Spis treści I. Wiadomości wstępe... 3 II. Pojęcia ogóle wraz z twierdzeiami... 4 1. Jedostka urojoa... 4. Liczba zespoloa... 4 3. Iterpretacja geometrycza... 7 4. Moduł liczby zespoloej... 8 5. Liczba sprzęŝoa... 9 6. Rówość liczb zespoloych... 9 7. Postacie liczby zespoloej... 9 III. Działaia algebraicze a liczbach zespoloych... 11 1. Dodawaie i odejmowaie... 11. MoŜeie i dzieleie... 11 3. Potęgowaie i pierwiastkowaie... 11 IV. Zadaia a liczbach zespoloych... 13 V. Odpowiedzi... 14 Bibliografia... 16
I. WIADOMOŚCI WSTĘPNE Liczby zespoloe wprowadzoo w XVI w. Początkowo operowao imi - podobie jak liczbami rzeczywistymi - bez uzasadieia praw imi rządzących. Liczby zespoloe pojawiły się w związku z badaiami sposobów rozwiązań rówań algebraiczych trzeciego i czwartego stopia. Otrzymao miaowicie wzory wyraŝające pierwiastki rówań tych stopi za pomocą działań i 3 a współczyikach rówań. Okazało się, Ŝe moŝa rozwiązać tymi wzorami rówaie trzeciego stopia, mające trzy róŝe pierwiastki rzeczywiste, tylko wtedy, gdy umie się obliczyć 1. Oczywiście, w zakresie liczby do tego okresu zaych, pierwiastek kwadratowy z ( 1) ie istiał. Niemiej, iektórzy z matematyków załoŝyli jego istieie i azwali go,,liczbą urojoą, a poprzedio zae liczby azwali liczbami,,rzeczywistymi. Ozaczając 1 przez i, a zatem przyjmując, Ŝe i = 1, utworzoo owe,,liczby a+bi, które azywao liczbami zespoloymi i określao często formalie cztery działaia arytmetycze a,,liczbach. Arytmetyka liczb zespoloych ie doprowadziła do Ŝadych sprzeczości. L. Euler (1707-1783) wprowadził je do aalizy matematyczej, powodując tym jej istoty postęp. Okazało się wówczas, Ŝe liczby zespoloe, mimo Ŝe brak im było uzasadieia logiczego, są waŝym arzędziem matematyczym dla badaia i opisu zjawisk fizyczych. Początek wieku XIX przyiósł ścisłe uzasadieia istieia liczb zespoloych. szczegółową teorię liczb zespoloych stworzyli C.F. Gauss (1777-1855) i W.R. Hamilto (1805-1863). Pierwszy ziterpretował liczby zespoloe jako pukt płaszczyzy, w której wprowadzoo pewe działaia, zwae dodawaiem i moŝeiem puktów,czyli liczb zespoloych. Drugi wprowadził liczby zespoloe jako pary liczb rzeczywistych i określił w pewie sposób moŝeie i dodawaie tych par. Oba uzasadieia są rówowaŝe, bowiem pukt płaszczyzy jest wyzaczoy przez parę liczb rzeczywistych (współrzędych). Obecie liczby zespoloe a rówi z liczbami rzeczywistymi, które moŝa traktować jako liczby zespoloe szczególego rodzaju, są iezbędym arzędziem matematyka, fizyka i iŝyiera w jego codzieej pracy.
