Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol. 9, No. 1-2/2018. Romuald HOFFMANN

Transkrypt

1 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol. 9, No. -/8 Romuald HOFFMANN Wojskowa Akadmia Tchniczna, Wydział Cybrntyki, Instytut Systmów Informatycznych ul. gn. Witolda Urbanowicza, -98 Warszawa 46 romuald.hoffmann@wat.du.pl Modlowani w języku dynamiki systmowj opracji cybrntycznych z wykorzystanim modli walki łączonych z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo Wprowadzni Mtoda dynamiki systmowj (ang. systm dynamics) jst mtodą budowy modli symulacji ciągłj, która umożliwia modlowani struktury oraz dynamiki złożonych systmów i procsów w nich zachodzących. Została zaproponowana w latach 6. XX wiku przz Jaya Forrstra, który opracował jj podstawow zasady i przdstawił j w licznych publikacjach, np. [6], [7], [8] (Forstr 96, 969, 975). Mtoda dynamiki systmowj jst przznaczona do modlowania złożonych systmów, w których występują sprzężnia zwrotn opisując zalżności przyczynowo-skutkow pomiędzy lmntami systmu [9] (Hoffmann, Protasowicki 3). W modlach matmatycznych zbudowanych z wykorzystanim mtody dynamiki systmowj wyróżniamy równania: poziomów (opisan równaniami różniczkowymi pirwszgo rzędu), przpływów (dan równaniami algbraicznymi) i zminnych pomocniczych (okrślon jako równania algbraiczn). Z równań tych otrzymujmy układ równań różniczkowo-algbraicznych, stanowiący opis matmatyczny związków przyczynowo-skutkowych występujących w modlowanym systmi. W mtodzi dynamiki systmowj stosowan są równania różniczkow zwyczajn pirwszgo rzędu wyprowadzon z ogólnj postaci zagadninia Cauchy go [] (Kasprska 5). Bardzo dobrym wprowadznim do dynamiki systmowj jst praca Strmana [8]. Przykłady zastosowania dynamiki systmowj do modlowania procsów walki w oparciu o podjści Lanchstra zostały przdstawion w pracy [] (Hoffmann, Protasowicki 3). Lanchstr (96) [9], [] analizując dynamikę walk powitrznych podczas I wojny światowj, zastosował do modlowania ilościowgo procsu walki dwóch przciwników parę liniowych zwyczajnych równań różniczkowych. Od tamtgo czasu modl Lanchstra był inspiracją dla wilu badaczy, którzy przyczynili się do szrgu publikacji, a których ni sposób wyczrpująco wyminić w tym mijscu. Warto jdnak zwrócić uwagę na prac: [4] (Mors, Kimball 95), [3], [4] (Brackn i inni 995), [3] (Washburn, Krss 9), [7] (Krss ), [9] (Tolk ). Prawi całość dostępnych publikacji dotyczy modli dynamiki walki dwóch stron. Cikawsz modl, jakimi są modl walki trzch lub więcj stron, można odnalźć tylko w nilicznych pracach najnowsz to: [] (Lin, MacKay 4), [8] (Krss i inni 8). 7

