Wykªad 1. GAL I A. Strojnowski str.1

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Denicja 11 Ciaªem nazywamy struktur algebraiczn ( algebr ) K = {K; 0, 1, +, }, w której: K jest zbiorem z wyró»nionymi dwoma ró»- nymi elementami 0 i 1, oraz dwoma dziaªaniami + i zwanymi dodawaniem i mno»eniem Dziaªania te przyporz dkowuj parze elementów zbioru K jeden element zwany wynikiem dziaªania W ciele dziaªania speªniaj nast puj ce warunki zwane aksjomatami ciaªa: Dla ka»dych a, b, c K 1) a + (b + c) = (a + b) + c ª czno± dodawania 2) a + b = b + a przemienno± dodawania 3) 0 + a = a + 0 = a 0 jest elementem neutralnym dodawania 4) a K p K a + p = 0 istnienie elementu przeciwnego 5) a (b c) = (a b) c ª czno± mno»enia 6) a b = b a przemienno± mno»enia 7) 1 a = a 1 = a 1 jest elementem neutralnym mno»enia 8) a K,a 0 q K a q = 1 istnienie elementu odwrotnego 9) (a + b) c = a c + b c rozdzielno± mno»enia wzgl dem dodawania Uwaga Element przeciwny do a oznaczamy symbolem a za± odwrotny symbolem a 1 Przykªad 12 Ciaªami s : a) Liczby wymierne Q z naturalnymi dziaªaniami + i b) Liczby rzeczywiste R z naturalnymi dziaªaniami + i c) Funkcje wymierne R(x) z naturalnymi dziaªaniami tzn okre±lonymi wzorami: (f + g)(x) = df f(x) + g(x) (f g)(x) df = f(x) g(x) Ciaªami nie s : a) Liczby naturalne N z naturalnymi dziaªaniami + i b) Liczby caªkowite Z z naturalnymi dziaªaniami + i c) Funkcje wymierne R(x) z naturalnymi dziaªaniem + i skªadaniem Przykªad 13 Zbiór F 2 tabelami jest ciaªem + 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 = {0, 1} z dziaªaniami okre±lonymi nast puj cymi Podstawowe wªasno±ci ciaª: Twierdzenie 14 Niech a i b b d dowolnymi elementami ciaªa K Wówczas: 1) a 0 = 0 2) a b = 0 a = 0 lub b = 0

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str2 3) a 0 a x + b = c ma dokªadnie jedno rozwi zanie 4) Element przeciwny jest wyznaczony jednoznacznie 5) Element odwrotny jest wyznaczony jednoznacznie Denicja 15 Ukªadem równa«liniowych n zmiennych nad ciaªem K nazywamy ukªad w postaci: a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,n x n = b 1 a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,n x n = b 2 L :, a s,1 x 1 + a s,2 x 2 + + a s,n x n = b s gdzie a i,j i b j s liczbami z ciaªa K Liczby b j nazywamy wyrazami wolnymi Ukªad w którym wszystkie wyrazy wolne s równe 0 nazywamy jednorodnym Rozwi zaniem ukªadu L nazywamy ka»dy n-elementowy ci g c = (c 1, c 2,, c n ) K n liczb z ciaªa K, który po podstawieniu do równa«da równo±ci To znaczy n 1 i s j=1 a i,jc j = b i Denicja 16 Macierz to sposób zapisu liczb lub danych w postaci prostok ta Linie poziome macierzy nazywamy wierszami za± pionowe kolumnami Ka»demu miejscu macierzy przyporz dkowujemy par liczb ( wspóªrz dnych ) - numer wiersza i numer kolumny Uwaga 1 Formaln denicj macierzy mo»na przedstawi nast puj co: Macierz jest to zbiór indeksowany par zbiorów lub Macierz jest to funkcja z iloczynu kartezja«skiego w zbiór Denicja 17 Macierz ukªadu równa«l nazywamy macierz a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n M(L) = = [a i,j] i=1, s j=1 n a s,1 a s,2 a s,n Macierz uzupeªnion ukªadu równa«l nazywamy macierz a 1,1 a 1,2 a 1,n b 1 M(L) U a 2,1 a 2,2 a 2,n b 2 = = [a i,j b i ] i=1, s j=1 n a s,1 a s,2 a s,n b s Denicja 18 Niech M = [a i,j ] t i=1, j=1 n b dzie macierz o t wierszach i n kolumnach o wspóªczynnikach z ciaªa K Schodkiem macierzy M nazywamy takie miejsce macierzy w którym stoi liczba niezerowa za± z lewej strony i poni»ej s same 0

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str3 Formalnie: miejsce (i, j) jest schodkiem gdy: a i,j 0 oraz p i q < j a p,q = 0 oraz p > i q j a p,q = 0 Macierz jest w postaci schodkowej gdy w ka»dym niezerowym wierszu jest schodek i wszystkie zerowe wiersze s poni»ej niezerowych Macierz jest w postaci schodkowej zredukowanej gdy jest w postaci schodkowej i ka»da kolumna zawieraj ca schodek ma jedn 1 za± pozostaªe wspóªczynniki zerowe Denicja 19 Niech L b dzie ukªadem równa«, którego macierz jest w postaci schodkowej zredukowanej Zmienne odpowiadaj ce kolumnom zawieraj cym schodki nazywamy zmiennymi zwi zanymi za± pozostaªe zmienne parametrami Twierdzenie 110 Je»eli M(L) U macierz uzupeªniona ukªadu równa«l jest w postaci schodkowej zredukowanej to: i) ukªad jest sprzeczny wtedy i tylko wtedy gdy schodek wypada w kolumnie wyrazów wolnych ii) Je»eli ukªad jest niesprzeczny to ka»de rozwi zanie otrzymujemy podstawiaj c dowolne liczby za parametry ( zmienne nie le» ce na schodkach ) Wykªad 2 Denicja 21 Niech W = (w 1, w 2,, w n ) b dzie ci giem Nast puj ce przeksztaªcenia ci gu W nazywamy operacjami elementarnymi: Typ 1) Do j-tego wyrazu ci gu dodajemy inny pomno»ony przez liczb Typ 2) Zamieniamy miejscami dwa wyrazy ci gu Typ 3) j-ty wyrazu ci gu mno»ymy przez niezerow liczb Twierdzenie 22 Operacje elementarne s odwracalne Zadanie Zamian kolejno±ci dwóch wyrazów ci gu mo»na uzyska stosuj c pozostaªe operacje elementarne Twierdzenie 23 Stosuj c operacje elementarne typu 1 na wierszach, ka»d macierz mo»na doprowadzi do postaci schodkowej Stosuj c dodatkowo jedn operacje typu 3 na wierszach, ka»d macierz mo»na doprowadzi do postaci schodkowej zredukowanej Twierdzenie 24 Je»eli jest dziaªaniem ª cznym na K to dla dowolnych a 1, a 2,, a n K (((a 1 a 2 ) a n 1 ) a n = a 1 a 2 a n 1 a n z dowolnie rozstawionymi nawiasami

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str4 Dowód: Dowód przez indukcj wzgl dem n 1 0 Je»eli n= 1 lub 2 to twierdzenie jest oczywiste 2 0 Dla n = 3 teza jest równowa»na warunkowi ª czno±ci 3 0 Krok indukcyjny Zakªadamy,»e n > 3 i ka»dy iloczyn mniej ni» n elementów nie zale»y od rozstawienia nawiasów Badamy L = a 1 a 2 a 3 a n 1 a n Przypu± my,»e ostatnie wykonywane dziaªanie wyst puje po a i L = (a 1 a 2 a 3 a i ) (a i+1 a n 1 a n ) Teraz may dwa przypadki: 3a 0 i = n 1 Na mocy zaªo»enia indukcyjnego a 1 a 2 a 3 a n 1 = (((a 1 a 2 ) a 3 ) a n 1 ) wi c L = (((a 1 a 2 ) a 3 ) a n 1 ) a n 3b 0 i < n 1 W tym przypadku z zaªo»enia indukcyjnego a i+1 a n 1 a n = (a i+1 a n 1 ) a n i L = (a 1 a 2 a 3 a i ) ((a i+1 a n 1 ) a n ) Stosuj c warunek ª czno±ci do wyra»e«w nawiasach otrzymujemy L = ((a 1 a 2 a 3 a i ) (a i+1 a n 1 )) a n i teraz teza wynika z 3a 0 Denicja 25 Ciaªem liczb zespolonych nazywamy zbiór C = R R par liczb rzeczywistych oznaczanych jako: C = { a + bi a R, b R} z dziaªaniami: (a + bi) + df (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi) df (c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i Denicja 26 Niech z = a + bi b dzie liczb zespolon Cz ±ci rzeczywist z nazywamy liczb Re(z) = a Cz ±ci urojon z nazywamy liczb Im(z) = b Moduªem liczby z nazywamy odlegªo± z od 0 czyli liczb z = a 2 + b 2 Argumentem niezerowej liczby z nazywamy k t mi dzy osi rzeczywist a wektorem 0z Postaci trygonometryczn jest zapis z = r(cos ϕ + i sin ϕ), gdzie r = z i ϕ = Arg(z) nazywamy argumentem liczby z Sprz»eniem liczby z = a + bi nazywamy liczb z = a bi Twierdzenie 27 Dla dowolnych liczb zespolonych z i s zachodz wzory: a) Re(z + s) = Re(z) + Re(s), Im(z + s) = Im(z) + Im(s), z + s = z + s b) z s = z s, z s = z s, Arg(z s) = Arg(z)+Arg(s)(mod 2π) c) r(cos α + i sin α) s(cos β + i sin β) = rs(cos(α + β) + i sin(α + β)) Twierdzenie 28 wzory de Moivre'a [r(cos ϕ + i sin ϕ)] n = r n (cos nϕ + i sin nϕ)