II. POJĘCIA OGÓLNE WRAZ Z TWIERDZENIAMI 1.Jedostka urojoa Formalie określa się jedostką urojoą i( 1 ) jako liczbę, której kwadrat rówa się 1. Wprowadzeie jedostki urojoej prowadzi do uogólieia pojęcia liczby, miaowicie do liczby zespoloej..liczba zespoloa Postać ogóla liczby zespoloej: z= a+bi, gdzie a i b moŝe przybrać dowole wartości rzeczywiste. Liczbę a azywamy częścią rzeczywistą, a liczbę b - częścią urojoą liczby zespoloej a. Ozaczeia a= re z, b= im z ( ) Gdy b= 0, wtedy a= z (liczba rzeczywista jest szczególym przypadkiem liczby zespoloej): gdy a= 0, wtedy z= bi (liczba urojoa, szczególy przypadek liczby zespoloej). Defiicja 1. Ciałem liczb zespoloych azywamy kaŝde ciało K spełiające astępujące trzy waruki: 1. K zawiera ciało liczb rzeczywistych,. rówaie z = 1ma w ciele K rozwiązaie, 3. K jest ajmiejszym ciałem o własościach 1 i Liczbą zespoloą azywamy dowoly elemet ciała K Defiicja.Ciałem względem działań + i o, zwaych odpowiedio dodawaiem i moŝeiem, lub krótko -ciałem, azywamy kaŝdy zbiór K zawierają co ajmiej dwa elemety, w którym określoe są te działaia; działaia te mają astępujące właściwości wraz z dowodami: Dla dowolych dwóch elemetów z1, z K zachodzi 1. z + z = ( a + c, b + d) = ( c + a, b + d) = z + z, 1 1. z o z = ( ac bd, bc + ad) = ( ca db, cb + da) = z o z, 1 1 3
3. ( z1 + z ) + z3 = ( a + c, b + d) + ( e, f ) = ( a + c + e, b + d + f ) =, = ( a, b) + ( c + e, d + f ) = z + ( z + z ) 1 3 4. ( z o z ) o z = ( ac bd, bc + da ) o ( e, f ) = 1 3 = ( ace bde bcf, bce + ade + acf bdf z o ( z o z ) = ( a, b) o ( ce df, de + cf ) = 1 3 = ( ace adf bde bcf, bce bdf + ade + acf ) wobec czego ( z o z ) o z z o ( z o z ) 5. ( z + z ) o z = a + c, b + d) o ( e, f ) = 1 3 1 3= = 1 3 = (( a + c) e ( b + d) f,( b + d) e + ( a + c) f ) = = ( ae + ce bf df, be + de + af + cf ) = = ( ae bf, be + af ) + ( ce df, de + cf ) = = ( z o z ) + ( z o z ) 1 3 3 6.Niech (3) z1 + z = z gdzie z = (x, y). Zatem ( a + x, b + y) = ( c, d) więc a + x = c, b + y = d Stąd x = c a, y = d b Rówaie (3) ma więc co ajmiej jedo rozwiązaie (4) z = ( c a, d b) PoiewaŜ (4) jest-jak łatwo stwierdzić - rozwiązaiem rówaia (3), więc rówaie 3 ma dokładie jedo rozwiązaie. Ozaczamy je przez z z1 i azywamy róŝicą liczb zespoloych z i z 1. Z (4) otrzymujemy ( c, d) ( a, b) = ( c a, d b). 4
7.Liczba zespoloa θ = ( 0, 0) jest jedyym rozwiązaiem rówaia z + θ = z dla dowolej liczby zespoloej z. 8.Niech (5) z o z = z1 gdzie (6) z θ Waruek (6) ozacza, Ŝe obydwie liczby c, d ie są jedocześie zerami, więc c + d 0. Zatem c 0 lub d 0. Z (5) otrzymujemy cx dy = a, dx + cy = b moŝąc pierwsze z tych rówań przez c, a drugie przez d i dodając stroami otrzymujemy ( c + d ) x = ac + bd. skąd wobec (6) ac + bd x = c + d Aalogiczie otrzymujemy bc ad y = c + d Rówaie (5) ma zatem dokładie jedo rozwiązaie ac + bd bc ad (7) z =, c + d c + d Ozaczamy je przez z 1 i azywamy ilorazem liczby z z 1 i z. Udowodiliśmy zatem, Ŝe zbiór Z jest ciałem. Wiosek. Dla kaŝdej liczby zespoloej z z z = ( 1, 0 ) = ( a, b) róŝej od (0,0) 5
