Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I

Transkrypt

1 Teoria rugownika i wyróżnik ciała. Projekt zaliczeniowy: Algebraiczna Teoria Liczb I Bazyli Klockiewicz 22 czerwca Rugownik pary wielomianów oraz wyróżnik wielomianu. Poniższe stwierdzenia opisują ideę rugownika pary wielomianów. Stwierdzenie 1. Niech F będzie ciałem i niech f(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x + a 0 oraz g(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 będą wielomianami z F [x], a n 0, b m 0. Wówczas f(x) i g(x) mają wspólny nietrywialny dzielnik w F [x] wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją: niezerowy wielomian a(x) F [x] stopnia co najwyżej m 1 oraz niezerowy wielomian b(x) F [x] stopnia co najwyżej n 1 takie, że a(x)f(x) = b(x)g(x). Dowód. Załóżmy, że f(x) i g(x) mają wspólny nietrywialny dzielnik w(x) F [x]. Innymi słowy, w F [x] zachodzą równości f(x) = w(x)b(x) oraz g(x) = w(x)a(x) dla pewnych a(x), b(x) F [x] przy czym deg w(x) 1. Wtedy, deg a(x) = m deg w(x) m 1 oraz deg b(x) = n deg w(x) n 1 (bo F [x] jest dziedziną całkowitości) i mamy f(x)a(x) = w(x)b(x)a(x) = g(x)b(x). Na odwrót, niech f(x)a(x) = g(x)b(x) dla a(x), b(x) F [x] w treści stwierdzenia. Gdyby f(x) i g(x) nie miały wspólnego nietrywialnego dzielnika, to ponieważ F [x] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, otrzymalibyśmy f(x) b(x) (analogicznie g(x) a(x)) w F [x]. Jest to sprzeczność, ponieważ deg b(x) n 1 < deg f(x). Równoważnie można powiedzieć, że istnienie wyżej opisanych wielomianów a(x) i b(x) jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na to, aby wielomiany f(x) i g(x) miały wspólny pierwiastek w F (albo po prostu w pewnym rozszerzeniu F). 1

2 Stwierdzenie 2 (Rugownik wielomianów f i g). Niech F będzie ciałem i niech f(x) = a n x n +a n 1 x n a 1 x+a 0 oraz g(x) = b m x m +b m 1 x m b 1 x + b 0 będą wielomianami z F [x]. Wówczas f(x) i g(x) mają wspólny nietrywialny dzielnik w F [x] (równoważnie - wspólny pierwiastek w F ) wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik a n a n 1... a a n a n 1... a a n a n 1... a R(f, g) = 0 a n a n 1 a n 2... a 0 b m b m 1... b b m b m 1... b b m b m 1... b b m b m 1... b 0 jest równy zero. Dowód. Korzystając z Stwierdzenia 1. istnienie wspólnego nietrywialnego dzielnika wielomianów f(x) oraz g(x) jest równoważnie istnieniu niezerowych wielomianów a(x) = c m 1 x m 1 + c m 2 x m c 1 x + c 0 oraz b(x) = d n 1 x n 1 + d n 2 x n d 1 x + d 0 z F [x] takich, że f(x)a(x) = (a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 )(c m 1 x m 1 + c m 2 x m c 1 x + c 0 ) = (b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 )(d n 1 x n 1 + d n 2 x n d 1 x + d 0 ) = g(x)b(x). Porównując współczynniki przy potęgach x, otrzymujemy zatem następujący układ równań liniowych jednorodnych, w którym współczynniki c i, d i są zmiennymi: a n c m 1 b m d n 1 = 0 a n 1 c m 1 + a n c m 2 b m 1 d n 1 b m d n 2 = 0... a 0 c 0 b 0 d 0 = 0 Podstawiając d i w miejsce d i oraz transponując macierz powyższego jednorodnego układu równań liniowych (co może skutkować jedynie zmianą znaku wyznacznika) stwierdzamy, że układ ten ma nietrywialne rozwiązanie dokładnie wtedy, gdy R(f, g) się zeruje. 2