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str5 Wykªad 3 Twierdzenie 31 Skªadanie funkcji jest ª czne Twierdzenie 32 Niech h r : C C b dzie jednokªadno±ci o ±rodku 0 i skali r za± φ α : C C b dzie obrotem wzgl dem 0 o k t α Wówczas przeksztaªcenia typu h r i φ α s parami przemienne Ponadto: Niech a = r(cos α + i sin α) C i f : C C b dzie okre±lone wzorem f(z) = az Wówczas f = h r φ α Wniosek 33 Mno»enie liczb zespolonych jest przemienne i ª czne Twierdzenie 34 (Zasadnicze twierdzenie Algebry) Ka»dy wielomian o wspóªczynnikach zespolonych stopnia 1 ma pierwiastek Twierdzenie 35 Wielomiany nad ciaªem mo»na dzieli z reszt Twierdzenie 36 (Bezoute'a) Liczba z jest pierwiastkiem wielomianu w(x) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian (x z) dzieli w(x) Wniosek 37 Niech w(x) K[x] b dzie wielomianem o wspóªczynnikach z ciaªa K Wówczas liczba pierwiastków z ciaªa K jest nie wi ksza ni» stopie«wielomianu Twierdzenie 38 Wielomiany o wspóªczynnikach zespolonych rozkªadaj si na iloczyn wielomianów stopnia 1 Twierdzenie 39 Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych rozkªadaj si na iloczyn wielomianów stopnia 2 Denicja 310 Pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z 1 nazywamy liczb ε n = (cos 2π + i sin 2π) n n lub jej k-t pot g εk n = (cos 2kπ 2kπ + i sin jest wzgl dnie pierwsze z n n n ), gdzie k Twierdzenie 311 Je»eli a 0 to równanie x n = a ma w liczbach zespolonych dokªadnie n ró»nych rozwi za«ró»ni cych si o pot g pierwiastka pierwotnego z 1 Dokªadniej: je»eli a = r(cos α+i sin α) to rozwi zania równania x n = a s postaci x k = n r(cos α+2kπ n +i sin α+2kπ n ) = n r(cos α n +i sin α n )εk n Przykªad 312 x 5 1 = (x 1)(x 2 2x cos 2π 5 + 1)(x2 2x cos 4π 5 + 1) Twierdzenie 313 z 2 = zz

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str6 Algorytm szukania pierwiastków stopnia 2 : x 2 = a + bi x = p + qi p 2 q 2 + 2pqi = a + bi I rozwi zujemy ukªad równa«: 2pq = b p 2 q 2 = a p 2 + q 2 = x 2 = a 2 + b 2 Algorytm rozwi zywania równa«stopnia 2 : ax 2 + bx + c = 0 = b 2 4ac dowolne rozwi zanie równania x 2 = x 1,2 = b± 2a Wykªad 4 Przestrzenie liniowe Denicja 41 Niech K b dzie ciaªem Przestrzeni liniow V nad ciaªem K nazywamy struktur algebraiczn ( algebr ) V = {V ; θ, +, }, w której: V jest zbiorem z wyró»nionym elementem θ oraz dwoma dziaªaniami + i zwanymi dodawaniem i mno»eniem przez liczby Elementy V nazywamy wektorami Dodawanie przyporz dkowuje parze wektorów wektor za± mno»enie liczbie i wektorowi wektor + : V V V, α + β V : K V V, a α V W przestrzeni liniowej dziaªania speªniaj nast puj ce warunki zwane aksjomatami przestrzeni: Dla ka»dych α, β, γ V i a, b K 1) α + (β + γ) = (α + β) + γ ª czno± dodawania 2) α + β = β + α przemienno± dodawania 3) θ + α = α + θ = α θ jest elementem neutralnym dodawania 4) α V γ V α + γ = θ istnienie elementu przeciwnego 5) a (α + β) = (a α) + (a β) rozdzielno± mno»enia wzgl dem dodawania 6) (a + b) α = a α + b α rozdzielno± mno»enia wzgl dem dodawania 7) (ab) α = a (b α) ª czno± mno»enia 8) 1 α = α 1 jest elementem neutralnym mno»enia Twierdzenie 42 Ciaªo ma naturaln struktur przestrzeni liniowej nad swoim podciaªem Podstawowe wªasno±ci przestrzeni liniowych: 1) a α = θ a = 0 lub α = θ 2) a 0 a x = β ma jedno rozwi zanie 3) α + β = θ β = ( 1)α

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str7 Twierdzenie 43 Niech W b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K za± X zbiorem Wówczas V = W X zbiór wszystkich funkcji z X do W jest przestrzeni liniow z dziaªaniami: (f + g)(x) = df f(x) + g(x) i (rf)(x) = df r(f(x)) Wniosek 44 Ci gi K n i macierze K n t s przestrzeniami liniowymi z dziaªaniami po wspóªrz dnych Denicja 45 Niech V przestrzeni liniow nad ciaªem K Podzbiór W V nazywamy podprzestrzeni je»eli: 1) jest niepusty 2) jest zamkni ty na dziaªania + oraz Twierdzenie 46 Podprzestrze«jest przestrzeni Twierdzenie Zbiór rozwi za«ukªadu równa«liniowych nad ciaªem K jest podprzestrzeni K n wtedy i tylko wtedy, gdy ukªad jest jednorodny Twierdzenie 47 Je»eli {W i i I} jest zbiorem podprzestrzeni to i I W i te» jest podprzestrzeni Denicja 48 Niech X V b dzie podzbiorem przestrzeni Symbolem lin(x) = W X W, W podprzestrzeń oznacza b dziemy przestrze«rozpi t przez X Przykªad 49 1) Je»eli X V jest podprzestrzeni to lin(x) = X 2) lin( ) = {θ} Denicja 410 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K Podzbiór B V nazywamy baz przestrzeni V je»eli jest minimalnym podzbiorem rozpinaj cym V To znaczy: 1) lin B = V 2) α B lin( B \ {α}) V Denicja 411 Niech V przestrzeni liniow nad ciaªem K i niech α 1, α 2,, α n V Kombinacj liniow wektorów α 1, α 2,, α n o wspóªczynnikach a 1, a 2,, a n K nazywamy wektor β = a 1 α 1 + a 2 α 2 + + a n α n = n i=1 a iα i Twierdzenie 412 Je»eli X to Lin(X) jest zbiorem kombinacji liniowych wektorów z X Przykªad 413 Baz przestrzeni K n nad K jest zbiór: B = {e 1 = (1, 0,, 0), e 2 = (0, 1, 0,, 0),, e n = (0, 0,, 0, 1)} Baza ta zwana jest baz standardow

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str8 Wykªad 5 Denicja 51 Niech V przestrzeni liniow nad ciaªem K Podzbiór X V nazywamy liniowo niezale»nym je»eli dla ka»dego ci gu α 1, α 2,, α n ró»nych wektorów z X jedynym rozwi zaniem równania x 1 α 1 + x 2 α 2 + + x n α n = θ jest x 1 = 0 = x 2 = = x n Uwaga Je»eli X = to X jest liniowo niezale»ny i lin X = {θ} Stwierdzenie 52 Podzbiór X V jest liniowo niezale»ny wtedy, gdy ka»dy sko«czony podzbiór X jest liniowo niezale»ny wtedy i tylko Lemat 53 Niech X V b dzie zbiorem liniowo niezale»nym za± α V \ X, wówczas zbiór X {α} jest liniowo niezale»ny wtedy i tylko wtedy, gdy α lin X Twierdzenie 54 Niech B b dzie uporz dkowanym podzbiorem przestrzeni liniowej V Wówczas równowa»ne s warunki: 1) B jest baz 2) B jest zbiorem liniowo niezale»nym rozpinaj cym V 3) B jest maksymalnym zbiorem liniowo niezale»nym w V 4) Ka»dy wektor z V mo»na jednoznacznie zapisa jako kombinacje liniow wektorów z B Twierdzenie 55 Niech X = {x 1, x 2,, x n } b dzie sko«czonym zbiorem za± K ciaªem Wówczas jedn z baz przestrzeni V wszystkich funkcji z w K jest zbiór B = {e 1, e 2,, e n }, gdzie e j jest funkcj okre±lon wzorem: { 1, i = j e j (x i ) = 0, i j Przykªad 56 Baz przestrzeni macierzy Kt n nad K jest zbiór B = {e i,j i = 1, 2,, t, j = 1, 2,, n}, gdzie e i,j jest macierz maj c same zera z wyj tkiem jedynki w i-tym wierszu i j-tej klolumnie Elementy tej bazy nazywamy jedynkami macierzowymi Twierdzenie 57 Ka»da przestrze«ma baz Dowód: Jak pokazaª AR Blass w 1984 r 1 twierdzenie to jest równowa»ne pewnikowi wyboru W dowodzie oprzemy si na twierdzeniu Zermelo mówi cym,»e ka»dy zbiór mo»na dobrze uporz dkowa Ustawmy elementy przestrzeni V w dobrze uporz dkowany ci g pozasko«czony α 1, α 2,, α n, 1 Np ABªaszczak, S Turek Teoria mnogo±ci Twierdzenie 165

