość jst zagwarantowana, al na granicy modlu przjściowgo i powłokowgo pirwszgo rzędu pojawiają się jgo wysoki gradinty spowodowan faktm, iż w strfi powłokowj pirwszgo rzędu obowiązuj warunk braku wydłużnia w kirunku poprzcznym, wynikający z kinmatycznych założń torii Rissnra- Mindlina. Warunk tn ni występuj natomiast w strfi przjściowj i jst wymuszony za
278 G. ZBOIŃSKI, M. ZIELIŃSKA pomocą więzów jdyni na granicy pomiędzy modlami. Z koli w przypadku pola naprężń, występuj brak ciągłości naprężń poprzcznych na granicy pomiędzy modlami przjściowym i powłokowym. Warto przypomnić, ż warunk braku poprzcznych naprężń normalnych obowiązuj w przypadku torii powłokowych pirwszgo rzędu, a ni występuj w przypadku trójwymiarowgo stanu naprężń obowiązującgo w lmntach bryłowych i dotychczasowj wrsji lmntów przjściowych. W litraturz, dla okrślnia zjawisk tgo typu, wprowadza się pojęci wwnętrzngo fktu brzgu (warstwy brzgowj) z względu na podobiństwo jgo następstw do przypadku brzgu zwnętrzngo. W ninijszj pracy intrsują nas dwa now typy lmntów przjściowych. dwa now typy porównan zostaną z lmntm dotychczasowym, w kontkści powłok zdominowanych giętni. Przypadki płyt (takż zdominowan giętni) i powłok zdominowanych mmbranowo zostały przdstawion odpowidnio w pracach [5] i [6]. Pirwszy z nowych typów lmntów przjściowych gwarantuj ciągłość pola naprężń poprzcznych na granicach pomiędzy modlami podstawowymi i przjściowym. Drugi zaś takż ciągłość i niski gradinty pola odkształcń poprzcznych na tych granicach. Niktór z istotnych aspktów algorytmizacji obu lmntów były przdstawion wczśnij [7, 8]. Ocna fktywności nowych lmntów polgać będzi na porównaniu krzywych zbiżności problmów powłok zdominowanych giętni, uzyskanych z zastosowanim nowych lmntów, z krzywymi odpowiadającymi modlom podstawowym. Ocni poddana zostani takż zdolność lmntów do usuwania wwnętrznj warstwy brzgowj w tgo typu problmach. Nasz badania mają charaktr wstępny i z tgo powodu dotyczą problmów modlowych oraz siatk równomirnych. Pozytywny wynik tych badań stanowić będzi przsłankę fktywngo zastosowania nowych lmntów przjściowych w przypadku siatk adaptacyjnych typu hp, o lokalni różnych wymiarach h i rożnych stopniach aproksymacji p lmntów. 2. ISOA ELEMENÓW PRZEJŚCIOWYCH RZECH YPÓW 2.1. Uwzględnini warunku płaskigo stanu naprężń W clu wyjaśninia istoty różnic pomiędzy trzma typami lmntów przjściowych przywołano ogólną dfinicję macirzy sztywności lmntów pięciościnnych gdzi 1, 2, 3 to współrzędn znormalizowan, J to macirz jakobianu przkształcnia k = 1 0 1 0 2 1 0 tych współrzędnych, B to macirz odkształcnia-przmiszcznia węzłow lmntu, zdfinio-wana na podstawi kirunków lokalnych x' 1, x' 2, x' 3 (dwa styczn i jdn normalny do kirunków naturalnych lmntu), natomiast D to macirz stałych sprężystych, odpowiadająca trójwymiarowym stanom naprężń i odkształcń. Dfinicja powyższa obowiązuj w przypadku lmntów opisanych modlami: trójwymiarowj sprężystości (3D), powłokowym pirwszgo rzędu (RM) i przjściowym (3D/RM). W przypadku lmntów przjściowych pirwszgo typu założono B 3D/RM co oznacza, iż macirz odkształcnia przmiszcznia lmntu przyjęta jst jak w lmnci bryłowym opisanym trójwymiarowa torią sprężystości. B DB dt( J) d d d B 3D 1 2 3 (1) (2)
