Wyk lad 5. Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki. 7 listopada 2015

Transkrypt

1 Wyk lad 5 Natalia Nehrebecka Stanis law Cichocki 7 listopada 2015 N. Nehrebecka

2 Plan zaj eć 1 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego 2 w modelu liniowym Elastyczność w modelu logliniowym Semielastyczność 3 Zastosowania modelu pot egowego 4 N. Nehrebecka

3 Etapy doboru formy funkcyjnej w praktyce Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego 1 Dobór formy, tak aby możliwa by la odpowiedź na pytanie badawcze 2 Szacunek modelu i ocena jakości na podstawie testów diagnostycznych W praktyce wybiera sie te forme funkcyjna, która jest najs labiej odrzucana przez testy diagnostyczne. N. Nehrebecka

4 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego Niech y i = f (x i, θ, ɛ i ) (1) bedzie funkcja nieliniowa. Pod pewnymi warunkami istnieja takie funkcje, g, h i β, że model (1) można sprowadzić do modelu liniowego: g(y i ) = h(x i ) β(θ) + ɛ i (2) Oznaczajac g(y i ) = yi, h(x i) = x i oraz β(θ) = β mamy y i = x i β + ɛ i (3) N. Nehrebecka

5 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego Niech y i = f (x i, θ, ɛ i ) (1) bedzie funkcja nieliniowa. Pod pewnymi warunkami istnieja takie funkcje, g, h i β, że model (1) można sprowadzić do modelu liniowego: g(y i ) = h(x i ) β(θ) + ɛ i (2) Oznaczajac g(y i ) = yi, h(x i) = x i oraz β(θ) = β mamy y i = x i β + ɛ i (3) N. Nehrebecka

6 Sprowadzenie modelu nieliniowego do liniowego Niech y i = f (x i, θ, ɛ i ) (1) bedzie funkcja nieliniowa. Pod pewnymi warunkami istnieja takie funkcje, g, h i β, że model (1) można sprowadzić do modelu liniowego: g(y i ) = h(x i ) β(θ) + ɛ i (2) Oznaczajac g(y i ) = yi, h(x i) = x i oraz β(θ) = β mamy y i = x i β + ɛ i (3) N. Nehrebecka

7 w modelu liniowym Elastyczność w modelu logliniowym Semielastyczność Dobry model dobrze opisuje zjawisko i posiada parametry o intuicyjnie oczywistej interpretacji. Interpretacja wyników jest ważna, bo umożliwia porównanie wyników z teoria, zdrowym rozsadkiem, wynikami z innych źróde l itp. N. Nehrebecka

8 Efekt czastkowy ang. partial effect w modelu liniowym Elastyczność w modelu logliniowym Semielastyczność Efekt czastkowy zmiana oczekiwanego y i w reakcji na zmiane x ki ; wynosi E(y) x k przy za lożeniu ceteris paribus. W modelu liniowym E(y i ) = β 1 x 1i + β 2 x 2i +... β K x Ki o ile zmienne x 1i, x 2i,... x Ki oraz parametry β 1, β 2,..., β K sa nielosowe. Zatem efekt czastkowy dla x k = 1 równy jest β k. N. Nehrebecka

9 w modelu liniowym Elastyczność w modelu logliniowym Semielastyczność Wniosek Parametr β k w modelu liniowym opisuje zmiane oczekiwanej wartości y i na skutek jednostkowej zmiany x ki, przy za lożeniu, że wszystkie pozosta le zmienne nie ulegaja zmianie. N. Nehrebecka

10 w modelu liniowym Elastyczność w modelu logliniowym Semielastyczność Elastycznościa czastkow a nazywamy procentowa zmiane oczekiwanego y w reakcji na 1% zmiane x k : e y,xk = E(y) E(y) x k x k = E(y) x k x k E(y) E(y) x k x k E(y) ale ln(ϕ(x)) ϕ(x) = 1 ϕ(x), st ad lne(y) E(y) = 1 E(y) oraz x k x k = 1 ln(x k ), wiec: e y,xk = ln(e(y)) lnx k. N. Nehrebecka

11 w modelu liniowym Elastyczność w modelu logliniowym Semielastyczność W modelu logliniowym lne(y i ) = β 1 lnx 1i + β 2 lnx 2i + + β K lnx Ki wtedy lne(y i ) = β k lnx ki o ile zmienne x 1i, x 2i,... x Ki oraz parametry β 1, β 2,..., β K sa nielosowe. N. Nehrebecka

12 w modelu liniowym Elastyczność w modelu logliniowym Semielastyczność Wniosek Parametr β k w modelu logliniowym jest elastycznościa y wzgledem x k. N. Nehrebecka

13 w modelu liniowym Elastyczność w modelu logliniowym Semielastyczność Semielastycznościa czastkow a nazywamy procentowa zmiane oczekiwanego y w reakcji na jednostkowa zmiane x k : ë y,xk = E(y) E(y) x k E(y) 1 x k E(y) = lne(y) x k N. Nehrebecka

14 Zastosowania modelu pot egowego Stosujac model potegowy logarytmujemy zmienna zależna jak i zmienne niezależne. Zmienna zależna i zmienne niezależne powinny przyjmować wartości dodatnie, ponieważ w innym przypadku nie da si e ich zlogarytmować. ln(y i ) = β 1 lnx 1i + β 2 lnx 2i +... β K lnx Ki + ε i N. Nehrebecka

15 Zastosowania modelu pot egowego Wybór pomi edzy modelem liniowym a pot egowym W badaniach empirycznych czesto stwierdzamy, że zmienne w modelu maja rozk lad zbliżony do normalnego badź do lognormalnego. Jeśli ɛ ma rozk lad lognormalny, to ln(ɛ) ma rozk lad normalny. N. Nehrebecka

16 Rozk lad lognormalny Zastosowania modelu pot egowego N. Nehrebecka

17 Zastosowania modelu pot egowego Przyk lad: Wydatki mieszkaniowe gospodarstw domowych Density 0 5.0e Histogram: wydatki na mieszkanie U YTKOWANIE MIESZKANIA Density Histogram: ln(wydatki na mieszkanie) ln_wydatki_na_mieszkanie N. Nehrebecka

18 Dochody gospodarstw domowych Zastosowania modelu pot egowego Density 0 1.0e e e 04 Histogram: dochód DOCHÓD ROZPORZ DZALNY Density Histogram: ln(dochód) ln_dochod N. Nehrebecka

19 Wyniki regresji: poziomy Zastosowania modelu pot egowego N. Nehrebecka

20 Wyniki regresji: logarytmy Zastosowania modelu pot egowego N. Nehrebecka

21 Reszty z regresji Zastosowania modelu pot egowego Density 0 5.0e Histogram reszt Residuals Density Histogram reszt_ln Residuals N. Nehrebecka

22 1 Kiedy mówimy, że model można sprowadzić do modelu liniowego wzgl edem przekszta lconych zmiennych? 2 Wyjaśnić, co to jest efekt czastkowy? 3 Podaj definicje elastyczności czastkowej. 4 Podaj definicje semielastyczności czastkowej. N. Nehrebecka