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str9 Wyznacza on ci g podzbiorów X 1 X 2 X n zdeniowanych X i = {α j j < i} i ci g podprzestrzeni A 1 = lin X 1 A 2 = lin X 2 A n = lin X n Indukcyjnie okre±lamy ci g β 1, β 2,, β n, { αn, α przyjmuj c: β n = n A n Oczywi±cie β θ, α n A 1 = α 1 n Niech Y b dzie zbiorem niezerowych wektorów z ci gu (β n ) Poka»emy,»e Y jest baz Niech Y i = {β j j < i} i B i = lin Y i i) lin B = i B i i A i = V Wystarczy zatem pokaza,»e i B i = A i Przypu± my,»e to nieprawda Istnieje wówczas najmniejsza liczba porz dkowa j dla której B j A j Oczywi±cie j 1 bo B 1 = {θ} = A 1 ia) Je»eli j = n+1 to X j = X n {α n } i Y j = Y n {β n } Ale z minimalno±ci j, A n = lin X n = lin Y n = B n St d α n β n co daje α n A n Teraz A j = A n = B n B j - sprzeczno± ib) Je»eli j jest liczb graniczn to: X j = i<j X i i A j = i<j A i = i<j B i B j - sprzeczno± ii) Liniowa niezale»no± Niech a 1 β i1 + a n β in + + a n β in = θ, gdzie β ij B, i 1 < β in < < i n oraz a n 0 Teraz β in B n = A n, ale β in = α in a skoro α in A n to β in = θ - sprzeczno± Uwaga Bez zaªo»enia pewnika wyboru mo»na udowodni,»e przestrze«rozpi ta przez przeliczalny zbiór wektorów (lub dobrze uporz dkowany zbiór wektorów) ma baz Przechodzi analogiczny dowód Lemat 58 ( Steinitza) Niech B = (α 1, α 2,, α n ) b dzie baz przestrzeni liniowej V nad ciaªem K Niech β 1, β 2,, β t b dzie ci giem liniowo niezale»nym Wówczas: 1) t n 2) Ci g β 1, β 2,, β t mo»na uzupeªni do n-elementowej bazy przestrzeni V pewnymi wektorami z B Denicja 59 Wymiarem przestrzeni V nad K nazywamy moc dowolnej bazy i oznaczamy dim K V lub dimv Twierdzenie 510 Dowolne dwie bazy przestrzeni V s równoliczne Dowód tylko w przypadku przestrzeni sko«czenie generowanych

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str10 Twierdzenie 511 Niech W b dzie podprzestrzeni sko«czenie wymiarowej przestrzeni V Wówczas W = V dim W = dim V Twierdzenie 512 Niech W V b d sko«czenie wymiarowymi przestrzeniami nad ciaªem K Wówczas W = V dim W = dim V Denicja 513 Niech A i B b d podprzestrzeniami V nad ciaªem K Sum przestrzeni A i B nazywamy zbiór A + B = {α + β; α A, β B} Twierdzenie 514 A + B = lin(a B) Twierdzenie 515 dim A + dim B = dim(a + B) + dim(a B) Denicja 516 Niech A i B b d podprzestrzeniami V nad ciaªem K Powiemy,»e V sum prost przestrzeni A i B gdy: 1) V = A + B 2) A B = {θ}, i oznaczamy V = A B Podprzestrzenie A i B nazywamy skªadnikami prostymi V Wykªad 6 Denicja 61 Niech {A i } i I b dzie rodzin podprzestrzeni przestrzeni V nad ciaªem K Powiemy,»e V jest sum prost rodziny {A i } i I, co oznaczamy V = i I A i gdy: 1) V = lin i I A i (V = + i I A i ) 2) i I A i lin j I\{i} A j = {θ} Twierdzenie 62 V = i I A i jest sum prost rodziny {A i } i I wtedy i tylko wtedy gdy ka»dy element z V mo»na jednoznacznie przedstawi jako sum ( sko«czon ) elementów z ró»nych podprzestrzeni A i Twierdzenie 63 Ka»dy zbiór liniowo niezale»ny w przestrzeni liniowej V nad ciaªem K mo»na uzupeªni do bazy Twierdzenie 64 Ka»da podprzestrze«jest skªadnikiem prostym Twierdzenie 65 V jest przestrzeni nierozkªadaln dim V = 1 lub dim V = 0 Lemat 66 Niech A = (α 1, α 2,, α n ) b dzie ci giem wektorów z przestrzeni V Niech B = (β 1, β 2,, β n ) b dzie ci giem powstaªym z A przez operacje elementarne Wówczas: 1) lin A = lin B 2) Ci g A jest liniowo niezale»ny ci g B jest liniowo niezale»ny, 3) Ci g A jest baz V ci g B jest baz V

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str11 Lemat 67 Niech A = (α 1, α 2,, α n ) b dzie ci giem wektorów z przestrzeni α 1 K t α 2 Zapisujemy te wektory w postaci macierzy M = Kt n Je»eli macierz M jest w postaci schodkowej to niezerowe wektory z ci gu A tworz zbiór liniowo niezale»ny Algorytm szukania bazy przestrzeni lin A 1) Zapisujemy ci g A = (α 1, α 2,, α n ) w postaci macierzy M 2) Operacjami elementarnymi sprowadzamy M do postaci schodkowej 3) Niezerowe wiersze otrzymanej macierzy tworz baz lin A Wykªad 7 Denicja 71 Niech V i W b d przestrzeniami nad tym samym ciaªem K Przeksztaªcenie f : V W nazywamy liniowym je»eli zachowuje dziaªania To znaczy: 1) f(θ V ) = θ W 2) α,β V f(α + β) = f(α) + f(β) 3) α V r K f(rα) = rf(α) Twierdzenie 72 Niech f : V W b dzie przeksztaªceniem Przestrzeni liniowych nad tym samym ciaªem K Wówczas równowa»ne s warunki: 1) f jest przeksztaªceniem liniowym 2) f zachowuje kombinacje liniowe 3) α,β V r,s K f(rα + sβ) = rf(α) + sf(β) Przykªad 73 Przykªadami przeksztaªce«liniowych s : 1) Homotetie: f r (α) = rα 2) Symetria wzgl dem podprzestrzeni A wzdªu» podprzestrzeni B 3) Rzut na podprzestrze«a wzdªu» podprzestrzeni B 4) Obrót pªaszczyzny R 2 o k t φ wokóª zera : f(x, y) = (x cos φ y sin φ, x sin φ + y cos φ) Denicja 74 Niech f : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym 1) Zbiór im f = {f(α) ; α V } nazywamy obrazem f 2) Zbiór ker f = {α V ; f(α) = θ} nazywamy j drem f Twierdzenie 75 im f jest podprzestrzeni W za± ker f jest podprzestrzeni V Twierdzenie 76 Przeksztaªcenie liniowe f jest ró»nowarto±ciowe wtedy i tylko wtedy gdy ker f = {θ} α n

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str12 Denicja 77 Ró»nowarto±ciowe przeksztaªcenie liniowe f : V W nazywamy monomorzmem lub injekcj Przeksztaªcenie liniowe f : V W nazywamy epimorzmem lub surjekcj gdy jest na Przeksztaªcenie liniowe f : V W nazywamy izomorzmem gdy jest równocze±nie monomorzmem i epimorzmem, czyli ró»nowarto±ciowe i na Przestrzenie liniowe V i W nad ciaªem K nazywamy izomorcznymi gdy istnieje izomorzm f : V W Lemat 78 Niech f : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym Baz (α 1, α 2, ) przestrzeni ker f uzupeªniamy do bazy przestrzeni V wektorami (β 1, β 2, ) Wówczas ci g wektorów (f(β 1 ), f(β 2 ), ) jest liniowo niezale»ny w przestrzeni W Dowód: Niech n i=1 a if(β i ) = θ Wtedy f ( n i=1 a ) iβ i = θ, n i=1 a iβ i ker f i st d a 1 = 0 = a 2 = = a n Twierdzenie 79 Niech f : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym Wówczas dim V = dim ker f + dim im f Twierdzenie 710 Ka»de przeksztaªcenie liniowe jest jednoznacznie okre±lone na bazie To znaczy: je»eli {α i } i I jest baz V za± {β i } i I jest zbiorem wektorów z przestrzeni W to istnieje dokªadnie jedno przeksztaªcenie liniowe f : V W speªniaj ce warunek i I f(α i ) = β i Przykªad 711 Niech f : R n R s oraz w bazie standardowej 1 i n f(e i ) = (a 1,i, a 2,i,, a n,i ) Wówczas f(x 1, x 2,, x n ) = f ( n i=1 x ie i ) = n i=1 x if (e i ) = n i=1 x i(a 1,i, a 2,i,, a n,i ) = (a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1,n x n, a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2,n x n,, a s,1 x 1 + a s,2 x 2 + + a s,n x n ) Powy»szy wzór nazywamy wzorem analitycznym przeksztaªcenia Twierdzenie 712 Niech f : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym Wówczas równowa»ne s warunki: a) f jest izomorzmem b) Istnieje taka baza uporz dkowana B przestrzeni V,»e jej obraz f(b) jest uporz dkowan baz przestrzeni W c) Dla ka»dej bazy uporz dkowanej B przestrzeni V,»e jej obraz f(b) jest uporz dkowan baz przestrzeni W Wniosek 713 Przestrzenie liniowe V i W nad ciaªem K s izomorczne wtedy i tylko wtedy gdy dim V = dim W

