CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
|
|
- Janina Władysława Wróblewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, , Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których będzie mowa pojawiły się w 1965 roku w pracy doktorskiej Buchbergera. Gröbner był inicjatorem (i doradcą) tej pracy doktorskiej. Te same bazy pojawiły się (niezależnie, ale rok wcześniej) w 1964 roku w pracy Hironaki o usuwaniu osobliwości. Hironaka nazywa je bazami standardowymi. Tak się je czasem jeszcze dzisiaj nazywa. Hironaka podał niekonstruktywny dowód istnienia. Buchberger natomiast podał prosty algorytm konstruowania tych baz. Publikacja Buchbergera, z wynikami jego pracy doktorskiej, pojawiła się w 1976 roku. Od tego roku można zaobserwować szybki rozwój teorii baz Gröbnera. Udoskonalono algorytmy. Powstały i nadal powstają coraz to lepsze programy komputerowe. Odkrywane są przeróżne zastosowania. Wspomnijmy jeszcze, że główna myśl (na której opiera się teoria baz Gröbnera) znana była już wcześniej. Można ją odczytać w pracach matematyków takich jak: D. Hilbert (1890), F. S. Macaulay (1916), G. Hermann (1926). k - ciało (np. R, C, Q). k[x] = k[x 1,..., x n ] - pierścień wielomianów n zmiennych nad k. Przypomnijmy znane Twierdzenie Hilberta o bazie. Każdy ideał w k[x] jest skończenie generowany. Oznacza to, że jeśli I jest ideałem w pierścieniu k[x], to istnieje skończony podzbiór F = {f 1,..., f s } k[x] taki, że I = (f 1,..., f s ) = {h 1 f h s f s ; h 1,..., h s k[x]}. Ten skończony podzbiór nazywa się w tym przypadku bazą (ideału I). Twierdzenie Hilberta o bazie mówi zatem, że każdy ideał w k[x] ma bazę. Właśnie o takich bazach będziemy tu mówić. Dany ideał w k[x] może mieć wiele różnych baz, nawet różnej mocy. Okazuje się jednak, że każdy ideał w k[x] ma bazę posiadającą pewne specjalne własności. Te specjalne bazy, to właśnie bazy Gröbnera. Każdy ideał w k[x] ma bazę Gröbnera. Może ich mieć dużo. Możemy jeszcze zażądać by baza Gröbner spełniała pewne dodatkowe warunki i mówić wtedy o tzw. zredukowanych bazach Gröbnera. Wtedy można udowodnić, że każdy ideał w k[x] ma dokładnie jedną zredukowaną bazę Gröbnera. Istnieje ponadto prosty algorytm na skonstruowanie takiej zredukowanej bazy. Do czego to potrzebne? Załóżmy, że dane są wielomiany f 1,..., f s k[x]. Rozważmy ideał A = (f 1,..., f s ). Problem 1. Niech g k[x]. Jak sprawdzić (w skończonej ilości krokach) czy wielomian g należy do ideału A? W szczególności (gdy g = 1): jak sprawdzić czy ideał A jest różny od k[x]? Problem 2. Znaleźć generatory ideału A k[x 1,..., x p ], dla p < n. Problem 3. Znaleźć generatory radykału ideału A. Jak rozstrzygnąć czy dany wielomian należy do radykału?