3.Iterpretacja geometrycza Niech day będzie a płaszczyźie prostokąty układ osi współrzędych. Między puktami tej płaszczyzy a liczbami zespoloymi zachodzi odpowiediość, a mocy której dowolemu puktowi M. o współrzędych a, b (M.(a, b )) odpowiada liczba zespoloa a + bi i liczbie a + bi, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi, odpowiada puktu o współrzędych a, b. Płaszczyzę, której puktom przyporządkowae zostały liczby zespoloe, azywamy płaszczyzą liczbową w zbiorze T puktów płaszczyzy liczbowej określamy dodawaie i moŝeie. JeŜeli M.=M.(a,b) i N=N(c, d) to M.+N=P., M.*N=Q, gdzie P.=P.(a+c, b+d), Q=Q (ac-bd, ad+bc) Puktom osi odciętych odpowiadają liczby rzeczywiste, a puktom osi rzędych -liczby urojoe; osie te azywamy odpowiedio osią rzeczywistą i osią urojoą....zauwaŝmy, Ŝe liczbie zespoloej z = a + bi odpowiada a płaszczyźie liczbowej pewie wektor, o początku w pukcie (0,0) i końcu w pukcie z i a odwrót, wektorowi o początku w pukcie (0,0) i końcu z odpowiada liczba zespoloa z. JeŜeli wektory u r u r 1, mają współrzęde odpowiedio rówe a 1, b 1 r r r i a, b to wektor u = u1 + u ma współrzęde a1 + a, b1 + b. Wektor odpowiadający puktowi z1 + z (tz. wektor o początku w pukcie (0,0) i końcu w pukcie z + z ) jest sumą wektorów odpowiadających puktom z 1, 1 6
z. Podobie wektor odpowiadający róŝicy puktów jest róŝicą wektorów odpowiadających tym puktom. 4.Moduł liczby zespoloej Defiicja 3.Modułem lub wartością bezwzględą liczby zespoloej a+bi azywamy liczbę rzeczywistą ie ujemą określoą wzorem z = a + b Wiosek Moduł liczby z rówa się odległości puktu z od początku układu współrzędych, tz. długości wektora Oz r. Przykład. Oblicz moduł z liczby 3 1 z = 3 + i = ( 3) + ( 1) = 4 = 7
5.Liczba sprzęŝoa Defiicja 4. Liczbę sprzęŝoą do liczby zespoloej z=a+bi azywamy liczbę z = a bi. Defiicja 5. Dwie liczby zespoloe azywamy sprzęŝoymi, jeŝeli mają części rzeczywiste rówe a części urojoe róŝią się zakiem. Wiosek. Pukty z i z są symetrycze względem osi OX (rzeczywistej) 6.Rówość liczb zespoloych Defiicja 6. Dwie pary (a, b) i (c, d) azywamy rówymi i piszemy (a, b)=(c, d) wtedy i tylko wtedy, gdy a= c i b= d Defiicja 7.Rówość z 1 z = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy z 1 = 0 lub z = 0. Dowód. JeŜeli z 1 0wówczas z rówości z 1 z = 0 otrzymujemy z wzoru (7) otrzymamy wówczas z = 0. 7.Postacie liczby zespoloej 1) Postać trygoometrycza. 0 =. Ze z Twierdzeie 1.KaŜda liczba zespoloa z moŝa przedstawić w postaci trygoometryczej i zapisać: z = z (cosϕ + i si ϕ ). Defiicja 8. Argumetem liczby zespoloej z=a+bi, z 0 azywamy kaŝdą liczbę rzeczywistą ϕ określoą rówaiami siϕ = b z 1 cosϕ = a z 8
Argumet liczby z ozaczamy przez arg z Jest o miarą kąta, jaki tworzy wektor r Oz z osią rzeczywistą arg z = ϕ + kπ Spośród argumetów tej samej liczby dokładie jede spełia waruek azywamy go argumetem główym tej liczby i ozaczamy przez Gra z Przykład. Zajdź argumet liczby 1 3i siϕ = 3 1 + 3 = 3, cosϕ = 1 1 + 3 = 1 π arg( 1 3i ) = + kπ 3 Przykład. Zapisz liczbę z=i+1 w postaci trygoometryczej. z = a + b = 1 + 1 = 1 cosϕ = = ϕ = π 1 = = 4 siϕ π π z = (cos + si i) 4 4 ) Postać wykładicza. Często stosuje się astępującą postać zapisu liczby zespoloej z o module q i argumecie ϕ :a = qe ϕi jest to tzw. postać wykładicza liczby zespoloej Przykład. Przedstaw w postaci wykładiczej 1 + i 3. e 1 ( )πi 3 9
III. DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE NA LICZBACH ZESPOLONYCH 1.Dodawaie i odejmowaie. Dodawaie i odejmowaie dwóch liczb określa się wzorami ( a + b i) + ( a + b i) = ( a + a ) + ( b + b ) i 1 1 1 1 ( a1 + b1i ) ( a + bi) = ( a1 a ) + ( b1 b ) i.moŝeie i dzieleie. MoŜeie dwóch liczb określa się wzorem ( a1 + b1i ) ( a + bi) = ( a1a b1b ) + ( a1b + b1a ) i W postaci trygoometryczej: [ q1(cosϕ 1 isi 1) ][ q (cosϕ isi ϕ )] = q q cos( ϕ + ϕ ) + i si( ϕ + ϕ ) + + = [ ] 1 1 1 Dzieleie dwóch liczb zespoloych określa się jako działaie odwrote do moŝeia. W postaci algebraiczej a1 + b1i a + bi Postać trygoometrycza = a a + b b 1 1 a + b + a b a b 1 1 a + b i q q (cosϕ + i si ϕ ) (cosϕ + i si ϕ ) 1 1 1 q1 = + q [ cos( ϕ1 ϕ ) i si( ϕ1 ϕ )] 3.Potęgowaie i pierwiastkowaie. Potęgowaie liczby zespoloej do potęgi wykouje się według wzoru de Moivre a [ ] q(cosϕ + i si ϕ) = q (cosϕ + i si ϕ) tzw. podosi się moduł do potęgi, a argumet moŝy się przez. Wzór de Moivre a stosować moŝa przy całkowitym lub ułamkowym, dodatim lub ujemym. Przy ułamkowym aleŝy uwzględić wielozaczość wyiku. 10
3 4 4 + k W szczególości mamy i = 1, i = i, i = 1i ogólie: i = i. Pierwiastkowaie to wyciągai pierwiastka stopia, jako działaie odwrote do potęgowaia, wykouje się według wzoru Moivre a dla ułamkowego wykładika potęgi, tz. jeŝeli a = q(cosϕ + i si ϕ ) oraz jest liczbą aturalą to ϕ + kπ ϕ + kπ (*) a = q(cos + i si ) UWAGA! Dodawaie, odejmowaie, moŝeie, dzieleie liczb zespoloych oraz podoszeie liczb zespoloych do potęgi o wykładiku całkowitym są działaiami jedozaczymi, atomiast wyciągaie pierwiastka stopia, gdzie jest liczbą aturalą, daje zawsze róŝych wartości. JeŜeli bowiem we wzorze (*) podstawiać będziemy k = 0, 1,,... 1, to arg a przybierać będzie wartości ϕ ϕ + π ϕ + 4π ϕ + ( 1) π,,,..., róŝiące się o π ; przy dalszych wartościach k wartość arg a będą się okresowo powtarzały. W iterpretacji geometryczej pukty przedstawiające a są wierzchołkami 6 - kąta foremego środek w bieguie (a rys. pokazao sześć wartości a ). Pierwiastek - tego stopia z jedyki. PoiewaŜ liczba jede moŝe być przedstawioa w formie trygoometryczej o o jako: 1 = cos0 + i si0, pierwiastek - tego stopia moŝe być otrzymay a podstawie wzoru z przez przyjęcie r = 1, ϑ = 0. 1 = cos π k + si π k gdzie k=0,1,,3...-1 k 11
1
IV. ZADANIA Z LICZB ZESPOLONYCH 1)Oblicz a. b. ( 1 + i ) 1 3 3 c. ( i ). 3 d. i e. 4 )WykaŜ prawdziwość toŝsamości: 1 + i tgϕ 1 ( ) = + i tgϕ 1 i tgϕ 1 i tgϕ 3)RozwiąŜ rówaie a. x + ix + 3 = 0 b. x 4x + 13 = 0. 10 13
1) 1 3 a. ( + i ) 0 Liczbę zespoloą z 1 = + i 3 ODPOWIEDZI przedstawiamy w postaci trygoometryczej π π z = cos + i si 3 3. A więc 0 π π 0 0 0 z = (cos + i si ) = cos π + i si π = 3 3 3 3 π π = cos( 6π + π) + i si( 6π + π) = cos + i si = 3 3 3 3 1 3 = + i. b. 10 π π 10 5 π π ( 1 + i) = [ (cos + i si )] = (cos + i si ) = 3i. 4 4 c. 1 3 3 3 ( i ) = [cos( π ) + i si( π )] = cosπ + i siπ = 1 3 3 d. Moduł liczby i rówa się 1, a jedym z jej argumetów jest liczba ϕ = π. W myśl wzoru ϕ + π ϕ + π wk = z (cos + i si ), k = 0, 1,,..., 1,gdzie z ozacza pierwiastek arytmetyczy, mamy zatem π π 3 1 w0 = cos + i si = + i, 6 6 5 5 3 1 w1 = cos π + i si π = + i, 6 6 9 9 w = cos π + i si π = i 6 6 14
e. PoiewaŜ 4 = 4 jedyym argumetem -4 jest π, więc π π w0 = (cos + i si ) = i, 3 3 w1 = (cos π + i si π) = i. ) 1 + i tgϕ 1 ( ) = + i tgϕ 1 i tgϕ 1 i tgϕ PoiewaŜ 1 + itgϕ cosϕ + i siϕ = 1 itgϕ cosϕ i siϕ więc a mocy wzoru de Moivre a 1 + itgϕ cosϕ + i siϕ 1 ( ) = = + itgϕ 1 itgϕ cosϕ i siϕ 1 itgϕ 3) a. x + ix + 3 = 0 b. x = 16 = 4i x = 3i, x = i 1 + 4x + 13 = 0 = 36 = 6i x = 3i, x = + 3i, 1 15
Bibliografia 1. R. Leiter, W. śakowski Matematyka - kurs przygotowawczy a wyŝsze uczelie techicze. Wydawictwo Naukowo - Techicze Warszawa 1968.. W. Jaowski, J. Kaczmarski Liczby i zmiee zespoloe. Wydawictwo Szkole i Pedagogicze Warszawa 1986. 3. J.N.Brosztej, K.A. Siemiediajew Matematyka - Podręczik Ecyklopedyczy Państwowe Wydawictwo Naukowe Warszawa 1968. 16