PROPOZYCJA ZASTOSOWANIA WYMIARU PUDEŁKOWEGO DO OCENY ODKSZTAŁCEŃ PRZEBIEGÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH

Transkrypt

1 Prace Naukowe Instytutu Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Nr 56 Politechniki Wrocławskiej Nr 56 Studia i Materiały Nr Krzysztof PODLEJSKI *, Sławomir KUPRAS wymiar fraktalny, jakość energii PROPOZYCJA ZASTOSOWANIA WYMIARU PUDEŁKOWEGO DO OCENY ODKSZTAŁCEŃ PRZEBIEGÓW ELEKTROENERGETYCZNYCH Znanych jest kilka sposobów oceny odkształceń przebiegów elektroenergetycznych. Jednym z najczęściej stosowanych jest współczynnik zawartości harmonicznych THD (THDf). Jest to miara globalna charakteryzująca udział wyższych harmonicznych w przebiegu. Podczas prowadzonych badań nad przebiegami odkształconymi zauważono, że THD przyjmuje bardzo zbliżone wartości przy mocno zróżnicowanym rozkładzie wyższych harmonicznych. THD nie zawiera informacji czy w przebiegu jest jedna dominująca harmoniczna, czy jest ich kilka o mniejszych wartościach. Nie charakteryzuje także stopnia udziału harmonicznych niskich lub wysokich rzędów. Odkształcone przebiegi elektroenergetyczne, szczególnie prądowe, są figurami geometrycznymi mocno poszarpanymi a zatem ich długość znacznie różni się od długości przebiegu sinusoidalnego. W geometrii fraktalnej do oceny takich poszarpanych struktur wykorzystuje się wymiar cyrklowy i wymiar pudełkowy. W niniejszej pracy zaprezentowano zagadnienie zmiany wartości wymiaru pudełkowego przebiegu prądowego w różnych warunkach obciążenia komputerowego zasilacza impulsowego. Zmiany te są wielokrotnie większe niż zmiany wartości THD i w dużym stopniu zależą od zawartości wyższych harmonicznych. Obliczanie wymiaru pudełkowego nie wymaga realizowania transformaty Fourier a. 1. WYMIAR PUDEŁKOWY 1.1. SPOSÓB PRZYGOTOWANIA MASZYNOPISU (tytuł 9 p.) Znane są różne definicje wymiaru np.: wymiar topologiczny, wymiar Hausdorffa, wymiar samopodobieństwa, wymiar pudełkowy, wymiar cyrklowy [1, 2]. Wymiar pudełkowy stosuje się, podobnie jak wymiar cyrklowy, w przypadkach struktur, które nie wykazują własności samopodobieństwa. Wymiar pudełkowy może być obliczany w n- wymiarowej przestrzeni euklidesowej (w naszym przypadku n = 2). Algorytm obliczania Politechnika Wrocławska, Instytut Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych, Wrocław, ul. Smoluchowskiego 19, krzysztof.podlejski@pwr.wroc.pl

2 jest następujący. Umieszczamy badaną strukturę (obiekt geometryczny) na regularnej siatce o wielkości oczek s i zliczamy te oczka siatki, które zawierają fragment struktury. Otrzymamy w ten sposób liczbę N(s) zależną od wielkości oczek s. W kolejnych krokach zmniejszamy stopniowo s i znajdujemy odpowiadające im liczby N(s). Następnie zaznaczamy na wykresie logarytmy wyników logn(s) w odniesieniu do log(1/s). Wykres aproksymujemy linią prostą i obliczamy jej nachylenie D b. Otrzymana liczba to wymiar pudełkowy. Przykład procedury obliczania wymiaru pudełkowego dla dwóch wielkości oczek siatki przedstawia rys. 1. Struktura pokazana na tym rysunku to przebieg prądu pobieranego przez sterownik prądu przemiennego (dla obciążenia rezystancyjnego). 1,8 1,6 y = 1,0375x + 0,5536 1,4 1,2 log(n(s)) 1 0,8 0,6 0,4 0, ,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 log(1/s) Rys. 1. Procedura obliczania wymiaru pudełkowego Fig. 1. The procedure computation of fractals dimension

3 2. ANALIZA ZMIAN WYMIARU PUDEŁKOWEGO PRZEBIEGÓW ODKSZTAŁCONYCH Badania przeprowadzono na przebiegach prądowych komputerowych zasilaczy impulsowych. Źródłem zasilania był generator HP 6834B o impedancji wewnętrznej około 0,3Ω. Przykładowe wyniki przedstawiono na poniższych wykresach. Rys. 2. Przebiegi napięcia i prądu, I obc = 0,5A Fig. 2. Voltage and current I = 0,5A