ZASOSOWANIE ADAPACYJNYCH ELEMENÓW PRZEJŚCIOWYCH... 279 W przypadku lmntów drugigo i trzcigo typu obowiązuj 3 D/RM = [1 f ( 1, 2)] B RM f ( 1, 2) B 3D B (3) gdzi f ( 1, 2) to funkcja przjścia, natomiast 1, 2 to współrzędn znormalizowan powirzchni środkowj, przy czym: f ( 1, 2) 0 na brzgu lmntu przjściowgo przylgłym do lmntu RM, 0 f ( 1, 2 ) 1 w wnętrzu lmntu 3D/RM, f ( 1, 2 ) 1 na brzgu lmntu przylgłym do lmntu 3D. Można zauważyć, ż w zalżności (3) warunk płaskigo stanu naprężń 3 ' 3 ' 0 jst uwzględniony w części B RM macirzy odkształcnia-przmiszcznia lmntu przjściowgo, odpowiadającj modlowi powłokowmu pirwszgo rzędu. 2.1. Warunk braku wydłużnia prostych normalnych do powirzchni środkowj Założni kinmatyczn torii Rissnra-Mindlina o braku wydłużnia prostych normalnych do powirzchni środkowj można wyrazić poprzz warunk stałości przmiszczń w trzcim kirunku lokalnym tj. kirunku x' 3 i zapisać jako u const. W przypadku lmntu przjściowgo pirwszgo typu warunk t obowiązuj na brzgu lmntu przjściowgo przylgłym do lmntu RM. Jgo wprowadzni mtodą nałożnia więzów kinmatycznych (porównaj [1, 3]) odpowiada przkształcniom macirzy sztywności k i wktora obciążnia f lmntu. W wyniku tgo otrzymano zmodyfikowaną macirz k i zmodyfikowany wktor f' lmntu, taki ż: Z koli w przypadku lmntów drugigo i trzcigo typu przyjęto gdzi A i A ' to węzłow macirz przjścia lmntu opart, odpowidnio, na wartościach funkcji przjścia f, ) i f 1 (, ) w węzłach i lmntu. Warunk braku i f i ( 1i 2i k 3D/RM ' i f i 1i 2i 3D/RM wydłużnia obowiązuj traz w części k RM macirzy sztywności lmntu przjściowgo. u f k' 3 D/RM u ( A k 3DA A' k' RMA' ) u A f 3D A' f' RM f' 3D/RM 3 ' (4) (5) 3. WYNIKI BADAŃ Obiktm badań była symtryczna ćwiartka powłoki pół-cylindrycznj. Powłoka była obciążona równomirni (na górnj powirzchni) siłami skirowanymi pionowo w dół i utwirdzona wzdłuż brzgów prostoliniowych. Brzgi zakrzywion traktowano jako swobodn. W przntowanj części analizy zastosowano siatkę równomirną 8 8 2 lmntów pryzmatycznych. Analizowano tzw. modl czyst powłoki, opart na toriach podstawowych 3D lub RM, oraz modl miszan, uwzględniając lmnty 3D, 3D/RM i RM. Podział na strfy odpowiadając modlom podstawowym i przjściowym był prowadzony równolgl do brzgu prostoliniowgo, z zminnym udziałm części powłokowj i trójwymiarowj w modlu. Strfa 3D przylgała do brzgu prostoliniowgo. Strfa przjściowa składała się z jdnj warstwy lmntów przjściowych.
280 G. ZBOIŃSKI, M. ZIELIŃSKA 3.1. Zdolność do usuwania wwnętrznj warstwy brzgowj Zdolność lmntów przjściowych do usuwania wwnętrznj warstwy brzgowj ocnić można, porównując naprężnia fktywn, zgodn z hipotzą Hubra-Missa, z rys. rys. 1 i 2, odpowiadając zastosowaniu lmntów pirwszgo oraz drugigo i trzcigo typu. > < Rys. 1. Naprężnia fktywn (pirwszy typ lmntów przjściowych) > < Rys. 2. Naprężnia fktywn (drugi i trzci typ lmntów przjściowych) Przglądając rysunki 1 i 2 dostrzc można, na granicy modlu powłokowgo RM i przjściowgo 3D/RM, w połowi zakrzywiongo brzgu ćwiartki powłoki (patrz oznaczni na rysunkach), wystąpini skoku naprężń fktywnych w pirwszym przypadku i jgo brak w drugim przypadku.