2 2 Problem 4. Załóżmy, że dany jest jeszcze drugi ideał B = (g 1,..., g t ), gdzie g 1,..., g t są danymi wielomianami z k[x]. Znaleźć generatory ideału A B. Znaleźć generatory ideału A : B. Problem 5. Znaleźć generatory jądra danego homomorfizmu wielomianowego (lub ogólniej homomorfizmu k-algebr). W szczególności stwierdzić czy ten homomorfizm jest różnowartościowy lub na lub czy jest automorfizmem. Problem 6. Dany jest wielomianowy układ równań: f 1 = 0. f s = 0. Rozstrzygnąć czy układ ten ma rozwiązanie, czy ma skończoną ilość rozwiązań (w algebraicznym domknięciu ciała k). Jeśli tak jest, to znaleźć wszystkie rozwiązania. Problem 7. Opisać zbiór generatorów modułu syzygii danego ciągu wielomianów. Problem 9. Jak rozstrzygnąć czy dany wielomian g z k[x] należy do k-podalgebry k[f 1,..., f s ] (najmniejszej k-podalgebry w k[x] zawierającej dane wielomiany f 1,... f s )? W związku z Problemem 9 proponuję spróbować rozwiązać następujące zadanie dla wielomianów jednej zmiennej. Zadanie. Czy t 5 k[t 3 t, t 2 ]? Słynna hipoteza jakobianowa (która do dzisiaj nie jest rozstrzygnięta, nawet dla dwóch zmiennych) związana jest z Problemem 9. Stwierdza ona, że x 1,..., x n k[f 1,..., f n ], gdzie f 1,..., f n są danymi wielomianami w k[x] mającymi stały jakobian (char k = 0). Tego rodzaju problemów można wypisać bardzo dużo. Podobne problemy istnieją np. w teorii równań różniczkowych. Wszystkie powyższe problemy są stosunkowo łatwe, gdy znamy bazy Gröbnera. Dla wszystkich tych problemów istnieją proste algorytmy. Jest tu tylko jeden mały wyjątek. Pierwsza część Problemu 3, o generatorach radykału, jest nadal otwarta. Bazy Gröbnera można definiować różnie. Istnieje kilka równoważnych definicji. Podamy teraz jedną z takich definicji. Najpierw ustalmy pewne oznaczenia. Rozważmy niezerowy wielomian f należący do k[x]. Wielomian ten ma następującą postać: f = a α1...α n x α1 1 xαn n, (α 1,...,α n) gdzie wszystkie współczynniki postaci a α1...α n są elementami ciała k, prawie wszystkie równe zero. Sumowanie przebiega przez wszystkie ciągi (α 1,..., α n ), nieujemnych liczb całkowitych. Oznaczmy zbiór takich wszystkich ciągów przez Ω (lub Ω n ). Zbiór ten jest półgrupą przemienną ze względu na dodawanie z zerem 0 = (0,..., 0). Jeśli α = (α 1,..., α n ) Ω, to przez X α oznaczać będziemy jednomian x α1 1 xαn n. W szczególności X 0 = x 0 1 x 0 n = 1. Ponadto, X α X β = X α+β, dla wszystkich α, β Ω. Współczynniki postaci a α1...α n oznaczać będziemy odpowiednio przez a α. Teraz nasz wielomian f ma przyjemniejszy zapis: f = α Ω a α X α. Ustalmy w zbiorze Ω pewien porządek, na przykład leksykograficzny. Zdajmy sobie sprawę z tego, że porządek leksykograficzny spełnia następujące trzy warunki.