4 Rys. 3. Widmo harmonicznych, I obc =0,5 A Fig. 3. Harmonics analysis, I=0,5 A Tabela 1. Obliczanie wymiaru pudełkowego Table 1. Computation of fractal dimension s N(s) log(n(s)) log(1/s) D b 0, , , , , , , , , , , , ,3215 0, , , , , , , , ,886057

5 4,5 4 y = 1,3215x + 0,1947 3,5 3 log(n(s)) 2,5 2 1,5 1 0, ,5 1 1,5 2 2,5 3 3, 5 log(1/s) Rys. 4. Wykres danych z tabeli 1 Fig. 4. Diagram of data tab. 1 Rys. 5. Przebiegi napięcia i prądu, I obc =3 A Fig. 5. Voltage and current. I=3A

6 Rys. 6. Widmo harmonicznych, I obc =3 A Fig. 6. Harmonics analysis, I=3 A Tabela 2. Obliczanie wymiaru pudełkowego Table 2. Computation of fractal dimension s N(s) log(n(s)) log(1/s) D b 0, , , , , , , , , , , , ,1955 0, , , , , , , , ,886057

7 4,5 4 y = 1,1955x + 0,3457 3,5 3 log(n(s)) 2,5 2 1,5 1 0, ,5 1 1,5 2 2,5 3 3, 5 log(1/s) Rys. 7. Wykres danych z tabeli 2 Fig. 7. Diagram of data tab. 2 Na rysunkach 3 i 6 przedstawiono rozkład harmonicznych w przebiegach prądowych zasilacza impulsowego obciążonego prądem odpowiednio 0,5A i 3,0A. W widmie z rys.3 z harmonicznych wyższych rzędów, która ma jeszcze duże znaczenie jest harmoniczna 23 o zawartości 19%. Natomiast widmo z rys.6 rozciąga się do 19 harmonicznej, która jest na podobnym poziomie i wynosi 22%. Analiza obu widm wskazuje, że zmienił się dość znacząco rozkład harmonicznych, natomiast otrzymane wartości THD różnią się w niewielkim stopniu (86,7% dla widma z rys.3 i 88,3% dla widma z rys.6). Zmiany wymiaru pudełkowego są większe, odpowiednio 1,3215 i 1,1955. Przeliczając wymiar pudełkowy D b na D = (D b 1)x100% otrzymamy 32% i 20% a zmiany THD są na poziomie 2%. Wśród badanych zasilaczy jeden był taki, którego widmo praktycznie kończyło się na 13 harmonicznej o zawartości 18% i w tym przypadku obliczona wartość D wynosiła 7% a THD 83,8%. 3. PODSUMOWANIE Istota zagadnienia polegała na pokazaniu, że wymiar pudełkowy, który jest jedną z odmian wymiaru fraktalnego Mandelbrota, różnicuje odkształcone przebiegi elektroenergetyczne w stopniu znacznie większym niż współczynnik zawartości THD. W przeprowadzonych badaniach impulsowych zasilaczy komputerowych uzyskano

8 zmiany zmodyfikowanego wymiaru pudełkowego D w zakresie od 7% do 32% przy zmianach THD w zakresie 83,7% do 86,7%. W opisanych przykładach jednego zasilacza pracującego przy różnym obciążeniu wymiar D zmienił się o 12% a THD zaledwie o 2%. Wartość wymiaru pudełkowego silnie zależy od rozkładu widma harmonicznych. Wraz ze wzrostem zawartości wyższych harmonicznych rośnie wartość wymiaru. Wynika to z algorytmu obliczania wymiaru. Do obliczeń nie jest potrzebna transformata Fouriera. Uzyskane wyniki wskazują na możliwość zastosowania wymiaru pudełkowego jako jeszcze jednej wielkości charakteryzującej przebiegi odkształcone niosącej informacje o występowaniu wyższych harmonicznych. Ze względu na podobieństwo algorytmów wydaje się, że podobne rezultaty można uzyskać także dla wymiaru cyrklowego LITERATURA [1] KUDREWICZ J., Fraktale i chaos, Warszawa, WNT, 1993 [2] PEITGEN H.-O.,JURGENS H., SAUPE D., Granice chaosu, fraktale, Warszawa, PWN, PROPOSAL OF APPLICATION THE FRACTAL DIMENSION TO ANALYSIS ELECTRICAL WAVEFORM DISTORTION In this paper presents results experiment of current waveform computers power supply. The changes of the fractal dimensions and THD values weel comparised. We observed a higher value of harmonics for fractal dimension then for THD.