ZASOSOWANIE ADAPACYJNYCH ELEMENÓW PRZEJŚCIOWYCH... 281 3.2. Krzyw zbiżności w przypadku modli podstawowych i złożonych W clu porównania krzywych zbiżności rozwiązań w przypadku zastosowania modli przjściowych zamiszczono rysunki 3, 4 i 5. log (U r - U) 5,00 Krzyw zbiżności W1 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00-1,00-2,00 3D(8) _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 RM(8) Rys.3. Krzyw zbiżności (modl miszan uwzględniają pirwszy modl przjściowy) log N log (U r - U) 5,00 Krzyw zbiżności W2 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00-1,00-2,00 3D(8) _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 RM(8) Rys.4. Krzyw zbiżności (modl miszan uwzględniają drugi modl przjściowy) log N log (U r - U) 5,00 Krzyw zbiżności W3 4,00 3,00 2,00 1,00 0,00 1,50 2,00 2,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 6,00-1,00 < -2,00 3D(8) _1 _2 _3 _4 _5 _6 _7 RM(8) Rys.5 Krzyw zbiżności (modl miszan uwzględniają trzci modl przjściowy) log N
282 G. ZBOIŃSKI, M. ZIELIŃSKA Zaprzntowan krzyw zbiżności wiążą bzwzględny błąd aproksymacji (oś pionowa), wyrażony jako logarytm różnicy nrgii potncjalnych U r i U, obliczonych z modlu odnisinia i aktualngo modlu numryczngo, z logarytmm liczby stopni swobody N (oś pozioma). Enrgia odnisinia odpowiada najlpszmu możliwmu do otrzymania z programu wynikowi numrycznmu. Koljn krzyw uzyskano zminiając udział modlu powłokowgo. Modl całkowici powłokowy oznaczono RM(8), całkowici trójwymiarowy 3D(8). Analizując krzyw z wszystkich trzch rysunków, można stwirdzić ich duż podobiństwo. W wszystkich przypadkach krzyw dla modli miszanych, uwzględniających lmnty przjściow 3D/RM, miszczą się pomiędzy krzywymi uzyskanymi dla modli podstawowych RM i 3D. W przypadku zastosowania lmntów drugigo i trzcigo typu widoczn jst lpsz uporządkowani koljnych krzywych zbiżności (ni przcinają się). 3.3. Oszacowan wartości błędów w przypadku modli złożonych W clu ocny poziomu błędów aproksymacji w strfach przjściowych, na rysunkach 6 i 7, zaprzntowano ich lmntow rozkłady. Rys. 6. Oszacowan błędy lmntow (pirwszy typ lmntów przjściowych) Rys. 7. Oszacowan błędy lmntow (drugi i trzci typ lmntów przjściowych)
ZASOSOWANIE ADAPACYJNYCH ELEMENÓW PRZEJŚCIOWYCH... 283 Porównując rysunki 6 i 7 widać, iż najwyższy poziom błędów odpowiada sąsidztwu brzgu utwirdzongo (zwnętrzna warstwa brzgowa) oraz strfi przjściowj, w którj wystąpić moż wwnętrzna warstwa brzgowa na granicy modli. W przypadku zastosowania lmntów przjściowych drugigo i trzcigo typu poziom błędów lmntowych w tj strfi jst niższy niż w przypadku stosowania dotychczasowgo modlu przjściowgo. 