RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN

RUGOWNIK SYLVESTERA I JAKOBIAN Arkadiusz P loski (Kielce) Pojecie rugownika należy do algebry klasycznej W ostatnich latach w zwiazku ze wzrostem znaczenia metod efektywnych algebry ukaza lo sie wiele podreczników i artyku lów poświeconych temu pojeciu Jednak nie wszystkie użyteczne w lasności rugownika sa dostatecznie znane: do nich należy formu la dla rugownika jako jakobianu pewnego ciagu wielomianów Celem tego artyku lu jest przypomnienie tej formu ly należacej do Nasha (por [8], str 412) i zastosowanie jej do dowodu lematu Hensela (por [6], Rozdzia l I i [9]) Klasyczny wyk lad w lasności rugownika Czytelnik znajdzie w podreczniku A Mostowskiego i M Starka [7] Wiele interesujacych twierdzeń o rugowniku można znaleźć w podrecznikach [2] oraz [3] gdzie mimo encyklopedycznego charakteru tych ksiażek zwiazek z jakobianem nie jest wspomniany Z nowszych artyku lów o rugowniku cytujemy [4], autorzy podaja tam jawny opis jednomianów wystepuj acych w rugowniku Szereg zastosowań tytu lowego pojecia Czytelnik znajdzie w artyku lach [10, 11, 12] 1 Rugownik Niech m > 0 i n > 0 bed a liczbami ca lkowitymi Ustalmy dwa ciagi zmiennych A = (A 0,, A n ), B = (B0,, B m ) i rozważmy wielomiany jednej zmiennej X o ogólnych wspó lczynnikach F ( A, X) = A 0 X n + A 1 X n 1 + + A n oraz G( B, X) = B 0 X m +B 1 X m 1 + +B m Sa to elementy pierścienia Z[ A, B][X] W pierścieniu tym rozważamy ciag wielomianów P 0 (X) = X m 1 F (X), P 1 (X) = X m 2 F (X),, P m 1 (X) = F (X), P m (X) = X n 1 G(X), P m+1 (X) = X n 2 G(X),, P m+n 1 (X) = G(X) Napiszmy P i (X) = c i0 ( A, B)X m+n 1 + c i1 ( A, B)X m+n 2 + + c i,m+n 1 ( A, B)X m+n 1 dla i = 0, 1,, m + n 1 i rozważmy macierz SY L( A, B) = [c ij ( A, B)] i=0,1,,m+n 1 j=0,1,,m+n 1 Macierz wyżej zdefiniowana nazywamy macierza Sylvestera Pierwsze m wierszy macierzy Sylvestera zawiera ciag A 0,, A n oraz zera, ostatnie n wierszy tej macierzy zawiera ciag B 0,, B m oraz zera Rugownikiem Sylvestera (dalej krótko: rugownikiem) nazywamy wyznacznik R( A, B) = det SY L( A, B) Z[ A, B] PRZYK LAD Niech n = 3 i m = 2 Wówczas F ( A, X) = A 0 X 3 + A 1 X 2 + A 2 X + A 3, G( B, X) = B 0 X 2 + B 1 X + B 2 Mamy 1

a wi ec XF ( A, X) = A 0 X 4 + A 1 X 3 + A 2 X 2 + A 3 X + 0 F ( A, X) = 0 X 4 + A 0 X 3 + A 1 X 2 + A 2 X + A 3 X 2 G( B, X) = B 0 X 4 + B 1 X 3 + B 2 X 2 + 0 X + 0 XG( B, X) = 0 X 4 + B 0 X 3 + B 1 X 2 + B 2 X + 0 G( B, X) = 0 X 4 + 0 X 3 + B 0 X 2 + B 1 X + B 2 R( A, B) = A 0 A 1 A 2 A 3 0 0 A 0 A 1 A 2 A 3 B 0 B 1 B 2 0 0 0 B 0 B 1 B 2 0 0 0 B 0 B 1 B 2 Przypomnijmy podstawowa w lasność rugownika W lasność 1 Niech K bedzie cia lem i niech a = (a 0,, a n ) K n+1 i b = (b 0,, b m ) K m+1 bed a takimi ciagami, że a 0 0 lub b 0 0 Wtedy wielomiany F ( a, X), G( b, X) K[X] maja wspólny dzielnik dodatniego stopnia wtedy i tylko wtedy, gdy R( a, b) = 0 Dowód Wprost z definicji rugownika wynika, że warunek R( a, b) = 