ANALIZA ADAPTACYJNA STRUKTUR SPRĘŻYSTYCH Z WARSTWĄ BRZEGOWĄ NA PRZYKŁADZIE PŁYTY O ZMIENNEJ GRUBOŚCI

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE nr 57, ISSN X ANALIZA ADAPTACYJNA STRUKTUR SPRĘŻYSTYCH Z WARSTWĄ BRZEGOWĄ NA PRZYKŁADZIE PŁYTY O ZMIENNEJ GRUBOŚCI Łukasz Miazio 1a, Grzegorz Zboiński 1,2b 1 Wydział Nauk Technicznych, Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie 2 Instytut Maszyn Przepływowych Polskiej Akademii Nauk w Gdańsku a lukasz.miazio@uwm.edu.pl, b zboi@imp.gda.pl Streszczenie Prezentowane wyniki badań wynikają z kontynuacji prac nad wpływem grubości płyty i rodzaju warunków brzegowych na intensywność i zasięg zjawiska warstwy brzegowej w przypadku analizy numerycznej struktur cienkoi grubościennych. W pracy badany jest wpływ zjawiska warstwy brzegowej w analizie adaptacyjnej typu hp płyty o zmiennej grubości. Wcześniejsze prace autorów obejmowały tylko płyty o ustalonej grubości. W przypadku analiz numerycznych usunięcie niekorzystnych następstw zjawiska wymaga zastosowania siatek zgęszczanych wykładniczo w sąsiedztwie brzegu struktury, w kierunku prostopadłym do tego brzegu. Słowa kluczowe: zjawisko warstwy brzegowej, płyty, analiza adaptacyjna, metoda elementów skończonych ADAPTIVE ANALYSIS OF ELASTIC STRUCTURES WITH A BOUNDARY LAYER AS EXEMPLIFIED BY A PLATE OF VARYING THICKNESS Summary The presented results of the research follow from a continuation of the works on influence of the plate thickness and a type of boundary condition on a range and intensity of the boundary layer phenomenon in the case of numerical analysis of thin-walled and thick-walled structures. In the paper, an influence of the phenomenon in the hp-adaptive analysis of a plate of varying thickness is investigated. The hitherto works covered the case of a uniform symmetric thickness. It is worth mentioning that the boundary layer phenomenon consists in insufficiently accurate representation of the so called boundary part of the solution. In the case of numerical analyses, the getting rid of the polluting effect of the phenomenon needs an application of meshes refined exponentially in a vicinity of the boundary, in the direction perpendicular to this boundary. Keywords: boundary layer phenomenon, plates, adaptive analysis, finite element methods 1. WSTĘP W niniejszej pracy przedmiotem badań jest wpływ zmiennej grubości płyty na wystąpienie intensywność i zasięg warstwy brzegowej. Dodatkowym przedmiotem zainteresowania jest odpowiedź na pytanie, czy metody wykrywania i oceny zjawiska stosowane wcześniej w przypadku struktur o stałej grubości pozostają efektywne w przypadku zmiany tej grubości wzdłuż brzegu. W pracy zostały przedstawione i porównane przykłady analizy adaptacyjnej typu hp płyty o zmiennej grubości w razie zastosowania bądź niezastosowania dodatkowego kroku adaptacyjnego, którego celem jest wyeliminowanie następstw zjawiska warstwy brzegowej. W tym drugim przypadku wykorzystano narzędzia do wykrywania i oceny istotności zjawiska warstwy brzegowej, zapropo- 34