2 Romuald HOFFMANN Murray (988) [5] jako pirwszy zasugrował związk pomiędzy pidmiologią a wirusami komputrowymi, zauważając, ż wirusy komputrow są pwną analogią wirusa biologiczngo. Kphart i Whit (99, 993) [4], [5] byli pirwszymi autorami, którzy zaproponowali przyjęci modlu SIS (ang. suscptibl, infctd, suscptibl) jako modlu rozprzstrzniania się wirusów komputrowych. Od tgo czasu modl pidmiologiczn są szroko stosowan do modlowania dynamiki rozprzstrznia się wirusów komputrowych. Modl pidmii (rozprzstrzniania się) kodu złośliwgo można podzilić na dwi katgori modl dtrministyczn, opart na równaniach różniczkowych, i modl stochastyczn, wykorzystując w większości przypadków łańcuchy Markowa, procsy gałązkow i procsy dyfuzji. W ninijszj pracy bazujmy na dtrministycznych modlach pidmii. Porównani dtrministycznych oraz stochastycznych modli SIS i SIR (ang. suscptibl, infctd, rcovrd) można znalźć w wybranych publikacjach: [] (Alln, Burgin ), [] (Alln 8), [3] (Kling, Ross 8), [5] (Britton ). Nalży tutaj zaznaczyć, ż zarówno dtrministyczn, jak i stochastyczn modl odgrywają znaczącą rolę w modlowaniu dynamiki zjawisk pidmii. Wskazuj na to istnijąca bogata litratura, w większości dotycząca dtrministycznych modli pidmiologicznych rozprzstrzniania się wirusów komputrowych. Oprócz klasycznych modli SIS i SIR, bazujących na modlu Krmacka i McKndricka (97) [6], w ostatnich latach zostało sformułowanych wil nowych. Hoffmann i Protasowicki (7) [] przdstawili w ujęciu dynamiki systmowj dtrministyczn modl podstawow SIS, SIR, SIRS, a takż modl SAI (ang. suscptibl, antidotal, infctd) jako uproszczoną wrsję modlu SIRA (ang. suscptibl, infctd, rmovd, antidotal) opracowango przz Piquira i Araujo (9) [6]. Nizaprzczalni współczsny rozwój tchnologii informatycznych umożliwił prowadzni opracji militarnych równiż w cybrprzstrzni. W tj sytuacji oprogramowani złośliw stało się bronią umożliwiającą prowadzni opracji cybrntycznych, samodzilnych lub wspirających działania kintyczn. Sam modl pidmiologiczn do modlowania skutków opracji cybrntycznych wydają się już niwystarczając. Stąd obicującym kirunkim badań nad modlami dynamiki walki z wykorzystanim kodu złośliwgo wydaj się połączni podjścia Lanchstra i modli pidmiologicznych. Tutaj warto zwrócić uwagę na pracę Schramma i Gavra (3) [7], którzy modlując prowadzni opracji cybrntycznj poprzz propagację kodu złośliwgo (np. wirusów, robaków) w systmach przciwnika w połączniu z działaniami kintycznymi, przdstawili podjści połącznia klasyczngo modlu walki bzpośrdnij Lanchstra (ang. aimd fir) z modlm rozprzstrzniania się kodu złośliwgo SIR (ang. suscptibl, infctd, rmovd). W tym kontkści modl SAI w ujęciu dynamiki systmowj [] (Hoffmann, Protasowicki 7) zostani wykorzystany w ninijszj pracy i w połączniu z klasycznym modlm Lanchstra stanowić będzi przdmiot dalszych rozważań. tzn. opracj militarn, z którymi bzpośrdnio wiążą się straty ludzi i/lub uzbrojnia jak do tj pory jdyną 8

3 Modlowani w języku dynamiki systmowj opracji cybrntycznych z wykorzystanim modli walki łączonych z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo Klasyczn modl walki Lanchstra w ujęciu dynamiki systmowj W pracy podstawą modlowania matmatyczngo dynamiki walki są modl W.F. Lanchstra ujęt w konwncji klasycznj dynamiki systmowj. Przypomnę, ż liczn modl ogólni zwan modlami Lanchstra objmują w większości rodzinę modli matmatycznych wykorzystujących równania różniczkow, zarówno liniow, jak i niliniow. Właśni ta własność umożliwia prost przdstawini modli dynamiki walki w języku klasycznj dynamiki systmowj. Gnralni modl Lanchstra opisującgo dynamikę walki dwóch stron Blu i można przdstawić następująco: #() A (), () B() = C D () z warunkami początkowymi: #()=# >, B()=B >, gdzi funkcj #(),B() opisują stan liczbny stron walczących w chwili odpowidnio: Blu,, A (),C D () są funkcjami opisującymi intnsywność zadawania strat stronom przciwnym. W modlowaniu walki układ () jst snsowny dla takigo przdziału czasu [,], ż dla każdgo [,] funkcj #()> i B()>. Przykładowy matmatyczny modl walki bzpośrdnij Lanchstra w języku dynamiki systmowj opisany układm równań () przdstawia rysunk. Natomiast wyniki przykładowj symulacji przdstawia na rysunk. W przykładzi przyjęto, A ()=@ B() oraz C D ()=C #(), gdzi są stał. B Blu ρ β ρ () FINAL TIME = 5 () INITIAL TIME = (3) B = (4) R = (5) β =. (6) ρ =.5 (7) Blu = INTEG (-ρ, B) (8) = INTEG (-β Blu, R) (9) β Blu = MAX( MIN(, β*blu ), ) () ρ = MAX( MIN( Blu, ρ* ), ) β Blu R Rys.. Przykładowy modl Lanchstra opisany układm równań () w ujęciu dynamiki systmowj Fig.. An xampl of th Lanchstr combat modl dscribd by th systm of quations () in trms of systm dynamics 9

