Górnicto i Geoinżynieria ok Zesyt /1 9 Marek Cała*, Marian Paluch*, Antoni Tajduś* NIELINIWA DEFMACJA IZTPWEJ SFEY GUBŚCIENNEJ 1. Wproadenie Palia ciekłe i gaoe lub inne płyny mogą być magaynoane naiemnych lub podiemnych biornikach o różnych kstałtach. Tutaj ajęto się biornikami o kstałcie kulistym. Założono, że ściany (obudoa) biornika ykonane są materiału opisanego pre potencjał Mooney a. W prypadku biornikó naiemnych, ich ściany będą podlegały obciążeniu enętrnemu pochodącemu od magaynoanego płynu. bciążenie enętrne biornika naiemnego (ciśnienie atmoserycne) będie stosunkoo nieielkie. Dla biornikó podiemnych, aróno obciążenie enętrne (od magaynoanego płynu) jak i obciążenie enętrne (od górotoru) mogą pryjmoać różnicoane artości. W ależności od lokaliacji biornika, jego gabarytó ora pierotnego stanu naprężenia górotore, obciążenie enętrne może być iękse lub mniejse od obciążenia enętrnego. Z tych ględó, reeracie predstaiono roiąanie ogólne dla cterech prypadkó różniących się obciążeniem biornika.. kreślenie składoych tensora naprężenia i odkstałcenia W trójymiaroej prestreni Euklidesa roażamy grubościenną serę, która naturalnym niedeormoanym stanie koniguracja pocątkoa B ma ymiary: promienie a, b rysunek 1. W koniguracji odkstałconej cyli aktualnej B jej ymiary są a i b rysunek. Grubościenna sera może być obciążona ciśnieniem enętrnym q lub enętrnym q. Możliy jest też prypadek, gdy oba obciążenia diałają rónoceśnie. Jest ona ykonana materiału opisanego pre potencjał Mooney a. W pracy dla pryjętych rónań * Wydiał Górnicta i Geoinżynierii, Akademia Górnico-Hutnica, Krakó 5
deormacyjnych ynacone ostaną: rokład naprężeń punktach ciała ora elementy tensora odkstałcenia jak rónież promienioe premiescenia. ys. 1. Koniguracja pocątkoa ciała B ys.. Koniguracja odkstałcona B Tak sormułoany technicnie problem grubościennej sery należy ująć kategoriach ormalnych mechaniki. W tym celu ykorystamy rónania nielinioej geometrycnie i iycnie teorii ośrodkó odkstałcalnych. 6
.1. Komplet rónań nielinioej teorii sprężystości opisie konekcyjnym [] ónania deormacyjne mają postać: i i x = x ( θ, θ, θ ) y i = y θ θ θ i (,, ) i = 1,, (1) ónania geometrycne można apisać jako: γ 1 ( G g ) ( u u u = = α β + β α + α uρ β ) α, β, ρ= 1,, () ónania iycne (konstytutyne) dla ciała Mooney a mają postać: τ = Cg + CB + pg α, β= 1,, I = 1 () gdie: C 1, C są stałymi materiałoymi, p nienanym ciśnieniem hydrostatycnym, α I 1, I, I niemiennikami tensora γ. ónania rónoagi mają postać: β β τ + b = α, β = 1,, () α Warunki bregoe typu naprężenioego można apisać jako: α βα q =τ n =τ n α, β= 1,, (5) β β.. Wynacenie postaci unkcji opisującej deormację ciała Zgodnie rysunkiem 1, B pryjęto układ spółrędnych kartejańskich{ x i } iąany e spółrędnymi serycnymi (konekcyjnymi){ θ α }(rys. ) ależnością: x1 = ( )sinϑcosϕ r : x = ( )sinϑsinϕ x = ( )cosϑ (6) 7