3 A. Nowicki, , Co to są bazy Gröbnera? 3 1. (Ω, ) jest zbiorem liniowo uporządkowanym; 2. α Ω α 0; 3. α,β,γ Ω α β = α + γ β + γ. Każdą relację (zbioru Ω) spełniającą powyższe trzy warunki nazywamy G-porządkiem (lub porządkiem Gröbnera lub porządkiem dopuszczalnym). Porządek leksykograficzny jest więc G-porządkiem. Istnieje sporo innych G-porządków. Warto zaznaczyć, że z powyższych trzech warunków wynika następujący warunek: 1. (Ω, ) jest zbiorem dobrze uporządkowanym. Przypomnijmy, że liniowy porządek jest dobry jeśli każdy niepusty podzbiór posiada element najmniejszy lub równoważnie, gdy nie ma nieskończonych ciągów zstępujących postaci gdzie α 1, α 2, Ω. α 1 > α 2 >..., Załóżmy zatem, że na zbiorze Ω ustalony jest pewien G-porządek i wróćmy do naszego niezerowego wielomianu f. Wielomian ten możemy teraz zapisać jednoznacznie tak: f = b 1 X α1 + + b s X αs, gdzie b 1,..., b s są niezerowymi elementami ciała k, natomiast elementy α 1,..., α s należą do Ω i spełniają nierówności α 1 > > α s. W tej sytuacji wprowadzamy następujące oznaczenia i nazwy. f = a 1 X α1 najwyższy jednomian, c f = b 1 najwyższy współczynnik, deg f = α 1 stopień. Wprowadziliśmy te oznaczenia dla wielomianu niezerowego. Dla zera przyjmujemy: 0 = 0, c 0 = 0, deg 0 =. Stopień spełnia podstawowe własności zwykłego stopnia. Mamy w szczególności: deg(fg) = deg f + deg g. Jeśli A jest podzbiorem w k[x], to przez A oznaczmy zbór {f ; f A}. Teraz możemy podać już definicję bazy Gröbnera. Załóżmy, że I jest ideałem w k[x]. Bazą Gröbnera ideału I nazywamy każdy skończony podzbiór F k[x] taki, że (I ) = (F ) (równość ideałów w k[x]; ideał generowany przez zbiór I pokrywa się z ideałem generowanym przez zbiór F ). Stwierdzenie 1. Każdy ideał w k[x] posiada bazę Gröbnera. Dowód. Niech I będzie ideałem w k[x]. Rozpatrzmy ideał (I ). Z twierdzenia Hilberta o bazie wynika, że ideał ten jest skończenie generowany. Istnieje więc skończony zbiór F I taki, że zbiór F generuje ideał (I ). Wtedy oczywiście F jest bazą Gröbnera ideału I. Równie prosto dowodzi się (dowód zostawiam dla słuchacza), że baza Gröbnera ideału I jest istotnie bazą tego ideału, tzn.: Stwierdzenie 2. Jeśli F jest bazą Gröbnera ideału I, to I = (F ). Wprowadźmy dwa następne pojęcia. Będą to już ostatnie nowe pojęcia wprowadzone na tym wykładzie.
4 4 Niech f, g k[x]. Przez S(f, g) oznaczać będziemy wielomian zdefiniowany następująco: S(f, g) = c g X α f c f X β g, gdzie α, β są najmniejszymi elemenatami w Ω takimi, że deg f + α = deg g + β. Zauważmy, że powyższe elementy α i β zawsze istnieją i są wyznaczone jednoznacznie. Spójrzmy na przykład: Przykład. Dwie zmienne x i y. Porządek leksykograficzny. Niech f = 2x 2 y + 1, g = 3xy 4 + 5x. Wtedy deg f = (2, 1), deg g = (1, 4) i wtedy α = (0, 3), β = (1, 0). Mamy zatem: S(f, g) = 3x 0 y 3 f 2x 1 y 0 g = 6x 2 y 4 + 3y 3 6x 2 y 4 5x 2 = 5x 2 + 3y 3. Załóżmy, że F jest skończonym podzbiorem w k[x] {0}. Przez R(F ) oznaczać będziemy podzbiór w k[x] zwierający wielomian zerowy oraz każdy niezerowy wielomian h k[x], który jest postaci: h = b 1 X α1 f b s X αs f s, gdzie b 1,..., b s k {0}, α 1,....