2 ŁUKASZ MIAZIO, GRZEGORZ ZBOIŃSKI nowane w [7] i rozwinięte w [2]. Prezentowane tutaj badania są jednym z etapów szerszych studiów nad narzędziami do wykrywania i oceny zjawiska warstwy brzegowej w analizie numerycznej struktur cienkoi grubościennych. Wcześniejsze prace autorów dotyczące tych studiów obejmowały tylko płyty o ustalonej grubości [2, 3, 4]. 2. METODY ADAPTACYJNE Adaptacyjne metody elementów skończonych wykorzystywane są w celu uzyskania rozwiązania badanego problemu o błędzie globalnym rozwiązania mniejszym od założonego i błędach lokalnych równomiernie rozłożonych. Klasyczne metody elementów skończonych (MES) nie pozwalają kontrolować poziomu błędu i nie dają odpowiedzi na pytanie o jakość uzyskanych wyników. W pracy wykorzystano jedną z odmian metod adaptacyjnych metoda typu hp (rys. 1). Działa ona poprawnie w zakresie tzw. zbieżności asymptotycznej rozwiązania, w którym to zakresie obowiązują teorie zbieżności wiążące poziom błędu z parametrami dyskretyzacji h (wymiar elementu) i p (stopień aproksymacji w elemencie). Z tego powodu konieczne jest, aby przed przystąpieniem do adaptacji siatki, gwarantującej założony poziom błędu rozwiązania, znajdowało się ono w takim zakresie. Zastosowana adaptacja, o której jest tu mowa, wykorzystuje podejście trzech kroków [6]. Polega ono na stworzeniu siatki początkowej dla analizowanej struktury, rozwiązaniu w jej przypadku problemu globalnego i ocenie błędu globalnego oraz błędów lokalnych (dla każdego elementu w strukturze). W drugim kroku, na podstawie wielkości błędów z pierwszego etapu, dokonuje się lokalnego zagęszczenia siatki początkowej. Dla takiej pośredniej siatki po raz drugi rozwiązuj się problem globalny i szacuje błędy. Etap ten nazwano krokiem h. W kroku trzecim (krok p) na podstawie oszacowań błędów z kroku h powstaje siatka docelowa, w której lokalnie zostaje podniesiony stopień wielomianów aproksymujących. Następnie po raz trzeci rozwiązuje się problem globalny i analizuje błędy. Należy tutaj przypomnieć, że zjawisko warstwy brzegowej (inaczej efekt brzegu) utrudnia wejście rozwiązania numerycznego w obszar zbieżności asymptotycznej, co zostało szerzej omówione w pracach [2, 3]. To właśnie z powodu efektu brzegu pojawia się wspomniana już konieczność modyfikacji siatki początkowej, tak aby przed rozpoczęciem adaptacji typu h i p, rozwiązanie znajdowało się w obszarze zbieżności asymptotycznej (patrz [7]). 3. NARZĘDZIA NUMERYCZNE DO WYKRYWANIA I OCENY ZJAWISKA 3.1WYKRYWANIE ZJAWISKA Wykorzystywana metoda wykrywania efektu brzegu była już opisywana wcześniej przez autorów [2, 3, 4, 5]. Polega ona na dwukrotnym rozwiązaniu problemu lokalnego zdefiniowanego w obszarze Vc pary elementów pryzmatycznych, tworzącej obszar ograniczony rozważanym brzegiem struktury oraz dwiema płaszczyznami prostopadłymi i jedną równoległą do brzegu (rys. 2a). Rys. 1. Schemat blokowy udoskonalonej metody adaptacyjnej typu hp Rys. 2. Obszar : a) para elementów macierzystych, b)cztery elementy utworzone przez podział równomierny, c) cztery elementy utworzone przez podział wykładniczy Równowagę obszaru gwarantuje uwzględnienie naprężeń międzyelementowych na brzegu Sc obszaru, uzyskanych dla wspomnianej pary elementów. W obszarze tym dokonywany jest podział w kierunku normalnym n do 35

3 ANALIZA ADAPTACYJNA STRUKTUR SPRĘŻYSTYCH Z WARSTWĄ BRZEGOWĄ brzegu na dwa mniejsze podobszary. W kierunku stycznym s do brzegu podział nie ulega zmianie. Następnie każdy z podobszarów jest dzielony na dwa elementy pryzmatyczne (rys. 2b i 2c). Powstałe w ten sposób problemy lokalne czteroelementowego układu są określone przez następujace równania: gdzie: k elementowa macierz sztywności, q - wektor przemieszczeń elementowych, fm - wektor sił węzłowych od obciążeń masowych, fs - wektor sił od obciążeń powierzchniowych, fr - wektor sił węzłowych od obciążeń