GEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY Alicja raz czy dwa zajrzaªa do ksi»ki czytaej przez siostr, ale ie byªo tam ai ilustracji, ai kowersacji. A jaki mo»e by po»ytek z ksi»kipomy±laªa Alicjaw której ie ma ai ilustracji, ai kowersacji? Lewis Carroll, Przygody Alicji w kraiie czarów Alicja ma racj, dobra ksi»ka powia mie ilustracje, bo dzi ki im mo»a lepiej zrozumie wszystko. Spróbujmy wi c zale¹ dobry sposób rysowaia liczb wymierych. Tradycyjie liczby przywykli±my zazacza a osi liczbowej. Nie jest to zªy pomysª, tym ie miej je±li chcemy zazaczy a osi kilkadziesi t liczb wymierych... (rys. 1) Strach pomy±le, jak wygl daªby te rysuek gdybym zazaczyª wszystkie liczby wymiere a tym kawaªku osi! My spróbujemy zazacza liczby wymiere ie jako pukty osi liczbowej, ale jako pukty kratowe a pªaszczy¹ie. Pukt kratowy to po prostu pukt o obu wspóªrz dych caªkowitych. Rozpatrzmy ast puj c odpowiedio± pomi dzy puktami kratowymi o dodatiej pierwszej wspóªrz dej a uªamkami: iech miaowicie puktowi kratowemu o wspóªrz dych (x, y) odpowiada uªamek y. Zauwa»my,»e jedemu puktowi kratowemu odpowiada dokªadie jede x uªamek, i ka»dy uªamek zostaª przypisay dokªadie jedemu puktowi kratowemu 1 (rys. ). Dodam tylko,»e w dalszej cz ±ci artykuªu rozpatrywa b dziemy tylko porz de uªamki, czyli takie, których liczik i miaowik s caªkowite, a poadto miaowik jest liczb dodati. Šatwo jest sprawdzi,»e dwóm puktom kratowym odpowiada ta sama liczba wtedy i tylko wtedy, gdy pukty te le» a jedej póªprostej 0 Praca ta w ieco iej redakcji i pod tytuªem Geometrycze dowody dwóch twierdze«dotycz cych uªamków Farey'a zostaªa agrodzoa w czerwcu 1994 roku srebrym medalem a Kokursie Prac Ucziowskich z Matematyki. 1 Zauwa»my,»e uªamek i liczba wymiera to ie to samo. Na przykªad 1 i 4 to ró»e uªamki, cho opisuj t sam liczb. Z tego powodu jedej liczbie wymierej (któr oczywi±cie mo»a a iesko«czeie wiele sposobów zapisa w postaci uªamka) odpowiada iesko«czeie wiele puktów kratowych 1
PIOTR NIADY wychodz cej z puktu O = (0, 0). Na osi liczbowej ªatwo byªo porówywa liczby; je±li dwa pukty le» a osi liczbowej, to te pukt, który jest bardziej a prawo odpowiada wi kszej liczbie. W aszej owej iterpretacji te» ie jest to trude: je±li rozpatrujemy jakie± dwa pukty kratowe P i Q (oba o pierwszej wspóªrz dej dodatiej), to wi ksza liczba zostaªa przypisaa P wtedy i tylko wtedy, gdy póªprosta OP le»y poad póªprost OQ. Nasz sposób zazaczaia liczb przewy»sza metod osi liczbowej, poiewa» w prosty sposób mo»a rozwi zywa dzi ki iemu do± trude problemy i dowodzi ciekawych twierdze«. Je±li ie wierzysz,»e s to aprawd trude problemy, atychmiast przerwij