α s Ω, f 1,..., f s F oraz Zauważmy, że R(F ) (F ). deg(x α1 f 1 ) > > deg(x αs f s ). Teraz możemy podać następujące twierdzenie, które jest najważniejszym i najistotniejszym twierdzeniem teorii baz Gröbnera. Twierdzenie (Buchberger). Niech F będzie skończonym podzbiorem w k[x]. Następujące trzy warunki są równoważne. (1) F jest bazą Gröbnera ideału (F ). (2) R(F ) = (F ). (3) f,g F S(f, g) R(F ). Przejdźmy do algorytmów i zastosowań. Algorytm na sprawdzanie czy dany wielomian należy do zbioru R(F ) jest oczywisty; wynika wprost z definicji zbioru R(F ). Warunek (3) powyższego twierdzenia pozwala podać prosty algorytm na sprawdzanie czy dany skończony zbiór F k[x] jest bazą Gröbnera ideału (F ). Wystarczy tylko sprawdzić czy S(f, g) R(F ), dla wszystkich f, g F. Par postaci (f, g) jest oczywiście tylko skończenie wiele. Algorytm dla skonstruowania bazy Gröbnera ideału (F ) jest następujący. Sprawdzamy, czy F jest bazą Gröbnera. Jeśli tak, to koniec. W przeciwnym wypadku istnieje (na mocy (3)) wielomian postaci S(f, g), gdzie f, g F, który nie należy do R(F ). Dorzucamy ten wielomian do zbioru F. Z nowym zbiorem F postępujemy podobnie. Łatwo się wykazuje, że postępowanie to musi się zawsze zakończyć. Znane programy komputerowe konstruują bazę Gröbnera przy pomocy powyższego algorytmu, wzbogaconego o procedurę eliminowania zbędnych wielomianów. Przykład. Dwie zmienne x i y. Porządek leksykograficzny. F = {f 1, f 2 }, gdzie f 1 = x 2 y + y, f 2 = xy 2 + x. Znajdziemy bazę Gröbnera ideału I w k[x, y], generowanego przez zbiór F. W tym celu obliczamy najpierw wielomian S(f 1, f 2 ): S(f 1, f 2 ) = yf 1 xf 2 = x 2 + y 2.
5 A. Nowicki, , Co to są bazy Gröbnera? 5 Szybko zauważamy (porównując stopnie), że wielomian ten nie należy do zbioru R(F ). Należy on jednak do ideału I. Tworzymy zatem nowy zbiór F = {f 1, f 2, f 3 }, gdzie f 1 = x 2 y + y, f 2 = xy 2 + x, f 3 = x 2 y 2. Zauważmy, że I = (F ). Zauważmy następnie, że wielomian f 1 można uprościć przy pomocy wielomianu f 3 : f 1 yf 3 = x 2 y + y x 2 y + y 3 = y 3 + y. Powyższa równość świadczy o tym, że gdy wielomian f 1 zastąpimy wielomianem y 3 + y, to nadal otrzymamy zbiór generatorów ideału I. Niech więc G = {g 1, g 2, g 3 }, gdzie g 1 = y 3 + y, g 2 = xy 2 + x, g 3 = x 2 y 2. Wtedy I = (G) i szybko stwierdzamy (na mocy (3)), że zbiór G jest bazą Gröbnera ideału I. Na zakończenie naszkicujemy w jaki sposób można znaleźć generatory przekroju dwóch ideałów. W tym celu wyjaśniamy najpierw jak szuka się generatorów ideału C k[x r,..., x n ], gdzie r > 1 i C jest danym ideałem w k[x] = k[x 1,..., x n ]. W tym przypadku postępujemy następująco. 1. Ustalamy G-porządek taki, by wszystkie zmienne zbioru {x 1,..., x r 1 } były większe od pozostałych zmiennych (np. zwykły porządek leksykograficzny). 2. Konstruujemy bazę Gröbnera ideału C (względem ustalonego porządku). Niech G będzie tą bazą. 3. Ze zbioru G (który jest zbiorem skończonym!) wybieramy te wszystkie wielomiany, które należą do k[x r,..., x n ] (tzn., w których nie występują zmienne x 1,..., x r 1 ). W ten sposób otrzymujemy zbiór G, który jest bazą Gröbnera ideału C k[x r,..., x n ]. Mamy zatem zbiór generatorów tego ideału. Uwaga. Może się okazać, że G jest zbiorem pustym. W tym przypadku C k[x r,..., x n ] = 0. Niech A = (f 1,..., f p ), B = (g 1,..., g q ) będą ideałami w pierścieniu k[x]. Chcąc znaleźć zbiór generatorów ideału A B postępujemy tak: 1. Wprowadzamy jedną nową zmienną t i rozpatrujemy pierścień wielomianów k[t, X] = k[t, x 1,..., x n ]. 2. Ustalamy G-porządek taki, by zmienna t była większa od zmiennych x 1,..., x n. 3. W pierścieniu k[t, X] rozważamy ideał C = (ta, (t 1)B) = (tf 1,..., tf p, (t 1)g 1,..., (t 1)g q ). 4. Łatwo można udowodnić, że A B = C k[x]. Należy zatem zastosować algorytm poprzedni.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.