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str13 Wykªad 8 Bazy przestrzeni przeksztaªce«denicja 81 Niech V i W b d przestrzeniami nad tym samym ciaªem K Symbolem L(V ; W ) oznaczamy zbiór przeksztaªce«liniowych z V w W Twierdzenie 82 Zbiór L(V ; W ) z naturalnymi dziaªaniami dodawania funkcji i mno»enia funkcji przez liczby jest przestrzeni liniow Twierdzenie 83 Niech ukªad A = (α 1, α 2,, α n ) b dzie baz przestrzeni V nad ciaªem K za± B = (β 1, β 2,, β s ) b dzie baz przestrzeni W nad tym samym ciaªem K Wówczas zbiór przeksztaªce«{f i,j } 1 i s, 1 j n jest baz L(V, W ), Gdzie { f i,j okre±lamy na bazie w nast puj cy sposób: θ j t f i,j (α t ) = β i j = t Wniosek 84 Je»eli dim V < i dim W < to dim L(V, W ) = dim V dim W Uwaga Twierdzenie 83 pozostaje prawdziwe gdy baza A jest sko«czona za± baza B ma dowoln moc W przypadku niesko«czonego wymiaru V wymiar przestrzeni L(V, W ) ekstremalnie ro±nie Np gdy dim W < to dim L(V, W ) = W dim V Denicja 85 Niech ukªad A = (α 1, α 2,, α n ) b dzie baz przestrzeni V nad ciaªem K za± B = (β 1, β 2,, β s ) b dzie baz przestrzeni W nad tym samym ciaªem K Macierz przeksztaªcenia a 1,1 a 1,2 a 1,n f L(V, W ) nazywamy macierz M(f) B A = a 2,1 a 2,2 a 2,n, a s,1 a s,2 a s,n gdzie f = s n i=1 j=1 a i,jf i,j jest zapisane w bazie {f i,j } s ( { ) θ j t f i,j (α t ) = j = t β i n i=1 j=1 Wniosek 86 Przeksztaªcenie f : R n R s ma wzór analityczny f(x 1, x 2,, x n ) = (a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + + a 1n x n, a 2,1 x 1 + a 2,2 x 2 + + a 2n x n,, a s,1 x 1 + a s,2 x 2 + +a sn x n ) wtedy i tylko wtedy gdy jego macierz w bazach standardowych jest a 1,1 a 1,2 a 1,n a 2,1 a 2,2 a 2,n M(f) = a s,1 a s,2 a s,n

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str14 Twierdzenie 87 Niech ukªad A = (α 1, α 2,, α n ) b dzie baz przestrzeni V nad ciaªem K za± B = (β 1, β 2,, β t ) b dzie baz przestrzeni W nad tym samym ciaªem K Wówczas przeksztaªcenie Ψ : L(V, W ) Kt n okre±lone wzorem Ψ(f) = M(f) B A jest izomorzmem przestrzeni liniowych Twierdzenie 88 ( Tw 31) Skªadanie przeksztaªce«jest ª czne Twierdzenie 89 Niech V, W i T b d podprzestrzeniami liniowymi nad ciaªem K Niech f L(V, W ) i g L(T, V ) wówczas f g L(T, W ) ( Zªo»enie przeksztaªce«liniowych jest przeksztaªceniem liniowym ) Twierdzenie 810 Niech V, W i T b d podprzestrzeniami liniowymi nad ciaªem K Skªadanie przeksztaªce«liniowych ma nast puj ce wªasno±ci: 1) f L(V,W ) g L(T,V ) r K r(g f) = (rg) f = g (rf) 2) f1,f 2 L(V,W ) g L(T,V ) r1,r 2 K g (r 1 f 1 + r 2 f 2 ) = r 1 (g f) + r 2 (g 2 f ) 3) f L(V,W ) g1,g 2 L(T,V ) r1,r 2 K (r 1 g 1 + r 2 g 2 ) f = r 1 (g 1 f 1 ) + r 2 (g f 2 ) Denicja 811 Niech A i B b d macierzami nad ciaªem K, gdzie A ma n kolumn i t wierszy za± B ma s kolumn i n wierszy Niech f L(K n, K t ) i g L(K s, K n ) b d przeksztaªceniami liniowymi takimi,»e M(f) = A i M(g) = B ( w bazach standardowych ) Iloczynem macierzy nazywamy macierz A B = M(f g) Uwaga Je»eli liczba kolumn macierzy A jest ró»na od liczby wierszy macierzy B to iloczyn A B nie istnieje Twierdzenie 812 Wªasno±ci mno»enia macierzy: 1) ª czno± : (A B) C = A (B C) 2) r K r(a B) = (ra) B = A (rb) 3) r1,r 2 K (r 1 A 1 + r 2 A 2 ) B = r 1 A 1 B + r 2 A 2 B 4) r1,r 2 K A (r 1 B 1 + r 2 B 2 ) = r 1 A B 1 + r 2 A B 2 Denicja 813 Jedynkami macierzowymi nazywamy macierze e i,j, które maj jedynk w i-tym wierszu i j-tej kolumnie a pozostaªe wspóªczynniki zerowe Twierdzenie 814 Zbiór {e i,j } 1 i t, 1 j n jest baz przestrzeni K n t Wzory mno»enia { θ j k 1) e i,j e k,s = e i,s j = k

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str15 2) Dla [a 1 a 2 a n ] Kn 1 i 3) Dla [a 1 a 2 a n ] w 1 w 2 w t w 1 w 2 w t Kn t b 1 b 2 b n b 1 b 2 b n Kn 1 = [a 1b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ] K1 1 i [k 1 k 2 k s ] K s n w 1 k 1 w 1 k 2 w 1 k s [k w 2 k 1 w 2 k 2 w 2 k s 1 k 2 k s ] = Ks t w t k 1 w t k 2 w t k s Twierdzenie 815 Niech ukªad A = (α 1, α 2,, α n ) b dzie baz przestrzeni V nad ciaªem K za± B = (β 1, β 2,, β t ) b dzie baz przestrzeni W nad tym samym ciaªem K Niech f L(V, W ) Wówczas M = MA B (f) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego α = n j=1 a jα j V f(α) = t i=1 b iβ i, gdzie a 1 b 1 a 2 b 2 M a n = b t Twierdzenie 816 Niech L b dzie ukªadem równa«liniowych o macierzy M b 1 b 2 i kolumnie wyrazów wolnych b t Niech f : R n R t b dzie przeksztaªceniem opisanym macierz M Wówczas zbiór rozwi za«ukªadu L jest równy f 1 (b 1, b 2,,, b t ) = = {(x 1, x 2,,, x n ) R n f(x 1, x 2,,, x n ) = (b 1, b 2,,, b t )} Wykªad 9 Przykªad 91 Niech V b dzie przestrzeni sko«czonego wymiaru i f L(V, V ) 1) f jest homoteti wtedy i tylko wtedy, gdy w ka»dej bazie A

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str16 a 0 0 M(f) A A = 0 a 0 0 0 a 2) f jest rzutem wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza A taka,»e 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 M(f) A A = 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3) f jest symetri wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje baza A taka,»e 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 M(f) A A = 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 Twierdzenie 92 Niech ukªad A = (α 1, α 2,, α n ), B = (β 1, β 2,, β t ) i C = (γ 1, γ 2,, γ m ) b d bazami przestrzeni A, B i C nad tym samym ciaªem K, odpowiednio Niech f L(A, B) i g L(B, C) Wówczas M(g f) C A = M(g)C B M(f)B A Denicja 93 Macierz transponowan do macierzy M nazywamy tak macierz M T, w której wiersze i kolumny s zamienione rolami To znaczy T a 1,1 a 1,2 a 1,n a 1,1 a 2,1 a s,1 a 2,1 a 2,2 a 2,n a 1,2 a 2,2 a s,2 = a s,1 a s,2 a s,n a 1,n a 2,n a s,n Wªasno±ci transpozycji: Twierdzenie 94 1) ( M T ) T = M 2) Niech A i B b d macierzami, których iloczyn AB jest okre±lony Wówczas okre±lony jest iloczyn B T A T i B T A T = (AB) T Algorytm 1 Niech {α i } i=1,2,,t b dzie zbiorem wektorów z przestrzeni R n za± {β i } i=1,2,,t B dzie zbiorem wektorów z przestrzeni R s Szukamy przeksztaªcenia liniowego f : R n R s speªniaj cego warunek i I f(α i ) = β i