ys.. Układ spółrędnych serycnych koniguracji pocątkoej B Pryjęto tutaj spółrędne konekcyjne θ 1 =, θ = ϑ, θ =ϕ. W koniguracji aktualnej B spółrędne kartejańskie{ y i } iąane są e spółrędnymi serycnymi (rys. ) ależnością: y1 = sin ϑcos ϕ : y = sinϑsinϕ y = cos ϑ (7) ys.. Układ spółrędnych serycnych koniguracji aktualnej B 8
Funkcja ( ) opisująca deormację ciała będie ynacona arunku nieściśliości I = 1. Tensory metrycne koniguracji aktualnej B G α yi yi θ θ =, G = i θ θ y y α β β i 1 1 1 =, = ( G ) ( G ) sin ϑ 1 sin ϑ (8) G G = det = sin ϑ Tensory metrycne B α β xi xi θ θ g =, g =, g = detg α β i i θ θ x x ( ) 1 =, = ( g ) ( g ) 1 ( ) sin ϑ 1 sin ϑ (9) g g = det = ( ) sin ϑ Z arunku nieściśliości: I G = = (1) g 1 otrymujemy rónanie różnickoe: d = d (11) 9
oiąaniem rónania (8) jest unkcja: ( ) C = + (1) Stałą C ynacamy arunku: ( ) = (1) C = = a a Zatem: a a ( ) = 1+ 1 a (1) nacmy: a a b =λ, =δ (15) b Stąd: ( ) 1 1 ( ) a = + λ (16) a ( a) = = a λ (17) a = δ + λ = (18) ( b) (1 ) b b b We ore (18) artość pod pieriastkiem jest róna 1, cego ynika, że achodi: ( λ 1) a = ( δ 1) b (19) b a 1 ( 1), 1 ( 1) a b λ= + δ δ= + λ () 5
Ponieaż: d = = d (1) to: 1 =, = sin ϑ 1 sin ϑ ( g ) ( g ) () Niemienniki tensora odkstałcenia można ynacyć e oru: 1 γ = g G δ ( ) α αφ α β φβ β I1 = g G = + I G G g g g g I G I = = 1 g φψ αφ βψ = φψ ( ) = + = 1 () Tensor geometrii B ( B ) = można predstaić postaci: ( ) B = G g g g g ϕψ αϕ βψ ϕψ ( B ) = + 1 + sin ϑ () 51
.. Wynacenie elementó tensora naprężenia τ dla ciała Mooney a Korystając e oru () oblicamy: C C p 11 τ =σ 11 = 1 + + 1 τ =σ = C + C p + + ϑτ = σ = + + + sin CC p (5) Poostałe elementy tensora naprężenia e spółrędnych iycnych są róne ero. ónania rónoagi () układie spółrędnych serycnych można apisać jako: τ τ τ ϑ ϕ 11 1 1 1 + + + τ τ τ ϑ+τ ϑ = 1 τ τ τ sin ϑ 1 sin ctg + + +τ ctg ϑ τ + τ = ϑ ϕ τ 1 τ τ 1 + + + τ + τ ctgϑ = ϑ ϕ (6) Z rónań (6) ynika p (, ϑϕ, ) = p ( ). Nienane ciśnienie hydrostatycne p ( ) ynacymy piersego rónania rónoagi (6): dp = C 1 C 5 d + + + (7) Poostałe da rónania (6) są spełnione tożsamościoo. Po precałkoaniu rónania (7) po miennej otrymujemy: p ( ) = C C + + p 1 (8) We ore (8) p jest stałą która będie ynacona dla adanego obciążenia arunku naprężenioego. 5
Podstaiając (8) do (5) najdujemy ostatecną postać oró na naprężenia: 11 τ =σ 11 = C1 + C p + + τ =σ = + + + CC p sin ϑτ = σ = C1 + + C + p σ ij =, i j (9) Naprężeniom (9) odpoiadają składoe tensora odkstałcenia γ : γ =ε = 11 11 γ =ε = γ sin ϑ a ( ) = 1 + (1 λ ) =ε =, () Tensory τ i γ ostały ynacone dla iąkó deormacyjnych: a x1 = 1+ ( 1 λ ) sinϑcosϕ a x = 1+ ( 1 λ ) sinϑsinϕ a a x = 1+ ( 1 λ ) cos ϑ, λ = a (1) 5