międzyelementowych. (1) Kryterium wykrywania efektu brzegu oparte jest na oszacowaniach energii odkształcenia dwóch czteroelementowych problemów lokalnych. Energie te są równoważne energiom potencjalnym. Omawiane kryterium ma postać: (2) gdzie: to forma dwuliniowa reprezentująca energię odkształcenia, oznacza przemieszczenia w przypadku podziału arytmetycznego (rys. 2b) pary elementów przy brzegu struktury, natomiast oznacza wektor przemieszczeń w przypadku podziału wykładniczego (rys. 2c). Spełnienie lub niespełnienie powyższej zależności prowadzi do wniosku, że zjawisko warstwy brzegowej odpowiednio występuje lub nie. Wynika to z przeprowadzonej analizy wrażliwości rozwiązania problemu lokalnego na charakter podziału. Spełnienie kryterium sugeruje bowiem, że część brzegowa rozwiązania jest istotniejsza od części wewnętrznej rozwiązania. Części te wymagają bowiem odpowiedniej siatki z podziałem wykładniczym i równomiernym, co zostało dokładniej wyjaśnione w pracy [2]. 3.2OCENA ISTOTNOŚCI W przypadku wykrywania efektu brzegu z oceną istotności, po wykryciu zjawiska [2, 3, 4, 5] sprawdzana jest jego istotność. Do kryterium wprowadzono energię odkształcenia z problemu dwuelementowego przed podziałem wybranej pary elementów: W równaniu tym ε to przyjęty poziom istotności zjawiska warstwy brzegowej. W równaniu pojawia się rozwiązanie odniesienia uzyskane z dwuelementowego problemu lokalnego, odpowiadającego siatce bez dodatkowego podziału (rys. 2a), a jednocześnie siatce z problemu globalnego (całej struktury). 3.3USTALANIE OPTYMALNEGO PODZIAŁU WYKŁADNICZEGO W opcji ustalania optymalnego podziału wykładniczego [2] w sąsiedztwie brzegu zastosowano podobne podejście jak w przypadku wykrywania efektu brzegu. Kryterium porównawcze dla pojedynczej pary elementów zapisać można następująco: Maksymalna wartość j = jopt, dla której spełniony jest powyższy warunek, odpowiadać będzie przyjętej szerokości optymalnego podziału wykładniczego tj., gdzie j = 1,2,,J - 1 i przyjęto jako równe J = 10 [2]. Zaproponowane kryterium porównuje czteroelementowe problemy lokalne z różnym podziałem wykładniczym. Rys. 3. Schemat blokowy korekty iteracyjnej siatki wykładniczej. 3.4OCENA INTENSYWNOŚCI ZJAWISKA W celu uwzględnienia intensywności zjawiska warstwy brzegowej [2] wprowadzono korektę iteracyjną siatki początkowej (rys. 3). Polega ona na wielokrotnym wykrywaniu efektu brzegu (z oceną istotności lub doborem optymalnego stosunku podziału) i następującej po nim ewentualnej modyfikacji siatki (kiedy zjawisko zostało wykryte i okazało się istotne). Oznacza to, że po wykryciu warstwy brzegowej rozwiązywany jest ponownie problem globalny na zmodyfikowanej siatce. Jeżeli zjawisko warstwy brzegowej jest w dalszym ciągu istotne, to po raz kolejny zagęszczana jest siatka globalna, po wprowadzeniu kolejnej warstwy wykładniczo zagęszczonych elementów w kierunku normalnym do brzegu. Po czym ponownie rozwiązywany jest problem globalny 36