3 Z dowodów stwierdzeń wynika, że zamiast rozważać wielomiany nad ciałem, można ogólniej wymagać tylko, by f(x), g(x) A[x], gdzie A[x] jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Definicja 1. (Rugownik pary wielomianów) Wyznacznik R(f, g) z powyższego stwierdzenia nazywamy rugownikiem wielomianów f oraz g. Zauważmy, że rugownik jest wyznacznikiem macierzy (n + m) (n + m), w której pierwszych n wierszy pochodzi ze współczynników wielomianu f, a kolejnych m wierszy pochodzi od współczynników wielomianu g. Samą macierz nazywamy macierzą Sylvestera. Zachodzi następujące kluczowe: Twierdzenie 1. Przy dotychczasowych oznaczeniach, niech x 1, x 2,..., x n będą pierwiastkami f(x) oraz y 1, y 2,..., y m niech będą pierwiastkami g(x) (niekoniecznie różnymi i ogólnie zawartymi w F ). Wówczas 1 R(f, g) = a m n b n m (x i y j ) = a m n g(x i ) = ( 1) nm b n m f(y j ) i,j i j Dowód. Ponieważ f(x) = a n (x x 1 )... (x x n ) oraz g(x) = b m (x y 1 )... (x y m ), ze wzorów Viete a wnioskujemy, że a k = ±a n σ k (x 1,..., x n ), gdzie σ k jest elementarną funkcją symetryczną. Podobnie b k = ±b m σ k (y 1,..., y m ). Rozwijając wyznacznik definiujący rugownik stwierdzamy, że jest on wielomianem jednorodnym stopnia m względem współczynników a i oraz stopnia n względem współczynników b i (na przykład dla a i rozwijając wyznacznik zawsze względem pierwszego wiersza). Stąd: R(f, g) = a m n b n mp (x 1, x 2,..., x n, y 1,..., y m ), gdzie P jest wielomianem symetrycznym, który - z własności rugownika - zeruje się, jeśli x i = y j dla pewnych i, j. Z tożsamości: x k i = (x i y j )x k 1 i + y j x k 1 i zastosowanej k razy wynika, że wielomian P możemy zapisać następująco: P (x 1, x 2,..., x n, y 1,..., y m ) = (x i y j )Q(x 1,..., y m )+U(x 1,..., ˆx i,..., y m ), gdzie wielomian U nie zawiera współczynnika x i. Podstawiając x i = y j wnioskujemy, że wielomian U jest zerowy. Stosując podobny argument dla każdej z 1 W książce Prasolova brakuje wyrażenia ( 1) nm, pewnie dlatego, że autor zadowolił się w dowodzie frazą the arguments are similar.... 3

4 par x i, y j stwierdzamy, że R(f, g) dzieli się przez S = a m n b n m (xi y j ). Chcemy pokazać, że zachodzi równość R(f, g) = S. Ponieważ g(x) = b m mj=1 (x y j ), więc n i=1 g(x i ) = b n m (xi y j ). Zatem: S = a m n n n g(x i ) = a m n i=1 i=1 (b m x m i + b m 1 x m 1 i b 0 ). Z postaci tej widać (stosując znów wzory Viete a), że zarówno R(f, g) oraz S są wielomianami stopnia nm względem x i, y j, a ponieważ S R, stąd R(f, g) = λs dla pewnego λ 0, przy czym λ nie zależy od współczynników a i ani b i (bo możemy podzielić obustronnie przez a m n b n m). Zauważamy teraz, że współczynnik przy n i=1 x m i w wielomianie S jest równy a m n b n m, podobnie w wielomianie R(f, g) stąd λ = 1, a więc S = R(f, g). Pozostaje dowieść drugą z równości. Otóż mamy f(x) = a ni=1 n (x x i ), więc m i=1 f(y i ) = (yj x i ) = ( 1) nm a m n (xi y j ) i stwierdzamy, że a m n m m S = ( 1) nm b n m f(y j ) = ( 1) nm b n m j=1 j=1 (a n y n j + a n 1 y n 1 j a 0 ). Pojęcie rugownika jest ściśle związane z wyróżnikiem wielomianu. Definicja 2. (Wyróżnik wielomianu) Niech x 1, x 2,... x n będą pierwiastkami wielomianu f = a n x n +a n 1 x n a 0 F [x], gdzie a n 0. Wyróżnikiem wielomianu f nazywamy liczbę: D(f) = a 2n 2 n (x i x j ) 2 i<j Czasami wyróżnik definiuje się za pomocą rugownika wielomianu oraz jego pierwszej pochodnej. Zachodzi bowiem następujące: Twierdzenie 2. Dla wielomianu powyżej zachodzi R(f, f ) = ( 1) n(n 1)/2 a 2n 1 n D(f) ni=1 f (x i ). Ponadto, Dowód. Z Twierdzenia 1. otrzymujemy R(f, f ) = a n 1 n różniczkując f łatwo zauważyć, że f (x i ) = a n j i (x i x j ). Stąd: R(f, f ) = a 2n 1 n n i=1 j i (x i x j ) = ( 1) n(n 1)/2 a 2n 1 n (x i x j ) 2. i<j Współczynnik ( 1) n(n 1)/2 pochodzi stąd, że każda para x i, x j dla i j, występuje dwa razy: raz jako (x i x j ), a drugi raz jako (x j x i ). Wyróżnik wielomianu znajduje zastosowanie przy obliczaniu wyróżników ciała liczbowego, o których traktuje następna część pracy. 4