4 Romuald HOFFMANN Blu, 75, Blu : ρ=,3; β=, Blu : ρ=,5; β=, : ρ=,3; β=, : ρ=,5; β=, Rys.. Przykładow wyniki symulacji modlu Lanchstra z rysunku Fig.. Sampl rsults of simulation of Lanchstr combat modl from Figur W tym mijscu równiż warto sformułować w konwncji dynamiki systmowj modl opisującgo dynamikę walki trzch wzajmni wrogich stron: Blu, i Grn. Zakładając dla uproszcznia, ż każda z stron niszczy zasoby przciwników z taką samą skutcznością, modl matmatyczny Lanchstra przyjmuj postać: #() A () I J (), B() = C D () I J (), () K() A () C D () z warunkami początkowymi: #()=# >, B()=B >, gdzi funkcj #(),B(),K() opisują stan liczbny stron walczących w chwili odpowidnio: Blu,, Grn, natomiast C D (),@ A (),I J () są funkcjami opisującymi intnsywność zadawania strat stronom przciwnym. Układ równań () ma sns w modlowaniu walki, gdy dla każdgo [,] funkcj #()> i B()>. Przykładowy matmatyczny modl Lanchstra walki bzpośrdnij trzch stron w języku dynamiki systmowj opisany układm równań () przdstawia rysunk 3. W przykładzi przyjęto, ż C D ()=C A () =@ B() oraz I J ()=I K(), gdzi współczynniki C,@,I są stał.

5 Modlowani w języku dynamiki systmowj opracji cybrntycznych z wykorzystanim modli walki łączonych z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo B B() R Blu #LM() B() I KNO(), KNO() B() C #LM() γ () B = ρ () R= (3) G = (4) β=. ρ γ Grn (5) γ =.5 (6) ρ =.5 <ρ> <β> (7) Blu = INTEG ( -ρ γ Grn, B) (8) Grn= INTEG ( -β Blu ρ, G) (9) = INTEG ( -β Blu γ Grn, R) Grn () β Blu γ Grn = MAX( MIN(, β Blu ρ β*blu + γ*grn), ) G () β Blu ρ = MAX( MIN( Grn, β*blu + ρ*), ) () ρ γ Grn = MAX( MIN( Blu, β Blu γ Grn ρ* + γ*grn), ) = C #LM() I KNO(), Rys. 3. Przykładowy modl Lanchstra dla trzch stron w ujęciu dynamiki systmowj Fig. 3. An xampl of th Lanchstr modl for thr-way combat in trms of systm dynamics 3 Modl SAI rozprzstrzniania się kodu złośliwgo Rozważę modl SAI (ang. suscptibl, antidotal, infctd), który w konwncji dynamiki systmowj [] (Hoffmann, Protasowicki 3) zostani wykorzystany w dalszj części pracy w połączniu z klasycznym modlm dynamiki walki bzpośrdnij Lanchstra. W modlu przyjęto założni, ż rozprzstrzniani się kodu złośliwgo prowadzi do podziału populacji komputrów na trzy grupy urządzń: podatn (+(),t ) taki, któr mogą zostać zainfkowan, zainfkowan ((),t ) oraz β <γ> uodpornion ((),t ) w wyniku usunięcia podatności i aktualizacji oprogramowania. Modl SAI jst opisany następującym układm równań różniczkowych [6] (Piquira, Araujo 8): dt +()= R +() () T +() (), ()=R +() () U () (), (3) ()=T +() ()+U () () z wymaganymi warunkami początkowymi: +()=+ >, ()= >, ()= >. Paramtr R> oznacza współczynnik (tmpo) rozprzstrzniania się wirusa komputrowgo, U > jst współczynnikim (tmpm) usuwania kodu złośliwgo, natomiast paramtr δ> oznacza współczynnik skutczności usunięcia podatności lub aktualizacji oprogramowania. Założni stałj wilkości populacji