czytaie i spróbuj zrobi pierwsze trzy zadaia z listy, która jest a ko«cu. Kiedy ju» si zm czysz, przeczytaj dalsz cz ± artykuªu i spróbuj jeszcze raz. Zaim poka»emy jak to robi potrzebujemy maªej powtórki z geometrii. W dalszych rozwa»aiach korzysta b dziemy z ast puj cych dwóch faktów, których ie b dziemy dowodzi : Fakt 1. Rozwa»my dowoly wielok t, którego wszystkie wierzchoªki s puktami kratowymi. Niech S ozacza jego pole; W ozacza ilo± puktów kratowych ale» cych do jego w trza; B ozacza ilo± puktów kratowych le» cych a jego brzegu. Wówczas S = W + 1 B 1 Fakt. Rozwa»my rówolegªobok ABCD, iech wierzchoªek A ma wspóªrz de (A x, A y ); wierzchoªek B ma wspóªrz de (B x, B y ); wierzchoªek D ma wspóªrz de (D x, D y ). Wówczas S ABCD czyli pole rówolegªoboka ABCD jest rówe dªugo±ci iloczyu wektorowego AB i AD. S ABCD = AB AD = (B x A x )(D y A y ) (B y A y )(D x A x ) Twierdzeie 1. Niech m < m b d dwoma ieskracalymi uªamkami (m, m,, s caªkowite przy czym, > 0). Wówczas ast puj ce zdaia s rówowa»e: (i) istieje uªamek k l taki,»e m < k l < m oraz l + (ii) istieje uªamek k l taki,»e m < k l < m oraz l < + (iii) m m > 1 Proof. Wyikaie (i) (ii) jest oczywiste, a wi c wystarczy,»e dowiedziemy,»e ze zdaia (ii) wyika (iii), a z (iii) wyika (i). (ii) (iii) Zaªó»my,»e zachodzi (ii). Spo±ród wszystkich uªamków z przedziaªu ( m, m ) iech k b dzie tym, który ma ajmiejszy miaowik. l
GEOMETRIA I UŠAMKI 3 Zobaczmy, jak wygl da to wszystko geometryczie (rys. 3). Niech P ozacza pukt odpowiadaj cy uªamkowi m, R pukt odpowiadaj cy m, a U pukt odpowiaj cy k (ozacza to,»e P = (, m), R = (, m ), l U = (l, k)). Zaªo»eie,»e k ma ajmiejszy miaowik spo±ród wszystkich uªamków przedziaªu ( m, m ) mo»a teraz wyrazi tak: pukt U ma l ajmiejsz pierwsz wspóªrz d spo±ród wszystkich puktów kratowych, które zajduj si pomi dzy póªprostymi OP i OR. Rozwa»my rówolegªobok zbudoway a bokach OP i OR. Ozaczymy przez Q jego czwarty wierzchoªek (pozostaªymi s : O, P, R). Pukt U ale»y do tego rówolegªoboku. Gdyby tak ie byªo, to który± z puktów U lub U b d cych obrazami U w przesui ciu o wektory odpowiedio: P O i RO rówie» le»aªby pomi dzy póªprostymi OP i OR oraz miaªby miejsz pierwsz wspóªrz d. Wida,»e poiewa» l < +, zatem pukty U = (l, k) i Q = (+, m+m ) ie s rówe. To,»e U ie jest rówe»ademu spo±ród puktów O, P, R jest oczywiste. Je±li pukt U ale»y do brzegu rozwa»aego rówolegªoboku, to zaczy,»e co ajmiej 5 puktów kratowych le»y a brzegu rówolegªoboku (miaowicie: O, P, Q, R, U); zatem w my±l faktu 1, S OP QR 0+ 5 1 > 1. Je±li za± U ale»y do w trza rówolegªoboku, to co ajmiej 1 pukt kratowy le»y we w trzu rówolegªoboka i co ajmiej 4 pukty kratowe