5 2 Wyróżnik ciała liczbowego. Przypomnijmy definicję (bezwzględnego) wyróżnika ciała liczbowego. Definicja 3. (Bezwzględny wyróżnik ciała liczbowego) Niech K będzie ciałem liczbowym stopnia n i niech O K będzie pierścieniem jego liczb algebraicznych całkowitych. Niech α 1, α 2,..., α n będzie bazą całkowitą O K oraz niech σ 1, σ 2,..., σ n będzie zbiorem zanurzeń zespolonych ciała K. Wyróżnikiem ciała K nazywamy liczbę:. σ 1 (α 1 ) σ 1 (α 2 )... σ 1 (α n ) K = det σ 2 (α 1 ) σ 2 (α 2 )... σ 2 (α n )..... σ n (α 1 ) σ n (α 2 )... σ n (α n ) 2 Definicja jest poprawna, bowiem można łatwo pokazać, że wyróżnik ciała nie zależy od wyboru bazy całkowitej O K (i taka baza zawsze istnieje). Co ważne, wyróżnik jest liczbą całkowitą. Twierdzenie 3. W przypadku, gdy O K posiada potęgową bazę całkowitą 1, α, α 2,..., α n 1, wyróżnik K jest równy wyróżnikowi wielomianu minimalnego elementu α: K = D(min(α)) Q Dowód. Niech x 1, x 2,..., x n będą pierwiastkami wielomianu minimalnego f elementu α. Oczywiście z założenia wynika w szczególności, że K = Q(α). Możemy przyjąć, że σ i (α) = x i oraz σ i są homomorfizmami pierścieni, a więc w tym przypadku macierzą definiującą K jest macierz typu Vendermonde a: 1 x 1... x n 1 1 K = det 1 x 2... x n x n... xn n 1 której kwadrat wyznacznika jest równy: K = i<j (bo wielomian f jest unormowany). (x i x j ) 2 = D(f) = D(min(α)) Q 2, 5

6 Wyróżnik ciała zajmuje niezwykle ważne miejsce w Algebraicznej Teorii Liczb. Głównym celem niniejszego krótkiego opracowania będzie udowodnienie następującego twierdzenia: Twierdzenie 4. Niech K i L będą ciałami liczbowymi stopni m i n odpowiednio takimi, że ( K, L ) = 1.Wówczas KL = n K m L. Powyższe twierdzenie pozwala na przykład wyrazić wyróżnik ciała cyklotomicznego w jawnej postaci. Przypomnijmy, że: Definicja 4. Niech ciała K i L będą podciałami ciała M. Wówczas iloczyn ciał KL to z definicji najmniejsze podciało ciała M zawierające zarówno K oraz L. Dla ciał liczbowych bierzemy M = Q. Definicja 5. (Iloczyn Kroneckera macierzy) Niech będą dane macierze kwadratowe A = [a ij ] M m,m (K) oraz B = [b ij ] M n,n (K) o współczynnikach w ciele K. Definiujemy iloczyn tensorowy (Kroneckera) A B M mn,mn (K) macierzy A i B jako macierz blokową: Ab 11 Ab Ab 1n Ab 21 Ab Ab 2n..... Ab n1 Ab n2... Ab nn Lemat 1. det(a B) = (det A) n (det B) m Dowód. Przeprowadzamy proces eliminacji Gaussa traktując bloki wierszy: [ Abi1 Ab i2... Ab in ] jak pojedyncze wiersze. Otrzymamy macierz blokową: Ax Ax Ax nn, w której współczynniki x ii są elementami macierzy diagonalnej otrzymanej z B za pomocą metody eliminacji Gaussa (a więc w szczególności det B = ni=1 x ii ). Z twierdzenia Cauchy ego dla macierzy blokowych: n det(a B) = det(ax ii ) = (det A) n n (x ii ) m = (det A) n (det B) m i=1 i=1 6