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str17 1) Budujemy macierz M = α 1 β 1 α 2 β 2 α t β t 2) Sprowadzamy macierz M do postaci schodkowej zredukowanej M przy pomocy operacji elementarnych i wykre±lamy wiersze zerowe 3) Je»eli schodek wypadª po prawej stronie kreski to STOP takie przeksztaªcenie nie istnieje 4) Je»eli z lewej strony kreski otrzymali±my macierz jednostkow to STOP kolejne wiersze opisuj obrazy wektorów bazy standardowej za± macierz po prawej stronie kreski jest równa M(f) T 5) (w pozostaªych przypadkach) Uzupeªniamy wiersze macierzy z lewej strony kreski do bazy R n, wpisujemy z prawej strony dowolne wektory i GO TO 2) Twierdzenie 95 Ka»da podprzestrze«v K n jest zbiorem rozwi za«ukªadu równa«jednorodnych Algorytm 2 Niech V = lin{α 1, α 2,, α t } K n Szukamy ukªadu równa«opisuj cych V Tak jak w algorytmie z wykªadu 6 szukamy bazy V 1) Zapisujemy ci g (α 1, α 2,, α t ) w postaci macierzy M 2) Operacjami elementarnymi sprowadzamy M do postaci schodkowej 3) Niezerowe wiersze otrzymanej macierzy tworz baz A = (α 1, α 2,, α s) 4) Rozszerzamy A do bazy K n wektorami bazy standardowej (e i1, e i2,, e in s ) α 1 θ α 2 θ 5) Budujemy macierz M = α s θ t e i1 e 1 e i2 e 2 e in s e n s K 2n s n 6) Sprowadzamy macierz M do postaci schodkowej zredukowanej M = [A B] przy pomocy operacji elementarnych 7) V jest zbiorem rozwi za«ukªadu jednorodnego o macierzy B T Dowód poprawno±ci: Okre±lamy przeksztaªcenie f macierz po prawej stronie kreski - M(f) = B T Poniewa» ker f = V wi c V jest zbiorem rozwi - za«ukªadu jednorodnego o macierzy B T Algorytm 3 Niech f : R n R k b dzie przeksztaªceniem liniowym o macierzy M Kk n ( w bazach standardowych ) Szukamy baz ker f i Imf 1) Budujemy macierz A = [M T I], gdzie I jest macierz jednostkow n n

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str18 2) Przy pomocy operacji elementarnych sprowadzamy macierz A α 1 β 1 α 2 β 2 α do postaci schodkowej A = t β t, gdzie α θ v t θ 1 θ v 2 θ v s 3) Wektory α 1, α 2,, α t tworz baz Imf za± v 1, v 2,,, v s baz ker f Algorytm 4 Rozwi zywanie ukªadu równa«liniowych jednorodnych o macierzy M 1) Budujemy macierz A = [M T I], gdzie I jest macierz jednostkow n n 2) Przy pomocy operacji elementarnych sprowadzamy macierz A α 1 β 1 α 2 β 2 α do postaci schodkowej A = t β t, gdzie α θ v t θ 1 θ v 2 θ v s 3) Wektory v 1, v 2,,, v s tworz baz przestrzeni rozwi za«algorytm 5 Rozwi zywanie ukªadu równa«liniowych o macierzy M i kolumnie wyrazów wolnych β [ = (b 1, b 2,],, b k ) T M T I 1) Budujemy macierz A = β θ 2) Przy [ pomocy operacji elementarnych na macierzy A sprowadzamy M T macierz β do postaci schodkowej Przy czym wiersza pod kresk nie dodajemy do»adnego innego oraz nie zamieniamy z innymi miejscami α 1 β 1 α 2 β 2 α t β t Otrzymujemy: θ v 1, gdzie α t θ θ v 2 θ v s β w

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str19 3) Je»eli β θ to STOP ukªad równa«sprzeczny 4) Je»eli β = θ to zbiorem rozwi za«jest w+lin{v 1, v 2,,, v s } Ponadto wektory v 1, v 2,,, v s s liniowo niezale»ne Algorytm 7 Rozwi zywanie [ równania] macierzowego M X = B M T I 1) Budujemy macierz A = B T 0 2) Przy pomocy operacji [ elementarnych na wierszach macierzy A M T sprowadzamy macierz B T do postaci schodkowej Przy czym wierszy pod kresk nie dodajemy do»adnego innego oraz nie zamieniamy z innymi miejscami α 1 β 1 α 2 β 2 α t β t Otrzymujemy: θ v 1, gdzie α t θ θ v 2 θ v s B D 3) Je»eli B [0] to STOP równanie sprzeczne 4) Je»eli B = [0] to zbiorem rozwi za«jest D T + E, gdzie kolumny macierzy E nale» do przestrzeni lin{v 1, v 2,,, v s } Ponadto wektory v 1, v 2,,, v s s liniowo niezale»ne Dowód poprawno±ci: Wiersze macierzy s postaci [f(w) w] a pod kresk [f(w) β w] i to si nie zmienia przy operacjach elementarnych Ukªad jest niesprzeczny wtedy i tylko wtedy, gdy kolumny macierzy B ( wiersze macierzy B T ) nale» do przestrzeni Lin{α 1, α 2,, α t } Wykªad 10 Denicja 101 Niech f : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym przestrzeni liniowych nad ciaªem K Rz dem przeksztaªcenia f nazywamy liczb r(f) = dim Imf Rz dem macierzy M Kt n nazywamy rz d przeksztaªcenia f L(K n, K t ) opisanego macierz M w bazach standardowych i oznaczamy r(m) Rz dem kolumnowym macierzy M Kt n nazywamy liczb k(m) = dim lin{k 1, k 2,, k n }, gdzie k j s kolumnami macierzy M Rz dem wierszowym macierzy M Kt n nazywamy liczb w(m) = dim lin{w 1, w 2,, w t }, gdzie w i s wierszami macierzy M

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str20 Stwierdzenie 102 Niech M = [k 1 k 2 k n ] Kt n o n kolumnach Wówczas r(m) = dim lin{k 1, k 2,, k n } = k(m) b dzie macierz Stwierdzenie 103 Niech M b dzie macierz w postaci schodkowej zredukowanej Wówczas: r(m) = dim lin{k 1, k 2,, k n } = dim lin{w 1, w 2,, w t } = liczba schodków Stwierdzenie 104 Macierz A Kn n gdy r(a) = n jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, Twierdzenie 105 Kroneckera - Capelliego Niech L b dzie ukªadem równa«liniowych o n niewiadomych opisanych macierz M(L) Wówczas: 1) Ukªad L ma rozwi zanie wtedy i tylko wtedy gdy r (M(L)) = r (M(L) u ) 2) Je»eli ukªad L jest jednorodny to zbiór jego rozwi za«jest podprzestrzeni K n wymiaru n r (M(L)) 3) Je»eli ukªad L ma rozwi zanie to wymiar rozwi za«jest równy n r (M(L)) To znaczy: Zbiór rozwi za«jest postaci Z = α + V, gdzie V jest przestrzeni wymiaru n r (M(L)) Twierdzenie 106 Niech g L K (V 1, V 2 ) i f L K (V 2, V 3 ) Wówczas r(f g) Min{r(f), r(g)} Ponadto: a) Je»eli g jest epimorzmem to r(f g) = r(f) b) Je»eli f jest monomorzmem to r(f g) = r(g) Wniosek 107 Niech g L K (V 1, V 2 ), f L K (V 2, V 3 ) i h L K (V 3, V 4 ) Je»eli g i h s izomorzmami to r(f) = r(f g) = r(h f) = r(h f g) Twierdzenie 108 Niech A K n t i B Ks n Wówczas r(ab) Min{r(A), r(b)} Twierdzenie 109 Niech A Kt n, B Kn n i C Kt t Je»eli macierze B i C s odwracalne to r(a) = r(ab) = r(ca) = r(cab) Zadanie 1 Niech A Kt n i B Ks n a) Je»eli r(a) = n to r(ab) = r(b) b) Je»eli r(b) = n to r(ab) = r(a) Udowodnij,»e: Twierdzenie 1010 Niech f L K (V, W ) b dzie okre±lone macierz M(f) B A w bazach A = (α 1, α 2,, α n ) i B = (β 1, β 2,, β t ) Wówczas r(f) = r ( M(f) B A ) Rz d macierzy a operacje elementarne Denicja 1011 Macierz elementarn nazywamy macierz kwadratow E i,j (r) = I + re i,j Kn n, gdzie i j oraz I jest macierz jednostkow To znaczy macierz maj c jedynki na przek tnej, r w miejscu i, j a w pozostaªych miejscach zera