0 zachodzi dok ladnie wtedy, gdy ciag wielomianów X m 1 F ( a, X),, F ( a, X), X n 1 G( b, X),, G( b, X) jest liniowo zależny nad cia lem K Oznacza to, że istnieja Φ(X), Ψ(X) K[X] nie równe jednocześnie zero takie, że Φ(X)F ( a, X) = Ψ(X)G( b, X) przy czym obie strony równości sa stopnia m + n 1 Jest to równoważne z istnieniem wspólnego podzielnika dodatniego stopnia wielomianów F ( a, X), G( b, X) (por [7], Lemat na stronie 103) 2 Rugownik i jakobian Zatrzymujemy oznaczenia wprowadzone wyżej Rozważmy tożsamość (1) F ( A, X)G( B, X) = = Q 0 ( A, B)X m+n + Q 1 ( A, B)X m+n 1 + + Q m+n ( A, B) w pierścieniu Z[ A, B][X] Jest wi ec Q 0 ( A, B) = A 0 B 0, Q 1 ( A, B) = A 0 B 1 + A 1 B 0,, Q m+n ( A, B) = A n B m Mamy W lasność 2 (21) SY L( A, B) = J(Q1,, Qm+n) J(B 1,,B m,a 1,,A n), (22) R( A, B) = ( 1) mn det J(Q1,, Qm+n) J(A 1,,A n,b 1,,B m) (macierz Jacobiego wielomianów Q 1,, Q m+n ), 2

Dowód Różniczkujac tożsamość (1) wzgledem zmiennych B 1,, B m, A 1,, A n otrzymujemy (2) X m 1 F ( A, X) = Q1 B 1 B 1 B 1 F ( A, X) = Q1 B m B m B m X n 1 G( B, X) = Q1 A 1 A 1 A 1 G( B, X) = Q1 A n A n A n W lasność (21) wynika bezpośrednio z formu l (2) i definicji macierzy Sylvestera W lasność (22) otrzymujemy z w lasności (21) 3 Lemat Hensela Niech k[[ X]] bedzie pierścieniem szeregów formalnych p zmiennych X = (X 1,, X p ) o wspó lczynnikach w ciele k Rozważmy ciag P = (P 1,, P q ) (k[[ X]][Y ]) q wielomianów zmiennych Y = (Y 1,, Y q ) i niech c = (c 1,, c q ) k q Mamy nastepuj ace Twierdzenie o funkcjach uwik lanych Za lóżmy, że P (0, c) = 0 oraz det J(P1,,Pq) J(Y 1,,Y q) (0, c) 0 Wtedy istnieje jedyny ciag szeregów potegowych C( X) = (C 1 ( X),, C q ( X)) taki, że C( 0) = c oraz P ( X, C( X)) = 0 Twierdzenie powyższe jest natychmiastowym wnioskiem z twierdzenia o szeregach uwik lanych (por [5], Twierdzenie 71, gdzie autorzy rozważaja szeregi o wspó lczynnikach rzeczywistych Podany tam dowód przenosi sie bez zmian na przypadek dowolnego cia la) Stosujac formu l e Nasha (22) i podane wyżej twierdzenie udowodnimy s lynny Lemat Hensela Niech F ( X, Y ) = c 0 ( X)Y N + c 1 ( X)Y N 1 + + c N ( X) k[[ X]][Y ] bedzie wielomianem stopnia N > 1 Zak ladamy, że istnieja ciagi (a 1,, a n ) k n i (b 1,, b m ) k m n, m > 0, m + n = N takie, że (α) F ( 0, Y ) = ( ) ( ) c 0 (0)Y n + a 1 Y n 1 + + a n Y m + b 1 Y m 1 + + b m jest rozk ladem wielomianu F ( 0, Y ) na czynniki wzglednie pierwsze Wówczas istnieje jedyny rozk lad postaci (β) F ( X, ( Y ) = c 0 ( X)Y n + a 1 ( X)Y n 1 + + a n ( X) ) ( Y m + b 1 ( X)Y m 1 + + b m ( X) ) w k[[ X]][Y ] taki, że a i (0) = a i dla i = 1,, n oraz b j (0) = b j dla j = 1,, m Dowód Nawiazuj ac do oznaczeń wprowadzonych w 1 tego artyku lu oznaczmy A = (A 1,, A n ), B = (B 1,, B m ) oraz a = (a 1,, a n ) i b = (b 1,, b m ) 3