7 W dalszym ciągu będziemy potrzebowali kilku nowych definicji (spolszczenia angielskich terminów należą do autora tekstu i mogą nie odpowiadać ogólnie przyjętym). Definicja 6. (Relatywny ślad elementu) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych stopnia n oraz niech σ i dla i = 1, 2,..., n będą wszystkimi F liniowymi zanurzeniami ciała K w F (inaczej F -izomorfizmami K). Relatywnym śladem w K/F elementu α K nazywamy liczbę: n T K/F (α) := σ i (α) i=1 Definicja 7. (Relatywny stopień ideału) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych, p będzie ideałem pierwszym w O F, który w O K rozkłada się następująco: p = g j=1 P e j j, gdzie P j są różnymi ideałami pierwszymi w O K (mówimy, że P j leżą nad p).liczbę f K/F (P j ) := O K /P j : O F /p nazywamy relatywnym stopniem P j w O K. Definicja 8. (Relatywna norma ideału) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych i niech P będzie ideałem pierwszym w O K leżącym nad (jednoznacznie wyznaczonym, co można udowodnić) ideałem pierwszym w O F, a więc p = P O F. Definiujemy relatywną normę ideału P następująco: N K/F (P) = p f K/F (P). Definicję tę przedłużamy na ideały ułamkowe I następująco: N K/F (I) := n j=1 p f K/F (P j ) k, gdzie I = n j=1 P a k j jest iloczynem potęg różnych ideałów pierwszych w O K takich, że P j O F = p j. W szczególności N K/Q (I) = (N(I)) jako ideał główny w Z generowany przez klasyczną normę ideału. 7

8 Definicja 9. (Kodyfrent) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych i niech I będzie ideałem ułamkowym w O F. Kodyfrentem nazywamy zbiór: I = {β K : T K/F (βi) O F }, gdzie T K/F (βi) O F oznacza, że T K/F (βα) O F dla każdego α I. Można wykazać, że I jest ideałem ułamkowym. Definicja 10. (Dyfrent) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych i niech I będzie ideałem ułamkowym w O K. Ideał (I ) 1 nazywamy dyfrentem I nad F i oznaczamy D K/F (I). W przypadku, gdy I = O K, dyfrent D K/F (I) nazywamy dyfrentem rozszerzenia K/F i oznaczamy D K/F Definicja 11. (Relatywny wyróżnik rozszerzenia ciał) Niech K/F będzie rozszerzeniem ciał liczbowych. Wyróżnikiem relatywnym rozszerzenia K/F nazywamy: K/F = N K/F (D K/F ) W szczególności, K/Q = ( K ) jako ideał w Z. Uwzględniając powyższe definicje, można wykazać następujące własności, które będą kluczowe w dowodzie głównego twierdzenia. Lemat 2. Jeśli F K L jest wieżą rozszerzeń ciał liczbowych, wówczas: L/F = [L:K] K/F N K/F ( L/K ). Lemat 3. Niech F K L będzie wieżą rozszerzeń ciał liczbowych, gdzie L jest najmniejszym rozszerzeniem ciała F zawierającym K takim, że L jest rozszerzeniem normalnym nad F. Wówczas K/F oraz L/F mają te same dzielniki (ideały) pierwsze. Przytoczymy ponadto następujące lematy, które okażą się przydatne. Lemat 4. Jeśli F jest podciałem ciała liczbowego K, to F K. Lemat 5. (Twierdzenie Minkowskiego) Jeśli K jest ciałem liczbowym, K Q, to K > 1. Lemat 6. Dziedzina całkowitości będąca skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem także jest ciałem. 8