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str21 Twierdzenie 1012 Niech A Kn s, B Kn t i E i,j (r) Kn n b d macierzami Wówczas: 1) E i,j (c)a powstaje z macierzy A przez dodanie j-tego wiersza pomno»onego przez skalar c do wiersza i-tego 2) BE i,j (c) powstaje z macierzy B przez dodanie i-tej kolumny pomno»onej przez skalar c do j-tej kolumny Wniosek 1013 Rz d macierzy nie zmienia si przy operacjach elementarnych typu (1) na wierszach b d¹ kolumnach Denicja 1014 Niech σ b dzie permutacj zbioru {1, 2,, n} permutacyjn nazywamy macierz kwadratow M σ = n i=1 e σ(i),i Kn n Macierz Twierdzenie 1015 Niech A Kn s, B Kn t i M σ Kn n b d macierzami Wówczas: 1) M σ A powstaje z macierzy A przez permutacje wierszy w 1 w σ permutacj σ 1 w 2 (1) Dokªadniej M σ = w σ (2) w n w σ 1 (n) 2) BM σ powstaje z macierzy B przez przez permutacje wierszy permutacj σ Dokªadniej [k 1 k 2 k n ]M σ = [k σ(1) k σ(2) k σ(n) ] Dowód: Ad 1) Niech A = n s p=1 q=1 a p,qe p,q, Wtedy M σ A = ( n n ) s q=1 a p,qe p,q = n n s i=1 p=1 q=1 a p,qe σ(i),i e p,q = n i=1 M σ A = n j=1 Ad 2) i=1 e σ(i),i p=1 s q=1 a i,qe σ(i),i e i,q Przyjmijmy j = σ(i) czyli i = σ 1 (j) Teraz: s q=1 a σ 1 (j),qe j,σ 1 (j)e σ 1 (j),q = n s j=1 q=1 a σ 1 (j),qe j,q Niech B = t n p=1 q=1 b p,qe p,q, Wtedy ( t BM σ = p=1 t n p=1 i=1 b p,σ(i)e p,σ(i) e σ(i),i = t n p=1 i=1 b p,σ(i)e p,i n q=1 b p,qe p,q ) n i=1 e σ(i),i = t p=1 n q=1 n i=1 b p,qe p,q e σ(i),i = Wniosek 1016 Rz d macierzy nie zmienia si przy operacjach elementarnych typu (2) na wierszach b d¹ kolumnach Denicja 1017 Macierz diagonaln nazywamy macierz kwadratow diag(a 1, a 2,, a n ) = n i=1 a ie i,i

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str22 Twierdzenie 1018 Niech A Kn s, B Kn t i diag(a 1, a 2,, a n ) b d macierzami Wówczas: 1) diag(a 1, a 2,, a n ) A powstaje z macierzy A przez pomno»enie kolejnych wierszy przez skalary a i 2) B diag(a 1, a 2,, a n ) powstaje z macierzy B przez pomno»enie kolejnych kolumn przez skalary a i Wniosek 1019 Rz d macierzy nie zmienia si przy operacjach elementarnych typu (3) na wierszach b d¹ kolumnach Skªadaj c te trzy rezultaty razem otrzymujemy: Twierdzenie 1020 Rz d macierzy nie zmienia si przy operacjach elementarnych na wierszach b d¹ kolumnach Twierdzenie 1021 Rz d kolumnowy macierzy jest równy rz dowi wierszowemu To znaczy: Niech M = [k 1 k 2 k n ] = w 1 w 2 w t Kn t i t wierszach Wówczas: r(m) = dim lin{k 1, k 2,, k n } = dim lin{w 1, w 2,, w t } Wniosek 1022 Dla ka»dej macierzy r(a) = r(a T ) b dzie macierz o n kolumnach Stwierdzenie 1023 Ka»d macierz odwracalna jest iloczynem macierzy elementarnych E i,j (a) i macierzy diagonalnej Porównaj z twierdzeniem 23 Algorytm 8 Odwracanie macierzy Niech A K n n b dzie macierz 1) Budujemy macierz M = [A I], gdzie I K n n jest macierz jednostkow 2) Przy pomocy operacji elementarnych na wierszach sprowadzamy macierz B do postaci schodkowej zredukowanej M = [A B] 3) Je»eli A nie jest macierz jednostkow to STOP, macierz A nie jest odwracalna 4) Je»eli A = I to B = A 1 Algorytm 9 Niech A Kn n b dzie macierz odwracaln za± B Kn t dowoln macierz Algorytm wyliczania C = A 1 B 1) Budujemy macierz M = [ A B ] 2) Sprowadzamy macierz M do postaci schodkowej zredukowanej M przy pomocy operacji elementarnych na wierszach Poniewa» macierz A byªa odwracalna M = [ I A 1 B ]

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str23 Wykªad 11 Przestrzenie sprz»one Denicja 111 Przestrzeni sprz»on do przestrzeni liniowej V nad ciaªem K nazywamy przestrze«wszystkich funkcji liniowych z V w K i oznaczamy V = L(V ; K) Uwaga Funkcjonaªami nazywamy funkcje w ciaªo Denicja 112 Niech A = (α 1, α 2,, α n ) b dzie baz przestrzeni V nad cia- ªem K Baz sprz»on do A nazywamy ukªad B = (α 1, α 2,, α n) V okre- ±lony na bazie: α i (α j ) = { 1 i = j 0 i j Przykªad 113 Baz sprz»on do bazy standardowej (e 1, e 2,, e n ) przestrzeni K n jest (x 1, x 2,, x n ) Dokªadniej e i (x 1, x 2,, x n ) = x i Uwaga Nie istniej wektory sprz»one - mo»na sprz ga tylko caª baz Przykªad 114 Niech A = (e 1, e 2 ) i B = ( α 1 = e 1, α 2 = (1, 1) ) b d bazami R 2 Wówczas bazami sprz»onymi b d A = (e 1, e 2) i B = (α 1, α 2), gdzie α 1 = e 1 e 2 i α 2 = e 2 Czyli α 1(x 1, x 2, ) = x 1 x 2 i α 2(x 1, x 2, ) = x 2 Twierdzenie 115 Je»eli V jest przestrzeni liniow nad ciaªem K i dim V < to baza sprz»ona jest baz V Byªo to pokazane w twierdzeniu 83 Twierdzenie 116 Przestrze«K[x] jest izomorczna z K[[x]] Dowód: Niech ψ : K[x] K[[x]] b dzie okre±lone wzorem: dla f K[x] ψ(f) = i=1 f(xi )x i Oczywi±cie ψ(af+bg) = i=1 (af+bg)(xi )x i = i=1 af(xi )x i +bg(x i )x i = a i=1 f(xi )x i +b i=1 g(xi )x i = aψ(f)+bψ(g) i ψ ma trywialne j dro Niech w = i=1 a ix i K[[x]] Funkcjonaª f K[x] okre±lamy na bazie f(x i ) = a i Wtedy w = ψ(f) wi c ψ jest izomorzmem Uwaga Zbiór funkcjonaªów sprz»onych do bazy standardowej 1, x, x 2, x 3 nie jest baz K[x] gdy» funkcjonaª f K[x] okre±lony na bazie f(x i ) = 2i + 1 nie jest sko«czon kombinacj liniow funkcjonaªów (x i ) Ponadto dim K K[x] = ω za± dim K K[x] 2 ω i zale»y od mocy ciaªa K

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str24 Twierdzenie 117 Je»eli V jest przestrzeni liniow nad ciaªem K i dim V = to dim V = K dim V Bez dowodu ( dla zainteresowanych dowód w Dodatkach) Twierdzenie 118 Niech α 1, α 2,, α n b dzie baz przestrzeni K n Je»eli 1 α 1 α 2 = [k 1 k 2 k n ] to wzorami analitycznymi na baz sprz»on s : α n α i = [x 1, x 2,, x n ]k i Przykªad 119 Niech α 1 = (1, 3), α 2 = (2, 7) b dzie baz przestrzeni R 2 [ ] 1 [ ] 1 3 7 3 Wówczas = zatem 2 7 2 1 α 1(x 1, x 2 ) = 7x 1 2x 2 oraz α 2(x 1, x 2 ) = 3x 1 + x 2 Twierdzenie 1110 Niech V = A 1 A 2 b dzie sum prost swoich podprzestrzeni Je»eli wymiar V jest sko«czony to V = B 1 B 2 jest te» sum prost, gdzie B 1 = {f V A 2 ker f} i B 2 = {f V A 1 ker f} Ponadto obci cia do przestrzeni A i s izomorzmami mi dzy B i a A i Dowód: Niech (α 1, α 2,, α n ) b dzie baz przestrzeni A 1 za± (β 1, β 2,, β m ) b dzie baz przestrzeni A 2 Wówczas (α 1, α 2,, α n, β 1, β 2,, β m ) jest baz przestrzeni V Na mocy twierdzenia 115 baza sprz»ona (α1, α2,, αn, β1, β2,, βm) jest baz przestrzeni V za± bazami przestrzeni A 1 i A 2 s obci cia funkcjonaªów (α1, α2,, αn) i (β1, β2,, βm) odpowiednio Niech f = n i=1 a iαi + m j=1 b jβj B 1 Wtedy 1 j m 0 = f(β j ) = b j Zatem f = n i=1 a iαi i st d B 1 = lin{α1, α2,, αn} Analogicznie pokazujemy,»e baz B 2 jest (β1, β2,, βm) Denicja 1111 Niech ϕ : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym przestrzeni nad ciaªem K Przeksztaªceniem sprz»onym do ϕ nazywamy przeksztaªcenie ϕ : W V okre±lone wzorem: ϕ (g) = g ϕ Stwierdzenie 1112 Niech ϕ : V V b dzie przeksztaªceniem identyczno±ciowym Wówczas ϕ : V V jest te» identyczno±ci Twierdzenie 1113 Niech ϕ : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym przestrzeni sko«czenie wymiarowych nad ciaªem K za± ϕ : W V przeksztaªceniem sprz»onym Wówczas, je»eli M jest macierz ϕ w pewnych bazach to M T jest macierz ϕ w bazach sprz»onych