le» a brzegu rówolegªoboku (miaowicie: O, P, Q, R) zatem w my±l faktu 1, S OP QR 1 + 4 1 > 1. W ka»dym wi c razie, S OP QR > 1 a w my±l faktu, S OP QR = m m. Powy»sze dwie zale»o±ci daj razem: m m > 1, czyli (iii). (iii) (i) Zaªó»my teraz,»e zachodzi (iii). Niech P, Q, R zachowaj swoje zaczeie z poprzediego paragrafu i poowie te» rozwa»my rówolegªobok OP QR (rys. 4). Gdyby jedyymi puktami kratowymi ale» cymi do rówolegªoboku byªy pukty O, P, Q, R, to z faktu 1 i wyikaªoby,»e m m = S OP QR = 1, co stoi w sprzeczo±ci z zaªo»eiem. Niech T = (q, p) b dzie wi c dowolym puktem kratowym rówolegªoboku ró»ym od O, P, Q, R. Niech T = (q, p ) b dzie obrazem T w symetrii ±rodkowej, której ±rodkiem jest S, czyli ±rodek ci»ko±ci rówolegªoboku. Pukt T rówie» jest puktem kratowym, ale»y do rówolegªoboku i jest ró»y od O, P, Q, R. Poprowadzimy prost o rówaiu x = +. Poiewa» S = ( +, m+m ), zatem prosta ta przechodzi przez S. Wyika st d,»e pukty T i T le» po przeciwych stroach tej»e prostej (lub oba a iej le» ); a zatem który± z ich ma pierwsz
4 PIOTR NIADY wspóªrz d ie wi ksz od +. Powiedzmy,»e jest im T. Mo»emy to zapisa tak: q +. Pukt T ie le»y a boku OP. Gdyby bowiem jedak tak byªo, to liczby odpowiadaj ce puktom T i P byªyby rówe: p = m, a poadto q q <. Ozaczaªoby to,»e uªamek m mo»a zast pi uªamkiem o miejszym miaowiku, co przeczy zaªo»eiu,»e m jest ieskracaly. Aalogiczie mo»a pokaza,»e T ie le»y a boku OR. Skoro wi c T ie le»y a OP ai a OR, ale ale»y do OP QR, zatem póªprosta OT le»y pomi dzy póªprostymi OP i OR, czyli m < k < m. l Uªamek k jest uªamkiem, którego istieie postuluje (i), co ko«czy l dowód. Twierdzeie. Je±li m m = 1 (m, m,, s caªkowite przy czym, > 0), to w przedziale ( m, m ) uªamkiem o ajmiejszym miaowiku jest m+m. + Dowód. Z twierdzeia 1 wyika,»e w tym przedziale ie ma uªamków o miaowikach miejszych od +. Czytelikowi pozostawiam sprawdzeie,»e uªamek m+m istotie do tego przedziaªu ale»y. + Uwaga. Šatwo jest wykaza,»e je±li m m = 1, to tak»e (m+m ) m(+ ) = 1 oraz m (+ ) (m+m ) = 1. Twierdzeie mo»a wi c zastosowa poowie i zale¹ a przykªad,»e uªamkiem o ajmiejszym miaowiku z przedziaªu ( m, m+m + ) jest m+m +. Šatwo jest wykaza,»e (m + m )( + ) (m + m )( + ) = 1, czyli»e uªamkiem o ajmiejszym miaowiku z przedziaªu ( m+m, m+m ) + + jest 3m+m itd... Jak wida, to twierdzeie mo»a stosowa w iesko«czoo±. 3+ Niech N b dzie dowol, ustalo liczb atural. Ci g wszystkich ieskracalych uªamków o miaowikach ie przekraczaj cych N ustawioych w porz dku ros cym azwywa si ci giem uªamków Farey'a. Dla przykªadu, dla N = 7 takim ci giem jest..., 1 6, 1 7, 0 1, 1 7, 1 6, 1 5, 1 4, 7, 1 3, 5, 3 7, 1, 4 7, 3 5, 3, 5 7, 3 4, 4 5, 5 6, 6 7, 1 1, 8 7, 7 6,... Oczywi±cie wszystkich wyrazów ie mogli±my wypisa, bo jest ich iesko«czeie wiele. Twierdzeie 3. Niech m i m b d dwoma kolejymi wyrazami ci gu uªamków Farey'a. Wówczas m m = 1 Dowód. Zaªó»my,»e m m 1. Poiewa» m < m, zatem m m > 0. Liczby m,, m, s caªkowite, zatem i m m