4. WNIOSKI Zbiżność rozwiązań problmu modlowgo, w przypadku zastosowania wszystkich trzch modli przjściowych, jst podobna. Zbiżność rozwiązań problmów modlowych, z zastosowanim lmntów przjściowych, miści się pomiędzy zbiżnościami dla zadań opartych na modlach podstawowych. W przypadku wykorzystania drugigo i trzcigo modlu przjściowgo rozkłady naprężń normalnych i fktywnych wskazują na usunięci niciągłości pól naprężń i odkształcń, typowj dla występowania wwnętrznj warstwy brzgowj. Wprowadzni drugigo i trzcigo modlu przjściowgo pozwala na obniżni błędów aproksymacji w strfi przjściowj. Z powyższych obsrwacji wynika, iż w przypadku powłok zdominowanych giętni uwzględnini w modlu przjściowym ciągłj zmiany warunku płaskigo stanu naprężń jst istotnijsz dla wyliminowania wwnętrzngo fktu brzgu niż ciągła zmiana warunku braku wydłużnia prostych normalnych. Powyższy wniosk jst zgodny z poprzdnimi obsrwacjami w przypadku modlowych problmów płyt [5] (z dfinicji zdominowan giętni). Natomiast w przypadku powłok zdominowanych mmbranowo istotnijsz jst wymuszni ciągłj zmiany warunku braku wydłużnia prostych normalnych, jak to wykazano w [6]. LIERAURA 1. Zboiński G.: Modlowani hirarchiczn i mtoda lmntów skończonych do adaptacyjnj analizy struktur złożonych. Zsz. Nauk. IMP PAN w Gdańsku. Studia i matriały. Gdańsk 2001, 520/1479. 2. Zboiński G.: Unrsolvd problms of adaptiv hirarchical modlling and hp-adaptiv analysis within computational solid mchanics. In: Computr Mthods in Mchanics Lcturs of th CMM 2009. Sria: Advancd Structural Matrials, t. 1 (Rd. rd. M. Kuczma, K. Wilmański). Brlin: Springr Vrlag, 2010, p. 113-147. 3. Zboiński G., Ostachowicz W.: An algorithm of a family of 3D-basd, solid-to-shll, hpq/hp-adaptiv Finit Elmnts. Journal of hortical and Applid Mchanics 2000, 38, p. 791 806. 4. Nosarzwska M.: Zastosowani lmntów przjściowych w adaptacyjnj analizi struktur sprężystych. Praca magistrska. Wydział Nauk chnicznych, Uniwrsytt Warmińsko-Mazurski, Olsztyn 2007. 5. Nosarzwska M., Zboiński G.: Efktywność przjściowych lmntów skończonych w hirarchicznym modlowaniu struktur złożonych. Modlowani Inżynirski 2009, nr 38, t. 7, s. 131-138.
284 G. ZBOIŃSKI, M. ZIELIŃSKA 6. Zilińska M., Zboiński G.: Efktywność przjściowych lmntów skończonych w modlowaniu struktur złożonych zdominowanych mmbranowo. Mchanik 2011, nr 7, 11 i 967-972 (CD ROM). 7. Nosarzwska M., Zboiński G.: An algorithm of th nhancd 3D-basd solid-to-shll transition lmnts for adaptiv modlling and analysis of complx structurs. In: Short Paprs of th 18th Intrnational Confrnc on Computr Mthods in Mchanics. Zilona Góra 2009, p. 333-334. 8. Zilińska M., Zboiński G.: An algorithm of th 3D-basd solid-to-shll transition lmnts accounting for continuous chang of th Rissnr-Mindlin constraints. In: Short Paprs of th 18th Intrnational Confrnc on Computr Mthods in Mchanics. Warszawa 2011, p. 531-532 and CD-ROM, 1-5. APPLICAION OF HE ADAPIVE SOLID-O-SHELL RANSIION ELEMENS IN PROBLEMS OF BENDING-DOMINAED SHELLS Summary. h prsntd rsarch concrns application of th adaptiv solid-toshll (or shll-to-shll) transition lmnts btwn th modls of th first-ordr shll thory and th thory of 3D-lasticity (or th hirarchical shll thory). Our prvious numrical tsts dalt with plats and mmbran-dominatd shlls. Hr w addrss th cas of bnding-dominatd shlls. Our goal is to gt rid of th socalld intrnal boundary layr apparing in th vicinity of th boundaris btwn th basic (or should w say pur) modls, and bing a rsult of lack of strss and/or strain continuity through this boundary.