Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 7 AiR III

Transkrypt

1 1 Niniejszy dokument zawiera materiały do wykładu z przedmiotu Cyfrowe Przetwarzanie Obrazów i Sygnałów. Jest on udostępniony pod warunkiem wykorzystania wyłącznie do własnych, prywatnych potrzeb i może być kopiowany wyłącznie w całości, razem ze stroną tytułową. Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 7 AiR III Joanna Ratajczak KCiR (W4/K7) Copyright c 2015 Joanna Ratajczak 1

2 Wykrywanie cech w obrazach cyfrowych Poprzez cechę rozumiemy specyficzne konfiguracje pikseli układające się w pewne struktury krawędzie, linie, narożniki, skupiska, tekstury, szkielety. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 1 / 36

3 Wykrywanie krawędzi w obrazach cyfrowych Detekcja krawędzi najczęściej sprowadza się do poszukiwania w obrazie lokalnych nieciągłości funkcji jasności lub koloru. Chcemy wykryć nagłą zmianę intensywności. Problem z szumami zmiana intensywności nie może być izolowana. Zmiana intensywności w jednym kierunku, kierunek do niego prostopadły lokalnie nie powinien wykazywać zmiany intensywności. Celem detekcji jest ekstrakcja krawędzi i usunięcie pozostałych fragmentów obrazu. Jeden z etapów automatycznej analizy obrazu. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 2 / 36

4 Wykrywanie krawędzi w obrazach cyfrowych Aproksymacja gradientu funkcji obrazu (jasności). Zwykle wykorzystujemy filtrację. Dobry filtr to taki, który daje wysokie odpowiedzi dla pikseli należących do szukanej struktury i niskie odpowiedzi dla pikseli nie należących do szukanej struktury. Przykładanie szablonów (template matching). Dopasowywanie lokalnych modeli. Rozkład na kształty elementarne. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 3 / 36

5 Krawędź Krawędź jest nagłą zmianą intensywności. Krawędź idealna f(x) f2 f1 x x0 Krawędź rzeczywista f(x) f(x) f2 f2 f1 f1 x x x1 x0 x2 x1 x0 x2 J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 4 / 36

6 Krawędź krawędź pionowa idealna krawędź pionowa rzeczywista J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 5 / 36

7 Krawędź krawędź pozioma idealna krawędź pozioma rzeczywista J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 5 / 36

8 Operatory gradientowe Najprostsze metody wykrywania krawędzi na obrazie. Pierwsza pochodna obrazu wykorzystywana do detekcji krawędzi oraz jej kierunku. Krawędź uznana jest za istniejącą, jeśli wartość gradientu intensywności w pewnych punktach przekracza ustalony próg. obraz operator gradientu moduł gradientu progowanie mapa krawędzi Wada: Uwypuklenie zakłóceń impulsowych J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 6 / 36

9 Operatory gradientowe Szybkość zmian funkcji obrazu w dowolnym kierunku Θ jest dana przez pochodną kierunkową yf f Θ xf Θf x x f = f x y f = f y Θ f = f f cos Θ + x y sin Θ J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 7 / 36

10 Operatory gradientowe yf f Θ xf Θf x Wektor gradientu wskazuje kierunek największej zmiany jasności obrazu. [ f ] [ x x ] f f = = f y Θ f = ( f, 1 Θ ) = ( f) T 1 Θ y f Θ max = arc tg yf x f J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 8 / 36

11 Operatory gradientowe J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 9 / 36

12 Moduł gradientu Moduł gradientu (norma euklidesowa) f = ( ) 2 ( ) 2 f f + x y Inne normy nie wymagające pierwiastkowania taksówkowa (Manhattan): x f + y f, maksimum: max{ x f, y f } nie dają wyniku niezależnego od orientacji gradientu (są wrażliwe na obrót układu współrzędnych). Największe odchylenia powstają przy obrocie o π 4. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 10 / 36

13 Operatory Robertsa Wyznacza krawędź jako maksimum pierwszej pochodnej (gradientu). f(x) f (x) f 2 f (x) < 0 f (x) > 0 f 1 x 1 x 2 f (x) = 0 x x 1 x 2 x J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 11 / 36