Premiescenie promienioe yraża się ależnością: u = 1 1+ 1 λ ( ) a ().. Prypadek 1 grubościenna sera obciążona ciśnieniem enętrnym q rysunek 5 Z arunku naprężenioego τ 11 = ynacamy stałą p : = a ( a) ( a) ( a) a p = C1 + C + = a a a ( a) 1 ( ) C ( ) = C λ λ + λ + λ ys. 5. Prekrój środkoy grubościennej sery obciążeniem enętrnym q Zatem składoe iycne tensora naprężenia yrażają się następująco: 1 σ 11 = C1 + λ λ + C λ + λ 1 σ =σ = C1 + λ λ + C λ + λ 5
Warunek τ 11 b = q iąże ciśnienie enętrne q parametrami deormacji λi δ : = ( 1 1 ) ( ) q = C λ + λ δ δ + C λ λ δ + δ.5. Prypadek grubościenna sera obciążona ciśnieniem enętrnym q rysunek 6 Z arunku naprężenioego τ 11 = ynacamy stałą p : = b ( b) ( b) ( b) b p = C1 + C + = b b b ( b) 1 ( ) C ( ) = C δ δ + δ + δ ys. 6. Prekrój środkoy grubościennej sery obciążeniem enętrnym q Zatem składoe iycne tensora naprężenia yrażają się następująco: 1 σ 11 = C1 + δ δ C + δ + δ 1 σ =σ = C1 + δ δ + C δ + δ Warunek τ 11 = a = q iąże ciśnienie enętrne q parametrami deormacji λi δ : ( 1 1 ) ( ) q = C δ + δ λ λ + C δ δ λ + λ 55
.6. Prypadek i grubościenna sera obciążona rónoceśnie ciśnieniem enętrnym q i enętrnym q Z arunkó naprężenioych dla bregu = a i = b ynacymy stałą p ora ależność pomiędy ciśnieniami q i q. τ 11 = a= q τ 11 = b= q 11 τ = C1 + + C + p ( a) ( a) ( a) a q = C1 + + C + p a a a ( a) ( b) ( b) ( b) b q = C1 + + C + p b b b ( b) 1 q = C1( λ + λ ) + C( λ λ ) + p 1 q = C1( δ + δ ) + C( δ δ ) + p ( 1 ) ( ) q q = C δ λ λ + C δ λ δ+ λ Stąd dla adanego q ynacamy q ( 1 1 ) ( ) q = q + C δ λ + δ λ + C δ λ δ+ λ ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) p = q C λ + λ C λ λ = q C δ + δ C δ δ Wymiary a, b, a, b ynikające nieściśliości materiału: a b = a b Załóżmy, że prypadku ystępuje: q > q (rys. 7). 56
ys. 7. Prekrój sery grubościennej obciążonej ciśnieniem enętrnym i enętrnym, q > q Wtedy otrymujemy: 1 σ 11 = C1 + δ δ + C δ + δ q 1 σ =σ = C1 + δ δ + C δ + δ q Załóżmy, że prypadku ystępuje: q > q(rys. 8). Wtedy otrymujemy 1 σ 11 = C1 + λ λ + C λ + λ q 1 σ =σ = C1 + λ λ + C λ + λ q ( 1 1 ) ( ) q = q C δ λ + δ λ C δ λ δ+ λ 57
ys. 8. Prekrój sery grubościennej obciążonej ciśnieniem enętrnym i enętrnym, q > q. Podsumoanie Poyżej predstaiono roiąanie amknięte poalające na określenie składoych stanu naprężenia i premiescenia dla kulistych biornikó naiemnych i podiemnych. Problem roiąano oparciu o rónania nielinioej teorii sprężystości dla cterech prypadkó obciążenia. Zapreentoane roiąania mogą naleźć astosoania e stępnych stadiach projektoania naiemnych i podiemnych kulistych biornikó magaynoych. LITEATUA [1] Green A.E., Adkins J.E.: Large Elastic Deormations. Clarendon Press, xord, 196 [] Paluch M.: Podstay teorii sprężystości i plastycności prykładami. Wyd. P.K., Krakó, 6 [] ymar C.: Mechanika ośrodkó ciągłych. PWN, Warsaa, 199 [] Wesołoski Z., Woźniak C.: Podstay nielinioej teorii sprężystości. PWN, Warsaa, 197 58