6 Romuald HOFFMANN komputrów jst już wbudowan w układ równań (3), tzn. +() + () + () = const=\. Modl SAI w ujęciu dynamiki systmowj [] (Hoffmann, Protasowicki 7) przdstawia rysunk 4. W modlu tym przyjęto R = ] \ >, U= >, T =M \. Wyniki przykładowj symulacji modlu SAI zostały przdstawion na rysunku 5. <N> Częstotliwość aktualizacji u Skutczność aktualizacji k B dltasa R Początkowa liczba odpornych Ao S A Początkowa liczba zarażonych Io R I B + asi R B + bia - Częstotliwość kontaktu c N Zarażalność i <N> Śrdni czas trwania infkcji d Rys. 4. Modl SAI opisany układm równań (3) w ujęciu dynamiki systmowj Fig. 4. Th SAI modl dscribd by th systm of quations (3) in trms of systm dynamics Slctd Variabls Slctd Variabls, 4, 7,5 3, Host 5, Host/Day,,5, A : currnt I : currnt S : currnt asi : currnt bia : currnt dltasa : currnt Rys. 5. Przykładow wyniki symulacji modlu SAI z rys. 4 (liczba komputrów N = ; czas symulacji 3; c = 6; d = ; i =,5; u = ; k =,65; I = ; A = ) Fig. 5. Sampl rsults of th simulation of SAI modl from Fig. 4. (numbr of computrs N = ; simulation tim 3; c = 6; d = ; i =,5; u = ; k =,65; I = ; A =

7 Modlowani w języku dynamiki systmowj opracji cybrntycznych z wykorzystanim modli walki łączonych z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo 4 Modl dynamiki walki z użycim kodu złośliwgo przz stronę Przytoczę dalj modl Schramma i Gavra (3) [7], którzy modlując prowadzni opracji kintycznych w połączniu z opracją cybrntyczną poprzz propagację 3 kodu złośliwgo w systmach przciwnika, wykorzystali modl walki bzpośrdnij Lanchstra oraz zmodyfikowany modl SIR. Założono, ż siły stron wykorzystują systmy komputrow w walc i liminacja kintyczna członka strony przciwnj liminuj z walki równiż wyposażni komputrow. Dodatkowo przyjęto założni, ż strona w przciwiństwi do strony Blu jst nipodatna na ataki komputrow oraz wprowadziła kod złośliwy do systmów przciwnika. Chociaż założni to wydawać się moż niraln, to jdnak odpowiada na przykład przypadkowi, kidy strona posiada systmy wykonan w odminnj tchnologii, nipodatnj na ataki cybrntyczn, i posiada zdolność wczśnijszgo wprowadznia kodu złośliwgo do systmów tgoż przciwnika. W tym mijscu warto zauważyć, ż zmodyfikowany modl SIR użyty przz Schramma i Gavra [7] jst w swj istoci modlm różniącym się od modlu SAI założnim, ż intnsywność aktualizacji komputrów podatnych różni się od intnsywności usuwania kodu złośliwgo (połączongo z aktualizacją). Zatm na potrzby artykułu zostani przyjęty modl SAI i w konskwncji używan będą oznacznia z modlu SAI dotycząc funkcji opisujących liczbę w czasi komputrów podatnych +(), zainfkowanych () i uodpornionych (). Liczbność stron w czasi opisują funkcj B(), #()=+()+()+() odpowidnio stron:, Blu. Zatm pirwotny modl Schramma i Gavra [7] z wymaganymi warunkami początkowymi: ()=B >, +()=+ >, ()= >, ()= > można przdstawić następującym układm równań różniczkowych: B()= C _ S()+() C. (), dt +()= b +() () : +() () ρ B() +() #(), () ()=b +() () : () () ρ B() #(), ()=: +() ()+: () () ρ B() () #(), #()=+()+()+(). Paramtr b > oznacza współczynnik (tmpo) rozprzstrzniania się wirusa komputrowgo; : > jst współczynnikim (tmpm) zarówno usunięcia podatności (aktualizacji) oprogramowania, jak i usuwania kodu złośliwgo; ρ> oznacza współczynnik skutczności (fktywność) rażnia kintyczngo sił Blu przz stronę. Natomiast współczynniki C _, C. (C _ > C. ) oznaczają skutczności (fktywności) rażnia kintyczngo sił przz stronę Blu, gdzi C _ dotyczy wykorzystania do walki kintycznj systmów komputrowych zarówno podatnych (4) 3 wczśnij wprowadzongo 3