14 Operatory Robertsa Dyskretna realizacja gradientu x f(x, y) = f(x, y) f(x 1, y) y f(x, y) = f(x, y) f(x, y 1) ( x f(x, y)) 2 + ( y f(x, y)) 2 Liniowe filtry lokalne (operatory Robertsa) J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 12 / 36

15 Operatory Robertsa xy f(x, y) = f(x, y) f(x 1, y 1) xy f(x, y) = f(x, y 1) f(x 1, y) J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 13 / 36

16 Krawedz Operatory gradientowe Operatory niezalez ne od kierunku Szablony Modele Operatory Robertsa J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 14 / 36

17 Operatory Robertsa J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 14 / 36

18 Operatory Robertsa J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 14 / 36

19 Operatory Robertsa xy xy J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 14 / 36

20 Operatory Robertsa Prosty w realizacji. Wyraźnie kierunkowy charakter. Wrażliwy na szum skutek lokalności, bierze pod uwagę tylko pojedyncze piksele. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 15 / 36

21 Operatory Prewitta Najmniejsze operatory tego typu są reprezentowane maskami 3 3. Gradienty wyznaczane są poprzez różnice centralne x f(x, y) = 1 (f(x + 1, y) f(x 1, y)) 2 y f(x, y) = 1 (f(x, y + 1) f(x, y 1)) 2 Zmniejszenie wrażliwości na szum uzyskuje się poprzez uśrednianie (wygładzanie) obrazu w kierunku ortogonalnym do kierunku w którym wyznaczana jest pochodna. ( ) 11 x = ( ) = J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 16 / 36

22 Operatory Prewitta Operatory te różniczkują w określonym kierunku i jednocześnie lokalnie odszumiają w kierunku ortogonalnym. x = y = Suma wag operatora jest równa 0. Filtr w obszarach o stałej funkcji obrazu generuje wyjście równe 0. Operatory Prewitta są mniej wrażliwe na zakłócenia niż operatory Robertsa. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 17 / 36

23 Krawedz Operatory gradientowe Operatory niezalez ne od kierunku Szablony Modele Operatory Prewitta J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 18 / 36

24 Operatory Prewitta J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 18 / 36

25 Operatory Prewitta J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 18 / 36

26 Operatory Sobela Wyznacza krawędź jako maksimum pierwszej pochodnej. Aby zmniejszyć wpływ szumu wykorzystuje jednowymiarowy filtr uśredniający w postaci ( ) x = y = Współczynniki ±2 wzmacniają najbliższe otoczenie piksela centralnego. Filtry Sobela posiadają lepsze własności odszumiania w stosunku do filtrów Prewitta. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 19 / 36

27 Krawedz Operatory gradientowe Operatory niezalez ne od kierunku Szablony Modele Operatory Sobela J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 20 / 36

28 Operatory Sobela J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 20 / 36

29 Operatory Sobela J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 20 / 36

30 Operatory Sobela normy x y J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 21 / 36

31 Operatory Sobela normy n. Euklidesowa n. taksówkowa różnica J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 21 / 36

32 Metody gradientowe Wady Kierunkowy charakter. Duża wrażliwość na zakłócenia i szumy. Generowane grube krawędzie. Zalety Prostota. Łatwa implementacja. W większości filtry separowalne mała złożoność obliczeniowa. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 22 / 36

33 Wrażliwość na kierunek krawędzi Prosta przebiegająca pod kątem Θ do osi x i odległa od początku układu o ρ y y Θ ρ sin Θ ρ x x y = ax + b a = tg Θ = sin Θ b = ρ cos Θ cos Θ dana jest równaniem uwikłanym x sin Θ y cos Θ + ρ = 0 J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 23 / 36

34 Obraz idealnej krawędzi Niech jasność obrazu ma postać f(x, y) = z 1 + (z 2 z 1 )u(x sin Θ y cos Θ + ρ), gdzie u(t) = { 1 jeżeli t>0 1 2 jeżeli t=0 0 jeżeli t<0 jest całką jednowymiarowej delty Diraca u(t) = t δ(τ) dτ. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 24 / 36

