Lokalne operatory wykrywania kraw edzi (local edge detectors) Jeśli dwie reprezentacje sa zbyt odleg le, by można by lo latwo określić transformacje miedzy nimi, to u latwić zadanie można przez wprowadzenie reprezentacji pośredniej. aproksymacja gradientu funkcji obrazu (jasności) przyk ladanie szablonów (template matching) dopasowywanie lokalnych modeli rozk lad na kszta lty elementarne MW-ZPCiR-ICT-PWr 1
Operatory gradientowe Szybkość zmian funkcji obrazu w dowolnym kierunku Θ jest dana przez pochodna kierunkowa: f Θ f y f Θ x f x x f = f x ; yf = f y Θ f = f f cosθ + x y sinθ MW-ZPCiR-ICT-PWr
f = f x f y Θ f = ( f, 1 Θ ) = ( f) T 1 Θ Θ max = arctan f y f x Modu l gradientu (norma euklidesowa) wynosi: f = ( f ) + y ( ) f x Inne normy, nie wymagajace pierwiastkowania: taksówkowa (Manhattan): x f + y f maksimum: max{ x f, y f } nie daja wyniku niezależnego od orientacji gradientu (sa wrażliwe na obrót uk ladu wspó lrzednych). Najwieksze odchylenia powstaja przy obrocie o π 4. MW-ZPCiR-ICT-PWr 3
Dyskretna realizacja gradientu x f(i, j) = f(i, j) f(i 1, j) y f(i, j) = f(i, j) f(i, j 1) Θ f(i, j) = x f(i, j)cosθ + y f(i, j)sinθ ( x f(i, j)) + ( y f(i, j)) Liniowe filtry lokalne realizujace sk ladowe gradientu (operatory Roberts-a): 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 MW-ZPCiR-ICT-PWr 4
Wrażliwość na kierunek kraw edzi Prosta przebiegajaca pod katem Θ do osi x i odleg la od poczatku uk ladu o ρ: y y ρ Θ ρ sinθ x x x + ρ sinθ y = cosθ sinθ jest dana równaniem uwik lanym: xsinθ ycosθ + ρ = 0 MW-ZPCiR-ICT-PWr 5
Obraz idealnej kraw edzi gdzie: Niech jasność obrazu ma postać: f(x, y) = z 1 + (z z 1 )u(xsinθ ycosθ + ρ), u(t) = 1 t > 0 1 t = 0 0 t < 0 jest ca lka jednowymiarowej delty Dirac a: u(t) = t δ(τ)dτ. Pochodne czastkowe: f x = sinθ(z z 1 )δ(xsinθ ycosθ + ρ) f y = cosθ(z z 1 )δ(xsinθ ycosθ + ρ) MW-ZPCiR-ICT-PWr 6
Operatory niezależne od kierunku Kwadrat skalarny (kwadrat modu lu) gradientu: ( ) f + x ( ) f = ((z z 1 )δ(xsinθ ycosθ + ρ)) y Laplasjan: f = f x + f y f x = sin Θ(z z 1 )δ (xsinθ ycosθ + ρ) f y = cos Θ(z z 1 )δ (xsinθ ycosθ + ρ) gdzie δ jest wynikiem różniczkowania impulsu jednostkowego (delty Dirac a). f = (z z 1 )δ (xsinθ ycosθ + ρ) MW-ZPCiR-ICT-PWr 7
Dyskretna realizacja Laplasjanu (1) xf(i, j) = x f(i + 1, j) x f(i, j) = = f(i + 1, j) + f(i 1, j) f(i, j) yf(i, j) = y f(i, j + 1) y f(i, j) = = f(i, j + 1) + f(i, j 1) f(i, j) +f(i, j) = f(i, j+1)+f(i, j 1)+f(i+1, j)+f(i 1, j) 4f(i, j) 0 1 0 1 4 1 0 1 0 Wada: wrażliwość na obrót uk ladu wspó lrz edych (zw laszcza dla x i y - uk ladu obróconego o π 4 ) f x = 1 (f(i + 1, j + 1) f(i, j) + f(i 1, j 1)) f y = 1 (f(i 1, j + 1) f(i, j) + f(i + 1, j 1)) MW-ZPCiR-ICT-PWr 8