5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów. Algebra jest jednym z najstarszych działów matematyki dotyczącym początkowo tworzenia metod rozwiązywania równań
Bardziej szczegółowoUzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011).
Uzupełnienia dotyczące zbiorów uporządkowanych (3 lutego 2011). Poprzedniczka tej notatki zawierała błędy! Ta pewnie zresztą też ; ). Ćwiczenie 3 zostało zmienione, bo żądałem, byście dowodzili czegoś,
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoO pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoWykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}
Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoNierówności symetryczne
Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoWykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych
Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIEŃ WIELOMIANÓW Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 6, 6.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Plan 2/10 1 Co to są wielomiany i jak się je mnoży? 2 Co to jest stopień
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoWielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy
Rozdział 15 Wielomiany jednej zmiennej rzeczywistej algorytmy 15.1 Algorytm dzielenia Definicja 15.1 Niech dany będzie niezerowy wielomian f K[x] (K jest ciałem) f = a 0 x m + a 1 x m 1 +... + a m, gdzie
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.
20. Definicje i przykłady podstawowych struktur algebraicznych (grupy, pierścienie, ciała, przestrzenie liniowe). Pojęcia dotyczące przestrzeni liniowych (liniowa zależność i niezależność układu wektorów,
Bardziej szczegółowoKryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych
Kryptografia - zastosowanie krzywych eliptycznych 24 marca 2011 Niech F będzie ciałem doskonałym (tzn. każde rozszerzenie algebraiczne ciała F jest rozdzielcze lub równoważnie, monomorfizm Frobeniusa jest
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowoO ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH
O ROZMAITOŚCIACH TORYCZNYCH NA PODSTAWIE REFERATU NGUYEN QUANG LOCA Przez cały referat K oznaczać będzie ustalone ciało algebraicznie domknięte. 1. Przez cały referat N oznaczać będzie ustaloną kratę izomorficzną
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoDziałania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.
Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G. Przykłady działań wewnętrznych 1. Dodawanie i mnożenie są działaniami wewnętrznymi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowo0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Bardziej szczegółowociałem F i oznaczamy [L : F ].
11. Wykład 11: Baza i stopień rozszerzenia. Elementy algebraiczne i przestępne. Rozszerzenia algebraiczne i skończone. 11.1. Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga 11.1. Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowoUkłady liniowo niezależne
Układy liniowo niezależne Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 3.wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2016 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, październik 2016 1
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo13. Cia la. Rozszerzenia cia l.
59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 3, 16.10.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Definicja pierścienia 2/10 Zbiór R wyposażony w dwa działania
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoBaza i stopień rozszerzenia.