4 ŁUKASZ MIAZIO, GRZEGORZ ZBOIŃSKI i cały proces jest powtarzany aż do chwili, gdy dodanie kolejnej warstwy przestaje być konieczne. Fragment A-B algorytmu z rys. 3 musi być wstawiony w schemat blokowy z rys. 1. Parametr L oznacza maksymalną liczbą warstw zagęszczających wykładniczo siatkę, które można ewentualnie wprowadzić. 4. EKSPERYMENT NUMERYCZNY W celu oceny, czy metody wykrywania i oceny zjawiska stosowane wcześniej w przypadku struktur o stałej grubości pozostają efektywne w razie zmiany tej grubości wzdłuż brzegu, przeprowadzono analizy trzech typów, tj.: analizę adaptacyjną z wykrywaniem warstwy brzegowej i oceną intensywności, analizę adaptacyjną z wykrywaniem optymalnego podziału warstwy elementów przy brzegu struktury oraz standardową analizę adaptacyjną, bez dodatkowego kroku uwzględniającego wystąpienie warstwy. Przez optymalny podział rozumie się podział, przy którym uzyska się rozwiązanie obarczone najniższym błędem. Wykonano także analizę z narzuconym podziałem w obszarze warstwy brzegowej w celu porównania krzywych zbieżności rozwiązań. Uzyskane wyniki pozwoliły ocenić skuteczności: metody wykrywania i metody usuwania niekorzystnego wpływu warstwy brzegowej. punkt wyjścia do dokonywanych podziałów wykorzystano siatki równomierne 33 (rys. 4). W pierwszym eksperymencie numerycznym przeprowadzono analizę adaptacyjną z wykrywaniem warstwy brzegowej i oceną intensywności. Uzyskaną siatkę końcową zamieszono na rys. 5. Kolor siatki oznacza stopień wielomianów aproksymujących. Na lewym górnym brzegu zostały wprowadzone automatycznie dwie warstwy wykładnicze w stosunku 1:9. Natomiast jedna warstwa wykładnicza została wprowadzona na prawym górnym brzegu. Rys. 5. Siatka końcowa hp uzyskana w przypadku zmodyfikowanej metody adaptacyjnej z wykrywaniem istotności efektu brzegu Kolejny test obejmował analizę adaptacyjną z wykrywaniem optymalnego podziału warstwy elementów przy brzegu struktury. Otrzymana siatka końcowa została zamieszczona na rys. 6. Na lewym górnym brzegu również zostały wprowadzone dwie warstwy wykładnicze w stosunku 1:9. Górny prawy brzeg zmodyfikowano przez wprowadzenie jednej dodatkowej warstwy w stosunku 2:8. Rys. 4. Ćwiartka płyty i jej podział równomierny 33 Eksperyment numeryczny wykonano dla ćwiartki symetrycznej płyty o wymiarach: długość = 1,57075 m, grubość = 0,03 0,3 m. Wykonana była z materiału sprężystego o module Younga E = 2, N/m 2 i współczynniku Poissona = 0,3. Górna powierzchnia płyty obciążona została równomiernie siłami powierzchniowymi skierowanymi pionowo ku dołowi, o wartości -4, N/m 2. Dwa górne brzegi boczne zostały sztywno utwierdzone, z kolei na dwa pozostałe został nałożony warunek symetrii. Zastosowano hierarchiczny model powłokowy MI (I q = 2), przedstawiony w [7, 8], gdzie I to rząd modelu hierarchicznego, a q to poprzeczny stopień aproksymacji. W testach numerycznych jako Rys. 6. Siatka końcowa hp zmodyfikowana metoda adaptacyjna z poszukiwaniem optymalnego podziału wykładniczego Trzeci eksperyment wykonano dla standardowej procedury adaptacyjnej (rys. 7), bez dodatkowego kroku wykrywania warstwy brzegowej. W tym przypadku adaptacja ma charakter trójkrokowy, zgodny z oryginalną metodą trzech kroków [6]. 37

5 ANALIZA ADAPTACYJNA STRUKTUR SPRĘŻYSTYCH Z WARSTWĄ BRZEGOWĄ Ostatni test wykonano z narzuconym podziałem wy- kładniczym (rys. 8) ), gdzie wprowadzono dwie warstwy zagęszczone w stosunku 1:9 na górnych brzegach struktury. Rys. 7. Siatka końcowa hp uzyskana w przypadku standardowej (trójkrokowej) metody adaptacyjnej Rys. 9. Krzywe zbieżności rozwiązania Na podstawie uzyskanych wyników badań sporządzono krzywe zbieżności rozwiązań adaptacyjnych. Zilustro- wano je na rys. 9. Na osi poziomej zamieszczono loga- osi rytm globalnej liczby stopni swobody N, z kolei na pionowej logarytm miary błędu aproksymacji. Wielkość U reprezentuje tutaj energię odkształcenia w problemie globalnym, natomiast Ur to energia odniesienia, otrzymana z najlepszego