8 Romuald HOFFMANN i odpornych, C. zainfkowanych. Wartości :, b, C., C _ są stał. Układ (4) jst słuszny dla takigo przdziału czasu [,], ż dla każdgo [,] funkcj B()>, S()>, ()> oraz ()>. Przykładowy modl w języku dynamiki systmowj opisany układm równań (4) przdstawia rysunk 6, a wyniki przykładowj symulacji zostały podan na rysunku 7. ρ <Blu> R β.blu βd ρ..s <S> β <A> <I> A βu <ρ> ηsa S A ρ..a B η ξ I <η> Blu <> I ξsi ηia <S> <I> ρ..i <ρ> <Blu> <> Rys. 6. Przykładowy modl walki Schramma i Gavra opisany układm równań (4) w ujęciu dynamiki systmowj Fig. 6. An xampl of Schramm & Gavr s combat modl dscribd by th systm of quations (4) in trms of systm dynamics 4

9 Modlowani w języku dynamiki systmowj opracji cybrntycznych z wykorzystanim modli walki łączonych z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo, Blu, Host Blu : ρ=,5 Blu : ρ=, : ρ=,5 : ρ=,8 6 I 6 A Host 3 Host I : ρ=,5 I : ρ=,8 Rys. 7. Przykładow wyniki symulacji modlu dynamiki z rys. 6 Fig. 7. Sampl rsults of simulation of th combat modl from Fig. 6 5 Modl dynamiki walki z użycim kodu złośliwgo przz obi strony Rozpatrzę wczśnij przytoczony modl Schramma i Gavra [7], przy dodatkowym założniu, ż strona posiada systmy podatn na atak kodm złośliwym. Oznacza to, ż w tym przypadku każda z stron jst podatna na atak cybrntyczny. Oczywiści, utrzymam założni wczśnijszj infkcji systmów, w tym przypadku obu stron. Ponadto przyjmuję założni, ż siły przciwnych stron wykorzystują systmy komputrow w walc i liminacja kintyczna członka strony przciwnj liminuj z walki równiż wyposażni komputrow. Przd zdfiniowanim układu równań różniczkowych przyjmuję następującą konwncję oznaczń. Indksm ] =, oznaczać będzi się paramtry modlu odpowiadając A : ρ=,5 A : ρ=,8 5

10 Romuald HOFFMANN stronom konfliktu, odpowidnio Blu przz ]= oraz przz ] =. Dla ] =, paramtry b d >, oznaczają współczynniki tmpa rozprzstrzniania się wirusa komputrowgo; : d > są współczynnikami tmpa zarówno usunięcia podatności (aktualizacji) oprogramowania, jak i usuwania kodu złośliwgo; ρ > oznaczają współczynniki skutczności (fktywność) wzajmngo rażnia kintyczngo sił odpowidnio Blu przz stronę, przz Blu, Natomiast współczynniki C _, C. (C _ > C. ) oznaczają skutczności (fktywności) rażnia kintyczngo sił przz stronę Blu, gdzi C _ dotyczy wykorzystania do walki kintycznj systmów komputrowych zarówno podatnych, jak i odpornych, C. zainfkowanych. Natomiast _ ) odpowidnio odnoszą się do skutczności rażnia kintyczngo sił Blu przz stronę. Ponadto przyjmuję dla strony Blu (] =) oraz (] =) oznacznia funkcji opisujących liczbę w czasi komputrów: podatnych + d (), zainfkowanych d () i uodpornionych d (). Liczbność stron w czasi opisują funkcj B()=+ ()+ ()+ (), #()=+ ()+ ()+ () odpowidnio stron:, Blu. Zatm modl z wymaganymi warunkami początkowymi dla + d ()>, d ()>, d ()> (] =,) można przdstawić w postaci układu równań różniczkowych: _ + ()+ (), B()= C _ S ()+ () C. () ; + dt ()= b + () () : + () ()+ B() f - ( ) D( ) ()=b + () () : () ()+ B(). - ( ) D( ) ()=: + () ()+: () ()+ B() g - ( ) ; D( ) + dt ()= b + () () : + () ()+ #() f / ( ) A( ) ()=b + () () : () ()+ #(). / ( ) A( ) ()=: + () ()+: () ()+ #() g / ( ) ; A( ),,,, (5) #()=+ ()+ ()+ (), B()=+ ()+ ()+ (). Wartości współczynników :, :, b, b,c _, są stał. Układ równań różniczkowych (5) ma sns w modlowaniu walki dla takigo przdziału czasu [,], ż dla każdgo [,] oraz funkcj + d ()>, d ()> oraz d ()> (] =,). Przykładowy modl w języku dynamiki systmowj opisany układm równań (5) przdstawia rysunk 8, a wyniki przykładowj symulacji zostały przdstawion na rysunku 9. 6