Rozważmy wielomiany (3) q i ( X, A, B ) = Q i (c 0 ( X), A, 1, B ) k[[ X]][ A, B ] dla i = 1, 2,, m + n Z (1) otrzymujemy ( c 0 ( X)Y n + A 1 Y n 1 + + A n ) (Y m + B 1 Y m 1 + + B m ) = (4) = c 0 ( X)Y m+n + q 1 ( X, A, B )Y m+n 1 + + q m+n ( X, A, B ) a z w lasności Nasha (22) (5) det J(q 1,, q m+n ) J(A 1,, A n, B 1,, B m ) ( X, A, B ) = ( 1) mn R(c 0 ( X), A, 1, B ) Podstawienie elementów 0 k p, a k n i b k m na miejsce zmiennych X, A, B w formule (4) i za lożenie (α) implikuja (6) q i ( 0, a, b ) = c i ( 0) dla i = 1,, m + n To samo podstawienie i formu la (5) pokazuje, że (7) det J(q 1,, q m+n ) J(A 1,, A n, B 1,, B m ) ( 0, a, b ) = ( 1) mn R(c 0 ( 0), a, 1, b ) Oznaczmy teraz p i ( X, A, B ) = q i ( X, A, B ) c i ( X) dla i = 1,, m + n Jest wi ec na mocy (6) i (7): (8) p i ( 0, a, b ) = 0 dla i = 1,, m + n oraz det J(p 1,, p m+n ) J(A 1,, A n, B 1,, B m ) ( 0, a, b ) 0 gdyż R(c 0 ( 0), a, b ) jako rugownik wzglednie pierwszych wielomianów c 0 ( 0)Y n + a 1 Y n 1 + + a n i Y m + b 1 Y m 1 + + b m jest 0 Stosujac twierdzenie o funkcjach uwik lanych do ciagu p = (p 1,, p m+n ) i punktu ( 0, a, b ) stwierdzamy, że istnieje jedyny ciag (a 1 ( X),, a n ( X), b 1 ( X),, b m ( X)) k[[ X]] m+n taki, że (a 1 ( 0),, a n ( 0), b 1 ( 0),, b m ( 0)) = (a 1,, a n, b 1,, b m ) oraz p( X, a 1 ( X),, a n ( X), b 1 ( X),, b m ( X)) = 0 w k[[ X]] m+n Warunki te a równoważne warunkom (β) co dowodzi lematu Hensela s Uwagi 1) W podanym przez nas dowodzie lematu Hensela pierścień szeregów formalnych k[[ X]] można zastapić przez dowolny pierścień lokalny A, w którym prawdziwe jest twierdzenie o funkcjach uwik lanych w cytowanej przez nas formie W szczególności lemat Hensela prawdziwy jest dla pierścienia k{ X} zbieżnych szeregów o wspó lczynnikach w ciele z waluacja zupe lna k 4

2) Wyprowadzenie lematu Hensela z użyciem formu ly Nasha dla rugownika pojawia si e w pracach [6, 9] Najbardziej popularny dowód lematu Hensela w geometrii analitycznej opiera si e na twierdzeniu przygotowawczym Weierstrassa (por [1] i [5]) Dowód ten jest krótki w przypadku gdy cia lo k jest algebraicznie domkni ete, przypadek dowolnego cia la k wymaga dodatkowych rozważań 3) M Nagata wprowadzi l na poczatku lat 50-tych minionego wieku pojecie pierścienia Hensela jako pierścienia lokalnego, w którym prawdziwy jest lemat Hensela Pojecie to studiowane by lo przez wielu autorów i dzisiaj umieszczane jest w kursach algebry przemiennej Dobre wprowadzenie do przedmiotu Czytelnik znajdzie w monografii [6] 4) Cz esto lemat Hensela jest formu lowany w s labszej formie: dla wielomianów unormowanych Jednak przedstawiona w tym artykule mocniejsza postać pozwala na porównanie lematu Hensela z twierdzeniem przygotowawczym Weierstrassa (por wniosek z lematu Hensela podany niżej) Przypomnijmy, że wielomianem wyróżnionym stopnia m > 0 nazywamy wielomian postaci Y m + b 1 ( X)Y m 1 + + b m ( X) k[[ X]] taki, że b 1 ( 0) = = b m ( 0) = 0 Wniosek (Twierdzenie przygotowawcze dla wielomianów) Niech F ( X, Y ) = c 0 ( X)Y N + c 1 ( X)Y N 1 + + c N ( X) k[[ X]][Y ] bedzie wielomianem