rozwiązania numerycznego możliwe- go do uzyskania za pomocą zastosowanego programu Rys. 8. Siatka końcowa hp uzyskanaa w przypadku zmodyfikowanej metody adaptacyjnej z wykrywaniem efekty brzegu adaptacyjnego 3DmhpqAP. Te najlepsze rozwiązania zostały uzyskane na siatkach z tym samymm wzorem podziału na elementy, co w analizowanym problemie, po przyjęciu maksymalnego stopnia aproksymacji wzdłużnej p = 9. Należy zwrócić uwagę, że zmniejszenie błędu o jedną jednostkę na osi pionowej odpowiada dziesięcio- wzrost krotnemu zmniejszeniu tego błędu. Natomiast o jedną jednostkę na osi poziomej generuje dziesięciow krotny wzrost stopni swobody. Jak widać, trzech 38

6 ŁUKASZ MIAZIO, GRZEGORZ ZBOIŃSKI przypadkach, kiedy była modyfikowana wykładniczo siatka początkowa, założony poziom błędu, oznaczony kolorem zielonym, został osiągnięty. Najlepszą poprawę zbieżności rozwiązania uzyskano, modyfikując siatkę początkową poprzez poszukiwanie optymalnego stosunku podziału wykładniczego. Jednak ze względu na iteracyjny charakter takiego poszukiwania jest to metoda najbardziej czasochłonna. 5. WNIOSKI Metoda wykrywania oraz oceny istotności zjawiska warstwy brzegowej, stosowana do struktur o stałej grubości okazała się efektywna także w przypadku struktur o zmiennej grubości. Zaproponowane narzędzia numeryczne umożliwią efektywne wykrywanie i ocenę efektu brzegu. W przypadku modelowej płyty, przedstawionej w pracy, najlepszą zbieżność rozwiązania uzyskano w przypadku analizy adaptacyjnej z wykrywaniem optymalnego podziału wykładniczego. W pozostałych, czterokrokowych metodach adaptacyjnych, uwzględniających dodatkowy krok wykrywania warstwy brzegowej, uzyskano porównywalną poprawę zbieżności rozwiązania. Domyślny stosunek podziału, tj. 1:9, również w przypadku struktur o zmiennej grubości okazał się wystarczający do uzyskania założonego poziomu błędu. Zaproponowane narzędzia można wykorzystać do automatycznej modyfikacji siatki początkowej, przeprowadzanej jako drugi krok procesu adaptacji typu hp, w strukturach o zmiennej grubości. Literatura Arnold D. N., Falk R. S.: Asymptotic analysis of the boundary layer for the Reissner-Mindlin plate model. SIAM J. Math. Anal., 1996, 27, p Miazio Ł.: Analiza układów liniowo-sprężystych z warstwa brzegową z wykorzystaniem adaptacyjnej metody elementów skończonych typu hp. Rozprawa doktorska (promotor G. Zboiński). Gdańsk: IMP PAN, Miazio Ł., Zboiński G.: The numerical tool for a posteriori detection of boundary layers in hp-adaptive analysis. Short Papers 2011 CMM, Warsaw, p , 2011 i CD ROM, p Miazio Ł., Zboiński G.: Wykrywanie warstwy brzegowej a posteriori w problemach numerycznych powłok zdominowanych giętnie. Modelowanie Inżynierskie 2012, 12, s Miazio Ł., Zboiński G.: Zastosowanie narzędzi do wykrywania warstwy brzegowej w adaptacyjnej analizie płyt i powłok. Mechanik 2012, 7, s Oden J. T.: Error estimation and control In computational fluid dynamics. The O. C. Zienkiewicz Lecture. Proc. Math. of Finite Elements MAFELAP VIII. Brunnel Univ., Uxbridge, p. 1-36, Zboiński G.: Modelowanie hierarchiczne i metoda elementów skończonych do adaptacyjnej analizy struktur złożonych. Gdańsk: IMP PAN Gdańsk, ZN IMPPAN: Studia i Materiały, nr 520/1479/01. Zboiński G.: Adaptive hpq finite element method for the analysis of 3D-based models of complex structures. Part 1: Hierarchical modeling and approximations. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2010, 199, p