11 Modlowani w języku dynamiki systmowj opracji cybrntycznych z wykorzystanim modli walki łączonych z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo β.blu R βd ρ.blu.s β βu <S> <A> <I> Poczatkowa liczba odpornych A S <R> ξ η ηsa Poczatkowa liczba zarazonych I <η> A ρ.blu.a <> <β> ξsi I ηia ρ.blu.i <> <β> Blu ρ. B ρd ρ..s ρ ρu <S> <A> <I> Poczatkowa liczba odpornych A ηsa S <B> η A ρ..a BLu ξ Poczatkowa liczba zarazonych I <η> <Blu> <ρ> ξsi I ηia ρ..i <ρ> <Blu> Rys. 8. Przykładowy modl walki opisany układm równań (5) w ujęciu dynamiki systmowj Fig. 8. An xampl of th combat modl dscribd by th systm of quations (5) in trms of systm dynamics 7

12 Romuald HOFFMANN, Blu, Blu : Io=; Io= Blu : Io=; Io= : Io=; Io= : Io=; Io= A A Host A : Io=; Io= A : Io=; Io= Host A : Io=; Io= A : Io=; Io= Rys. 9. Przykładow wyniki symulacji modlu dynamiki z rys. 8 Fig. 9. Sampl rsults of simulation of th combat modl from Fig. 8 6 Podsumowani Jak już wspomniano na wstępi, faktm jst to, ż współczsny rozwój tchnologii informatycznych umożliwił prowadzni opracji militarnych równiż w cybrprzstrzni, poprzz wykorzystani oprogramowania złośliwgo. Okazuj się, ż modl walki Lanchstra w połączniu z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo można zastosować do modlowania dynamiki walki z wsparcim opracji cybrntycznych wykorzystujących propagację kodu złośliwgo w systmach przciwnika. Najczęścij wykorzystywanymi modlami rozprzstrznia się oprogramowania złośliwgo w systmach informatycznych są modl bazując na klasycznych modlach pidmiologicznych SIS, SIR czy SIRS i ich modyfikacji, jakim jst np. modl SAI użyty w ninijszym artykul. Przntowana w artykul mtoda dynamiki systmowj ni stanowi przszkody zastosowania innych modli, takich np. jak: SEIRS (Mishra, Saini 7) [3], SEIQRS (Mishra, Jha ) [] i SIRA (Piquira i Araujo 9) [6]. Przyjęta w artykul symulacyjna mtoda dynamiki systmowj pozwala modlować w ujęciu Lanchstra dynamikę działań kintycznych z wsparcim opracji rozprzstrzninia się kodu złośliwgo w systmach przciwnika, uwzględniając przy tym występując liczn sprzężnia zwrotn. Zdanim autora, dzięki łącznmu rozpatrywaniu działań kintycznych i cybrntycznych, jako spójnj całości w kontkści jgo dynamiki systmowj, stworzon modl symulacyjn umożliwiają łatw odwzorowani i zrozumini skomplikowanych rlacji o charaktrz niliniowym. Chociaż istnijąc w litraturz współczsn modl symulacji procsów walki stanowią złożon modl stochastyczn, któr dają wyniki lpsz niż modl Lanchstra, to jdnak główną zaltą zaprzntowanych modli jst ich prostota i łatwość rozwiązywania 8