GEOMETRIA I UŠAMKI 5 jest caªkowite. Wyika st d,»e m m > 1. Speªioy jest wi c pukt (iii) w twierdzeiu 1, a zatem zachodzi tak»e (i). Istieje wi c p q ale» ce do ( m, m ) takie,»e q +. Mamy jedak, N, zatem q N. Uªamek p powiie wi c wyst pi w aszym ci gu uªamków q Farey'a, i to powiie wyst pi po uªamku m m, a przed uªamkiem co stoi w sprzeczo±ci z zaªo»eiem,»e m i m s dwoma kolejymi wyrazami ci gu uªamków Farey'a. Twierdzeie 4. Niech m, m ci gu uªamków Farey'a. Wówczas m i m = m + m + b d trzema kolejymi wyrazami Dowód. m i m s dwoma kolejymi wyrazami ci gu uªamków Farey'a, a wi c w my±l twierdzeia 3 mamy: m m = 1. Aalogiczie m m = 1. Tak wi c m m = m m m ( + ) = (m + m ) m = m + m + A a zako«czeie maªa porcja zada«. Wszystkie mo»a zrobi bez u»ycia komputera i bez kalkulatora. Tam, gdzie sugeruj rozwi zaie gracze, przyda si kartka w kratk, ostry oªówek i liijka. Czasami przyda si umiej to± mo»eia trzycyfrowych liczb. Niektóre z tych zada«mo»a zrobi pro±ciej, je±li spojrzy si a ie w sposób geometryczy. Wszystkie jedak zadaia s jako± zwi zae z problemami poruszaymi w tek±cie i uwa»a jego lektura powia bardzo pomóc w ich rozwi zywaiu. Zadaie 1. Czy pomi dzy liczbami 34 i 311 s jakie± uªamki o miaowikach miejszych, i» 900? 389 517 841 Zadaie. Uªamki i 37 s ieskracale. Czy pomi dzy tymi 8501 374 liczbami zajduje si jaki± uªamek o miaowiku miejszym od 4450? Zadaie 3. Czy pomi dzy liczbami 119 i 109 s jakie± uªamki o miaowikach miejszych, i» 700? 345 316 Zadaie 4. W przedziale ( 64 38 ) le»y uªamek, a zatem speªioy, 35 167 848 jest pukt (ii) twierdzeia 1. Zachodzi wi c tak»e pukt (i) tego twierdzeia, czyli w tym przedziale jest pewie uªamek o miaowiku ie przekraczaj cym 507. Zajdz te uªamek. Wskazówka: dokªadie prze±led¹ dowód implikacji (ii) (iii). 61
6 PIOTR NIADY Zadaie 5. Przy pomocy dokªadego rysuku zajd¹ wszystkie uªamki z przedziaªu ( 1, 7 ) o miaowikach miejszych od 15 3 1 Zadaie 6. m m oraz s dwoma kolejymi wyrazami ci gu uªamków Farey'a. Dowie±,»e + > N Zadaie 7. Zale¹ w pami ci uªamek stoj cy tu» za i uªamek stoj cy tu» przed uªamkiem 1 w ci gu uªamków Farey'a dla N = 10000. Dla ambitych: czy masz jaki± pomysª jak szuka uªamka stoj cego tu» przed a przykªad 344? 