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str25 Zastosujemy teraz twierdzenie 1113 do pokazania dualnych wªasno±ci przeksztaªce«ϕ i ϕ Twierdzenie 1114 Niech ϕ : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym sko«czenie wymiarowych przestrzeni nad ciaªem K za± ϕ : W V przeksztaªceniem sprz»onym Wówczas: 1) ϕ jest monomorzmem wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ jest epimorzmem 2) ϕ jest epimorzmem wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ jest monomorzmem Dowód: Niech A i B b d bazami przestrzeni V i W odpowiednio Wtedy r(ϕ) = r ( ) ( ) M(ϕ) B A = r M(ϕ) B T ( ) A = r M(ϕ ) A B = r(ϕ ) Ad 1) ϕ jest monomorzmem 0 = dim ker ϕ = dim V r(ϕ) dim V = r(ϕ) dim V = r(ϕ ) ϕ jest epimorzmem Ad 2) ϕ jest epimorzmem dim W = r(ϕ) dim W = r(ϕ ) dim ker ϕ = dim W r(ϕ ) = 0 ϕ jest monomorzmem Aby udowodni analogiczne twierdzenie bez ogranicze«do sko«czonego wymiaru potrzebujemy dodatkowo pewnika wyboru, twierdzenia o oddzielaniu i nast puj cego lematu Twierdzenie 1115 (O oddzielaniu) Niech W b dzie podprzestrzeni przestrzeni liniowej V za± α V \W Wówczas istnieje funkcjonaª liniowy f V taki,»e f(α) = 1 i f(w ) = {0} Lemat 1116 Niech ϕ L(V ; W ) i f L(V ; U) Je»eli ker ϕ ker f to istnieje przeksztaªcenie liniowe g : W U takie,»e f = g ϕ Dowód: Wybieramy dowoln baz C przestrzeni ker ϕ i uzupeªniamy do bazy przestrzeni V wektorami A Wówczas na mocy lematu 78 ϕ(a) jest zbiorem liniowo niezale»nym wi c mo»na go uzupeªni do bazy B przestrzeni W Na otrzymanej bazie okre±lamy przeksztaªcenie g wzorem: { θ, β ϕ(a) g(β) = f(α), β = ϕ(α) ϕ(a) Teraz g = h f, gdy» przeksztaªcenia te daj te same obrazy wektorów bazy: γ C g(γ) = θ = h(θ) = h ( f(γ) ) oraz α A g ( ϕ(α) ) = f(α) Twierdzenie 1117 Niech ϕ : V przestrzeni nad ciaªem K Wówczas: 1) g ker ϕ im ϕ ker g 2) f im ϕ ker ϕ ker f W b dzie przeksztaªceniem liniowym

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str26 Dowód: Ad 1) g ker ϕ g ϕ = θ im ϕ ker g Ad 2) Niech f im ϕ i α ker ϕ Wówczas dla pewnego g W mamy f = ϕ(g) St d f(α) = ϕ (g)(α) = g ( ϕ(α) ) = g(θ) = 0 Niech ker ϕ ker f wi c na mocy lematu 1116 istnieje g W speªniaj ce warunek f = g ϕ St d f = ϕ (g) im ϕ Popatrzmy teraz na twierdzenie dualne Twierdzenie 1118 Niech ϕ : V przestrzeni nad ciaªem K Wówczas: 1) β im ϕ g ker ϕ g(β) = 0 2) α ker ϕ f im ϕ f(α) = 0 W b dzie przeksztaªceniem liniowym Dowód: Ad 1) Niech β im ϕ i g ker ϕ Wówczas na mocy twierdzenia 1117 1) im ϕ ker g St d g(β) = 0 Niech β im ϕ Na mocy twierdzenia o oddzielaniu istnieje g W taki,»e g(β) = 1 i g(im ϕ) = {0} Poniewa» im ϕ ker g wi c na mocy twierdzenia 1117 1) g ker ϕ - sprzeczno± Ad 2) Niech α ker ϕ i f im ϕ Wówczas dla pewnego g W mamy f = ϕ(g) St d f(α) = ϕ (g)(α) = g ( ϕ(α) ) = g(θ) = 0 Niech α ker ϕ Na mocy twierdzenia o oddzielaniu istnieje f V taki,»e f(α) = 1 i f(ker ϕ) = {0} Poniewa» ker ϕ ker f wi c na mocy twierdzenia 1117 2) f im ϕ Bezpo±rednio otrzymujemy Wniosek 1119 Niech ϕ : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym przestrzeni nad ciaªem K Wówczas: 1) im ϕ = g ker ϕ ker g 2) ker ϕ f im ϕ ker f

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str27 Twierdzenie 1120 Niech ϕ : V W b dzie przeksztaªceniem liniowym przestrzeni nad ciaªem K za± ϕ : W V przeksztaªceniem sprz»onym Wówczas: 1) ϕ jest monomorzmem wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ jest epimorzmem 2) ϕ jest epimorzmem wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ jest monomorzmem Dowód: Ad 1) Niech ϕ b dzie monomorzmem Wówczas dla ka»dego f V ker ϕ = {θ} ker f Zatem na mocy twierdzenia 1117 2) im ϕ = W Niech θ α ker ϕ Na mocy twierdzenia o oddzielaniu istnieje f V taki,»e f(α) = 1 ( i f({θ}) = {0}) Ale dla ka»dego g W ϕ (g)(α) = g ϕ(α) = 0 f(α) St d f im ϕ Ad 2) Niech ϕ b dzie epimorzmem za± g ker ϕ Wówczas dla ka»dego β W = im ϕ mamy g(β) = 0 na mocy twierdzenia 1118 St d ker ϕ = {θ} Niech β im ϕ Na mocy twierdzenia o oddzielaniu istnieje g W taki,»e g(α) = 1 i g(im ϕ) = {0}) Teraz ϕ (g) = g ϕ = θ = ϕ (θ) wi c ϕ nie jest monomorzmem Twierdzenie 1121 Niech V = A 1 A 2 b dzie sum prost swoich podprzestrzeni Wówczas V = B 1 B 2 jest te» sum prost, gdzie B 1 = {f V A 2 ker f} i B 2 = {f V A 1 ker f} Ponadto obci cia do przestrzeni A i s izomorzmami mi dzy B i a A i Dowód: Niech Wtedy A 1 A 2 ker f st d f jest przeksztaªceniem zerowym Zatem B 1 B 2 = {θ} Niech teraz π 1 : V V b dzie rzutem na A 1 wzdªu» A 2 i π 2 : V V b dzie rzutem na A 2 wzdªu» A 1 Je»eli f V to f = f id = f (π 1 + π 2 ) = f π 1 + f π 2 i f π 1 B 1, f π 2 B 2 Zatem V = B 1 B 2 Niech ψ : B 1 A 1 b dzie obci ciem funkcjonaªów do podprzestrzeni A 1 ψ jest monomorzmem gdy» ka»dy f ker ψ zawiera w swoim j drze zarówno A 1 jak i A 2 a wi c jest funkcjonaªem zerowym Niech g A 1 Dla α = α 1 + α 2, gdzie α i A i okre±lamy f B 1 wzorem f(α) = g(α 1 ) Wtedy ψ(f) = g, zatem ψ jest epimorzmem Opiszemy teraz przestrzenie sprz»one do sprz»onych Twierdzenie 1122 Niech ι V φ V [ι V (α)](φ) = φ(α) Wówczas ι V : V V b dzie okre±lone wzorem, jest monomorzmem, zwanym naturalnym

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str28 Twierdzenie 1123 Niech A = (α 1, α 2,, α n ) b dzie baz przestrzeni V Niech A = (α1, α2,, αn) b dzie baz przestrzeni V sprz»on do A za± A = (α1, α2,, αn ) b dzie baz przestrzeni V sprz»on do A Je»eli ι V : V V jest naturalnym zanurzeniem to 1 i n ι V (α i ) = αi Twierdzenie 1124 Niech ϕ L(V ; W ) za± ι V : V V oraz ι W : W W b d naturalnymi zanurzeniami Wówczas ι W ϕ = ϕ ι V Dowód: Poka»emy,»e dla dowolnego α V przeksztaªcenia ι W ϕ(α) i ϕ ι V (α) z W = L(W ; K) s równe Podziaªajmy tymi przeksztaªceniami na dowolnym f W [ι W ϕ(α)](f) = f(ϕ(α)) = [f ϕ](α) ϕ ι V (α) = (ϕ ) ι V (α) = ι V (α) ϕ z denicji (ϕ ) [ϕ ι V (α)](f) = [ι V (α) ϕ ](f) = [ι V (α)](ϕ (f)) = [ϕ (f)](α) = [f ϕ](α) Co pokazuje równo± tych przeksztaªce«wykªad 12 Wyznacznik macierzy Permutacje Denicja 121 Permutacj zbioru A nazywamy ka»de ró»nowarto±ciowe i na przeksztaªcenie f : A A Je±li A = {1, 2,, n} To zbiór wszystkich permutacji A oznaczamy symbolem S n Stwierdzenie 122 S n = n! Poniewa» w S n mamy ª czne dziaªanie skªadania przeksztaªce«( zwane dalej iloczynem ), przeksztaªcenie identyczno±ciowe i przeksztaªcenia odwrotne wi c S n z dziaªaniem skªadania nazywamy grup permutacji Denicja 123 1) Permutacj τ S n nazywamy cyklem dªugo±ci t i oznaczamy τ = (a 1, a 2,, a t ) gdy jest okre±lona wzorem: a 1, i = a t τ(i) = a i+1, i = a j j < t i, i {a 1, a 2,, a t } 2) Cykl dªugo±ci 2 nazywamy transpozycj 3) Transpozycj postaci (i, i + 1) nazywamy transpozycj s siedni