35 Operatory niezależne od kierunku Pochodne cząstkowe funkcji jasności obrazu f x = sin Θ(z 2 z 1 )δ(x sin Θ y cos Θ + ρ) f y = cos Θ(z 2 z 1 )δ(x sin Θ y cos Θ + ρ) Kwadrat skalarny (kwadrat modułu gradientu) ( ) 2 ( ) 2 f f + = ((z 2 z 1 )δ(x sin Θ y cos Θ + ρ)) 2 x y J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 25 / 36

36 Operatory niezależne od kierunku Do detekcji krawędzi wykorzystujemy punkt zmiany znaku drugiej pochodnej (przejście przez zero). f(x) f (x) f (x) f2 f (x) < 0 f (x) > 0 x f1 f (x) = 0 x x x1 x2 x1 x2 x1 x2 Bardzo silna wrażliwość na szum obecny w obrazie. obraz laplasjan przejście przez zero progowanie (opcjonalnie) mapa krawędzi J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 26 / 36

37 Operatory niezależne od kierunku Laplasjan 2 f = 2 f x f y 2 2 f x 2 = sin2 Θ(z 2 z 1 )δ (x sin Θ y cos Θ + ρ) 2 f y 2 = cos2 Θ(z 2 z 1 )δ (x sin Θ y cos Θ + ρ), gdzie δ jest wynikiem różniczkowania impulsu jednostkowego 2 f = (z 2 z 1 )δ (x sin Θ y cos Θ + ρ) J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 27 / 36

38 Dyskretna realizacja Laplasjanu 2 xf(x, y) = x f(x + 1, y) x f(x, y) = f(x + 1, y) + f(x 1, y) 2f(x, y) 2 yf(x, y) = y f(x, y + 1) y f(x, y) = f(x, y + 1) + f(x, y 1) 2f(x, y) 2 + f(x, y) = f(x+1, y)+f(x 1, y)+f(x, y+1)+f(x, y 1) 4f(x, y) J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 28 / 36

39 Dyskretna realizacja Laplasjanu Wada: wrażliwość na obrót układu współrzędnych (zwłaszcza dla x i y układu obróconego o π 4 ) 2 f x 2 = 1 (f(x + 1, y + 1) + f(x 1, y 1) 2f(x, y)) 2 2 f y 2 = 1 (f(x 1, y + 1) + f(x + 1, y 1) 2f(x, y)) 2 2 f = 1 2( f(x + 1, y + 1) + f(x 1, y 1)+ f(x 1, y + 1) + f(x + 1, y 1) 4f(x, y) ) J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 29 / 36

40 Dyskretna realizacja Laplasjanu Kombinacja wypukła obu powyższych transformacji 2 o = jest w bardzo małym stopniu zależna od kierunku. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 30 / 36

41 Krawedz Operatory gradientowe Operatory niezalez ne od kierunku Szablony Modele Operator Laplace a J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 31 / 36

42 Operator Laplace a J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 31 / 36

43 Szablony (templates) Wykorzystują operator korelacji. Przykład 1: J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 32 / 36

44 Szablony (templates) Przykład 2: J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 33 / 36

45 Dopasowywanie lokalnych modeli Na podstawie informacji o otoczeniu budujemy model krawędzi w postaci funkcji dla której liczymy gradient. Rozważmy liniową aproksymację f f = ax + by + c na podstawie czterech sąsiadujących ze sobą punktów: f(x 1, y 1) f(x, y 1) f(x 1, y) f(x, y) J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 34 / 36

46 Dopasowywanie lokalnych modeli optymalną w sensie minimalnego błędu średniokwadratowego Q = ( a(x 1) + b(y 1) + c f(x 1, y 1) ) ( ax + b(y 1) + c f(x, y 1) ) ( a(x 1) + by + c f(x 1, y) ) ( ax + by f(x, y) ) 2 Optymalne współczynniki funkcji liniowej a = 1 ( ) f(x, y 1) + f(x, y) f(x 1, y 1) f(x 1, y) 2 b = 1 ( ) f(x 1, y) + f(x, y) f(x 1, y 1) f(x, y 1) 2 J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 35 / 36

47 Dopasowywanie lokalnych modeli Gradient optymalnej liniowej aproksymacji [ ] a b Odpowiednie operatory lokalne są podobne do operatora Robertsa z dokładnością do uśrednienia odpowiednio w pionie i w poziomie. J. Ratajczak Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów wykład 7 36 / 36