677 Zadaie 8. Zale¹ wszystkie uªamki z przedziaªu ( 64, 151) o miaowikach miejszych, i» 1000. Wskazówka: skorzystaj z twierdzeia 167 394 wraz z uwag. Powiiee± zale¹ dokªadie 4 takie uªamki. Zadaie 9. O ieskracalych uªamkach m < m < m wiadomo,»e m m = 1. Dowie±,»e istiej liczby aturale α, β takie,»e m = αm + βm i = α + β. Zadaie 10. Liczby 64 i 7 s dwoma kolejymi uªamkami ci gu 167 7 uªamków Farey'a dla N = 300. Jaki uªamek stoi bezpo±redio za imi, a jaki uªamek stoi bezpo±redio przed imi? Wskazówka: skorzystaj z twierdzeia 4. Zadaie 11. Wiadomo,»e w ci gu uªamków Farey'a dla N = 100 jest dokªadie 3045 uªamków z przedziaªu [0, 1]. Ile jest uªamków z przedziaªu [0, 1] w ci gu uªamków Farey'a dla N = 101? A dla N = 10? Zadaie 1. Dowie±,»e je±li m, s caªkowite i wzgl die pierwsze ( > 0), to istiej liczby caªkowite k, l takie,»e km l = 1. Wskazówka: iech l b dzie uªamkiem wyst puj cym tu» przed k uªamkiem m w ci gu uªamków Farey'a dla N =. Zadaie 13. O liczbach caªkowitych m,, m, wiadomo,»e m m = 1. Dowie±,»e uªamki m i m s ieskracale. m Zadaie 14. Nieskracale uªamki i m (m,, m, N ) wyst puj jede po drugim w ci gu uªamków Farey'a dla pewego N. Dowie±,»e uªamki m i wyst puj jede po drugim w ci gu uªamków m Farey'a dla pewego N. Wskazówka: skorzystaj z twierdzeia 3. Zadaie 15. Udowodi,»e w przedziale ( 11, 51 ) jest co ajwy»ej 761 819 14566 ró»ych uªamków (skracalych b d¹ ieskracalych) o miaowikach ie przekraczaj cych 761. Wersja dla ambitych: udowodi,»e w tym przedziale jest co ajmiej 14566 ró»ych uªamków (skracalych b d¹ ieskracalych) o miaowikach ie przekraczaj cych 790. 1 Przypomiam,»e p. i to ró»e uªamki. Wskazówka: popatrz a 4 to zadaie geometryczie.
GEOMETRIA I UŠAMKI 7 Zadaie 16. (dla ambitych) α 1, α,... jest dowolym ci giem dodatich liczb caªkowitych. Deiujemy ci gi (m k ) i ( k ) ast puj co: m 1 = 1 m = 0 m k+ = m k + α k m k+1 dla k 1 1 = 1 = 1 k+ = k + α k k+1 dla k 1 Udowodi,»e ci g m 1 1, m,... jest zbie»y oraz»e tak otrzymaa graica jest liczb iewymier z przedziaªu (0, 1). Pokaza,»e dla ka»dej liczby iewymierej x z przedziaªu (0, 1 ) istieje dokªadie jede ci g α 1, α,... taki,»e x jest graic ci gu m 1 1, m,... gdzie m 1, m,... i 1,,... s zbudowae jak wy»ej. Czy ie wyika st d,»e liczb iewymierych jest tyle samo, co ci gów liczb aturalych? Zadaie 17. (to zadaie jest aprawd fascyuj ce!) Jaki jest zwi zek ci gów uªamków Farey'a z uªamkami ªa«cuchowymi? Jak wygl daj przedstawieia ªa«cuchowe kolejych liczb z ci gu uªamków Farey'a? Jakie mo»a zobaczy regularo±ci? Dzi ki uªamkom ªa«cuchowym ci gowi α 1, α,... z zadaia 16. mo»a ada bardzo prost iterpretacj. Mo»e iektóre zadaia z tej listy daj sie tak»e zrobi wªa±ie dzi ki uªamkom ªa«cuchowym? Zadaie 18. Udowodi lub zale¹ w ksi»ce dowód faktów 1 i. Zadaie 19. Przeczyta dobr ksi»k z geometrii.