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str29 Twierdzenie 124 Ka»da permutacja τ S n jest iloczynem cykli rozª cznych Twierdzenie 125 1) Ka»da permutacja τ S n jest iloczynem transpozycji 2) Ka»da permutacja τ S n jest iloczynem transpozycji s siednich Denicja 126 Permutacj nazywamy parzyst je±li jest iloczynem parzystej liczby transpozycji i nieparzyst gdy jest iloczynem nieparzystej liczby transpozycji { 1, τ jest parzysta Znakiem permutacji τ nazywamy liczb ( 1) τ = 1, τ jest nieparzysta Twierdzenie 127 Ka»da permutacja jest parzysta albo nieparzysta Dowód na ostatnim wykªadzie Stwierdzenie 128 Je»eli permutacja τ jest zapisana jako iloczyn cykli to ( 1) τ = ( 1) n, gdzie n jest liczb przecinków wyst puj cych w tym zapisie Denicja 129 Wyznacznikiem nazywamy funkcj det : Kn n K okre±lon wzorem: je»eli A = n i,j=1 a i,je i,j to det(a) = τ S n ( 1) τ a 1,τ(1) a 2,τ(2) a n,τ(n) Liczenie wyznacznika w prostych przypadkach Macierze rozmiaru 3 (metoda Sarrusa) n=1 det [a 1,1 ] = a 1,1 [ ] a1,1 a n=2 det 1,2 = a a 2,1 a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 2,2 n=3 det a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 1,3 a 2,2 a 3,1 a 1,2 a 2,1 a 3,3 a 1,1 a 2,3 a 3,2 = a 1,1 a 2,2 a 3,3 + a 1,2 a 2,3 a 3,1 + a 1,3 a 2,1 a 3,2 Wyznaczników macierzy stopnia > 3 nie da si liczy metod Sarrusa Twierdzenie 1210 Je»eli macierz A = n i,j=1 trójk tn to wyznacznik jej jest iloczynem elementów na przek tnej det(a) = a 1,1 a 2,2 a n,n a i,je i,j jest górn lub doln

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str30 Dowód: Niech A = n i,j=1 a i,je i,j b dzie macierz górn trójk tn To znaczy i > j a i,j = 0 W wyznaczniku det(a) = τ S n ( 1) τ a 1,τ(1) a 2,τ(2) a n,τ(n) wybieramy takie τ, dla którego a 1,τ(1) a 2,τ(2) a n,τ(n) 0 Wtedy i i τ(i) Co daje j j τ(j) τ 2 (j) τ n! (j) = j A st d j j = τ(j) czyli τ jest identyczno±ci Zatem det(a) = a 1,1 a 2,2 a n,n Wniosek 1211 Je»eli macierz A = n i,j=1 to jej wyznacznik jest iloczynem elementów na przek tnej det(a) = a 1,1 a 2,2 a n,n a i,je i,j jest w postaci schodkowej Wªasno±ci wyznacznika wynikaj ce bezpo±rednio z wªasno±ci permutacji Twierdzenie 1212 Niech A Kn n 1) S n = {σ σ 1 S n } Sn 1 = S n b dzie macierz 1') det(a) = det(a T ) 2) Dla dowolnej permutacji τ zachodzi S n = {τσ σ S n } Czyli S n = τs n 2') Je»eli macierz A powstaªa z A przez przestawienie kolumn permutacj τ to det(a) = ( 1) τ det(a ) 2) Je»eli macierz A powstaªa z A przez przestawienie wierszy permutacj τ to det(a) = ( 1) τ det(a ) 3) Je»eli macierz A ma dwie jednakowe kolumny to det(a) = 0 3') Je»eli macierz A ma dwa jednakowe wiersze to det(a) = 0 Twierdzenie 1213 Wyznacznik jest funkcj liniow wzgl dem dowolnie wybranej kolumny Dokªadniej - Je»eli A = [k 1 k 2 k i k n ], A = [k 1 k 2 k i k n ] i A = [k 1 k 2 ak i + bk i k n ] to det(a) = a det(a ) + b det(a ) Wniosek 1214 Wyznacznik jest funkcj liniow wzgl dem dowolnie wybranego wiersza Wyznacznik a operacje elementarne Twierdzenie 1215 1) Je»eli macierz A powstaªa z macierzy B przez dodanie do pewnego wiersza innego wiersza pomno»onego przez liczb to det(a) = det(b) 1') Je»eli macierz A powstaªa z macierzy B przez dodanie do pewnej kolumny innej kolumny pomno»onego przez liczb to det(a) = det(b) 2) Je»eli macierz A powstaªa z macierzy B przez pomno»enie pewnego wiersza przez liczb t to det(a) = t det(b) 2') Je»eli macierz A powstaªa z macierzy B przez pomno»enie pewnej kolumny przez liczb t to det(a) = t det(b)

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str31 3) Je»eli macierz A powstaªa z macierzy B przez zamian dwóch wierszy to det(a) = det(b) 3) Je»eli macierz A powstaªa z macierzy B przez zamian dwóch kolumn to det(a) = det(b) Twierdzenie 1216 Wyznacznik macierzy nie zmienia si przy operacjach elementarnych typu 1 na wierszach lub kolumnach Twierdzenie 1217 (rozwini cie Laplace'a) Niech A = n i,j=1 a i,je i,j Kn n b dzie macierz kwadratow Symbolem A i,j oznaczamy macierz powstaª z A przez usuni cie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny Ustalamy liczb t {1, 2,, n} Wówczas: 1) det(a) = n j=1 ( 1)t+j a t,j det(a t,j ) 2) det(a) = n i=1 ( 1)i+t a i,t det(a i,t )

GAL I 2012-2013 A Strojnowski str32 Dowód: 1 0 Rozwini cie wzgl dem ostatniego wiersza krok 1) Przypu± my,»e w ostatnim wierszu jedynym niezerowym elementem jest a n,n = 1, ( n-ty wiersz macierzy A jest wektorem e n ) Wtedy det(a) = τ S n ( 1) τ a 1,τ(1) a 2,τ(2) a n,τ(n) = = τ S n 1 ( 1) ( ) τ a 1,τ(1) a 2,τ(2) a n 1,τ(n 1) an,n = det(a n,n )a n,n = det(a n,n ) ( det(a) = ) n j=1 ( 1)n+j a n,j det(a n,j ) krok 2) Przypu± my,»e w ostatnim wierszu jedynym niezerowym elementem jest a n,t = 1, ( n-ty wiersz macierzy A jest wektorem e t ) Oznaczmy A = [k 1 k 2 k t k n ] i B = [k 1 k 2 k t 1 k t+1 k n k t ] Macierz B powstaje z A przez zamian kolumn cyklem τ = (k t k t+1 k n ) dªugo±ci n t + 1 (B = [k τ(1) k τ(2) k τ(t) k τ(n) ]) Zatem ( 1) τ = ( 1) n t i det(a) = ( 1) n t det(b) Ponadto j A n,t = B n,n wi c tak jak w kroku ( 1, det(a) = ( 1) n t det(b) = ( 1) n+t det(b n,n ) = ( 1) n+t det(a n,t ) oraz det(a) = ) n j=1 ( 1)n+j a n,j det(a n,j ) krok 3) Rozwini cie wzgl dem n-tego wiersza Zapiszmy n-ty wiersz w n = n j=1 a n,je j Oznaczmy symbolem A (j) macierz powstaª z A przez zast pienie n-tego wiersza wektorem e j Wtedy A (j) n,j = A n,j I ze wzgl du na liniowo± wyznacznika wzgl dem n-tego wiersza det(a) = n j=1 a n,j det(a) (j) = n j=1 ( 1)n+j a n,j det(a (j) n,j ) = n j=1 ( 1)n+j a n,j det(a n,j ) 2 0 Rozwini cie wzgl dem t-tego wiersza w 1 w 2 Oznaczmy A = [a i,j ] = i B = [b w i,j ] = t w n w 1 w 2 w t 1 w t+1 Macierz B powstaje z A przez zamian wierszy cyklem τ = (t, t+1,, n) dªugo±ci n t+1 Zatem ( 1) τ = ( 1) n t i det(a) = ( 1) n t det(b) Ponadto j A t,j = B n,j i b n,j = a t,j wi c tak jak w kroku 3 det(a) = ( 1) n t det(b) = ( 1) n t n j=1 ( 1)n+j b n,j det(b n,j ) = n j=1 ( 1)t+j a t,j det(a t,j ) w n 3 0 Rozwini cie wzgl dem t-tej kolumny Transponujemy macierz i odwoªujemy si do kroku 2 0 w t