Dyskretna realizacja Laplasjanu () f = 1 (f(i + 1, j + 1) + f(i 1, j 1)+ +f(i 1, j + 1) + f(i + 1, j 1) 4f(i, j)) 1 1 0 1 0 4 0 1 0 1 Kombinacja wypuk la obu powyższych transformacji: o = 3 + + 1 3 1 6 1 4 1 4 0 4 1 4 1 jest w bardzo ma lym stopniu zależna od kierunku: o = + 1 1 ( ) + ε ( ε zawiera pochodne rz edu nie mniejszego od 6) MW-ZPCiR-ICT-PWr 9
Dopasowywanie lokalnych modeli (1) Rozważmy liniowa aproksymacje f: f = ai + bj + c na podstawie czterech sasiaduj acych ze soba punktów: f(i 1, j 1) f(i, j 1) f(i 1, j) f(i, j) optymalna w sensie minimalnego b ledu średniokwadratowego: Q = (a(i 1) + b(j 1) + c f(i 1, j 1)) + +(ai + b(j 1) + c f(i, j 1)) + +(a(i 1) + bj + c f(i 1, j)) + +(ai + bj + c f(i, j)) MW-ZPCiR-ICT-PWr 10
Dopasowywanie lokalnych modeli () Optymalne wspó lczynniki funkcji liniowej: a = 1 (f(i, j 1) + f(i, j) f(i 1, j 1) f(i 1, j)) b = 1 (f(i 1, j) + f(i, j) f(i 1, j 1) f(i, j 1)) Gradient optymalnej liniowej aproksymacji: [ a b ] Odpowiednie operatory lokalne: 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 sa podobne do operatora Roberts a z dok ladnościa uśrednienia odpowiednio w pionie i w poziomie. do MW-ZPCiR-ICT-PWr 11
Szablony (templates) Przyk lad 1: 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1... 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 Przyk lad : 3 3 5 3 0 5 3 3 5 3 5 5 3 0 5 3 3 3 5 5 5 3 0 3 3 3 3... 3 0 3 3 3 3 5 5 5 3 3 3 3 0 5 3 5 5 MW-ZPCiR-ICT-PWr 1
Rozk lad na kszta lty lokalne Sk ladowe ortogonalne, reprezentujace określone cechy i rozpinajace lokalnie ca l a przestrzeń (Frei i Chen) : h 1 = h = h 3 = h 4 = 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 (h 1, h 1 ) = 8 (h, h ) = 8 (h 3, h 3 ) = 8 (h 4, h 4 ) = 8 MW-ZPCiR-ICT-PWr 13
h 5 = h 6 = h 7 = h 8 = h 9 = 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 4 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (h 5, h 5 ) = 4 (h 6, h 6 ) = 4 (h 7, h 7 ) = 36 (h 8, h 8 ) = 36 (h 9, h 9 ) = 9 MW-ZPCiR-ICT-PWr 14
Reprezentacja obrazu w bazie Chen-a W ośmiospójnym otoczeniu punktu (x, y) funkcj e obrazu f można traktować jako dziewi eciowymiarowy wektor: f 8 (x, y) R 9 o sk ladowych równych wartościom f w poszczególnych punktach tego otoczenia. Jego reprezentacja w bazie h i : f 8 (x, y) = 9 a i h i i=1 ma sk ladowe: a i = (f 8(x, y), h i ) (h i, h i ) MW-ZPCiR-ICT-PWr 15
Wykrywanie kraw edzi Podprzestrzeń krawedziowa rozpieta przez h 1 i h : E = span{h 1, h } Kryterium przyjecia punktu (x, y) za element krawedzi kat pomiedzy wektorem f 8 (x, y) a podprzestrzenia E. f E = (f 8, h 1 ) + (f 8, h ) 9 f N = (f 8, h i ) i=3 Θ = arctan f N f E Można za lożyć wartość progowa tego kata, poniżej której uznamy zasadność przyjecia (x, y) jako elementu krawedzi. MW-ZPCiR-ICT-PWr 16