9 Dowód. Niech R będzie taką skończenie wymiarową dziedziną całkowitości nad ciałem F. Niech x R będzie niezerowym elementem. Z założenia istnieje najmniejsza liczba naturalna t taka, że zbiór {1, x, x 2,..., x t } jest liniowo zależny. Niech a 0 + a 1 x a t x t = 0, gdzie a i F nie wszystkie są równe 0. Gdyby a 0 = 0 lub a t = 0, to mielibyśmy odpowiednio x(a 1 + a 2 x a t x t 1 ) = 0 lub a 0 + a 1 x a t 1 x t 1 = 0, co przy x 0 przeczy minimalności t. Stąd x 1 = ( a 0 ) 1 (a 1 + a 2 x a t x t 1 ). W końcu możemy przystąpić do dowodu głównego twierdzenia: Twierdzenie 5. Niech K i L będą ciałami takimi, że [K : Q] = n, [L : Q] = m oraz {α 1, α 2,..., α n } i {β 1, β 2,..., β m } są bazami całkowitymi odpowiednio O K i O L. Jeżeli ( K, L ) = 1, to dla ciała M = KL zachodzą następujące fakty: a) [M : Q] = nm, b) O M = O K O L oraz {α i β j } 1 i n,1 j m jest bazą całkowitą O M, c) M = m K n L. Dowód. Z multyplikatywności stopnia rozszerzenia: [M : Q] = [M : L][L : Q] = [M : L]m Załóżmy, że [M : Q] < nm. Wówczas [M : L] < n (*). Niech α będzie takim elementem, że K = Q(α) (taki element zawsze istnieje z twierdzenia o elemencie prymitywnym). Z (*) wynika, że wtedy min L (α) min Q (α) w sposób właściwy oraz, że jeśli F jest podciałem L generowanym przez współczynniki wielomianu min L (α), to F Q (i stąd z Twierdzenia Minkowskiego F > 1 (**)). Z lematu 4 mamy F L. Ponieważ (ze wzorów Viete a) współczynniki min L (α) są wartościami elementarnych funkcji symetrycznych na pierwiastkach tego wielomianu, więc min L (α) N[x], gdzie N jest najmniejszym rozszerzeniem Galois ciała Q zawierającym K. Stąd, F N i znów otrzymujemy F N. Jeśli p F jest liczbą pierwszą, to mamy teraz p L oraz p N. Z lematu 2. wnioskujemy, że także p K. Ponadto z (**) wynika, że taka liczba pierwsza p zawsze istnieje, co przeczy założeniu, że ( K, L ) = 1. Z drugiej strony zauważmy, że na mocy Lematu 6., M = span Q {α k β l }, bo ciało to zawiera zarówno K jak i L, a więc [M : Q] nm. To dowodzi a). Z definicji, O K O L to najmniejszy podpierścień O M zawierający zarówno O K jak O L. Zatem {α k β l } dla 1 k n, 1 l m jest bazą całkowitą O K O L. Ponadto: 9

10 M/Q ({α k β l }) = det(σ i (α k )θ j (β l )) 2 (1) gdzie po lewej mamy wyróżnik układu elementów algebraicznych, σ i są zanurzeniami zespolonymi ciała K, a θ j są zanurzeniami zespolonymi ciała L. Zatem jest to poprawne, ponieważ każde z nm zanurzeń τ ciała M indukuje zanurzenia τ K = σ i oraz τ L = θ j oraz wartość zanurzenia na dowolnym elemencie ciała M jest wyznaczona jednoznacznie przez wartości na {α k β l }, zbiorze generatorów M/Q. Powyższy wyróżnik jest kwadratem wyróżnika macierzy Kroneckera: Aθ 1 (β 1 ) Aθ 1 (β 2 )... Aθ 1 (β m ) Aθ 2 (β 1 ) Aθ 2 (β 2 )... Aθ 2 (β m )....,. Aθ m (β 1 ) Aθ m (β 2 )... Aθ m (β m ) gdzie A = [σ i (α k )] 1 i n,1 k n. Na mocy lematu 1 otrzymujemy M/Q ({α k β l }) = m K n L. (2) Z lematu 2 oraz multyplikatywności stopnia rozszerzeń ciał: i podobnie: M/Q = [M:K] K/Q N K/Q ( M/K ) = m K/QN K/Q ( M/K ) M/Q = n L/QN L/Q ( M/L ). Są to równości ideałów głównych w Z, a zatem zarówno n L jak i m K dzielą M, a ponieważ z założenia ( K, L ) = 1, więc w Z zachodzi podzielność: m K n L M. Zauważmy jednak, że z (2) wynika podzielność odwrotna: M m K n L = M/Q ({α k β l }). Z tych dwóch faktów wynika po pierwsze, że {α j β k } jest bazą całkowitą O M oraz, że M = m K n L, co kończy dowód podpunktów b) i c) oraz całego twierdzenia. 10

11 Literatura [1] David S. Dummit, Richard M. Foote, Abstract Algebra. Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., [2] Victor V. Prasolov, Polynomials, Springer, [3] C. Musili, Algebraic Geometry for Beginners, Hindustan Book Agency, [4] Richard A. Mollin, Algebraic Number Theory, CHAPMAN & HALL/CRC, [5] Juergen Neukirch, Algebraic Number Theory, Springer, [6] James Milne, Algebraic Number Theory, Version 3.06, May 28, [7] David Hilbert, The Theory of Algebraic Number Fields, Springer,