Baza i stopień rozszerzenia. Uwaga Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. Wówczas L jest przestrzenią liniową nad ciałem F. Definicja Niech F będzie ciałem, L rozszerzeniem ciała F. 1. Wymiar
Bardziej szczegółowoIloczyn skalarny. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013
Iloczyn skalarny Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 10. wykład z algebry liniowej Warszawa, grudzień 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, grudzień 2013 1 / 14 Standardowy
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019
MATEMATYCZNE PODSTAWY KOGNITYWISTYKI ZALICZENIE WYKŁADU: 30.I.2019 KOGNITYWISTYKA UAM, 2018 2019 Imię i nazwisko:.......... POGROMCY PTAKÓW STYMFALIJSKICH 1. [2 punkty] Podaj definicję warunku łączności
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy
Bardziej szczegółowoWykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u
Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u W ) Rzeczywiście U W jest podprzetrzenią przestrzeni
Bardziej szczegółowo1 Pierścienie, algebry
Podstawowe Własności Pierścieni Literatura Pomocnicza: 1. S.Balcerzyk,T.Józefiak, Pierścienie przemienne, PWN 2. A.Białynicki-Birula, Algebra, PWN 3. J.Browkin, Teoria ciał, PWN 4. D.Cox, J.Little, D.O
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoRozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu.
Rozszerzenie ciała o pierwiastek wielomianu. Ciało rozkładu wielomianu. Twierdzenie (Kroneckera) Niech F będzie ciałem, niech f P F rxs. Wówczas istnieje rozszerzenie L ciała F takie, w którym f ma pierwiastek.
Bardziej szczegółowoRozwiązania, seria 5.
Rozwiązania, seria 5. 26 listopada 2012 Zadanie 1. Zbadaj, dla jakich wartości parametru r R wektor (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)} R 3? Rozwiązanie. Załóżmy, że (r, r, 1) lin{(2, r, r), (1, 2, 2)}.
Bardziej szczegółowoKrzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata
Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoR n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },
nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.
Bardziej szczegółowoO geometrii semialgebraicznej
Inauguracja roku akademickiego 2018/2019 na Wydziale Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Łódzkiego O geometrii semialgebraicznej Stanisław Spodzieja Łódź, 28 września 2018 Wstęp Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 MACIERZE ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 12, 08.01.2014 Typeset by Jakub Szczepanik. Motywacje 2/10 W celu wykonania obliczeń numerycznych w zagadnieniach
Bardziej szczegółowo14. Przestrzenie liniowe
14. 14.1 Sformułować definicję przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Przestrzenią liniową nad ciałem F nazywamy czwórkę uporządkowaną (V, F,+, ), gdzie V jest zbiorem niepustym, F jest ciałem, + jest
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowo12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze.
12. Wykład 12: Algebraiczne domkniecie ciała. Wielokrotne pierwiastki wielomianów. Rózniczkowanie wielomianów. Elementy rozdzielcze. Rozszerzenia rozdzielcze i pojedyncze. Rozszerzenia normalne. 12.1.
Bardziej szczegółowoUwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:
1. Wykład 1: Produkty grup. Produkty i koprodukty grup abelowych. Przypomnijmy konstrukcje słabych iloczynów (sum) prostych i iloczynów (sum) prostych grup znane z kursowego wykładu algebry. Ze względu
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowo3.Funkcje elementarne - przypomnienie
3.Funkcje elementarne - przypomnienie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny3.Funkcje w Krakowie) elementarne - przypomnienie 1 / 51 1 Funkcje
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 9 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Operacje elementarne na uk ladach wektorów Niech α 1,..., α n bed dowolnymi wektorami przestrzeni liniowej V nad cia lem K. Wyróżniamy nastepuj ace operacje
Bardziej szczegółowoSpektrum pierścienia i topologia Zariskiego
Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoTemperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.
Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu
Bardziej szczegółowoTeoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1
Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 6
Praca domowa - seria 6 28 grudnia 2012 Zadanie 1. Znajdź bazę jądra i obrazu przekształcenia liniowego φ : R 4 wzorem: R 3 danego φ(x 1, x 2, x 3, x 4 ) = (x 1 +2x 2 x 3 +3x 4, x 1 +x 2 +2x 3 +x 4, 2x
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ
ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem
Bardziej szczegółowoZadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009
Zadania z Algebry liniowej 4 Semestr letni 2009 Ostatnie zmiany 23.05.2009 r. 1. Niech F będzie podciałem ciała K i niech n N. Pokazać, że niepusty liniowo niezależny podzbiór S przestrzeni F n jest także
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo