EDWARD WŁODARCZYK, MARIUSZ ZIELENKIEWICZ*

BIULETYN WAT VOL. LVII, NR 1, 8 Radialne dgania gubościennej kulistej osłony balistycznej wymuszone wewnętznym ciśnieniem poduktów natychmiastowej detonacji mateiału wybuchowego (MW) EDWARD WŁODARCZYK, MARIUSZ ZIELENKIEWICZ* Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Mechatoniki, -98 Waszawa, ul. S. Kaliskiego *Wojskowy Instytut Techniczny Uzbojenia, Zakład Uzbojenia Atyleyjskiego, 5- Zielonka, ul. Pymasa Stefana Wyszyńskiego 7 Steszczenie. Rozwiązano w zamkniętej analitycznej postaci poblem adialnych dgań kulistej gubościennej osłony balistycznej, obciążonej udaowo wewnętznym ciśnieniem poduktów nagłej detonacji wysokoenegetycznego mateiału wybuchowego. Założono, że gęstość mateiału osłony podczas dgań nie ulega zmianie (ρ = ρ = const). Pominięto uch falowy w poduktach detonacji. Założono adiabatyczny poces spężania i ozpężania poduktów detonacji podczas dgań osłony. Pzy takich założeniach na guncie teoii małych defomacji uzyskano zamknięte analityczne ozwiązanie poblemu. Wykazano, że ciśnienie w poduktach detonacji podczas dgań osłony w zakesie małych odkształceń można apoksymować stałą watością, ówną ciśnieniu początkowemu w poduktach detonacji. Słowa kluczowe: kulista osłona balistyczna, dgania wymuszone, wewnętzne obciążenie udezeniowe, nagła detonacja mateiału wybuchowego Symbole UKD: 6.5 1. Wpowadzenie W pacy [1] ozwiązano w zamkniętej analitycznej postaci zagadnienie adialnych dgań wymuszonych gubościennej uy, spowodowanych nagle wytwozonym wewnętznym ciśnieniem ównomienie ozłożonym wzdłuż jej długości. Założono, że ciśnienie i gęstość mateiału uy są stałe podczas pocesu dgań. Dla takiego

E. Włodaczyk, M. Zielenkiewicz fizycznego modelu wypowadzono zamknięte analityczne wzoy na kinematyczne i wytzymałościowe paamety uy. Analogiczne zagadnienie dla gubościennej osłony kulistej ozpatzono w pacy []. Wybuchowe (udezeniowe) oddziaływania poduktów spalania MW na obudowy o óżnej geometii występują między innymi w pociskach atyleyjskich, ganatach, bombach lotniczych, a także w lufach uządzeń miotających [, 4]. Gubościenne obudowy balistyczne stosuje się ównież w uządzeniach laboatoyjnych pzeznaczonych do wybuchowego napędzania pieścieniowych póbek w celu okeślenia dynamicznych właściwości ich mateiału [5, 6]. Powstaje pytanie, czy za pomocą ozwiązań podanych w pacach [1] i [] można apoksymować oddziaływanie na obudowy ciśnienia poduktów detonacji mateiałów wybuchowych umieszczonych w ich wnętzu. Okazuje się, że pzy ealizacji hipotezy natychmiastowej detonacji MW w zakesie teoii małych odkształceń uzyskuje się analogiczne ozwiązanie jak w pacach [1] i []. Zagadnienie to dla osłony kulistej ozpatuje się w niniejszej pacy.. Sfomułowanie poblemu Okeślimy dynamiczne stany pzemieszczenia oaz napężeń i odkształceń w gubościennej osłonie kulistej, obciążonej wewnętznym ciśnieniem poduktów natychmiastowej detonacji wysokoenegetycznego mateiału wybuchowego (MW). Oznaczymy pzez a i b pomienie osłony odpowiednio wewnętzny i zewnętzny. Zagadnienie będziemy ozwiązywać w sfeycznym układzie współzędnych Lagange a, ϕ, θ. Ze względu na kulistą symetię poblem jest pzestzennie jednowymiaowy. W związku z tym stany napężeń i odkształceń w mateiale osłony epezentowane są pzez następujące składowe główne tensoa napężenia i odkształcenia: σ napężenie pomieniowe (adialne), σ ϕ = σ θ napężenia obwodowe (styczne), ε odkształcenie pomieniowe (adialne), ε ϕ = ε θ odkształcenia obwodowe (styczne). Pozostałe składowe tensoów napężenia i odkształcenia w tym układzie współzędnych są ówne zeu. Poblem ozwiązujemy w amach liniowej teoii spężystości, zgodnie z któą mamy następujące elacje [7]: ( t) (, ) u t, =, ( t) ( t) ( t) ( t) ( ) (, ) u t, =, =, (.1),, =, (.)

Radialne dgania gubościennej kulistej osłony balistycznej... 1 gdzie u oaz i t są odpowiednio pzemieszczeniem adialnym elementu osłony i współzędnymi Lagange a, µ oznacza moduł Kichhoffa: = E 1 ( + ). (.) Z kolei symbolami E i ν oznaczono odpowiednio moduł Younga i liczbę Poissona. Z pawa zachowania masy, zapisanego dla elementu osłony we współzędnych Lagange a, t w symetii kulistej, otzymuje się: u 1, + u + = (.4) gdzie symbole ρ i ρ oznaczają gęstości mateiału osłony: początkową i bieżącą. Dla umiakowanych ciśnień nie pzekaczających kilku tysięcy MPa, w pzypadku metali można pzyjąć, że ρ ρ = const. Po uwzględnieniu tego założenia, dla małych odkształceń, ( zedukować do postaci:, u u u = = u u + =. ) ównanie (.4) można (.5) Z dynamicznej ównowagi elementu osłony, zapisanej we współzędnych Lagange a, t, po pzekształceniach otzymuje się ogólne ównanie uchu tego elementu w następującej postaci: u u u u = 1 1 1. + + + + t (.6) Dla odkształceń, wyażonych wzoami (.1), po pominięciu małych wyższego zędu, ównanie (.6) można zedukować do postaci: u + =. t (.7) Pzejdziemy obecnie do modelowania uchu gazowych poduktów wybuchu (GPW) mateiału wybuchowego (MW). Dla okeślenia początkowych paametów stanu GPW zastosujemy hipotezę natychmiastowej (momentalnej) detonacji ładunku MW. Stosowanie tej hipotezy w paktyce inżynieskiej jest uzasadnione małym udziałem enegii kinetycznej w bilansie enegetycznym GPW w fali detonacyjnej.

E. Włodaczyk, M. Zielenkiewicz Jako pzykład w tabeli 1 podajemy ułamkowe udziały enegii potencjalnej i kinetycznej GPW w fali detonacyjnej totylu [8] dla óżnych symetii: s = 1 symetia płaska, s = symetia cylindyczna i s = symetia kulista. Udział enegii s = 1 s = s = Enegia potencjalna,94,966,96 Enegia kinetyczna,66,74,794 Tabela 1 Jak widać z zamieszczonych danych, największy udział enegii kinetycznej (symetia kulista) nie pzekacza 8%. Podobne wyniki uzyskuje się dla innych, stałych mateiałów wybuchowych, zatem w fali detonacyjnej ponad 9% enegii GPW stanowi enegia potencjalna (spężysta i cieplna). Enegię kinetyczną można zaniedbać tym samym pzyjmujemy, że cząstki GPW w czasie detonacji pozostają nieuchome. W wyniku tego założenia początkowa gęstość GPW ówna się gęstości mateiału wybuchowego, któą oznaczymy pzez ρ e. Natomiast ciśnienie początkowe p e okeślamy z następującego wzou [9]: D e e =,5 H ; H =, kh + 1 p p p (.8) gdzie p H oznacza ciśnienie GPW w punkcie Jougueta, D jest pędkością detonacji, a k H wykładnikiem izentopy GPW w punkcie Jougueta. Jeśli zaniedbać zjawiska falowe w GPW i założyć, że gazowe podukty wybuchu ozszezają się w sposób adiabatyczny, to śednią gęstość ρ e (t) i śednie ciśnienie ρ e (t) w GPW można okeślić z następujących wzoów: a GPW (, t) = e ( t) = e, R ( t) k a pgpw (, t) = pe ( t) = pe, R ( t) (.9) (.1) gdzie R (t) oznacza wewnętzny bieżący pomień osłony (współzędna Eulea), któy wynosi: R t = a + u a, t, (.11) natomiast k jest skoelowanym wykładnikiem politopy GPW.

Radialne dgania gubościennej kulistej osłony balistycznej... Sposób okeślania jego watości podany jest w pacy [1]. Jest on nieco większy od wykładnika izentopy GPW w punkcie Jougueta (k > k H ). Pzykładowe watości k i k H dla kilku klasycznych MW podajemy w tabeli. MW ρ e kg/m p H MPa D m/s k H k Tabela Totyl 16 1 69,7, Totyl/Heksogen 6/64 1717 9 5 798,71, Oktogen 1891 4 911,74,4 Pentyt 177 5 8,64,9 Nitometan 118 1 5 68,56,7 Zlineayzowany układ ównań (.5) i (.7) ozwiążemy dla następujących waunków ganicznych: e e k a a, t = p t = p dla = a, R ( t) (.1) b, t dla = b, (.1) u u(,) i (,) =. t Tak sfomułowany poblem ozwiązujemy w następnym paagafie. t= (.14). Rozwiązanie ogólne poblemu Całka ogólna ównania (.5) ma postać: a ponieważ C t u(, t) =, u a, t = R t a,

4 E. Włodaczyk, M. Zielenkiewicz zatem C t = a u a, t = a R t a, a R t a u a u(, t) = ; = R ( t), t (.1) gdzie R ( t) d R ( t) =. dt Z wyażeń (.1), (.) i (.1) wynika, że: a R t a a R t a (, t) = ; (, t) = (, t) =, (.) a R t a (, t) (, t) = 6. (.) Po podstawieniu zależności (.1) i (.) do ównania uchu (.7) i scałkowaniu względem, otzymuje się: a R t a a (, t) = 4 R ( t) + A( t), (.4) gdzie A(t) jest dowolną funkcją czasu. Z waunku bzegowego (.1) i wyażenia (.4) wynika, że: 4 a R t a a A t = + R ( t) (.5) b b i napężenie σ (, t) można okeślić wzoem: b b, t = a R t 4 a R t a. b b (.6)

Radialne dgania gubościennej kulistej osłony balistycznej... 5 Z kolei, po podstawieniu wzou (.6) do waunku bzegowego (.1) i pzekształceniach, mamy: k pe b a b + ab + a a( b a) R ( t) a b R t = 4 R t a. (.7) Waunki początkowe dla funkcji R (t), zgodnie z zależnościami (.14) i (.1) mają postać: ( t) dr R ( ) = a ; ( a,) = = R ( t) =. dt t= Po podstawieniu pochodnej R ( t) t= (.8) okeślonej wzoem (.7) do wyażenia (.6) i pzekształceniach otzymuje się: (, ) t pe b a R t k a b a = R t a a b a b + b + b + ab + a 4. b b b a (.9) Dalej ze wzoów (.) i (.9) wynika, że: (, ) k a b a = t pe b a R t a b a b + b + b + ab + a a R t a. b b b a (.1) Jak widać, wszystkie paamety poblemu okeślone są zamkniętymi algebaicznymi wzoami (.1), (.), (.9) i (.1), w któych występuje funkcja R (t). Funkcja R (t) chaakteyzuje uch wewnętznej powiezchni osłony. Okeślamy ją z ównania (.7) i waunków początkowych (.8). Równanie (.7) jest nieliniowe i w ogólnym pzypadku całkujemy je numeycznie, np. za pomocą metody Runge-Kutty. Okazuje się jednak, że w zakesie małych odkształceń ównanie (.7) można zlineayzować.

6 E. Włodaczyk, M. Zielenkiewicz Rzeczywiście, nieliniowy człon k k k a a 1 = = R (t) a + u( a, t) 1 + u( a, t) / a a ponieważ u(a, t)/a = ε φ (a, t) <<1, zatem, a R ( t) i ównanie (.7) edukuje się do postaci: k 1 b ab a p b b ab a R + + + + t 4 R t 4, e + = + a b a ( b a) ab (.11) R = a, R t =. (.1) t= 4. Rozwiązanie poblemu zlineayzowanego Wpowadzimy następujące oznaczenia b t c =, =, =, =, a a T b ab a c = = a b a + + + + 1 4 4, (4.1) gdzie c oznacza pędkość popagacji fali popzecznej w mateiale osłony, a ω jest kołową częstością dgań własnych osłony, tj.: ω = π/t ; T okes dgań własnych. Funkcja R (t), po uwzględnieniu oznaczeń (4.1) okeślona jest następującym ównaniem: i waunkami początkowymi (.1). pe R ( t) + R ( t) = + a (4.) 1 a

Radialne dgania gubościennej kulistej osłony balistycznej... 7 Po scałkowaniu ównania (4.) i spełnieniu waunków (.1) otzymuje się: R t pe pe = 1+ ( 1 cos t) = 1+ ( 1 cos ). a 4 1 4 1 ( ) ( ) Dalej zgodnie z ównaniami (.1), (.), (.9), (.1) i (4.) mamy: u ( ), = 1 1 cos a ( ) 4 1 1 1 ( ) p e, =, 1 cos = 4 1 1, = 1 1 ( ) ( ) p ( + + 1) 1 1 cos pe. 1, = + ( 1) + ( + + 1) 1 + cos pe. e (4.) (4.4) (4.5) (4.6) (4.7) W ten sposób dla poblemu zlineayzowanego otzymaliśmy zamknięte analityczne wzoy, za pomocą któych można okeślić wszystkie kinematyczne i wytzymałościowe paamety kulistej osłony obciążonej wewnętznie ciśnieniem poduktów natychmiastowej detonacji MW. Wzoy te w zakesie teoii małych odkształceń osłony są identyczne jak uzyskane w pacy [] dla stałego ciśnienia wytwozonego nagle wewnątz osłony. 5. Pzykład Pzyjmujemy, że osłona wykonana jest ze stali, dla któej ρ 78 kg/m i µ = 75 GPa. Obliczenia watości paametów wykonano dla czteech odzajów MW, a mianowicie: oktogonu, pentytu, totylu i nitometanu. Wyniki obliczeń pezentujemy w fomie gaficznej na ysunkach.

8 E. Włodaczyk, M. Zielenkiewicz Na ysunku 1 pzedstawiono zmianę względnego pzemieszczenia u(ξ, η)/a wewnętznej (ξ = 1) i zewnętznej (ξ =) powiezchni osłony w czasie jednego okesu dgań, tj. w pzedziale η 1, dla wybanych odzajów mateiałów wybuchowych. Jak widać, maksymalne watości pzemieszczenia są osiągane dla η =,5 i występują na wewnętznej powiezchni osłony. Pzemieszczenie podczas pocesu dgań pzyjmuje tylko watości dodatnie. Dla ozpatzonych odzajów MW można zauważyć, że jest spełniony waunek małych odkształceń, tj. u/a << 1. Rys. 1. Zmiana względnego pzemieszczenia u(ξ, η)/a wewnętznej (ξ = 1) i zewnętznej (ξ = ) powiezchni osłony w pzedziale η 1 dla wybanych odzajów MW Zmiana napężenia σ φ dla pzyjętego układu danych jak na ysunku 1 pezentowana jest na ysunku. Należy zwócić uwagę na fakt, że napężenie obwodowe σ φ na wewnętznej powiezchni osłony (ξ = 1) zmienia znak podczas jej dgań. Na początku i pzy końcu okesu dgań wewnętznej powiezchni osłony napężenie σ φ jest ujemne (ściskające). Watości zeowe σ φ (1, η) podczas okesu dgań T występują dla: 1 + = ac cos. Na pzykład dla β = mamy η 1 =,18 i η =,8 (patz ys. ).

Radialne dgania gubościennej kulistej osłony balistycznej... 9 Rys.. Zmiana napężenia obwodowego σ φ na wewnętznej (ξ = 1) i zewnętznej (ξ = ) powiezchniach osłony w funkcji η Z kolei na ysunku pzedstawiono zmianę σ φ w funkcji zmiennej ξ dla dwóch watości czasu (η = i η =,5). Jak widać, napężenie obwodowe jest monotonicznie malejącą funkcją pomienia (ξ). Zwóćmy uwagę na fakt, że na zewnętznej powiezchni osłony, niezależnie od odzaju mateiału wybuchowego w chwili początkowej (η = ) napężenie σ φ (,) =, natomiast dla η napężenie obwodowe na swobodnej powiezchni osłony (ξ = ) σ φ (η, ) i jest zóżnicowane odzajem MW. Zmiana napężenia adialnego σ w czasie i pzestzeni pokazana jest fagmentaycznie na ysunkach 4 i 5. Z zamieszczonych wykesów wynika, że pole napężeń adialnych podczas dgań osłony ulega silnej dyspesji czasowej i pzestzennej. Z analizy pól napężeń w osłonie wynika wniosek, że wewnętzne jej obciążenie poduktami natychmiastowej detonacji MW powoduje plastyczne odkształcenia osłony. Dlatego pzedstawione w niniejszej pacy ozwiązanie ma oganiczone zastosowanie. Stanowi ono wstęp do ozwiązania poblemu dynamiki osłony balistycznej w zakesie spężysto-plastycznym. Zagadnieniem tym zajmiemy się w oddzielnym opacowaniu.

4 E. Włodaczyk, M. Zielenkiewicz Rys.. Zmiana napężenia σ φ w funkcji ξ dla η = i η =,5 Rys. 4. Zmiana napężenia σ w funkcji η w śodkowym pzekoju (ξ = 1,5) osłony

Radialne dgania gubościennej kulistej osłony balistycznej... 41 Rys. 5. Zmiana napężenia σ w funkcji ξ dla η = i η =,5 Atykuł wpłynął do edakcji 1..8. Zweyfikowaną wesję po ecenzji otzymano w macu 8. LITERATURA [1] E. Włodaczyk, Z. Głodowski, R. Paszkowski, Radialne dgania gubościennej uy wymuszone wewnętznym ciśnieniem impulsowym, Biul. WAT, 54, 1, 5, 1-48. [] E. Włodaczyk, M. Zielenkiewicz, Dynamika gubościennej kulistej osłony obciążonej wewnętznym ciśnieniem zmiennym w czasie, Biul. WAT, 56,, 7, 1-145. (Pzekład na język angielski: Dynamics of a thick-walled spheical casing loaded with a time depending intenal pessue, JTAM, 46, 1, 8, 1-4). [] W. P. Waltes, J. A. Zukas, Fundamentals of shaped chages, New Yok: A. Wiley-Intescience Publication, 1989. [4] E. Włodaczyk, J. Janiszewski, M. Magie, Analiza koncentacji osiowego napężenia w dzeniu wydłużonego pocisku podkalibowego podczas stzału, Biul. WAT, 5, -, 4, 19-1. [5] E. Włodaczyk, J. Janiszewski, Static and dynamic ductility of coppe and its sintes, J. Tech. Phys., 45, 4, 4, 6-74. [6] E. Włodaczyk, J. Janiszewski, Z. Głodowski, Dynamiczny stan napężenia i odkształcenia w cienkim, ozszezanym wybuchowo metalowym pieścieniu, Biul. WAT, 54, -, 5, 19-119. [7] W. Nowacki, Teoia spężystości, Waszawa, PWN, 197. [8] T. M. Саламахин, Физические основы механического действия взрыва и методы определения взрывных нагрузок, Москва, Издание ВИА, 1974.

4 E. Włodaczyk, M. Zielenkiewicz [9] Ф. А. Баум, Л. П. Орленко, К. П. Станюкович, В. П. Челышев, Б. И. Шехтер, Физика взрыва, Наука, Москва, 1975. [1] E. Włodaczyk, Płaski ozlot zeczywistych poduktów detonacji. Zamknięte ozwiązania, Biul. WAT,, 6, 1984, -. (Pzekład na język angielski: Plane expansion of eal detonation poducts. Closed fom solutions, J. Tech. Phys., 5, -4, 1984, 67-9. E. WŁODARCZYK, M. ZIELENKIEWICZ Vibation of thick-walled spheical ballistic casing loaded with inne pessue suge of poducts of abupt explosive detonation Abstact. The poblem of adial vibation of the thick-walled spheical ballistic casing loaded with inne pessue suge of the detonation poducts of a high explosive has been solved. The abupt detonation of high explosive has been consideed. The density of casing mateial was assumed as constant duing a vibation pocess. The wave motion of the detonation poducts has been neglected. The adiabatic pocess of the compession and expansion of the detonation poducts duing the casing vibation has been assumed. Unde such assumptions, on the basis of small stains theoy, the closed fom of an analytical solution of the consideed poblem has been solved. It follows fom this solution that duing the casing vibation, the pessue of detonation poducts changes insignificantly and can be appoximated by thei initial values. Keywods: spheical ballistic casing, foced vibations, pulsed intenal pessue, abupt detonation high explosive Univesal Decimal Classification: 6.5