13 Modlowani w języku dynamiki systmowj opracji cybrntycznych z wykorzystanim modli walki łączonych z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo układów zwyczajnych równań różniczkowych i w tym przypadku wykorzystania dynamiki systmowj do łatwgo uzyskania wyników symulacji. Nalży w tym mijscu zaznaczyć, ż liczbność walczących stron i współczynniki strat stanowią najważnijsz czynniki mając wpływ na odwzorowani przbigu walki w ujęciu Lanchstra. W tym kontkści przdstawion w ninijszym artykul przykładow modl dynamiki walki Lanchstra w połączniu z modlm SAI, pomimo licznych uproszczń, pozwalają na osiągnięci zadowalających wyników symulacji. Na zakończni nalży zaznaczyć, ż w przdstawionym ujęciu połączon modl walki Lanchstra z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo, za każdym razm zapisanymi jako układy równań różniczkowych, stanowią przykład transformowania zapisu formalizmu matmatyczngo do graficzngo języka dynamiki systmowj symulacji numrycznj. Oczywiści, w praktyc można budować modl przyrostowo bz uprzdnigo formalngo i płngo zdfiniowania układu równań różniczkowych, a opisy poziomów, przpływów i zminnych mogą przyjmować formę samodokumntującą, znaczni odbigającą od zapisu symboliczngo. Zatm budowa rozbudowanych i skomplikowanych modli oraz symulacja praktyczni ni sprawia większych problmów. Przdstawian w artykul modl zostały zbudowan z wykorzystanim pakitu symulacyjngo dynamiki systmowj Vnsim vr. 5. Litratura. Alln L.J.S., Burgin A.M.: Comparison of dtrministic and stochastic SIS modls in discrt tim. Mathmatical Bioscincs, vol. 63, s. 33,. Alln L.J.S.: An introduction to stochastic pidmic modls. Lctur Nots in Mathmatics, t. 945, Springr, Brlin, s Brackn J.: Lanchstr modls of th Ardnns campaign. Naval Rsarch Logistics (NRL), Vol.4, Issu 4, s , Jun Brackn J., Krss M., Rosnthal R.E. (rd.): Warfar modling. John Wily & Sons, Inc., Britton T.: Stochastic pidmic modls: a survy. Mathmatical Bioscincs, vol. 5, s. 4 35, 6. Forstr J.W.: Industrial Dynamics. MIT Prss Cambridg, Forrstr J.W.: Urban Dynamics. MIT Prss Cambridg, Forrstr J.W.: Th collctd paprs of Jay W. Forrstr. Wright-Alln Prss, Hoffmann R., Protasowicki T.: Mtoda dynamiki systmowj w modlowaniu złożonych systmów i procsów. Biultyn Instytutu Systmów Informatycznych, vol., s.9-8, 3. Hoffmann R., Protasowicki T., Modlowani pola walki z zastosowanim koncpcji dynamiki systmowj. Biultyn Instytutu Systmów Informatycznych, vol., s. 9 34, 3. Hoffmann R., Protasowicki T.: Klasyczn modl rozprzstrzniania się wirusów komputrowych w ujęciu dynamiki systmowj. Roczniki Kolgium Analiz Ekonomicznych nr 45, 7, s Szkoła Główna Handlowa, 7. Kasprska E., Dynamika systmowa. Symulacja i optymalizacja. Wydawnictwo Politchniki Śląskij Gliwic, 5 9

14 Romuald HOFFMANN 3. Kling M.J., Ross J.V.: On mthods for studying stochastic disas dynamics, Journal of Royal Socity Intrfac, vol. 5, s. 7 8, 8 4. Kphart J.O, Whit S.R., Dirctd-graph pidmiological modls of computr viruss. Procdings of IEEE Computr Socity Symposium on Rsarch in Scurity and Privacy, s , Kphart J.O, Whit S.R., Masuring and modling computr virus prvalnc. Procdings of IEEE Computr Socity Symposium on Rsarch in Scurity and Privacy, s. 5, Krmack W.O., McKndrick A.G.: A Contribution to th Mathmatical Thory of Epidmics. Procdings of Th Royal Socity, vol. 5, s. 7 7, Krss M: Modling armd conflicts. Scinc, 336 (683), s , 8. Krss M., Caulkins J.P., Fichtingr G., Grass D., Sidl A.: Lanchstr modl for thr-way combat. Europan Journal of Oprational Rsarch, Vol. 64, Issu, s , 8 9. Lanchstr F.W.: Aircraft in warfar: Th dawn of th fourth Arm. Applton Nw York, 96. Lanchstr F.W.: Th Principl of Concntration. Th "N-Squar" Law. Rprint w Nwman J.R. (rd.): Volum Four of Th World of Mathmatics, s , Simon and Schustr, Nw York 956. Lin K.Y., MacKay N.J.: Th optimal policy for th on-against-many htrognous Lanchstr modl. Oprations Rsarch Lttrs, 4 (6 7), s , 4. Mishra B.K., Jha N.: SEIQRS modl for th transmission of malicious objcts in computr ntwork. Applid Mathmatical Modlling, vol. 34, s. 7 75, 3. Mishra B.K., Saini D.K.: SEIRS pidmic modl with dlay for transmission of malicious objcts in computr ntwork. Applid Mathmatics and Computation, vol. 88, s , 7 4. Mors, P., Kimball, G.: Mthods of oprations rsarch. Chapman and Hall Ltd Murray W.H., Th application of pidmiology to computr viruss. Computr and Scurity, vol. 7, s , Piquira J.R.C., Araujo V.O.: A modifid pidmiological modl for computr viruss. Applid Mathmatics and Computation, vol. 3, s , 9 7. Schramm H.C., Gavr D.P.: Lanchstr for cybr: Th mixd pidmic combat modl. Naval Rsarch Logistics (NRL) Vol.6, Issu7, s , Octobr 3 8. Strman J.D.: Businss Dynamics. Systms Thinking and Modling for a Complx World. McGraw-Hill, 9. Tolk A.: Modling ffcts. w: Tolk A. (rd.): Enginring principls of combat modling and distributd simulation. Hobokn, JohnWily & Sons, Inc. s. 45-7, 3. Washburn A., Krss M.: Combat modling. Springr-Vrlag 9 3

15 Modlowani w języku dynamiki systmowj opracji cybrntycznych z wykorzystanim modli walki łączonych z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo Strszczni Współczsny rozwój tchnologii informatycznych umożliwił prowadzni opracji militarnych w cybrprzstrzni z wykorzystanim oprogramowania złośliwgo. Okazuj się, ż modl walki Lanchstra w połączniu z modlami rozprzstrzniania się kodu złośliwgo można zastosować do ilościowgo modlowania opracji kintycznych wspartych opracjami propagacji kodu złośliwgo w systmach przciwnika. W pracy przdstawiono w ujęciu dynamiki systmowj dwa modl walki z użycim kodu złośliwgo oraz przykładow wyniki ich symulacji. Modl w języku dynamiki systmowj bazują na klasycznym modlu dynamiki walki bzpośrdnij Lanchstra oraz modlu propagacji kodu złośliwgo w systmach komputrowych SAI (ang. suscptibl, antidotal, infctd). Słowa kluczow: dynamika systmowa, modl dynamiki walki, modl Lanchstra, modl propagacji kodu złośliwgo, SAI Modling in th languag of systm dynamics of cybr oprations using combat modls combind with modls of sprading malicious cod Summary Modrn information tchnologis hav nabld to carry out military oprations in cybrspac with using malwar. It turns out that Lanchstr combat modls in conjunction with th modls of malicious cod propagation in IT systms can b usd for quantitativ modling of kintic oprations supportd by cybr oprations with malwar propagation in opposing forcs IT systms. This papr prsnts in trms of systm dynamics two combat modls with using propagation of malwar cods and th sampl rsults of thir simulation. Th systm dynamics combat modls ar basd on th Lanchstr classical dirct fir combat modl and SAI (suscptibl, antidotal, infctd) modl of malicious cod propagation in computr systms. Kywords: systm dynamics, combat modl, Lanchstr modl, malicious cod propagation modl, SAI 3

16 Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol. 9, No. -/8 3