stopnia N takim, że rzad m = ord F ( 0, Y ) jest dodatni i skończony Wtedy F ( X, Y ) = U( X, Y )W ( X, Y ) w k[[ X]][Y ] gdzie U( 0, 0) 0 zaś W ( X, Y ) jest wielomianem wyróżnionym (koniecznie stopnia m) Para U, W jest jedyna Dowód Gdy m = N wniosek jest trywialny, za lóżmy wiec, że m < N Mamy zatem F ( 0, Y ) = c 0 ( 0)Y N + c 1 ( 0)Y N 1 + + c N m ( 0)Y m = (c 0 ( 0)Y N m + c 1 ( 0)Y N m 1 + +c N m ( 0))Y m i istnienie rozk ladu wynika z lematu Hensela bo c N m ( 0) 0 na mocy definicji liczby m Aby sprawdzić jednoznaczność za lóżmy, że F = UW w k[[ X]][Y ] gdzie U( 0, 0) 0 oraz W jest wielomianem wyróżnionym Jest zatem U( 0, Y ) = c 0 ( 0)Y N m + c 1 ( 0)Y N m 1 + + c N m ( 0) i W ( 0, Y ) = Y m a wiec jedyność pary U, W wynika z jednoznaczności w lemacie Hensela Oczywiście powyższy wniosek prawdziwy jest także dla szeregów zbieżnych i ogólnie dla wielomianów zmiennej Y o wspó lczynnikach w pierścieniu lokalnym, w którym prawdziwe jest twierdzenie o funkcjach uwik lanych Literatura [1] S S Abhyankar, Local Analytic Geometry, Academic Press 1964, [2], Lectures on Algebra, vol I, World Scientific 2006, [3] F Apèry, J P Jouanolou, Élimination Le cas d une variable, Hermann 2007, [4] I M Gelfand, M M Kapranov and A V Zelevinsky, Newton Polytopes of the Classical Resultant and Discriminant, Advances in Math 84 (1990), 237-254, 5

[5] St Lojasiewicz, J Stasica, Analiza formalna i funkcje analityczne, Wydawnictwo Uniwersytetu Jagiellońskiego 2005, [6] J S Milne, Étale Cohomology, Princeton 1980, [7] A Mostowski i M Stark, Elementy algebry wyższej, Warszawa 1965, [8] J Nash, Real Algebraic Manifolds, Annals of Math vol 56, No 3, November 1952, [9] A P loski, Remarque sur le lemme de Hensel, Bull Acad Polon Sci Sér Sci Math 28 (1980), n o 3-4, 115-116, [10], Teoria eliminacji i niezmienniki algebraiczne, I Konferencja Zastosowań Niezmienników Algebraicznych, Warszawa, 26-27 listopada 1994, str 21-30, [11], Efektywne Twierdzenie o Zerach, Materia ly XVIII Konferencji Szkoleniowej z Geometrii Analitycznej i Algebraicznej, Lódź 1997, str 45-51, [12], Wstep do lokalnej teorii krzywych algebraicznych, Materia ly na XXVIII Konferencje Szkoleniowa z Geometrii Analitycznej i Algebraicznej Zespolonej, Lódź 2007, str 21-40 SYLVESTER RESULTANT AND JACOBIAN Summary For any integers n > 0 and m > 0 we take interminates A = (A 0,, A n ), B = (B0,, B m ) and X and let R( A, B) be the Sylvester resultant of the polynomials F (X) = A 0 X n + A 1 X n 1 + + A n and G(X) = B 0 X m + B 1 X m 1 + + B m Let F (X)G(X) = Q 0 ( A, B)X m+n + Q 1 ( A, B)X m+n 1 + + Q m+n ( A, B) in Z[ A, B][X] In this article we recall that R( A, B) = ( 1) mn J(Q1,, Qm+n) det J(A 1,,A n,b 1,,B m) (see J Nash, Annals of Math vol 56, No 3, November 1952, page 412) Then using the above formula and the Implicit Function Theorem we prove Hensel s lemma for polynomials with coefficients in the formal (convergent) power series rings 6